2024-2025学年广东深圳坪山区九年级（上）期中数学试题（含答案）

坪山区2024-2025学年九年级上册期中测试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的

位置上，并将条形码粘贴好.

2.本卷考试时间90分钟，满分100分.

3•作答选择题时，选出每题答案后，用25铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂

黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字您的钢笔或

签字笔将答写在答题卡指定区域内.作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答.写

在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效.

4.考试结束后，谙将答题卡交回.

一、单选题

1.如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（）

2.已知两个相似三角形的面积比为4：9,则周长的比为（）

A.2：3B.4：9

C.3：2D.y/2：yj3

3.如果。是一元二次方程/一3人一5=0的一个根，那么代数式8-2Q2+6Q是（）

A.-1B.2C.1D.-2

4.平面直角坐标系X。，中，4（1,0）,5（0,73）,则坐标原点。关于直线44对称的点0'的坐标为（）

A.(2,1)

5.下列命题中，不正确的是（

A.对角线垂直的平行四边形是正方形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

6.己知函数歹="的图象如图，下列说法正确的是（

第1页/共7页

A.in<0

B.在每个分支上y随x的增大而增大

C.若点力（一1,〃），点8（21）在经象上，贝

D.若点尸（x,y）在图象上,则点夕（T,-N）也在图象上.

7.在平面直角坐标系中，一次函数卜=h+左的图象与反比例函数y二七（其中％为常数，人工0）的部分

x

图象大致是（）

8.如图，边长为4的正方形ABCD中，点石、厂分别在边CD工D上，连接BE,BF,EF,且有NEBF=45。.将

EOF沿E/7翻折，若点。的对应点恰好落在8F上，则石尸的长为（）

BA

第2页/共7页

A.4-巫r204石D.8.递

V-/■

3333

二、填空题

9.如图，以长方形48C。的一边为轴，将其旋转一周得到的立体图形的表面积为cm?.（结果保留兀）

D

3cm

5cmB

10.若方程（加+1）工加-"+2%-3=0是关于x的一元二次方程，则加=.

11.如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取力、8两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为

a、B，A、8两点的距离是a,过。点作CZ）_L48交/出的延长线于点。，则CD的高度力=.（用

含有。、夕、。的式子表示）

12.如图，V/BC是等腰直角三角形，//。3=90。,/。=3。=8,。为4C边上一点，AD=2,E为BC

边上一动点，连接OE,以DE为边并在DE的左侧作等边DEF,连接力尸，则AF的最小值为.（提

示：直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半）

13.如图，已知等边三角形44C的顶点48分别在反比例函数y图像的两个分支上，点。在反比例函

X

数了二々4工0）的图像上，当ZL4BC的面积最小时，上的值.

JC

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三、解答题

14.在平面直角坐标系中，函数y=ad-2or-4a(x>0)的图象记为此，函数

y=2Qx+4a(xwo)的图象记为A/2,其中。为常数，且。工0,图象河？合起来得到的图象

记为例.

y

4-

3

2

1

-4-3-2-1O1234x

-1

(1)若图象「％有最低点，且最低点到x轴距离为3,求〃的值：

(2)若〃=1时，点力(加,〃)在图象/0上，且一14m44,求〃的取值范围：

(3)若点尸、。的坐标分别为(-5,-1),(4,-1),连接P。.当线段〃。与图象M恰有三个公共点时，请

直接写出。的取值范围.

15.在正方形/18C。中，点尸是边4〃上一点，连接。尸，点石为。尸中点.连接BE、CE、AE.

第4页/共7页

（1）求证：ZD.4E=ZADE；

（2）求证：AAEBgADEC；

（3）当时，求//尸。的度数.

16.如图，已知直线了二丘-4的图象经过点力，3（3,2）,且与x轴交点C.

（1）求k的值；

（2）若点判断点。是否在歹二丘一4的图象上；

（3）求8。。的面积.

17.如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度.小刚在。处用高1.6m的测角仪CO,

测得教学楼顶端力的仰角为30。，然后向教学楼前进40m到达£,又测得教学楼顶端力的仰角为60。.求

这幢教学楼的高度.（己知：夜。1.414，＞/3»1,732，结果保留一位小数）

18.某大型水果超市销售水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每箱售价工（元）与每天的销售量J（箱）有如表

关系（J与工之间的函数关系是一次函数）：

每箱售价x（元）68676665•・・40

每天的销售量歹（箱）40455055•••180

⑴若水蜜桃的进价是40元/箱，该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少

第5页/共7页

元？

(2)7月份1・16号每天销售水蜜桃盈利1600元.从17号开始连续阴雨，因而从7月17号开始水蜜桃销售

价格在(1)的条件下，下降了〃?％,同时水蜜桃的进货成本卜降了10%,销售量也因此比原来每天获得1600

元盈利时上涨了2机％(〃?<100),7月份17-31号水蜜桃销售总盈利比7月份1-16号销售水蜜桃总盈利少

7120元，求〃？的值.

19.【项目式学习】

项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界

项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成

像规律.

项H素材：

素材■：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后

光线经过焦点.

素材二：设物距为小像距为v和焦距/,小明在研究的过程中发现了物距〃、像距I，和焦距/之间在成实像

111

时存在着关系：一+一=:.

uvJ

【项目任务】根据项目素材解决问题：

任务一：小明先取物距"=1.5/,然后画出光路图(如图①)，其中48为物体，O为凸透镜A/N的光心，

第6页/共7页

（1）根据光路图①可知，当〃=1.5/•时，丹=_________：

AB

（2）当〃=2/时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图；

任务二：凸透镜的焦距OF为6cm,蜡烛力8是4cm,离透镜中心。的距离是xcm,（X>6）时，蜡烛

的成像A9的高Km,请你利用所学的知识求出》与x的关系式；

任务三：根据任务二的关系式得出表：

物距

X/810121416

cm

像高

W1264m2.4

cm

（1）tn=；

（2）当蜡烛的成像的高不小于2cm时，请在坐标系中画出它的图象；

4

20.在中，/ACB=90°,AB=IO,cos4二一，将V43C绕点8顺时针旋转得到△4次丁，

5

（1）如图1,当点H落在力。的延长线上时，求的长；

（2）如图2,当点C'落在月6的延长线上时，连接CC',交A'B于点、M,求AW的长；

（3）如图3,连接力4,直线CC'交44'于点。，点E为力。的中点，连接OE.在旋转过程中，DE是

否存在最大值？若存在，耳读写小。E的最大值；若不存在，请说明理由.

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坪山区2024-2025学年九年级上册期中测试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的

位置上，并将条形码粘贴好.

2.本卷考试时间90分钟，满分100分.

3.作答选择题时，选出每题答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂

黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或

签字笔将答写在答题卡指定区域内.作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答.写

在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效.

4.考试结束后，谙将答题卡交回.

一、单选题

1.如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了常见几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键.

【详解】解：A、漏斗的左视图上部分是一个三角形，下部分是一个长方形且靠近下面有一条虚线，主视图

上部分是一个长方形，下部分是一个梯形，故此选项不符合题意；

B,烧瓶的主视图与主视图都是故此选项不符合题意；

c、试管的主视图与主视图都是故此选项不符合题意；

D、锥形瓶的主视图与主视图都是故此选项不符合题意：

故选：A.

2.已知两个相似三角形的面积比为4：9,则周长的比为（）

A.2：3B.4：9

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C.3：2D.6•忑

【答案】A

【解析】

【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，己知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的

相似比；再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解.

【详解】•・•两个相似三角形的面积之比为4：9,

二两个相似三角形的相似比为2：3,

・•・这两个相似三角形的周长之比为2：3.

故选A

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等「相似比，面积比等r相似比的平方.

3.如果。是一元二次方程/一3人一5二0的一个根，那么代数式8-2/+64是()

A.-1B.2C.1D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程解的定义，可得。2-3。=5,再代入，即可求解.

【详解】解：是一元二次方程/一3工一5二0的一个根，

••・/―3"5=0,

：•L-3。=5，

・・・8-2。2+6。=8-2(。2_3+8-2x5=-2.

故选:D

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解是解题的关键.

4.平面直角坐标系X。，中，J(1,O),B(0,6),则坐标原点。关于直线48对称的点。'的坐标为()

A.(2,1)C.

22

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，坐标与图形性质,

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如图，过O'作。'Elx轴于£,求解/48。=30。，可得8。。'为等边三角形，再进一步解答即可.

【详解】解：如图，过。'作O'E_Lx轴于£,

V.4(1,0),8(0,退)

.・.匕”°啜+昌

・•・乙48。=30。，

由对折可得：BO=BO'=6ZOBOr=ZABO+ZABO1=6(T,

:.BOO'为等边三角形,

・•・土BOO'=60°,OO^=OB=5

・•・ZO/OE=90o-60°=30°,

：・0，E=®，OE=y/3x-=-,

222

故选B

5.下列命题中，不正确的是（）

A.对角线垂直的平行四边形是正方形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

C,有一个角是直角的平行四边形是矩形D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【答案】A

【解析】

【分析】由正方形的判定判断A,

由菱形的判定方法判断B,

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由矩形的判定方法判断c,

由平行四边形的判定方法判断D.

【详解】解：对角线互相垂直的矩形是正方形，所以A错误，

有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以B正确，

有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以C正确，

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以D正确.

故选A.

【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判断方法，掌握它们的判定方法是解题的关键.

6.已知函数），二"的图象如图，下列说法正确的是（）

B.在每个分支上），随x的增大而增大

C.若点4（-1,〃），点8（2力）在却象上，则

D.若点P（x,y）在图象上，则点q（—x,—y）也在图象.匕

【答案】D

【解析】

【分析】利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征逐项判定即可.

【详解】解：A、根据反比例函数的图象的两个分支分别位于一、三象限，可得m>0,故选项错误，不符

合题意；

B、由图象可知，在每个分支上y随x的增大而减小，故选项错误，不符合题意；

C、由图象可知，点4（—1,。）在第三象限，则〃<0,点8（2））在第一象限，则6>0,则。〈人，故选项

错误，不符合题意：

D、若点P（x,y）在图象上，且反比例函数的图象关于原点成中心对称，则6（一兀一》）也在图象上，故选项

正确，符合题意.

故选：D.

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【点睛】本题主要考杳了反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数的图

象上的点的坐标特征成为解答本题的关键.

7.在平面直角坐标系中，一次函数^=依+攵的图象与反比例函数歹二七(其中A为常数，人工0)的部分

x

【答案】B

【解析】

【分析】由题意知y=Lv+%=Z(x+l),则一次函数歹二%x+A经过点(-1,0),当左＞0时，判断一次函数

与反比例函数图象，当〃＜0,判断一次函数与反比例函数图象，进而可得答案.

【详解】解:y=kx^rk=k[x+\Y

当y=0,x=-1,

；・一次函数y=+Z经过点(T，0),

，A、C不符合，

当上＞0时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限，

符合，

当上＜0时，一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，

**•D不符合，

故选:B.

【点睛】本题考瓷了反比例函数图象、一次函数图象.解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质和

图像.

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8.如图,边长为4的正方形ABCD中，点E、尸分别在边CD/D上,连接BE,BF,EF,且有NEBF=45。.将

EDF沿EF翻折，若点。的对应点恰好落在BF上，则EF的长为（）

BA

A.4-也B.4+拽C,型一速D.8.迪

33333

【答案】D

【解析】

【分析】过点七作/于点，，设OE=x,DF=y,根据勾股定理列方程求得x,了即可.

【详解】解：过点E作EHLBF于点、H,如下图:

设DE=x,DF=y,则。尸二4一^,AE=4-x

由寇意可得：/HEF=NDEF,/FHE=/FDE=90。,为等腰直角三角形,

又；EF=EF,

・•・EFHmEFD(AAS),

:・BH=HE=ED=x,HF=DF=x,

：,BF=x+yt

由勾股定理可得：BE=NBH2+EH2=瓜，

BC2+CE?=BE2,EP42+(4-X)2=(V2X)\解得工=4方-4，

AB2+AF2=BF2^即42+(4-)，)2=(x+y)2,解得y=4-述，

3

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EF=NDE、DF?=8---»

3

故选：D.

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次根式的运算，解题的关

键是熟练掌握相关基础性质.

二、填空题

9.如图，以长方形4BCQ的一边为轴，将其旋转一周得到的立体图形的表面积为—cn『.(结果保留不)

DC

3cm

A5cmB

【答案】80乃或48乃##48乃或804

【解析】

【分析】根据面动成体可知得到的立体图形为圆柱；以不同的边为轴旋转一周，所得到的圆柱体的底面半

径和高，根据圆柱体的表面积公式计算即可.

【详解】解：长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到的立体图形是圆柱，

当绕着5cm的边为轴时，旋转一周所得到的是底面半径为3cm,高为5cm的圆柱体，

因此表面积为2;rx3x5+^x3?x2=48/rcm2；

当绕着3cm的边为轴时，旋转一周所得到的是底面半径为5cm,高为3cm的圆柱体，

2

因U匕表面积为27FX5X3+/TX52x2—8O^cm;

故答案为：80不或487r.

【点睛】本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出।圆柱的底面半径和高的长是解题的关键.

10.若方程(6+1)工加-"+2%-3=0是关于工的一元二次方程，则加=.

【答案】3

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义及绝对值的性质进行列式、求解.

此题考查了一元二次方程定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识和绝对值的性质进行求解.

【详解】解：由题意得|加一1|二2,

m-l=±2

解得〃?=3或m=-1>

:/〃十1《0,即m4—1»

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w=3,

故答案为：3.

11.如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取力、8两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为

a、。,力、8两点的距离是“，过C点作交力8的延长线于点。，则C。的高度力=.(用

含有。、万、。的式子表示)

a«tanatan/?

【答案］由FZ

【解析】

【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切得定义得出/7=4Qtana=(a+8O)tana,再由

初二品'然后代入化简即可得出力即可・

【详解】解：根据题意有：h=ADtana=(a+BD)tana,

VBD=-^—

tan0

h\htana

:.n=a-\------tana=atana+------

Ita"tanp

一，.htana

移项得：h------------=tztana,

tan/?

.QtanatanB

整理得:n=------------

tan4一tana

atanatanp

故答案为:

tan/y-tancr

12.如图，V/3C是等腰直角三角形，//。8=90。,4。=8。=8,。为/。边上一点，AD=2,E为BC

边上一动点，连接。E,以DE为边并在DE的左侧作等边。石尸，连接4尸，则AF的最小值为.(提

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示：直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半)

【解析】

【分析】以为边在力。左侧作等边三角形，连接FG,石G,延长月RC8交于点尸，先证明

AFD^GEZ),得到4"=EG,当点4G,/三点共线时，力/有最小值，此时4C〃EGM|J£GJ_8C,

则N4PC=30。，由30。角所对的直角边等于斜边的一半，得到力尸=24C=16,进而得到PG=14,再

根据30。角所对的直角边等于斜边的一半，得到EG=」PG=7,即可得出结果.

2

【详解】解：如图，以4Q为边在力。左侧作等边三角形力GO,连接/G,EG,延长力产,。8交于点p,

•••△4G。和DE尸是等边三角形,

・•.DE=DF,DG=AD,ZADG=ZFDE=60°,

/.乙4DG+乙GDF=4FDE+Z.GDF,即Z1ADF=Z1GDE,

・•.AFD@GED(SAS),

AAF=EG,

如图，当点4G,尸三点共线时，力/有最小值，

:"AGE+ZGAC=ZAGD+ZEGD+/GAC=180°,

/.AC//EG,即EG18C,

/APC=30°,

第9页/共27页

vAC=BC=8,AD=2

AP=2AC=16,AG=AD=2,

...PG=AP-AG=\4,

：.EG=-PG=7,

2

AF=EG=1,

故答案为：7.

【点睛】本题考查直角三角形的特征及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，三角形仝等的判定与性质,

解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求力尸最小值问题转化为求EG最小值.

13.如图，已知等边三角形的顶点48分别在反比例函数y图像的两个分支上，点。在反比例函

X

数片々AwO）的图像上，当44BC的面积最小时，左的值.

JC

【答案】-3

【解析】

【分析】当等边三角形ABC的边长最小时，AABC的面积最小，点A,B分别在反比例函数尸，图象的

x

两个分支上，则当A、B在直线y=x上时最短，即此时aABC的面积最小，根据反比例函数图象的对称性

可得OA=OB,设OA=x,则AC=2x,OC=gx,根据等边三角形三线合一可证明△AOEs/SOCF,根据相

似三角形面枳比等于相似比的平方可得结论.

【详解】解：根据题意当A、B在直线y=x上时，AABC的面积最小，

函数尸,图象关于原点对称，

x

AOA=OB,

连接OC,过A作AE_Ly轴于E,过C作CF_Ly轴于F,

•••△ABC是等边三角形，

AAO1OC,

AZAOC=90°,ZACO=30°,

第10页/共27页

・・・NAOE+NCOF=90°,

设OA=x,则AC=2x,OC=JJx,

•・・AE_Ly轴，CF_Ly轴，

・•・ZAEO=ZOFC=ZAOE+ZOAE=90°,

/.ZCOF=ZOAE,

/.△AOE^AOCF,

.S八OE_(

OOCF

;顶点A在函数y=—图象的分支上，

x

..1

••SAOE=~,

A2

._3

••S.oc产—»

•・•点C在反比例函数y=±(k#0)的图象上,

x

Ak=-3,

故答案为-3.

【点睛】本题考查了综合运用反匕例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象关r原点对称，相似三角

形的判定与性质及等边三角形等知识点，难度不大，属于中档题.

三、解答题

14.在平面直角坐标系中，函数》=。式2-2公一44（工〉0）的图象记为此，函数

^二一。/-24九十4。（工（0）的图象记为"2,其中。为常数，且。工0,图象河？合起来得到的图象

记为例.

第11页/共27页

y

4-

3-

2-

1-

।」____I_______I__I___I___L->

-4-3-2-1O1234x

-1-

-2-

-3-

-4-

(1)若图象有最低点，且最低点到x轴距离为3,求。的值；

(2)若。=1时，点力(〃7,〃)在图象/上，且一1«〃244,求〃的取值范围；

(3)若点尸、。的坐标分别为(-5,-1),(4.-1),连接P。.当线段尸。与图象“恰有三个公共点时，请

直接写出。的取值范围.

1

3

【答案】(1)6/=-；(2)-5<w<5：4-4-

【解析】

【分析】(1)先将函数^二以2-2奴-44x>0)化为顶点式，根据图象有最低点，且最低点到x轴距

离为3,可得5。=3,即可求解；

(2)根据题意可得,：y=(x-1)2-5，必2:y=-卜++5，然后分两种情况：当

一14〃740时和当0<〃2«4时，进行讨论，即可求解；

(3)根据题意可得直线P0为》二-1,然后分两种情况：当。>0时和当。<0时，并结合图象，进行

分类讨论，即可求解..

【详解】解：-2izx-4a,

/.y=a(^x2-2x)-4t7=t7(x-lj~-5a,

•・•图象有最低点，最低点到x轴距离为3,

a>0,

•・•最低点到x轴距离为3,

：.\-5a\=3.

第12页/共27页

3

A5a=3，解得：a=~'

（2））当Q=1时，必：y=卜一I）之一5,/：y=-（x+I）*+5,

当-1«用（0时.，点/1在函数图象/2上，且当-IWXWO时，函数y=-（x+l『+5随着x的增大而

减小，

当x=-1时，y=-（-1+1丫+5=5,

当工=0时，y=一仅+1丫+5=4,

此时4W〃W5；

当0<加工4时，点力在图象A/1上，

•・•函数》=（1一1）2一5,的对称粕为x=l,

・•・当x=l时，〃最小为一5,

当x=O时，y=（0-I）?-5=-4,

当工=4时，y=（4-I）之-5二4,

此时一5</?<4,

综上所述，〃的取值范围为一5V”（5；

（3）•・•点尸、。的坐标分别为（一5,-1）,（4,一1）,

・•・直线尸。为歹二一1,

当〃〉0时，如图：

函数y=ad-2ox-4a（x>0）的顶点为（1,—5a）,

若P。经过图象M的顶点（1,一5且），

则一5a=-1,即。,

第13页/共27页

2

对于图象“2，有XXH=-1>解得：X.=—1—V10»x9=—14->/10（舍去）,

555

V-l-V10>-5，

，直线P。与图象的交点在点P的右侧,

・•・线段与图象M恰有三个公共点，

由题意得：M与y轴交于(0,-4。)

：-5。<-1

解得：—<^<y;

-4a>-154

当。<0时，如图:

图2

函数y=-。丫2-2OY+4Q(XW0)的顶点为(-1,5a),

若P0经过图象区的顶点(-L5a),

则5a=-1,BPa二一(，

对于图象/%,X*HXH=—1时，解得：X.=14--\/10»X)=1—J16(舍去)，

5551~

1+V10>4，

・•・直线尸。与图象必的交点在点0的左侧，

・•・此时线段尸。与图象M只有一个公共点，不符合题意；

若线段尸。过死与y轴的交点时，有4a=-1,解得：,

—2

对于图象M”—x+—x+l=—1,解得：X[=4,x2——2(舍去)，

•・・2(4,T),

・••此时线段P。与图象M有三个交点，符合题意，

综上所述，当线段尸。与图象M恰有三个公共点时，。的取值范围为或。=一].

544

【点睛】本题主要考查了二次函数与性质，一元一次不等式组，一元二次方程的解法，利用数形结合思想

第14页/共27页

和分类讨论的思想是解题的关键.

15.在正方形48CQ中，点尸是边48上一点，连接。八点E为。尸中点.连接BE、CE、AE.

（2）求证：△/E8名△DEC；

（3）当E8=8。时，求/力正。的度数.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析（3）75°

【解析】

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得力E=£尸=。七=］。凡根据等边对等角可

2

得NE4D=NEDA；

（2）根据正方形的四条边都相等可得48=CZ）,每一个角都是直角可得/84）=//。。=90°,再求出

/BAE=/CDE,然后利用"S/S”证明即可；

（3）根据全等三角形对应边相等可得E8=EG再求出△8C£是等边三角形，根据等边三角形的性质可得

NEBC=60°,然后求出N/8E=30°,再根据等腰三角形两底角相等求出NZME,然后根据等边对等角可

得N/iFD=NB4E.

【小问I详解】

证明：•・•四边形力8c。为正方形，

:.NEW=90。，

•・•点E为。尸中点.

：.AE是RtAAFD斜边上的中线，

:・AE=FE=DE,

:./DAE=NADE；

【小问2详解】

证明：•・•四边形48CQ是正方形，

：.^BAD=^ADC=90°,AB=CD,

由（1）%/DAE=/ADE；

第15页/共27页

・•・NBAD-NDAE=NADC・NADE，即/切£=NCDE,

在zXAEB和△7)£(7中，

AE=DE

<ZEAB=/EDC,

AB=DC

:♦△AEBQ4DEC(SAS)；

【小问3详解】

解：，：XAEB92DEC,

：.BE=CE,

•：EB=BC,

••・△EBC是等边三角形，

；・NEBC=600,

•・•四边形48co是正方形，

・・・N/8C=90。，AB=BE,

:./力8£=900-NE8C=90°-60o=30c,

,:AB=BE,

11

:.ZBAE=-(180°-ZABE)=-(180°-30°)=75°,

又〈AEMEF,

・•・2AFD=NBAE="o.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

的性质，等角的余角相等的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点并准确根据题意求证是

解决问题的关键.

16.如图，已知直线》="-4的图象经过点力，5(3,2),且与x轴交点C.

第16页供27页

(1)求左的值；

(2)若点。判断点。是否在歹=履-4的图象上；

(3)求4OC的面积.

【答案】(1)k=2

(2)点。g，3)不在y二丘-4的图象上(3)2

【解析】

【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数函数值，一次函数与几何综合,

(1)把8(3,2)代入y=H-4中得进行求解即可；

(2)根据(1)所求求出当x二;时，y的值即可得到答案；

(3)先求出点C的坐标，得到。。=2,再根据SMC=；OC•为进行求解即可.

【小问1详解】

解：把3(3,2)代入卜="一4中得：3x-4=2,

解得左=2；

【小问2详解】

解：由(1)得直线44解析式为y=2x—4,

在u=2x-4中，当x=■时，y=2x--4=-3,

22

・••点不在)，二丘一4的图象上；

【小问3详解】

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解：在y=2x-4中，当歹=0时，x=2,

・•・C(2,0),

・•・OC=2,

/.S=—OC-yr.=—x2x2=2.

”R《n人r.2/经2

17.如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度48.小刚在。处用高1.6m的测角仪CQ,

测得教学楼顶端力的仰角为30。，然后向教学楼前进40m到达£,又测得教学楼顶端力的仰角为60。.求

这幢教学楼的高度.（已知：1.414，百p1.732，结果保留一位小数）

【答案】这幢教学楼的高度力8是36.2m

【解析】

【分析】利用60。的正弦值可求/G长,加上1.6m即为这幢教学楼的高度C3.

【详解】解：・・・N/CG=30。，ZAFG=60°,

・•・Z/^C=60°-30°=30°,

:.AACG=NFAC,

/.AF=CF=40m,

AQ

在RtZ\4R7中，・・・sin/4/G=—,

AF

AAG=AFxs\nAAFG

=40xsin60°

=40x—

2

«20x1.73

=34.6(m),

AB=34.6+1.6=36.2(m),

答：这幢教学楼的高度48是36.2m.

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【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共

边求解是常用的解直角三角形的方法.

is,某大型水果超市销售水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每箱售价x（元）与每天的销售量y（箱）有如表

关系（N与X之间的函数关系是一次函数）:

每箱售价x（元）68676665・・・40

每天的销售量N（箱）40455055•••180

⑴若水蜜桃的进价是40元/箱，该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少

元？

（2）7月份1・16号每天销售水蜜桃盈利1600元.从17号开始连续阴雨，因而从7月17号开始水蜜桃销售

价格在（1）的条件下，下降了〃?％,同时水蜜桃的进货成本下降了10%,销售量也因此比原来每天获得1600

元盈利时上涨了2m％（相＜100）,7月份17-31号水蜜桃销售总盈利比7月份1-16号销售水蜜桃总盈利少

7120元，求〃？的值.

【答案】（1）要使顾客获得实惠，每箱售价是56元：（2）相的值为2（）

【解析】

【分析】（I）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求

出答案;

（2）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案.

【详解】（1）设与x之间的函数关系是：y=K+b,

40=684+6

根据题意可得：

45=674+6,

k=—5

解得：

6=380,

故y与x之间的函数关系是：y=-5x+380,

由题意可得：（x-4（））（-5x+380）=1600,

解得：再=56,x2=60,

顾客要得到实惠，售价低，则x=60舍去，

所以x=56,

答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元：

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(2)在(1)的条件下，x=56时，y=100,由题意得到方程：

16C0X16=[56X(1-m%)-40X(1-10%)]XIOOX(l+2m%)X15+7120,

240

解得：町二20,m2=--7(舍去)，

答：〃7的值为20.

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据己知7月份各量之间的变化得出

等量关系进而求出是解题关键.

19.【项目式学习】

项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界

项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成

像规律.

项目素材：

素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行「主光轴的光线经过折射后

光线经过焦点.

素材二：设物距为〃，像距为v和焦距/,小明在研究的过程中发现了物距“、像距v和焦距/之间在成实像

111

时存在着关系：—+—二”.

uvj

【项目任务】根据项目素材解决问题：

任务一：小明先取物距〃=1.5/,然后画出光路图(如图①)，其中48为物体，。为凸透镜A/N的光心，

入射光线4C〃光轴，折射光线CH经过焦点C',为力夕所成的像.

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（1）根据光路图①可知，当〃=1.5/时,

（2）当〃=2/时，请仿照图①的方法，在图②中画光路图;

任务二：凸透镜的焦距OF为6cm,蜡烛力8是4cm,离透镜中心。的距离是xcm,（x>6）时，蜡烛

的成像AB'的高）cm,请你利用所学的知识求出》与x的关系式；

任务三：根据任务二的关系式得出表：

物距

X/81()121416

cm

像高

W1264m2.4

cm

（1）m=；

（2）当蜡烛的成像的高不小于2cm时，请在坐标系中画出它的图象;

【答案】任务一：（1）（2）图见详解：任务二：N与x的关系式是：y=—;任务三：（1）3；（2）

2x-6

图见详解

【解析】

【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键;

第21页/共27页

Af0OCf2A'O

任务一：（1）由题意易得ACO-Z'C,则有大一丁一6-孑，然后可得==2,进而问题可

AAAC1.5/3OA

求解；

（2）根据题意可直接进行作图；

任务二：由任务一可知AB34B0,A'B'=2a,O8'=6+3Q,则工：（6+3。）=4:2。，从而得

19

a=——，然后根据、=4'4'=2。可得出V与x的关系式；

x-6

任务三：（1）根据任务二可代值进行求解即可；

（2）根据（1）及表格，结合描点、连线可作出函数图象.

【详解】解：任务一：（1）・・・4C〃光轴，

・•・A'CO^AfCA,

.A'OOC/2

••南一就一

・4'。”

OA

•：4B//AB，

・•・AB"ABO,

.4。4'B'_

••,一■—2,

OAAB

,AB

••，・;

AB2

（2）由题意可得如图所示:

任务二：依题意得：四边形力8。。为矩形，OB=xcm,48=4cm,0C'=6cm,

OC=AB=4cm,

VA'B7/0C,

・•・COC'sA'B'C',

OCOC2

,即/®=—B'C',

A'B1B'C'3

由任务-可知：A'B'OsABO,设/'8'=2。，

第22页/共27页

・・・B'C'=3a,

，。3'=6+3。，

BO:OB'=AB:A'B',

，）：（6+3Q）=4:2Q,

解得：。=上一,

x-6

24

/.y=AB'=2a=

x-6

24

即y与X的关系式是：y=--；

x-6

24

任务三：（1）由任务二可知：y=——

x-6

24

当x=14时，y=----=3,

14-6

/.阳=3；

故答案为：3.

（2）由题意及（1）得：0一22,

x-6

解得:x<18,

6<x<18»

将表格中的对应数据在直角坐标系中描点，再按照横坐标由小到大的顺序连线可得该函数的图象，如图所

示：

4

20.在中，ZJC5=90°,48=10,cos力=1，将V48。