《角平分线》同步练习-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.5《角平分线》同步练习

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在RtZ\A8C中，ZC=90°,A。平分/B4C,交于点〃，DEJ.AB于点、E,若CO=3,

则DE的长为（）

A.3B.4C.5D.6

2.如图，在AABC中，NC=9O。，5。平分NAAC交AC于点〃，点夕为的中点，若A5=8,CD=?,

则AADE的面积是（）

3.如图，ZABD=ZACD=9O°,DB=DC,ZE4D=55。，则ND4C的度数为（）

4.人字梁架是中国传统木构建筑中常见的屋顶支撑结构，被广泛应用于民居和古建中，它不

仅具有良好的力学稳定性，还便于排水和承载屋顶重量.如图，在房屋人字梁架中，A8=AC,

点〃在8c上，下列条件不能说明AO工8C的是（）

tTr

BnC

A.BD=CDB.AO平分/HACC.ZB=ZCD,ZADB=ZADC

5.如图，NAOB=94。，点、〃在/AO8内，OE_LOA于点E,D尸上03于点F,连接O。，若。匹=。尸,

C.46°D.47。

6.如图，在AABC中，ZA=NC=70。，点。在边AC上,且DEJ.AB于息E,DF1于点川.若

DE=DF,则/AB。的度数为（）

A.20°B.35°C.40°D,50°

7.如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪

三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

/什VV

/vvVVVVY、

A.三角形最长的边的中点处B.三角形三条高的交点处

C.三角形三条中线的交点处D.三角形三个内角的角平分线的交点处

8.已知射线C3在2人03内部，点，在射线。。上，PE上OA于点、区尺规作图痕迹如图所示.若

Z4OP=28。，PD=PE,则NOPQ的度数为（）

A.135。B.120°C.118°D.108°

9.如图，三条角平分线将AABC分为三个三角形，且S△八加应函。应“=6:7:8,则AB:AC:CA等

于（)

A.1:1:1B.1:2:3C.6:7:8D.3:7:4

10.如图，AABC中，4=90。，三角形两内角的角平分线BDCE交于点/,/EJ_CE交C4于尸，

下列结论：①/。加=45。；②CE+3E=3C；③若48=3,AC=4,8C=5,则A/=g；其中正确结

论的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.如图，在AABC中，ZC=9O°,4。平分N84C,KC=10cm,BD=7cm,则点。到AB的距离

为____________•

12.如图，在RtZ\A5c中，ZB=90°,/84C=54。，。是BC上一点，连接A。，过点。作DK/AC

于点E,若DB=DE,则N4无的度数为.

13.如图，已知AABC的周长是18cm,-A6C和/AC3的角平分线交于点。，OD上BC干点、D,

若。力=3cm,则AABC的面积是

A

14.如图，在AABC中,NA8C,NACB的平分线相交于点。，连接A。并延长交8c于点。，过

点。作OH/BC于点H.若/班C=60。，0H=3,则0A的长为

15.如图，在AABC中,NC=9(HAC=6IC=&45=1(),N3ACZA4c的平分线交于点〃，DEYBC

于点2DFJ.AC于点、F,则"的长为

16.如图，在AABC中，8c=l5cm,BP,”分别是2A6C和的平分线，夕。〃AC交3C于

点D,PH±AB于点H.若尸〃=3cm,BH=6cm,则△PBQ的面积是cnr.

17.如图，ZBAC=30°,。为23AC角平分线上一点，DE//AB,若OE=12,DFLAB,则

18.如图，一次函数y=-1x+6的图象分别交y轴正半轴于点A,交x轴正半轴于点B.作/朋。

的平分线交X轴于点P,点。在y轴上，点。在射线A8上，若△PC。是以尸。为直角边的等腰直

角三角形，则点的坐标为.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）如图，已知CO为RlAABC斜边AB上的高，/明。的角平分线分别交CD,CB于点、

E,F,垂足为点G.

（1）求证：CE=FG・,

（2；若NH4C=60°,。石=3,求桁的长.

20.（8分）如图，ZE4F=90°,/EBC和/尸8的平分线交于点。，连接4）.

（1）求证：AO平分2（2）若40=12,求点。到8c的距离.

21.（10分）课本再现

我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.同时，角的内部到角的两边距离相等的点

在角的平分线上.

图1图2

⑴如图1,已知4GCG是AABC的角平分线，求证：点G到三边A41cAe的距离相等;

⑵如图2,分别是AABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ，AC,连接”.若N84C=6（尸,

求的度数.

22.（10分）如图，CA=CB,CD=CE,ZACB=NDCE=a,AD,BE交于点H,连C”.

（1；求证：A/XCD^ADCE；

⑵求（用含a的式子表示）

⑶求证："C平分ZAaE.

23.（10分）如图，在AABCn,ZC=90°.

图1图2

（1）在图1中作N4BC的平分线交AC于点。（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

⑵在(1)的条件下，若CD=4,AB+BC=20,求AABC的面积.

(3)如图2,CE平分NACB,P是线段CE上一点，延长期交线段4c于”点，FGLBF,求证:

FG=FH.

24.(12分)【课本重现】如图1,在三角形纸片A"。中，A3=8cm,8C=6cm,AC=5cm.沿过

点4的直线折叠这个三角形，使点。落在A8边上的点£处，折痕为B。.

(1)求△△£：/)的周长.

【知识应用】如图2,在RtZUBC中，ZC=90°,沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在

边上的点E处，折痕为8。，过点E作N3ED的平分线交8。于点尸连接4P.

(2)若。＞=3cm,八A+4C=l6cm,求AABC的面积;

(3)求证：4,平分NC48.

参考答案

一、选择题

1.A

解：•••4。平分-胡6\Z4ED=ZC=90°,

,CD=DEf

,?CD=3,

DE=3,

故选：A.

2.C

解：作/邛_L/V?于点产，

「B。平分NA4C交AC于点〃ZC=90°,即CO_L8C,

DF=CD=2,

•••点后为人8的中点，A8=8,

.二/\E=^AB=4,

/.SA£f,=l>4£DF=lx4x2=4；

故选C.

3.D

解：：ZA8£>=ZAC。=90。，DB=DC,

AO平分/ZMC,

，ZDAC=ZBAD=55°；

故选：D.

4.C

解：A、VAB=AC,

・•・ABC是等腰三角形，

当BD=C£＞时，A。是等腰“5C底边BC上的中线，

根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线三线合

*

/.A£)也是底边8c上的高，

即AQ_L3C,故A项不符合题意；

R、当AD平分NBAC时，八八是等腰AAC顶角NRAC的平分线，

根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线三线合

*

/.A。也是底边8c上的高，

即AO_LBC,故B项不符合题意；

C、VAB=AC,

根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，

「・=是必然成立的，

仅由N8=NC,不能直接得出4O_LBC,故C项符合题意；

D、VZAD/?+Z^ZX?=180°,

又rZADB=ZADCf

：.ZAO8=ZAOC=9()。，

即AO_LBC,故D项不符合题意，

故选：C.

5.D

解：VDE1OA,DFlOBtDE=DF,

：.。。平分NAQ4,

又；408=94。，

/BOD=g^AOB=47。,

故选：D.

6.A

解：连接BO,如图:

，：DE上AB千羔E,DFtBC于点、F,DE=DFf

，B。是一A3C的角平分线，

*；ZA=ZC=70°,

.\zABC=180o-zA-zC=180o-70。—70。=40。，

*/B。是/ABC的角平分线，

/.^ABD=-/ABC=1x40°=20°,

22

故选：A.

7.D

解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点

处.

故选：D.

8.C

解：由作图过程可得：PDLOB,

VPE1OA,PD=PE,

，OP是/AOB的角平分线，

"OQ=ZAOP=28。，

,4DPQ=ZODP+NQOB=118°.

故选：C.

9.C

解：:。是ZA8。和ZAC8角平分线的交点

.・・点O到A氏BC,CA的距离相等

三个小三角形AABO-BCOWAO的高相等

•；Ss8co=gxBCxh,SCA0=^CAxh

.•面积比SAROSBCO:SCAO等于底边比AB:BC:CA

..•三知SABO-SBCO:SCAO=6:7:8

，A8:8C:C4=6:7:8.

故选：C.

10.D

解：如图延长交8C于M,EHJ.RC千H.

：.ZABC+Z4C8=90。，

•・•三角形两内角的角平分线Q、CE交于点/,

:.Z1BC=-ZABC,Z.ICB=-NACB,

22

.•.N78C+N/6=；(Z4BC+Z4c8)=45。，

/.zD/C=Z/BC+ZfCB=45°,

IF1.EC,

/.Zf7C=9O°,

•；ZD/C=45°

.-.ZD/F=45°,故①正确，

C/=/C,ZC/F=ZC/M=90°,Z/CF=Z/GW,

:.；CIF学:CIM(ASA)

:.CF=CM,

ZEBI=^MB1,/EIB=4BIM=45。，BI=BI,

/.；BIE^8M7(ASA),

:.BE=BM,

：.BC=BM+CM=BE+CF,故②正确，

EH1CB,反:平分/AC8,Z4=90°

:.EA^EH,

c“，

S-ACEA-ACEHc-ACEAAr

vACE=2=2,ACS".=2=丝

S.BCELBCEH-BCEHBC$BCEL.^CBEBE

222

口口ACAE

BCBE

AE:BE=AC:BC=4:5,

BE=-^3=-,

93'

3，

.-.CF=CA/=5--=—,

33'

,l,102

AF=4=—.

33'

故③正确.

故选：D.

二、填空题

11.3cm

解：如图，过点Q作。石_/人"于点E,

•/8c=10cm,BD=7cm,

CD=BC-BD=l()-7=3cm,

;A£>平分NZMC,ZC=90°,DE上AB,

二.DE=CD=3cm,

即点。到48的距离为女m,

故答案为：女m.

A

E

B

D

12.63°

解：•.•/“=90。，DELACfDR=DEr

：.A。平分N8AC.

,?/8AC=54。，

/DAE=iNBAC=27。.

2

\・DELAC,

：.ZAED=90。.

丁・^ADE=90°-/DAE=90°-27°=63°.

故答案为：63。.

13.27

解：过点。作0E_LA8于点区过点。作O/「_LAC于点片连接3,如图所示:

•・•点。为/ABC与/ACB的平分线的交点，且。OJ.8C,

：.OE=OD=OF,

VOD=3cm,AABC的周长是18cm,

••SMBC=SgoC++S△40c

=-ABOE+-ACOF+-BCOD

222

=-(AB+AC+I3C)OD

2

=-x18x3

2

=27(cm,；

故答案为：27.

14.6

解：如图，过点。作0EJ_A8于点E.

,.・BO平分NA8C,OE±ABtOHIBCy

：,OE=OH=3.

又・・CO平分N4C8,

・••点。为三角形内心，

..AO平分/H4C,

:,ZOAE=-ZBAC=30°

2t

・•・在RtZXAOE中，OA=2OE=6.

故答案为：6.

15.2

•「BO平分N/WC,AO平分NZMC,DE上BC,DF1AC,

:・DE=DH,DF=DH,/DEC=NDFC=NC=90。,

:・DE=DF,ZEDF=90°,

/.DF//CE,DE//CF,

根据平行线间的距离处处相等的性质可得：DF=CE,DE=CF,

：.CE=DE=CF=DF,

*；BD平分NABC,

:.4DBH=/DBE,

•・"BHD=/BED,BD=BD,

：.BDH空BDE（AAS）,

/.BE=BH,

同理：必/叱工A/7£）（AAS）,

AF=AH,

,；CE+CF=BC+AC-（BE+AF）,

2CE=BC+AC-（BH+AH）=BC+AC-AB=6+S-\Of

：.CE=2.

故答案为：2.

16.15

解：如图，过点尸作PEJ_&?于点E.

.\Z1=Z2.

•/DPIIAC,

.\Z2=Z3,

：.DP=CD.

：PHLAB,8尸平分/ABC,PH=3cm,

PE=PH=3cm.

又BP=BP,

/.RtBPH^Rt8阻HL）,

BH=BE=6cm.

设DE=mm.

BC=15cm,

PD=CD=(15-6-x)cm=(9-x)cm.

在RUE。中，由勾股定理，得⑷+DE?=D产,

/.32+x2=(9-x)2,

解潺x=4,即DE=4cm,

BD=BE+DE=6+4=10(cm),

.「BPD的面积=gB/>PE=；xlOx3=15(cm2).

故答案为：15.

17.6

解：过点。作。〃_LAC的延长线于点〃，则NH=90。,

•:D为NBA。角平分线上一点，DHLAC,DFA.AB,

DH=DF,

VDE//AB,

:•/DEH=/BAC=3G,

'：DE=12,

：.DH=；DE=6,

：・D卜=6,

故答案为：6.

18.(4,3)或(12,-3)或(亍，万

,,33

解：把y=O代入一次函数)，=_3+6,得0=_不+6,

44

x=8,

；.8(8,0),

，OB=8,

3

把尤=。代入一次函数>'=-尸+6,得y=6,

4

JA(0,6),

/.OA=6,

•*-AB=y]o^+OB2=762+82=1()，

•・・AP是/8AO的平分线，

・SAOP=二6二3

J

**SAtil,~AB-10-5

.OP3

••----=-9

PB5

「•O尸=3,PB=5,

当/CPZ)=90°且点C在y轴的上半轴上时，如图，过点。作轴于E,贝|J/OEP=NPOC=90。,

.二/DPE+NPDE5F,

又；,4DPE+ZCPO=90°,

4PDE=/CP0,

•；PD=CP,

PED^COP(AAS),

.・.DE=PO=3,

把y=3代入一次函数)，=一了4+6,得3=-：x+6,

44

解得x=4,

・•・0(43)；

当NCPQ=90°且点。在>轴的负半轴上时，如图，过点。作OELY轴于石，贝iJ/DEP=NPOC=90。,

同理可证dPED^COP（AAS）,

：.DE=P0=3,

33

把产-3代入一次函数），=-,+6,得-3=-：x+6,

44

解得x=12,

0（12,-3）；

当NC£>P=90°时，如图，过点。作力E_Lx轴于E,轮于〃，则NDEP=NPFC=NDF0=90。,

：.^EDF=90°,

"QE+NPQ9=90。，

又4CDF+/PDF=90°,

「・4PDE=NCDF,

*；PD=CD,

：.PDE2CDF（MS）,

DE=DF,

、z7q

设D（a,a）,把。（a。）代入一次函数），=-不+6,得4=-71+6,

解得

•・陪丹

(9474

综上，点。的坐标为(4,3)或(12,-3)或［与，弓，

(7424、

故答案为：(4,3)或(12,-3)或［弓,与,.

三、解答题

19.

(1)证明：•.•斯平分/如。，ZACB=90°,FG1AB,

：.4CAF=NBAF,CF=FG,NFGA=Z4C8=90。，

ZAFC+ZC4F=ZAFG+ZBAF=90°,

/.ZAFC=ZAFG,

VCDA.AByFGJ.AB,

：.FG//CD,

：,4CEF="FG,

：./CEF=ZAFC,

：.CE=CF,

:.CE=FG；

(2)解：VZfi^C=60°,A/平分NBA。，

/.ZC4F=ZE4G=^x60o=30°,

*：CDLAB,

：.Z4DC=90°,

:・AE=2DE=6,

ZACE=180°-ZC4B-ZADC=30°,

，ZACE=ZCAF,

/.CE=AE=6,

根据解析(1)可得：CE=K,

：,FG=6.

20.

(1)解：证明：如图，过点。分别作AE,",BC的垂线，垂足分别为例，N,

,.BD平分NEBC,DMLAE,DPLBC,

：.DM=DP、

、：CD平分4FCB,DNiAF,DP1BC,

:.DN=DP,

DM=DN、

又；。MJLAE,DNA.AF,

：.4)平分ZEA厂.

(2)解：由(1)可知，4?平分NE4几

ZEAD=-ZEAF=45°,

2

.•.即。为等腰直角三角形，

：.MA=MD,

由勾股定理，得M42+MQ2=4)2,

:.MA=MD=6x[2,

DP=DM=6叵,

，点。到BC的距离为6夜.

21.(1)解：如图，过点G作G"_LAB,GMJ.8CGN_LAC,垂足分别为〃，MN,

*/8G.eG是VABC的角平分线,

:.GH=GM、GM=GN,

/.GH=GM=GN,

即点G到三边A及3cAe的距离相等；

(2)解：如图，过点〃作庄_L3AP/_L8。，垂足分别为点区F,

「BP,"分别是AABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ，AC,

•.PE=PF,PQ=PF,

\PE=PQ,

IAP平分/CAE,

;"AC=-/CAE,

2

ZZfi4C=60°,

\ZC4E=1800-ZBAC=120°,

\ZE4C=60°.

22.(1)证明：:ZACB=/DCE=a,

：.ZACB+