导数与函数的单调性、极值、（讲义）-新高考数学二轮复习

解密15导数与函数的单调性、极值、

最低问题

。解密高考

核心考点读高考设问知考法命题解读

【2020新课标1理6】函数，（刈=14-2炉的图像在点（1,/⑴）处的

切线方程为（）

［2020新课标3理10］若直线/与曲线），=&和V+V=：都相切，

导数的几何

贝1"的方程为（）

意义

【2020新课标1文15］曲线），=lnx+.r+l的一条切线的斜率为2,

则该切线的方程为__________.

【2016新课标2理16】若直线丁二履+人是曲线y=lnx+2的切线，利用导数研究函

数的性质，能进行

也是曲线y=ln（x+l）的切线，则。=______.

简单的才算，以含

［2016新课标1文12］若函数/（x）=x-；sin2x+asinx在

指数函数、对数函

（）单调递增，则〃的取值范围是（）数、三次有理函数

利用导数研-00,48

为载体，研究函数

究函数的单【2020新课标2文21】已知函数〃x）=21nx+l.

的单调性、极值、

调性

（1）若/（X）42HC,求。的取值范围；

最值，并能解决简

（2）设〃>0时，讨论函数g（"=/⑶一/⑷的单调性.

x-a单的问题.

[2018新课标1理16]已知函数/(x)=2sinxIsin2x,则/(x)

利用导数研的最小值是________.

［新课标理］若是函数（）（⑪）广「的

无函数的极2017211x=—2/%=4+—1

值和最值极值点，则/（X）的极小值为（）

[2019新课标3文20]已知函数f(x)=2x3-ar2+2.

(1)讨论/(X)的单调性；(2)当Ova<3时，记/(X)在区间［0,

1］的最大值为M，最小值为加，求用一〃2的取值范围.

【2018北京卷】设函数fix)=［ax2—(4a-{-1)工+4〃+3］e<

(1)若曲线旷=人工)在点(1,川1))处的切线与x轴平行，求a；

(2)若7U)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.

专专对点解密

核心考点一导数的几何意义

1.导数的几何意义

函数/U)在X0处的导数是曲线/U)在点P(xo，./Uo))处的切线的斜率，曲线./U)在点p处的切线的斜率k=/(x。)，

相应的切线方程为y-/(vo)=/(ro)(r-ro).

易错提醒求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点尸的切线，前者点P为切点，后者点

户不一定为切点.

2.四个易误导数公式

(l)(sinx/=cosx；

(2)(cosx)/=-sinx；

(3)(o7-Mna(a>0,JBL屏1)；

(4)(lo&M'=^^(a>0，且@1,A>0).

幺3一【考法解密】

1.12020新课标1理6】函数/5)=/-2V的图像在点(1，/⑴)处的切线方程为()

A.y=-2x-\B.y=-2x+\C.y=2s-3D.y=2x+\

【解析】•.•/")=/—2F,AT(X)=4X3-6X2,.-./(!)=-1,/⑴=-2,因此所求切线的方程为

J+l=-2(x-l),即)，=-2x+l.故选B.

2.12018新课标1文6理5］设函数/(x)=d+(a-l)"+or.若f(6为奇函数,则曲线y=〃x)在点(0,0)

处的切线方程为()

A.y=-2xB.尸TC.y=2xD.y=x

【解析】解法一：因为函数/")=/+(〃-1»2+也为奇函数，所以/(—)=一/*),所以

(-.V)3+(a-l)(-x)2+a(-x)=-[x3+(a-V)x2+ax],所以=0,因为xwR,所以a=l,所

以/*)=V+x,所以r*)=3/+i,所以r(o)=i,所以曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线方程为

)'=x.故选D.

解法二：因为函数/(丫)=/+(〃-1)/+公.为奇函数.所以/(—D+/(I)=O.所以

—11—a+(l+a—l+a)=0,解得〃=1,所以/(外二丁+工，

所以广(幻=3/+1,所以:(0)=1,所以曲线)，=/(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.

解法三：易知/(x)=d+m—|*+ca=Mx2+m_])x+a],因为/(工)为奇函数，所以函数

g(x)=—+(〃一]»+〃为偶函数，所以。一1=(),解得。=1,所以/0)二丁+工，所以r(幻=3/+1,

所以/'(0)=1,所以曲线>=/(%)在点(0,0)处的切线方程为)'=乙故选D.

3.12020新课标1文15】曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

【解析】设切线的切点坐标为(%兄),广11+工+1»=」+1,".『)=一+1=2用=1,%=2,所以切点坐

x/

标为(1,2),所求的切线方程为>-2=2(工-1),即y=2x.故答案为y=2x.

J【变式解密】

1.12020新课标3理10]若直线/与曲线)，=&和/+)尸=:都相切，则/的方程为()

A.y=2x+\B.y=2x+；C.),=?+1D.y=；x+：

【解析】解法1：设直线/在曲线y=«上的切点为(小,6)，则~>0,

,1

函数y=«的导数为>'=卡，则直线/的斜率”末，

设宣线/的方程为-A=大方口一/)，即X_2Hy+/=0,

ec1X.1

由于直线/与圆厂+)广=工相切，则7r亍==木，

5V,+4AO，5

两边平方并整理得5片-4%-1=0,解得小=1或玉=-1(舍),

则直线/的方程为X-2y+l=o,即y=+故选D.

解法2：由原点到直线的距离为W，排除BC；把y=2x+l代入)，=4得2x—五+1=0,而△<(),排除

v5

A；把y=+入)，=«得“一«+1=0,方程有唯一一解x=l，故选D.

2.12020新课标3文15】设函数/。)=工.若/()=；,则〃=_________.

x+a4

〃，/、ex(x+a)-ex-(x+a—l)

【解析】由函数的解析式可得/("=三~~~L，

(X+4)(X+4)

八(1+4-1)aeaee

则f(1)=-―L=;~h，据此可得厂K=W，整理可得/一2〃+1=0,解得。=1.故答案1.

3.12016新课标2理16］若直线>=丘+〃是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线)，=ln(x+1)的切线，则

b=.

［解析】设y=依+b与y=Inx+2和y=In0+1)的切点分别为(内,In2+2)和(x2,ln(x2+1)).

则切线分别为y-lnX］-2=-!-(工一为)，^-ln(x2+1)=—!—(x-x2),

X1x2+1

化简得y=L•x+In内+1,y=-!—x+ln(x2+i)——，

依题意,解得从而/?=lnM+l=l—ln2.

核心考点二利用导数研究函数的单调性

L导数与函数单调性的关系.

初。)>0是人。为增函数的充分不必要条件，如函数以幻=,必在(-8,+oo)上单调递增，但人%巨0.

@f(x)>0是次X)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒行/(x)=0时，则"r)为常数函数.

2.利用导数研究函数单调性的方法.

①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式/。)>0或/(x)v0.

②若已知函数的单调性，则转化为不等式八.1丘0或/(幻口在单调区间上恒成立问题来求解.

【考法解密】

1.[2016新课标1文12]若函数/(工)=工一上吊2工+。5而工在(—0,+<»)单调递增，则。的取值范围是()

(A)[―1,11(B)—1,—(C)—，—(D)—1,—

L」3」33」L3_

2

【解析】问题转化为/'(x)=1——cos2x+acosx..0对x£R恒成立，

3

2/)\4)5

故1——(2cos^x-ll+flicosx.O,即acosx——cosx+一-。恒成立.

333

令cosx=f,得---!2+cit—..0对/w[—1,1]恒成立.

33

45

解法■:构造g(/)=——/+〃+—，开口向下的二次函数g(f)的最小值的可能值为端点值,

g(T)=；j…。

解得」黜-

故只需保证(故选C.

33

g⑴=§+々...0

解法二：①当t=0时，不等式恒成立；②当0</,,1时，〃…5(4/—，恒成立，由y=§4/-二)在0<r,,1

上单调递增，所以』(4-5)--,，故a…一!：③当一1”/<()时，a”1(4/一工]恒成立.由

3133'，333(t)

),二:(今一2)在一上单调递增，!f4r--l.l(-4+5)=1,所以凡

3\tJ3\//333

综上可得，—效女—.故选C.

33

2.12020新课标2文21】已知函数f(x)=21nx+l.

(1)若f(x)=2x+c,求。的取值范围;

(2)设。>0时，讨论函数g(x)=八')一”")的单调性.

x-a

【解析】(1)函数f(x)的定义域为Q+00),

/(.v)<2x+c=>/(x)-2x-c<0=>21nx+l-2x-c<0(*),

设h(x)=2\nx+]-2x-c(x>0),则有h\x)=--2=2(1-X),

X

当工>1时,力(x)<OJ?(x)单调递减，当Ovxvl时，/x)>0,力(X)单调递增,

所以当x=l时，函数力(M有最大值，即/心)2=力⑴=21nl+l—2xl-c=-l—c,

要想不等式(*)在(0，”)上恒成立,只需以幻aWO=-1-C«0=21；

/)、七、+।/、21nx+l-(2lnf/-l)2(lnx-ln^)、

(2)方法I：g(x)=-----------------=-----------(x>0且工工。)

x-ax-a

2(l--+ln-)

因此<“)=戈.r在(1)中，令c=-l得InxKx-l,当且仅当x=l时等号成立，即1个<4-

(x-a)2XX

故/(幻V0，所以函数g(x)在区间(0M)和Q+oo)上单调递减.

方法2：g(x)=------------------=--------^(x>0且XH。),

x-ax-a

因此g，⑶二2"xInx+ln，),令人(%)=1一且_1114+111。，贝1」力，(幻=幺：，力(x)在(0,〃)单调递增，在

'[x-a)2xx

(a,3)单调递减,于是M")<M。)=o，

由此可知g'(x)vO，所以函数g(x)在区间(0,a)和此,go)上单调递减.

+321nx+l-(21n^-I)2(lnx-lna)八口乂、

方法3：g(x)=------------------=----------(x>Ofix^d)

x-ax-a

„，/、2(x-a—xlnx+xlna)…/、〜,,、

m因此g(x)=-------;-----------，设〃?(x)=2(.r—a-#nx+xIna),

x(x-a)~

则有m'(x)=2(lna-Inx),

当x>a时，lnx>ln«,所以m(A)<0,m(x)单调递减，因此有>n(x)<m(a)=0,

即g'(x)〈O,所以g(x)单调递减;

当Ovx<a时，InxvIna,所以"：(x)>0,"?(外单调递增，因此有〃Kx)v见。)=。，

即g'(x)vO,所以g(x)单调递减,

所以函数以幻在区间(。,。)和3,g)上单调递减.

女二【变式预测】

L已知函数人口二5请+^^一射在定义域内是增函数，则实数川的取值范围是()

I]+oo)

C.[l,+oo)D.(—8,1]

2

[解析】f(x)=mx-^--2>0对一切x>()恒成立，，/启一(：)+：

AxAyA

2

令必尸一(9+3则当!=匕即*=1时，函数g(x)取最大值1，故论1做选C.

2.已知x=l是yU)=2x+§+lnx的一个极值点.

⑴求函数次幻的单调递减区间.

2I

(2)设函数g(x)=/&)——，若函数g(x)在区间［1,2］内单调递增，求。的取值范围.

人

【解析】(l)/(x)=2x~l~§+lnx,定义域(0,+oo).

U(x)=2*+L空斗士.

/,rx厂

因为x=l是府)=2x+?+lnx的一个极值点，所以/(1)=(),即2—8+1=0.

A

解得〃=3,经检验，适合题意，所以力=3.

si3,12x2+x—3

所以/(力=2-人人，令/Q)vO，得04Vl.

所以函数人幻的单调递减区间为(0,1).

(2)g(x)=_/U3)-I^ci=2x+lnL%>0),g'Q)=2+;1+M(x>0).

--V.儿.儿•儿

因为函数g(x)在［1,2］上单调递增,

所以g'(x)20在［1，2］上恒成立，即2+；+盟0在［I,2］上恒成立,

所以。之一x在［1，2］上恒成立,

所以«>(——x)mux»xF[|,2].

因为在［1,2］上，(一Zr2—X)max=-3,所以生一3.

所以。的取值范围是［-3,4-00).

核心考点三利用导数研究函数的极值和最值

利用导数研究函数的极值、最值

⑴若在X0附近左侧/(x)>0,右侧/(x)vo,则凡⑹为函数於)的极大值；若在X0附近左侧/(x)vo,右侧/QA0,

则肺)为函数段)的极小值.

(2)设函数)，=/U)在［小切上连续，在(小力内可导，则贝x)在［。，b］上必有最大值和最小值且在极值点或端点

处取得.

易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件.

幺二【考法解密】

1.12018新课标I理16】已知函数/(x)=2sinx+sin2x,贝!/(x)的最小值是

［解析】因为f(x)=2sinx+sin2x,

所以f\x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cos入一;)(cosx+1),

由/'OONO得,WcosxWl,即2肢■一工+

4^33

由，'(x)S()得一1Scosxsg，即2%4+三SxW2k九+冗

或？k兀一九&x<2k九一己，kwZ、

3

所以当x=2公r-乙(女£Z)时，/(x)取得最小值，

且f(x)min=fQk兀-9)=2sin(2攵4一g)+sin2(2攵乃一?)=一•

JJJJ

2.12018北京卷】设函数於)=［江一(4。+1)%+4〃+3技.

(1)若曲线)，=/&)在点(1,川))处的切线与X轴平行，求

(2)若人幻在x=2处取得极小值，求。的取值范围.

【解析】(1)因为火工)=［加一(44+1)x+4a+3］e)

所以/U)=［ax2-(2a+1)%+2修/(1)=(1-a)e.

由题设知/(1)=0,即(1—a)e=0,解得。=1.

此时人l)=3c视.所以a的值为1.

=［at2—(2a+l)x+2Jex=(t/x—l)(x—2)e\

若则当2)时，/(x)v0；当x£(2,+co)时，/(x)>0.

所以«r)在x=2处取得极小值.

若。弓，则当x£(0,2)时，x-2<0,ax-l<p—1<0,

所以/(x)>0.所以2不是人大)的极小值点.

综上可知，〃的取值范围是Q，+/)•

3.12019新课标3文20】已知函数/(x)=2V—a¥2+2.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当0v〃v3时，记/(工)在区间［0,1］的最大值为M,最小值为阳，求M—m的取值范围.

［解析］(1)f\x)=6x2-lax=2x(3x-a).

令f'(x)=O,得.v=0或x=

若心0,则当xw(-8,0)U(1,+R)时，/'(x)>0；当X£(O、T时，fM<0.

故f(x)在(一8,0)［］,+8)单调递增，在(°，］)单调递减：

若4=0,f(x)在(一8,+CQ)单调递增；

若qvO则当一喈U(0,+R)时，TOO；当xw停,0)时,f(x)<0.

故在—<o,+8)单调递增，在3。单调递减.

(3Jk3)

(2)当0<。<3时，由(1)知，/*)在(0,三

单调递减，在单调递增，所以/(x)住［0,1］的最

小值为/?=一1+2,最大值为/(0)=2或/(1)=4一。.于是

I5/乙/

4一4,0<c7<2,

m---+2,M='

272,2<6/<3.

2-6Z4--,0<«<2,

27

所以M—m=,

--,2K。<3.

127

当0<a<2时，可知2-。+a=单调递减，所以M—机的取值范围是|&,2.

27(27)

当2工。<3时，5y单调递增，所以〃一机的取值范围是［1,1).

Q

综上M—m的取值范围是［-上,2).

27

£以匚【变式解密】

I.12017新课标2理11】若工二-2是函数/0)=(/+公-1)/-「的极值点，则/(幻的极小值为()

A.-1B.-2/C.51D.1

【解析】•・•/(x)=(x24-^-1)^-'/.导函数/'3=［丁+(4+2)工+〃一1卜1,

,:广(一2)=0,工a=-l,・•・导函数/(工)=卜2+工_2卜1,令/'(x)=0,二x,=-2,x,=1,

当X变化时，/(力,当(力随变化情况如下表:

XS-2)-2T)1(L+oo)

小)+0-0+

/(•i)极大值极小值1h

从上表可知：极小值为/⑴=-1.故选A

2.已知函数fix)=evcosx~x.

⑴求曲线y=/&)在点(()，人0))处的切线方程；

⑵求函数人幻在区间［。，三|