勾股定理（二十六压轴题题型训练）原卷版-2024人教版八年级数学下册

专题20.4勾股定理（高频易错题题型训练）

【原卷版】

导图指引

箱投十四求小鸟飞行距鹿（勾腹定理的应用）题型一用勾股定理解三角形

题型十五求大树折断前的度度（勾般定理的应用）1S型二勾股树（数）问夔

题型十六解决水杯中核子问题（勾般定理的应用）题型三以直角三角形三边为边长的图形面枳

瑟呼H:解决航海向R（勾设定理的应用）IE契四勾股定理与网格确

跟5汁八求河赏《勾股定理的应用）!fi®35勾股定理与折暂句题

迎生十九求台阶上地稔长度（勾统定理的应用）题生六利用勾8S定理求两条线段的平方和（差）

侬型二十判新汽主是否雕（勾凝定理的应月D题型七利用勾股定理证明城段平方关系

勾股定理

目堆二十一嘀是否受台风影病（沟般定理的应用）题型八勾股定理的证明方法

咫型二十一选址使到两地距离佛（沟般定理的应用）地型九以死图力背累的计H目

盟空二十三求*0路桂（勾驳定理的应用）12型十用药股定理构造蛆解决同题

国型二十四利用句股定理的逆定刑求解题型十一勾股定理与无理数

地型二十五勾股定理逆定理的实际应用题里十二求悌子滑落庖度（勾照理的应用）

也空二十六勾股定理逆定理的拓展问题题型十三求圈杆及度（勾股定理的应用）

胭型讲练

题型一用勾股定理解三角形

△ABCAB=6AC=BC=5

1.（25-26八年级下•全国•课后作业）如图，在中，已知，.建

△ABC△ABC

立适当的平面直角坐标系，把的各个顶点的坐标写出来，并求出的面积.

c

2.（24-25八年级下•河北廊坊•月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年

来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者.

（1）如图1,这是美国第2D任总统詹姆斯•加菲尔德的“总统证法”图形,

NA=^CED=9Q°

请推导勾股定理.

△ABCAC=10,BC=17,AB=21CHLABCH

⑵如图2,在中,},垂足为〃，求的长.

题型二勾股树（数）问题

3.（24-25八年级下-黑龙江齐齐哈尔・月考）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为

斜边，向外作一个直角三带形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方

形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”

了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是.

a,b,c/=M+b2c

4.（24-25八年级下•湖北孝感•期末）定义：为正整数，若，则称为“完

abcia2=52+122

美勾股数"，’为的“伴侣勾股数”.如一，则13是“完美勾股数”，5,12

是13的“伴侣勾股数”.

(1)判断填空：数""完美勾股数”(填“是”或“不是”)；

g-]一、ja，b,c。二+炉+c2-6a-8》-10c+50=0c金

(2)已知1V的l二边满足.求证：是“完美勾

股数”.

题型三以直角三角形三边为边长的图形面积

RSABC々=90。

5.如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为

“希波克拉底月牙”：当一，一时，则阴影部分的面积为.

AB

6.(23-24八年级下•河南洛阳•月考)如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三

角形，面积分别为'，,3：如图2,分别以直角三角形三边长为半径向外作半恻，面积

Si+S4=

则34()

D.48

题型四勾股定理与网格问题

4ABe

7.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.的顶点

在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示,

画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题:

图1图2

△ABCCD

(I)如图1,作的高线；

AD

⑵直接写出的值_____________;

ACBP+DP

⑶如图2,在(1)的条件下，在边上取一点只使的值最小.

4x5

8.如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画

图.

国1卤2

⑴在图1中画一条线段?使"I线段”的端点在格点上;

(2)在图2中画一个斜边长为用的等腰直角三角形"A"其中CE=9°：三角形的顶点

△DCE

在格点上，并求的面积.

题型五勾股定理与折叠问题

9.(2024•河南商丘•模拟预测)如图,在%中,4CB=90。,点P为BC上一个动

△A"AP△4DPCDBD„4C=58c=12

点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接，若

△PBDCP

当为直角三角形时，线段的长为.

CpD

ABCDAB8cmBC10cm

10.如图，小句用一张长方形纸片进行折纸,已知该纸片宽为,长为.当

DBCFAE

小红折叠时，定点落在边上的点处（折痕为）.

BF

（1）求的长;

（2）求的长.

题型六利用勾股定理求两条线段的平方和（差）

11.（24-25九年级下•北京・开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性

质时发现：

、…，△ABC口=/C

⑴如图，在则有

备用图

AD1BCBD=CD

证明：•・•，

AB=AC_

（依据：—①

（依据：—②_）

AB=ACAB-^BD=AC+CD

（2）某同学顺势提出一个问题：既然，即知.若把（1）中的条

BD=CDAB+BD=AC+CD

件fl替换为还能推出=吗？

基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出=并分别提供了

不同的证明方法.

小军小民

AD1BC

证明n：;，

DBDCEFL.ADBA4DC

证明：分别延长，至，两点，使得……・•・与均为直角三角形

根据勾股定理，得……

请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整.

12.（23-24八年级下•河南郑州-期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,

ABCDAC.BD0AD=3FC=8

现有如图所示的“垂美”四边形，对角线'交于点，若，，则

AB2+CD2=

题型七利用勾股定理证明线段平方关系

△ABC,BC=a,AC=b,AB—c,=90°a2+b2=c2

13.7在中，，若，如图1,则有；若

为锐角三角形时，小明猜想：砂+”“，理由如下：如图2,过点4作401cB于点〃,

CD=xRt^ADC,AD2=1^-^RtA4D5,

设.在中，，在t中,

AD2=c2-(a-%)2,a2+b2=c2+2ax

a>0,x>0,・♦・2ax>0..-.a2+b2>c?,・•.△ABC一苏+/>2

当为锐角二角形时c.所以小明

的猜想是正确的.

\ABC+/）2z*2

（1）请你猜想，如图3,当为钝角三角形时，与的大小关系.

（2）讦明你猜想的结论是否正确.

14.（24-25七年级上-山东烟台・期末）【问题提出】

RtZUBCAB=ACDBCBCAD

如图1,在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在

"。右侧做等腰直角连接

⑴"CD的度数为_____.

BCDCEC

（2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由；

【类比探究】

DBC

如图2,若点在动的延长线匕其他条件不变，

BDDCDE

（3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由.

题型八勾股定理的证明方法

15.我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代

由商高发现的，故又称之为“商高定理”：三国时代的赵爽对‘周髀算经P内的勾股定理作

出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对

勾股定理的研究和应用.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

16.（24-25八年级下•河北沧州•月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.人们

对勾股定理的证明趋之若鹫，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用

它可以证明勾股定理.向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角

△ABC△DEAa>0

形和如图2放置，其三边长分别为a,b,c,(),AB=DE=a,AC=AE=b,

u

NBAC=NDEA=90{x/BCLAD

BG=AD=Cy,显然

A

图4

ABDC5cs边物13D。=S3BC+SmD

（1）请用a,b,。分别表示曲四边形的面积，（提示：）梯

AEDC△EBDa2+b2=c2

形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理.

（2）如图3,网格中小正方形边长为1,

①点尸为已给网格中格点上的点，求"的最大值为.

②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得则边上的高

的长度为

…AABC,AD,BC^,.AB=4AC=5BC=6AD.,„

(3)如图4,在z中，是边上的高，，，，求t的长.

题型九以弦图为背景的计算题

17.（25-26八年级上•浙江杭州•月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如

图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设

直角三角形的两条直角边长分别为"丁⑺>n\若小正方形面积为3,且满足⑴十九尸=15

则大正方形面积为（）

A.8B.9C.10D.11

18.（24-25九年级下•匹川泸州•月考）如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”

运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三

角形全等‘朱人与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成

2GD1HaABCDb

图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知

题型十用勾股定理构造图形解决问题

19.看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占

4OB=90°OA=45cm05=15cm,„

鳌头.如图，，，，一机器人在点8处看见一个小球从

点力出发沿着力。方向匀速向点。滚动，机器人立即从点8出发，沿直线匀速前进截小球，

在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路

BC

程是多少？

R

O

C

2.6m1.6m

20.一辆装满货物的卡车，高，宽，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞(如

图所示).已知半圆的直径为之m,长方形的另一条边长为23m.

(1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由.

1.2m2.8m

(2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道.如果要使宽为、高为的卡车能

安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？

题型十一勾股定理与无理数

21.(24-25八年级下•云南红河•期末)勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想

解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带.

图1图2

（1）应用场景1:在数轴上画出表示无理数的点.

11OAAB=2

如图1,在数轴上找出表示3的点4过点力作直线，在/上取点8,使，以

原点。为圆心，例为半径作弧，则点。表示的数为.

（2）应用场景2：解决实际问题.

BE=ImCD=4m,CF=3ni

如图2,秋千静止时，，将它往前推至点。处时，水平距离，它

的绳索始终拉直，求绳索的长.

-2BC1AB

22.（24-25八年级下•甘肃甘南•月考）如图，数轴上点/1、£表示的数分别是和1,

垂足为反80=2,以点力为圆心，'C长为半径在右边作弧，交数轴于点D・

甲说：点〃表示的数为E；

乙说：点〃表示的数在1和2之间.

则下列判断正确的是（）

C.甲对乙错D.甲错乙对

题型十二求梯子滑落高度（勾股定理的应用）

AC25m

23.（25-26八年级下•全国•期末）一架方梯长，如图，斜靠在一面墙上，梯子底

C7m

端点离墙.

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

A44'=4m

（2）如果梯子的顶端由点小句下滑动至点，一，那么梯子的底端在水平方向滑动了

几米？

24.（24-25八年级下•内蒙古赤峰•月考）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”

的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（,刃，放置在教室的黑板上面（如图所示〕.在

AE=2.S（AB}AE

三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（米）靠在宣传牌处，底端落在地板处,

（AB）BECCE=Q.S

然后移动梯子使顶端落在宣传牌的处，而底端向外移到了0.5米到处（

米）.测量得BM=2米.求宣传牌（A'B'）的高度（结果用根号表示）.

CE

题型十三求旗杆高度（勾股定理的应用）

25.（25-26七年级上-山东淄博•期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式

学习实践探究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题.

课题AD

在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度

模型抽象

ED

①测得水平距离的长为15米

测绘数据②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线"'的长为17米

BE

③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米

说明ABED,一

点，，，在同一平面内

AD

（D求线段的长；

DAED

（2）若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多

少米线？

26.（24-25八年级下•湖北省直辖县级单位•月考）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）

是中国古代北方少数民族创造的一种运动.有一天，赵彬在公园里游玩，如图2,他发现秋

DE—0.5m1.8mBC—1.8m

干静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时,

秋千的踏板离地的垂直高度=0F=秋千的绳索始终拉得很直，

（1）求绳索'。的长度.

XCAB=30°

（2）如图3,秋千荡到"时踏板离地面的高度.

题型十四求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）

11845=18

27.（24-25八年级上•辽宁沈阳•期末）如图，有两棵树，一棵高米（米）,

2CD=212BD=12

另一棵高米（米），两树相距米（米）.

（图1）（图2）

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？

218ABMDABM

(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处

距离地面多少米？

4A

28.(23-24八年级下•新疆喀什•期中)如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高

45=8,A,,C,BC_4C=10,

度米，点t到地面点(，两点t处于同一水平面)的距离米.

DDABC

(2)若小鸟竖直下降到达点(点在线段上)，此时小鸟到地面点的距离与下降的距离

相同，求小鸟下降的距离.

题型十五求大树折断前的高度(勾股定理的应用)

3m

29.(24-25八年级下•辽宁大连•期末)如图，一根木杆在离地面的8处折断，木杆顶

4m

端。落在离木杆底端处，

(1)如图1,求木杆折断之前的高度；

3mAD

(2)如图2,若此木杆在〃处折断，木杆顶端。落在离木杆底端处，求的长.

8mCBA

30.如图，•根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的

,4m

距离为.

(1)求旗杆在距地面多高史折断；

(2)工人在修复的过程中，发现在折断点°的下方上25nl的点0处，有一明显裂痕，若下次大

风将旗杆从点尸处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？

题型十六解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)

4cm

31.(24-25八年级下•重庆•期中)如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽

为3cll\高为12cm在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，

露在外面的长度为'm,则此吸管的总长度为cm

32.（23-24八年级下•北京朝阳・期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一

丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.大意是：如图，

AB=1OCABCD=1

水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点。处，高出水面的部分尺.将芦苇

OC=0E

向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度

⑵中国占代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法.他

AB=2a

的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽芦苇高出水面的部分

CD-n（n<a）、则水池的深度OD（OD=b）,可以通过公式b=---n计算得到.请证明刘徽

解法的正确性.

题型十七解决航海问题（勾股定理的应用）

33.（23-24八年级下•四川泸州•期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航

60°

行，在力处测得灯塔尸在北偏东方向匕继续航行1小时到达8处，此时测得灯塔在北

30°

偏东方向上.

⑴求N'P"的度数;

（2）已知在灯塔〃的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？

5m

34.（23-24八年级下•全国•期末）如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子抖船靠

岸，开始时拉紧的绳子8’的长为“血，此人把绳子收紧如11后船移动到点〃的位置（即绳子

C0的长为9米），问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）

c

DB

题型十八求河宽（勾股定理的应用）

35.（24-25八年级下•内蒙古乌兰察布•期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形

a2+b2=c2

两条直角边长为a、b,斜边长为。，则

（1）图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式.利

用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答；

AB=AC

（2）如图2,在一条东西走向河流的-•侧有一村庄。，河边原有两个取水点其中，

由于某种原因，由。到/I的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水

CHCHLABCH=6HB=4

点少（4H、6在一条直线上），并新修一条路，且.测得千米，

CHCA

千米，求新路比原路少多少千米？

/、j.^AB^AC,CH1ABAC=8BC=10AB=12,AH=x

(3)在第(2)|可中若时，,，设，求

x的值.

36.（23-24八年级下•广东广州•期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，

但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点夕相距10米，结果轮船在水中实际航行

ACABAB

的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（）

〃〃,〃4〃£〃〃〃〃〃〃/

/////////A///////////////////

A.8米B.12米C.16米D.24米

题型十九求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）

5m13m

37.（24-25八年级上•陕西咸阳•期中）如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，

宽21n的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米”元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需

要元钱.

38.如图，在一个长AB为宽助为7勿的长方形草坪ABCD上,放着一根长方体的木块,

已知木块的较长边与力〃平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点力爬过木块到达

。处需要走的最短路程是米.

题型二十判断汽车是否超速（勾股定理的应用）

力

39.（24-25八年级上•河南郑州・月考）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的

AN=90NM

距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计

AM=150,

时，已知米.

知识窗

1m/s=3.6kni/h

车速超过

120km/h即为

超速

(1)若一辆汽车以108km"的速度匀速通过监捽区域,共用时几秒？

⑵若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由.

40.(24-25八年级上•宁夏银川•期中)如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某

ACB

一时刻刚好行驶到路对•面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处,

此时测得小汽车与车速检则仪间的距离为200米.

小汽车小汽车

检测仪

(1)求的长：

(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70

千米/小时，这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由(参考数据：lm//s=3.6km//h)

题型二十一判断是否受台风影响(沟股定理的应用)

41.台风是种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上T米的范围内形成极端气候，有极

ABABC

强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向由点网点移动，已知点为一海港，且

CABAB300km400kmAB=500kni

点与宜线上两点，的距离分别为和，又,以台风中心为圆

250km

心周围以内为受影响区域.

c

(1)海港。受台风影响吗？为什么？

20km

(2)若台风的速度为‘，台风影响该海港持续的时间有多长？

42.(24-25八年级下•广东东莞•期中)如图，公路MN和公路P丫Q在点月处交汇，且

«VPN=30°.点,力处有,一栋5居民楼，4P=160m.假设一拖L拉机―在公路,MN上沿方向

100m100m

行驶，周围以内(包括)会受到噪声的影响.

N

(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由.

(2)若受影响，已知拖拉机的速度为18km八，则居民楼受到影响的时间有多长？

题型二十一选址使到两地距离相等(沟股定理的应用)

43.（24-25八年级下•湖北省直辖县级单位•月考）如图，铁路上48两点相距17km,

.,,一、DA1AB..CB1AB^,DA=12kmCB=5kra,

〃两点为两村庄，于点4于点8,已知，，现在要

（1）£站应建在距力点多少千米处？

（2）求C0两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）.

44.（24-25八年级下•湖北武汉・月考）综合与实践

I)

图1备用图

AB40CD

（1）如图1,铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作

ADLABBC1AB，垂足分别/♦”=24千米,BC=16

两个点）,千米，则两个村

庄的距离为千米（宜接填空）;

ABPPC=PDAP

（2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离；

（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式+9+”16-力+81（O<x<16）

的最小值为.

题型二十三求最短路径（勾股定理的应用）

45.（24-25八年级上•山东枣庄•期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”

政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会.如图是运动会的颁奖台，3个长方

体颁奖台的氏均为80cm,宽均为60cm,1,2,3号台的高度分别是40cm,30cm,20cir.若

一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点月处，则蚂蚁爬行的最短距

离为cm.（结果保留根号）

80cm80cm80cm

46.（25-26八年级上«山东枣庄・月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出

人,20dm,3dm,2dm,B

如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级

台阶上两个相对的端点.

AB

【探究实践】老师让同学们探究：如图（1）,若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂

B

蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？

图（1）图⑵图⑶图（4）

（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为

20dm15dmABAB

,宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为,就是最短

路程.

【变式探究】（2）如图（3）,已知圆柱底面的周长为‘dm,圆柱高为4dm,在圆柱的侧面有

一只蚂蚊，从点'爬到点£再从点,爬回点'，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程

为.

9cm16cm

【拓展应用】（3）如图（1）,圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯

底4cm的点'处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口km,且与蜂蜜相对的点“处，

则蚂蚊从外壁B处到内壁'处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）

题型二十四利用勾股定理的逆定理求解

△ABCDABAC=20

47.（25-26八年级下•全国•课后作业）如图，已知在