2026年人教版中考数学一轮复习《几何图形综合探究题》学案（含答案）

类型一固定图形的证明与计算

例1如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交AD,AC,BC于点EQ.F,连接

CE和AF.

⑴求证:四边形AECF为菱形.

⑵若AB=8.BC=16,求菱形AECF的周长.

，思维阶梯

(“根据ASA证明△AEO经△CFO

TOE=OF|

T四边形AECF是平行四边形

T根据EFJAC判定四边形是凝

(2)|由线段垂直平分线的性质，得AF=CF

u设AF=x

甫在RSABF中，利用勾股定埋列方程求解

针对训练

1.已知正方形ABCD,在BC和CD边上各有一点E,F,且CE二CF,连接AF,EF,分别取AF,EF的中点

M,N,连接DM,CN,MN.

(1)如图I,连接AE.

①求证:AE=AF.

②求NDMN的度数.

(2)如图2,将^CEF绕点C旋转，当△CEF在正方形ABCD外部时，连接DN.试探究DN与MN的

数量关系,并说明理由.

类型二与动点问题有关的证明与计算

如图，菱形ABCD的边长为4,E,F分别是边BC,CD上的动点,NBAC=NEAF=60。,连接EF,

交AC于点G.

(1)求证:AE=AF.

(2)求^ECF周氏的最小值.

(3)若BE=1,求CG的长.

》思维阶梯

⑴|根据菱形的性质得△ABC是等边三角形

T利用ASA证明△ABE丝4ACF

W可证明结论

(2梅丽'△AEF是等边三角形

4将^ECF的周长转化为EF诙

T求EF的最小值即可

(3)|证明ACEGS^BAE

u根据对应边成比例可得CG的长

针对训练

2.如图，在正方形ABCD中,AB=3.M为CD边上的一动点(不与点D重合)，点D与点E关于AM所

在的宜线对称，连接AE,ME,延长CB到点F,使得BF=DM,连接EF.AF.

(1)依题意补全图形.

(2)若DM=1,求线段EF的长.

(3)当点M在CD边上运动时，若△AEF为等腰三角形，求DM的长.

类型三图形旋转、平移、折叠变换

Q3(2024♦福州三模)如图，在等腰4ABC中,AB=AC=5,BC=8,AD_LBC于点D,点E在线段AD

上，连接BE,CE,将线段CE绕点E逆时针旋转，点C的对应点F恰好落在BA的延长线上.

(1)如图1,当AD二AF时.

①求证:NABE二NBCE;

②求sinF的值；

(2)如图2,当AE=AF时，求AE的长.

，思维阶梯

(1XT俐用“三线合一”的性质结合勾股定理求得AD,BF=BCh柄用SSS证明

△BEF也△BECH可证EB=EC|T根据全等三角形的性质以及等腰三角形的性质求证即可

②祚EHLBF于点H|舸iiEABHE丝雨设DE=EH=X、则AE=3-x,AH=l

H利用勾股定理列式计算H求得丽根据止弦函数的定义即可丽

(2)|设AE=a,则DE=3-a|雨而△FAEs△画上推出EF?=ARB目丽甬勾股定理列式计算

U利用勾股定理求得CE2=DE2+CD?O根据CE=EF,列式计算即可求解

吩训练

3.如图1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8.点P在边BC上，旦不与点B.C重合.将△APB沿直线AP

折叠得到^APB，,点B，落在矩形ABCD的内部，延长PB咬直线AD于点F.

(1)求证:FA=FP.

(2)①当P是BC的中点时，求AF的长；

②如图2,直线AP与DC的延长线交于点E,连接BB，交AE于点H,G是AE的中点.当

/EAB=2/AEB，时,请判断AB与HG的数量关系,并说明理由.

参考答案

例1解析:(1)证明:・・・EF是AC的垂直平分线，

，AO=OC,ZAOE=NCOF=90°.

•・•四边形ABCD是矩形，

，AD〃BC,，ZEAO=ZFCO.

Z.EAO=乙FCO,

在^AEO和^CFO中，AO=CO,

ZAOE=“OF,

，△AEOgACFO(ASA),：・OE=OF.

乂・・・OA=OC,・••四边形AECF是平行四边形.

又「EF1AC,:.平行四边形AECF是菱形.

⑵设AF=x.

VEF是AC的垂直平分线,AB=8,BC=16,・・・AF;CF=x,BF=16-x.

在RtAABF中，由勾股定理，得AB2+BF2=AF2,

即82+(16-x)2=x2,解得x=10,AAF=10,

；・菱形AECF的周长为40.

针对训练1.解析:⑴①证明:「四边形ABCD是正方形，

JAB=AD=BC=DC,ZABE=ZADF=90°.

•・•CE=CF,•••BC-CE=DC-CF,.*.BE=DF.

(AB=AD,

在^ABE和^ADF中，4ABE=zADF,

(BE=DF,

AAABE^AADFCSAS),

AAE=AF.

②:ZADF=90°,M.N分别是AF,EF的中点，

・•・DM=AM=FM=：AF,MN〃AE.

2

，ZMDA=ZDAF,ZFMN=ZFAE.

VAABE^AADF,/.ZBAE=ZDAF,

AZMDA=ZBAE,

・••ZFMD=ZDAF+ZMDA=ZDAF+ZBAE,

，ZDMN=ZFMD+NFMN=NDAF+NBAE+NFAE=ZDAB=90°.

(2)DN=&MN.理由:如图，连接AC.AE.

k0..E

VM,N分别是AF,EF的中点,

.\AE=2MN.

CE=CF,ZECF=90°,,CN_LEF,CN=EN=FN=-EF,

2

/.ZCNE=90°,.\ZNCE=ZNEC=45°.

AD=CD,ZADC=90°,ZDCA=ZDAC=45°,

.CNCD.VoV2

，•二z=7「=sin415=—.

CECA2

ZDCN=ZACE=45°+ZDCE.

/.△DCN^AACE,

喋嘿冬磊岑・3"MN.

例2解析:(l)证明:・「NBAC=NEAF=60。,

/.ZBAE=ZCAF.

丁四边形ABCD是菱形，・・・AB;BC,AB〃CD,

AAABC是等边三角形,/ACD二NBAC=60。，

/.AB=AC,ZB=60°,AZB=ZACD,

/.△ABEg△ACF(ASA),AE=AF.

(2)VAABE^AACF,?.BE=CF.

•••菱形ABCD的边长为4,

/.AECF的周长=EC+CF+EF=EC+BE+EF=BC+EF=4+EF,

・••当EF最小时,△ECF的周长最小.

•・・AE=AF,/EAF=60o,，Z\AEF是等边三角形，

AAE=EF,

即当AE最小时,△ECF的周长最小，最小值为4+AE.

VE是BC边上的动点,・•・当AE1BC时,AE最小.

在RtAABE中,AB=4,NB=60°,，AE=2百，

:.AECF周长的最小值为4+2V3.

(3).・•四边形ABCD是菱形,NBAC=NEAF=60。,

AAB=BC,

/.△ABC是等边三角形,，ZABC=ZBCA=60°.

由。)知4AEF是等边三角形,JZAEF=60°,

/.ZBAE=180°-60°-ZBEA=ZCEG,

/.△CEG^ABAE,

•CE_CG,4-l_CG,™_3

・奇示・・「T，・・CGT

针对训练2.解析:(1)补全图形如图1所示.

⑵如图2,连接BM.

•・•点D与点E关于AM所在的直线对称,・・・AE=AD,/MAD=NMAE.

•・•四边形ABCD是正方形，

/.AD=AB.ZD=ZABF=90°.

DM=BF,・'・AADM^AABF(SAS),

.*.AF=AM,ZFAB=ZMAD,AZFAB=ZMAE,

.\ZFAE=ZMAB.

XVAB=AE=AD,

/.AFAE^AMAB(SAS),AEF=BM.

丁四边形ABCD是正方形,，BC=CD=AB=3.

DM=1,・•・CM=2,JBM=VBC2+CM2=V13,

，EF=g.

故线段EF的长为g.

⑶设DM=x(x>0),贝ijCM=3-x,

EF=BM=VCM2+BC2=Vx2-6x+18.

AE=AD=3,AF=AM=VDM2+AD2=Vx2+9,

••・AF>AE,・・・当八AEF为等腰三角形时，只能有两种情况AE二EF,或AF=EF,

①当AE=EF时，有Vx2-6x+18=3,解得x=3;

②当AF=EF时,X/N・6X+18=JX2+如解得=-.

x2

综上所述，当△AEF为等腰三角形时,DM=3或|.

例3解析:⑴①证明:TAB=AC,BC=8,AD_LBC于点D,

ABD=CD=-BC=4,

2

AAD=VAB2-BD2=3,

，AF=3.

ABF=8,

.\BF=BC.

TBE二BE,EF=EC,

•••△BEF妾△BEC(SSS),

AZABE=ZEBC.

V7\D±BC,BD-CD,

・・・AD是BC的垂直平分线，

/.EB=EC,

AZEBC=ZECB.

.\ZABE=ZBCE.

②如图，作EHJ_BF于点H,即NBHE=90。，

•一△BEF四△BEC

/.ZABE=ZDBE,ZF=ZECB.

*/ZBHE=ZBDE=90°,BE=BE,

AABHE^ABDE.

/.DE=EH,BH=BD=4.

设DE二EH=x,

/.AE=3-x,AH=AB-BH=l.

VAH2+EH2=AE2,

:.12+X2=(3-X)2,

解得x=*

4

••・DE、

ACE=VDE2+CD2=炉工空

sinF=sinZECD二瞿二母.

CE10

⑵设AE=a，则DE=3-a.

VAE=AF,

AF=a,ZF=ZAEF.

•・・AD垂直平分BC,

BE=CE,

由旋转得CE=EF,

/.BE=EF,

AZF=ZABE,

AZAEF=ZABE.

又・.・NF=NF,

••.△FAEs^FEB,

.AF_EF

••际一而，

.\EF2=AFBF.

VCE2=DE2+CD2,

:.CE2=(3-a)2+42,EF2=a(5+a).

VCE=EF,

a(5+a)=(3-a)2+42,

解得a噌，

AAE=—.

11

针对训练3.解析:⑴证明:由折叠性质可得NAPB