2026年高考数学复习（全国）三角函数的图象与性质（解析版）

专题5.4三角函数的图象与性质（举一反三专项训练）

【全国通用】

I--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

目录

!第一部分题型专练，

\【题型1求三角函数的定义域、值域（最值）】....................................................1!

!【题型2三角函数的图象识别与交点问题】........................................................3:

!【题型3三角函数图象变换问题】................................................................6:

：【题型4由部分图象求函数的解析式】............................................................8:

!【题型5三角函数的单调性问题】...............................................................11：

!【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】........................................14:

!【题型7三角函数的零点问题】.................................................................16'

'【题型8三角函数与三角恒等变换的综合应用】...................................................18:

II

i第二部分分层突破i

iA组基础跟踪练，

B组培优提升练

题型专练

【题型1求三角函数的定义域、值域（最值）】

1.（2025・安徽・模拟预测）已知函数/■（x）=2cos@-2x）,则函数/（%）在卜巳图上的值域为（）

A.[-73,1]B.[-73,2]

C.[-1,2]D.[-2,2]

【答案】B

【解题思路】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域.

【解答过程】因为女卜嗫斗所以合2女卜争升则cosg-2x）H-今1],

所以/（x）=2cosc-2x）e[-75,2].

故选：B.

2.12025•山西•模拟预测）设函数/⑴=sin2x在区间6用的最小值和最大值分别为m和M,则M-根=（）

A.2B.；C.—D.—

222

【答案】B

【解题思路】由正弦函数的性质，即可得到结果.

【解答过程】若"G[?§],则2%G[*?],

由正弦函数的性质可知，

当〃=时，函数取得最小值，即m=—g

62

当〃=轲，函数取得最大值，即M=l,

所以M-TH=

故选：B.

3.（24-25高一上•全国•课后作业）函数f（%）=-cos（%+）%£[-/朗的值域为（）

A卜器〕B.卜先]C.[-1,^]D.[-i,l]

【答案】C

【解题思路】首先求无+m的范围，再根据余弦函数的性质求值域.

【解答过程】因为％<4号卜所以％+占卜，科则cos（%Y）w卜今1],

故/（%）的值域为卜1,?].

故选：C.

4.（2（）25・河南二模）若函数/（无）=$也3”3>0）在区间5,211）内没有最小值，则3的取值范围为（）

A.（啊U居B.（啊呜2]C.（啊U品D.㈣咔引

【答案】D

【解题思路】由题设y=sint在（3K23TT）上没有最小值，结合正弦函数图象的性质列不等式求参数范围.

【解答过程】由xG5,211）,则t=ex6（371,2311）且3>0,

所以y=sint在（3TT,23TI）上没有最小值，

若0<ton<2o）7i<虫，可得0V公W三，

24

若到+2kn<O）T（<2a）n<—+2kn且kGN，可得？+2k<o）<-+ktkEN,

2224

所以

24

综上,（。汕m

故选：D.

【题型2三角函数的图象识别与交点问题】

5.（2025•江苏扬州•三模）当为6[0,2司时，曲线y=sin2x与y=2sin（2x-》的交点个数为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

【解题思路】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.

【解答过程】作'=$皿2%图像，列表：

Tl31r5K7n

2x0TT21r3TT4TT

2TT~2

TTTT3n5TT3TT7n

X0TT2n

42TTTT

sin2x010-i010-10

作V=2sin（2x-9图像，列表:

ITnn3IT5n7n15n

2、0n2n3n

~42TTT4

TT37T5n7n9IT1In13n15TT

X02n

8~8T~8T888

71

2sin(2x——)-V2020-2020-Zn

在同一坐标系中画出图形，如下图所示,

y

2

则两个函数在［0,2可上有4个交点.

故选：B.

6.(2025・天津和平•三模)函数/(幻=一工+(屋+0-为皿”在区间［-3.2,3.2］的图象大致为()

【答案】A

【解题思路】根据函数的奇偶性以及函数值的正负即可排除求解.

【解答过程】由于/(—%)=x+(e-x+ex)sin(—x)=—［—x+(e，+e-x)sinx］=—/(%),

故/(%)为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除CD,

又sin3.2<0,•••f(3.2)=-3.2+(e3,2+e-3,2)sin3.2<0,故排除B,

故选:A.

7.(2025・贵州安顺•模拟预测)曲线y=2cos⑵+；)与直线y=无一1的交点个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解题思路】作出丫=28$(2%+9与丫=%—1的大致图象，由图象即可判断交点个数.

［解答过程］2cos12x(—曰)+2=—2>—与一1,2cos(2乂彳+§=2>与-1,

2ccs(2xy+^=2<y-l,

作出y=2cos(2x+9与V=%-1的大致图象，易知共有3个交点.

故选:A.

y=x-\

3兀Jy=2cos(2x+5)

O3兀\7^会汽

T~4

8.(2025•贵州黔东南•模拟预测)函数f(x)=箸+sinx的大致图象为()

【答案】D

【解题思路】根据函数的奇偶性，排除C,再由当％6(0,媒时,/。)>0排除A,B,即可求解.

【解答过程】由题意，函数f(x)=^+sinx的定义域为(-8,+8),关于原点对称,

且/(—%)=刊等且+sin(—x)=个卢—sinx=一/Q)所以函数/'(x)是奇函数，其图象关于原点中心对

称，排除C；

又由当％e（0,9时,fW＞。排除A,B;

故选：D.

【题型3三角函数图象变换问题】

9.（2025・广东广州•模拟预测）将函数f（x）=sin（4x+；）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

坐标不变），再将所得图象向左平移！个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（）

6

A.y=sin（2x4-B.y=cos2xC.y=sin（2x+y）D.y=-sin8x

【答案】C

【解题思路】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解.

【解答过程】函数/（无）=sin（4x+9的图象上所有点的横坐标仰长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到图象对应的函数解析式为y=sinGx4X+§=sin（2x+

再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为

6

y=sin[2(无+]+g]=sin(〃+等

故选：C.

10.（2025•河北石家庄•三模）将函数/（%）=如伽+媒+3的图象向右平移嗫个单位长度，得到函数g（x）

的图象，则函数g（x）图象的一个对称中心是（）

A.（-？3）B,（-别C.Q,3）D.&0）

【答案】A

【解题思路】根据乳香的平移变换可得函数g（x）的解析式，利用整体代换法即可求解函数g（x）图象的对称中

心.

【解答过程】由题知g（x）=/（“一刍=sin[2（%-自+弓+3=sin（2x+^）+3.

令2%+：=kir,kEZ,解得x=—喂+?,k£Z,•,•函数g（x）图象的对称中心（一点+:,3）,k€Z.

・••当k=0时，（一巳,3）为函数g（z）图象的一个对称中心.

故选：A.

II.（2025・湖南永州•模拟预测）2025年“九・三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐

振动表示为/•(幻=8$(2%+9.将函数/(工)的图象上所有点向右平移3个单位长度，可得到函数g(x)的图象，

则函数以外的解析式为()

A.g(x)=cos2xB.g(x)=cos(2%+以

C.g(x)=cos(2x-己)D.g(x)=­sin2x

【答案】C

【解题思路】根据函数的平移求解即可.

【解答过程】由题意,可得g(x)=cos[21一J+V=cos(2x-胃

故选：C.

12.(2025•甘肃庆阳•三模)已知函数/a)=singx+0)(|@|w9,将y=/(%)图象上所有的点向左平移;

个单位长度后得到的曲线关于了轴对称，则下列结论正确的是()

A.y=/(均在(0,1)上为增函数

B.

C.y=/(%)在(一1,2)上有两个零点

D.y=/(外在(一1,2)上有无数个零点

【答案】C

【解题思路】通过平移后的对称性确定◎=?，进而得到/(x)=sinGx+3,再结合选项逐个判断即可.

6\26/

【解答过程】fW=sin(打+0)向左平移:个单位长度可得：g(T)=sin("+：+4，

因为得到的曲线关于y轴对称，

所以3+0=2+471，(k£Z),又IWW：,

324

所以取k=0,可得w=；,B错，

所以f(%)=sin6”+§，

对于A：因为f(§=sin(；x：+g=sin]=1,

所以八%)的图象关于x对称，所以/(君在(0,1)上不单调，A错误；

对于C,由5%+7=左五得函数f(x)的零点为％=2kWZ,

263

令一IV2k-2<2,解得一二vkvZ,

336

所以k=O,l,即/(%)在(一1,2)上有两个零点，C正确；D错误，

故选：C.

【题型4由部分图象求函数的解析式】

13.(2025•山西・模拟预测)已知函数/(%)=3cos(3X+9)(3>0,0<(^<2n)的部分图象如图所示，4,B

分别是相邻的最高点与最低点，直线A8的方程为y=-2%+10,则f(幻=()

A.3cos偿+?B.3cos得+g)

C.-3cosyD.3cos得+g)

【答案】B

【解题思路】由题意可得48的坐标，即可得到函数周期，从而可得3,再将点力的坐标代入，即可得到0

【解答过程】因为力是最高点，所以力=3,将y=3代入直线方程>=一2%+10,可得无=%

所以40,3),

因为8是最低点，所以独=-3,将y=-3代入直线方程y=-2x+10,可得％=葭，

所以B(T，-3),

则7=2(£-9=2乂3=6,则/=m=g=%

所以/(%)=3cos%,

将4g3)代入/(x)=3COSQX+q)y可得3=3coscxg+3),

即cos(3汽+@)=1,所以高U+@=2kic,kEZ,解得s=—(IT+2kn,kEZ,

又0<@V2ir,当k=l时，(p=7ir,

6

所以/■(幻=3COS(y+g).

故选:B.

14.(2025•广西南宁•模拟预测)在物理学中简谐运动可以用函数/(%)=i4sin(o)x+(p)(A>0,3>0,\(p\<n)

来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.函数/'(%)的图象关于点(右0)成中心对称

B.函数/(%)的解析式可以为f(x)=2C0S(2x-y)

C.函数/'(%)在[0,g上的值域为[0,2]

D.若把/(%)图象上所有点向右平移卷个单位，则所得函数是y=2sin(2x+

【答案】B

【解题思路】利用图像求出函数/⑴的解析式，对于A代入解析式即可判断，对于B利用诱导公式即可判断,

对于C利用“6[0,诃，得卜，詈卜即可求得/(%)的值域，进而即可判断，对于D利用图象的变

换即可判断.

【解答过程】由图可知力=2产=92=磬=等一”个，所以T=7TM=2,

443231234

且2x：+3=；+2kMkWZ,所以g=-?+2kmk£Z,

326

又因为|中|<m所以只能k=0,9=-%所以/(%)=2sin(2x-

对于A,=2sin(U)=2sin?=1H0,故A错误；

对于B./(x)—2sin(2x--2cos—(2x—,)]—2cos(与—2x)—2cos(2x—.),故B正确；

对于C,0<x<Tr=>-^<2x-^<^=>-l<sin(2x-^)<l=>f(x)e[-2,2],故C错误；

对于D,若把/(%)图象上所有点右平移限个单位，则所得函数是y=2sin[2.(%-^)-=]=2sin(2x-汾

故D错误.

故选：B.

15.（2025・陕西咸阳•二模）已知函数/（0=45也（3%+0）（4>0,a）>0）的部分图象如图所示，则/•（等）=

()

D.-V3

【答案】D

【解题思路】根据图象，依次求出4,3w，得到函数的解析式，代值计算即可.

【解答过程】由图易知4=2,函数的最小正周期/满足：子=得一合拳得到

又3>0,所以q解得3=2,

0)

又函数图象经过点(等,2),则有2X誉+@=；+2kn,k€Z,解得9=-=

所以/(%)=2sin(2x-y),则f(2°：n)-2sin(2O25TT-y)=-V3.

故选：D.

16.（2025・四川自贡•三模）已知函数/■（切=加而（3：+0）（力>0,3>0,|初〈以的部分图象如图所示，下

A.函数y=/（x）的图象关于直线工=一！对称

D

B.函数y=f（x）的图象关于点（一工,0）对称

C.函数y=f（外在卜g,一总上单调递减

D.当工£[0.[时，f（x）E[l，2]

【答案】D

【解题思路】根据函数图象，求出函数/(%)的解析式，代入检验法可判断AB：根据正弦函数的单调性可判断

C,根据三角函数的值域可判断D.

【解答过程】由图知力=2,：==%

43124

所以7=含=冗，解得3=2,

/'(x)过点(巳2),所以2sin(2x[+/)=2,

即sin©+*)=1,又|?|<最所以8=；,

所以/(%)=2sin(2x+g),

对干A：/(-]=2sin(-；+f=0,

所以函数y=f(%)的图象关于点(4,0)对称，故A错误；

对于B：/(-瑞)=2sin(-m+§=-2,

1/\o-5/

所以函数y=f(%)的图象关于直线％=对称，故B错误；

对于C：B+2/CIT工2x+；工g+2kn,kGZ>

76+2kliW2x<—6+2/CTF,/CGZ,

所以S+knW%WW+kn,k€Z,

取A=—1,得—詈瑞，

函数y=f(外在卜g,—工]上单调递减，故C错误；

对于D：xW所以2%€[o,1,所以2x+g

所以sin(2x+6e卜,1,所以/'(x)E[1,2],故D正确.

•5L/

故选:D.

【题型5三角函数的单调性问题】

17.(2025•内蒙古包头•二模)已知f(x)=sin(cox+(co>0)在卜/上单调递增，则3的取值范围是()

A.(0.|]B.(0曰C."D.4]

【答案】B

【解题思路】先根据题意求出o〈公工”，再根据一工：求出

564

—^3+m工3X+mg再根据3的范围约束出—^3+m和^3+m范围，最后结合正弦函数图象即可

666466646

求出3的范围.

【解答过程】由题意可知一一(一9工工则0<3工”，

4\6/n>S

因一！工工工：，则一！3+gW3%+：4+；,

6466646

mil7n)n‘n'nnIT23n

则一五工一泮+1<丁"泮+"此

因/(x)在卜昌上单调递增，

结合正弦函数图象性质可得T解得0V339，

64623

故3的取值范围是(0,养

18.(2025•山东•三模)已知函数f(x)=siMx-cos?》,则()

A./(x)在(一黑)上单调递减B./(%)在(-：*)上单调递减

C.f(%)在(0弓)上单调递增D./'(%)在(力行)上单调递减

【答案】C

【解题思路】利用二倍角的余弦公式，结合余弦函数的单调性逐顷分析判断.

【解答过程】依题意，函数/(x)=—cos2x,

对于A,因为/(0)=-cosO=-1,/⑸=-cos合一1M/(0)</(^),

所以/(%)在(-；3)上不是单调递减函数，A错误：

26

对于B,因为/(0)=-cost)=-1,/(^)=-cos^>-l,则/(0)</(分，

所以〃%)在(-：*)上不是单调递减函数，B错误；

对于C,当％e（0,》时，2x6（0,y）,余弦函数y=cosx在（0,g）上单调递减，

因此/（x）在（0《）上单调递增，CE确；

•5

对于D,因为/（；）=-cosy=/（；）=-cosn=1,则/（；）</（；），

所以/（%）在（%工）上不是单调递减函数，D错误.

故选：C.

19.（2025・辽宁・模拟预测）已知函数/"a）=2cos（Mr+等）（3>0）在区间（g,g）内单调递增，则3的最

大值为（）

235

A.-B.2C.-D.-

553

【答案】A

【解题思路】根据余弦函数单调性”•算求解参数即可得出最大值.

【解答过程】由题/a）=-2cos（3x+9，

因为/（%）在区间内单调递增，

所以y=2cos（3x+§（3>0）在区间（g,g）内单调递减，

—o）+->2kir,

所以上/3，kwZ,

—w+-<2/nr+n,

33

解得3k—-<（i）<-/c+-»kWZ,

255

乂3>0,所以只有当k=0时，不等式有解，解集为{3|o<34|},

所以3的最大值为M

故选:A.

20.（2025•全国•模拟预测）将函数y=sin（2x+@）（0<@Vn）的图象向左平移？个单位长度，得到函数、=

/（X）的图象，直线％二:为y=/（x）的图象的一条对称轴，则函数/（幻的一个单调递增区间是（）

A•（-黑）,（_*）C.（喝D.（六）

【答案】D

【解题思路】先求出/•（/）,再利用对称轴求出9=§，令；+2小立42%4号+277m,小62求出/（幻的单调递

增区间，再赋值即可.

【解答过程】由题意可得,/(x)=sin[2(X4-=sin(2x+^+

因为/'(幻的图象关于直线3=:对称，

所以/(：)=sin(?+?+*)=cos(；+卬)=±1,

则三+3=kn,kGZ,即9=—g+krt,kGZ,

又0V0<IT,所以9=费，则fa)=sinb%+g+=-sin2x,

令？+2nrn<2x<—+2mn,meZ,则？+mir<x<—4-mnmeZ,

2244t

则/(%)的单调递增区间为K+mK,y+mn]eZ,

当加=0时，/(x)的一个单调递增区间是曲升故D选项正确；

当加=一1时，八%)的一个单调递增区间是卜日,一,，

由于-1和。之间无其他整数，故A,B,C选项错误.

故选：D.

【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】

21.(2025,湖南•模拟预测)已知函数/■(幻=新(5-£)(3>0)的最小正周期为7；且广TV拳函数

y=/。+9为奇函数，则7•&)=()

A.--B.-C.--1D.-

2222

【答案】B

【解题思路】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可.

【解答过程】由222OZ3

因为函数y=+9=sin(3x+£-9为奇函数，

所以有哼—三=kir=3=2+6k[k€Z),则3=2,

63

所以/(9=sin(2x；-媒=sin：=$

故选：B.

22.(2025•广东佛山•三模)将函数f(x)=4cosG%+的图象向右平移;个单位长度，得到函数g(x)的图

象，则下列结论正确的是()

A.g(x)是奇函数B.g(x)的图象关于直线％=巳对称

C.g(x)在国，2上的值域为[一2,4]D.g(x)在[。，胃上单调递增

【答案】C

【解题思路】首先根据平移规律求函数g(x)的解析式，根据奇函数的性质，判断A,利用代入法，判断BCD.

【解答过程】由题意知次幻=48$(2%-§,。(；0不是奇函数，故A错误.

9(J=4cos(-J=2V3工±4,g(x)不关于直线x=巳对称，故B错误.

由X€-也3，得2工一；€[-拳；，则4cos(2%€[-2,4],故C正确.

当NW[0图时,2%冶<冶，升而"cos》在[冶用上小单•胤

所以g(x)在[。弓]上不单调，故D错误.

故选：C.

23.(2025•浙江嘉兴•二模)已知函数/。)=$访(23：-》+匕(幻>0)的最小正周期为丁，且§VT<等

函数y=f[x++1为奇函数，则fg)=()

A.-B.--1C.—+1D.-

2222

【答案】B

【解题思路】根据给定条件，利用周期可得再利用奇函数的性质求出b,3,进而求出函数值.

【解答过程】依题意，f(x++1=sin[2a)x+'(o)—l)]+b+l,由丫=f(x+巳)+1为奇函数，

得七+1=0,且23-1)=/E,/C£N,解得b=-l,3=6Ar+l(Ar£N),

由g<T<得g<胃V解得:<w因此3=1,f[x)=sin(2x—^)—1,

所以/©)=，吗-1=y-1-

故选：B.

24.（2025•天津•模拟预测）已知函数/（无）=2sin（sr-J（3>0）和g（x）=3cos（2x+cp）+1（何<]）的

图象的对称轴完全相同，令h(x)=sin(o)%-0),则下列结论错误的是()

A.h(x)的一个周期为-211B.h(x)的图象关于直线％=汐寸称

C.九(％+TT)的一个零点为3=*D.h(x)在gn)单调递减

【答案】D

【解题思路】根据已知及正余弦函数的对称性得到3=2、0=或进而有八(%)=sin(2x-》，再由正弦型函

数的性质依次判断各项的正误，即可得答案.

【解答过程】令5WZ,则“靠+管,k£Z为人力的对称轴方程，

令2%+@=run,m6Z,则x=GZ为g(x)的对称轴方程，

由/(%)与g(x)的对称轴完全相同，则3=2,即对称轴为x=?+：=?-号,k,m€Z,

所以匆衿=；+,乜加€2且|如<%则>=或

所以九(%)=sin(2x-；)，其最小正周期T=TT,故一2TT也是一个周期，A对；

%⑨=sin管一》=1,故h(x)的图象关于直线％=瑞对称,B对;

h(x+n)=sin(2x+2n-》=sin(2x-》当x=:有sin(2x^-^)=0,

所以九(％+IT)的一个零点为无=gC对；

6

xeQ,n),则显然九(x)=sin(2x-》在给定区间内不单调，D错.

故选：D.

【题型7三角函数的零点问题】

25.(2025・浙江・三模)若函数/(》)=2cos(3%+租)(co>0»0<(/)<^)的最小正周期为m其图象的一

条对称轴的方程为％=$则函数”均在［-冗,记上的零点个数为：)

A.IB.2C.3D.4

【答案】D

【解题思路】根据余弦型函数的周期及对称轴的求法求出助"的值，再根据零点的定义及取值范围求出零点

的值从而确定零点的个数.

【解答过程】由题空=m得3=2,

0)

X2x-+=/cn,k€Z,得年=ku一空,keZ,

33

因为OV0V；,所以0=3

令/(%)=0得2%+乌=/or+m,kEZ,即％="+△,kez,

32212

当A=-2,—1,0,1时，X=一詈，一手iz'12EK,Trlf

得/(%)在[一上有4个零点.

故选:D.

26.(2025•青海西宁•模拟预测)设函数/(x)=sin(MV—J(3>0),若/(%)在(0e)上有且只有2个零点,

则3的取值范围是()

A-(同B.(2,3]C.(若)D.(以

【答案】D

【解题思路】由X的取值范围，求出3X-：的范围，再根据正弦函数的图象性质解不等式即得.

6

[解答过程】因/'(%)=sin(3%-J(3>0),

由%«呜)，可得-沃3-沙

因为/(外在(0弓)上有旦只有2个零点，

由正弦函数的图象可知，需使兀<]3—：工271,解得34日.

故选：D.

27.(2025•浙江杭州•模拟预测)已知函数/⑺=2sin(2x4-04-1,则函数/(%)在％G(0,a)上恰有1个零

点，则实数Q的取值范围为.

【答案】&刊

【解题思路】由题可得2%+：£弓,2。+9,利用整体法结合三角函数的图象与性质即可求解.

【解答过程】因xe(0,a),则2x+，e(：,2Q+,),

若函数/(x)在xG(0,a)上恰有1个零点，则?<2a4-=a£

666\26J

故答案为：(IB].

28.(2025•山西晋城,二模)已知函数/1(%)=2cosd)x-l(e>0)在区间[0,2n]上有且仅有4个零点，则a的

取值范围是.

【答案】愕，意)

【解题思路】利用整体代换可得3X6[0,2am],再利用数形结合将零点个数转化为函数图象交点个数，解不

等式可得结果.

【解答过程】令/(x)=2COSWX-1=0,得COS3X=

又xG[0,2n],则3无G[0,2ton].

令t=3%£[0,2o)n],因为函数/1(T)在区间[0,2ir]上有且仅有4个零点,

所以y=cost的图象与直线y=:在[0,23可上有且仅有4个交点，

如下图所示：

1’小兀5兀7兀1In13K

厂27入337

"fos—

由图可知?<2371<解得?<(O<

3366

即3的取值范围是

故答案为：上3

【题型8三角函数与三角恒等变换的综合应用】

29.(2025•天津•二模)已知函数/(%)=4sinxcosx-4百sin(x+习sin[一：)，xGR,则下列描述正确的

是()

A./(x)的最小正周期是三B./(%)在(一工,0)上单调递增

C.x是y=f(x)的一条对称轴D./Xx)的最大值是4百

【答案】B

【解题思路】运用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简/(%),逐一判断四个选项即可得到正确答案.

［解答过程】/(x)=4sinxcosx-4V3sin(x+sin(x—

L1

=2sin2x—4V3x-(sinx+cosx)(sinx-cosx)

=2sin2x—2V3(sin2x—cos2x)=2sin2x+2>/3cos2x=4sin\Zx+g

对于A,f（x）的最小正周期是半=1T,故A错误；

对于B,当X£（-工,0）时，2%+*（-芳），

故/（%）在（-工,0）上单调递增，故B正确：

对于C,f（g）=4sin（2xg+三）=0,故C错误；

对于D,/（乃的最大值是4,故D错误.

故选:B.

30.（2025・湖北黄冈•三模）已知锐角三角形A8C,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且Q=6,返cosB+jb=

C.则2的取值范围为（）

C

A.（，2）B.（a+8）C.（0,2）D.（点+8）

【答案】A

【解题思路】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cos4的值，结合角4的取值范围可得出角4的值；再

由A力8c为锐角三角形求出角C的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出绵勺取值范围，

C

【解答过程】因为Q=V5,V3cosF+^h=c,则acosB+gb=c,

由正弦定理得sinAcosB+-sinB=sinC=sin（/l+8）,

2

sinAcosB+：sin8=sinAcosB+cosAsinB,何7以，cos力sinB=；sinB,

因为4、Be（0,；）,则sinB>0,

所以,cosA=p即A='

（0VC<三

在锐角△4BC中，由2nr，可得mVC<3

|o<B=g-yl62

则e=陋=sin（c+p=、nc+1。SC=1+a,

csinCsinCsinC22tanC'

乂tanC>W，则0<———<A/3,

v3tanc

所以，如勺取值范围为G，2）,

故选:A.

31.(2025•四川攀枝花•模拟预测)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y=<sin3t,我

们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数/■(%)=|sinx|4-V3|cosx|,

则下列结论不正确的是()

A./(%)是偶函数B.f(x)的最小正周期为兀

C."%)在区间图上单调递增D.f(%)的最小值为1

【答案】C

【解题思路】根据偶函数的定义判断A,根据周期函数的定义可判断B,利用辅助角公式结合正弦函数的性

质可判断C,由C中函数的单调性结合函数的奇偶性、周期性可求/(外的最小值，从而可判断D的正误.

【解答过程】对于A,/(%)的定义域为R,它关于原点对称，

而依€R,f(x)=|sin(-x)|+V3|cos(-x)|=|sinx|+V3|cosx|=/(x),

所以/'(%)是偶函数，故A正确；

对于B,因为/(%+n)=|sin(x+n)|+，51cos(%+n)|=|sinx|+V3|cosx|=/(%),

故ir为/(x)的一个周期，设7为f。)的最小正周期，贝

则/(%+T)=|sin(x+T)|+V51cos(%+T)|=/(x)=|sinx|4-V3|cosx|,

令x=0,则|sinT|+，51cosT|=6，即sinT+x/5|cosT|=遮，

所以3cos=(V5—sin?)2,化简得4siMT—2V3sinT=0,

故sinT=0或sinT=

令x=T，则|cosT|+V5|sinT|=1,若sinT=苧，则|cos7|+V5x亭=1,

故|cosT|=-g,矛盾，故sinT=0,

而故T=m故/(x)的最小正周期为m故B正确；

对于C,当时，/(%)=s.nx+V3cosx=2sin(x4-

此时％+江容卦而”sint在［列为增函数，在於问为减函数，

所以/(%)在区间局上单调递增，在低用上单调递减，故C错误；

对于D,因为/(%)为偶函数且最小正周期为m

故/(外在„上的最小值即为/(%)在R上的最小值.

由C分析中的/'(切的单调性可得/⑺在［o身上的最小值为min{f(O)je)}，

而"0)=V3./Q)=1,故/(%)在［。身上的最小值为1,

所以/(%)的最小值为1,故D正确

故选：C.

32.(2025•天津北辰•三模)记max{a,b}为a,b中的较大值，则关于函数/(无)=max{sinx+V5cosx,sinx-

百cos%}有如下四个命题：

①/(幻的最小正周期为2n；

②/(外的图象关于直线％对称；

③外力的值域为“2？］;

④/(均在区间3上单调递增.

其中真命题的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解题思路】利用辅助角公式化简函数，画出函数/(幻的图象，利用图象判断各个命题.

【解答过程】设g(x)=sinx+VScosx=2sin(x+；),/i(x)=sinx-V3cosx=2sin(x-

(2sin(x2kir<x<—+2krc

2

则/(x)=max{ga),/iQ)}=n\，

(2sin(x+2kn<x<-+2kn

对干①，由图知，函数/(幻的最小正周期为2e①正确；

对于②，由图知，％=g为函数/(幻的对称轴，②正确；

对于③，/©)二—"(》=2,由图知，函数/(幻的值域为［—1,2］,③错误;

对于④，由图知，函数外幻在区间上单调递减，④错误.

oZ

所以真命题的个数为2个.

故选:B.

；Y突破

一、单选题

1.(2026・辽宁大连•一模)函数/"(%)=8$(2%-9-1图象的一个对称中心是()

A-(；-°)B.C.管,0)D.(^,-1)

【答案】D

【解题思路】根据余弦函数的对称性结合整体思想求出函数的对称中心，然后逐一验证即可.

【解答过程】已知/(X)=8S(2%-§-1,余弦函数y=cosx的对祢中心为C+kn,0),kWZ,

令2x—1=/+kit,/cGZ,解得x=?+工，

则函数f(x)=cos(2x—g)—1的对称中心为+骂,-1｝排除AC选项,

Z=0时，?+工=工，对应选项D,

对于B选项，当％=3时，f(£)=cos(2•£—2)-1=00—1,

故点6,一1)不在函数图象上，不是对称中心，B错误

6

故选：D.

2.(2026.陕西西安•三模)若函数/'(%)=31^+8$(2%+0)(0<0<71)是奇函数，则/6)=()

A.0B.--C.-D.-

222

【答案】D

【解题思路】根据奇函数得出©=；,再代入结合特殊角三角函数值求解.

【解答过程】因为/(x)=sinx+cos(2x+</?)(0V9Vn)是奇函数，

故/(0)=cos*=0,8检验符合，所以f(]=sin*+cos詈=土/.

故选:D.

3.（2026・新疆•模拟预测）若点g,0）是函数y=85（2%+8）（3>0）的图象的一个对称中心，则@的最小值

为（）

A.-B.-C.-D.-

6436

【答案】D

【解题思路】利用余弦型函数的对称性进行求解即可.

【解答过程】因为点（；,0）是函数丫=85（2%+@）（9>0）的图象的一个对称中心，

所以2x2+/=/nr+工（k6Z）=租=kn—?（kEZ）,

326

因为8>0,所以由中=Znr—E>0=k>£Z）,

66

所以当々=1时，W有最小值”

6

故选：D.

4.（2026.重庆九龙坡.一模）将函数/（%）=sina）x（a）>0）的图象平移得到g（x）=sin（ex+三）的图象，且直

线x为曲线y=g（x）在），轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（）

A.向左平移三个单位B.向右平移T个单位

C.向左平移］个单位D.向右平移］个单位

【答案】C

【解题思路】根据题意结合函数对称性可得-解得进而图象变换逐项分析判断即可.