2026年高考数学第一次模拟考试满分突破卷01（全国二卷）（全解全析）

2026年高考数学第一次模拟考试：

一模满分突破卷01(全国二卷通用)

全解全析

(考试时间：120分钟，分值：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上而应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.己知集合力=卜上2工2｝*=｛01,2,3｝,则4口8中元素的个数是()

A.1B.2C.3D.4

1.【答案】B

［解析］由4=卜卜2W2｝=卜卜近WxW亚｝，得4n8=｛0,1｝.故选B.

2.若复数z满足(z-i)(l+2i)=5,则］二=()

A.15B.V2C.2D.5

2.【答案】C

【解析】因为(n—i)(l+2i)=5,所以z=-^+i=^^+i=l-ii=i+i^zS=(l—i)(l+i)=l—i2=2版

l+2i5

选C.

3.已知｛/｝是一个无穷数列,“。3＞。2”是“｛。“｝为递增数歹『'的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.【答案】B

【解析】取《=10吗=3必=4,显然｛6｝不是递增数列,所以飞＞。2”不是“依｝为递增数列”的充分条件,

若｛对｝为递增数列，则%>的，所以“%>的”是“｛%｝为递增数列”的必要条件，

所以“3>%”是“｛/｝为递增数列”的必要而不充分条件，故选B

4.1改编题）如图，已知4B、C、D、E、F、G分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线七尸异面的

是（）

A.AB、ACB.AC.AD

C.AD、AGD.AC.AG

4.［答案】D

［解析】如图取中点〃.和顶点M,N,P,Q连接EF，AB,AC,AD,AG,BE,/£G”,MV,尸。在正方体中有

"■%所以所以点4£瓦尸四点共面，所以直线即与直线/B共面；直线G〃u平面

BCG,直线4Cc平面BCG=C."GH，所以直线GH与直线AC是异面直线,乂因为E尸〃GH，所以直线

E厂与直线4c是异面直线；在正方体中有石尸典/乂“乂^/入所以后口〃。；直线力Gu平面力产G,直线

以。平面AFG=F,F£AG，所以直线AG与直线EF是异面直线，故选D.

5.已知双曲线0:八方=1与、轴的非负半轴相交于点M过必作，轴的垂线与渐近线交于点N（点N在

第一象限），且|MN|=6,则双曲线C的离心率为（）

A.GB.2C.2石D.4

5.【答案】B

【解析】双曲线=l中，令y=0、得A/（1,O）.过时的x轴垂线为x=l,双曲线第一象限的渐近线为

了=阮,将0=1代入得3（1,6）.由|“可|=百,得6=石.双曲线中°=11=/+62=1+3=4,即。=2,故离心

率6=£=2.故选B

a

6.已知某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布N（18,『）,质量指标大于或等于20的产品为优等品,

且优等品出现的概率为（）.1,现从该批产品中随机抽取6件川工表示这6件产品的质量指标不在区间

（16,20）内的产品件数，则D（X）=（）

A.0.36B,0.48C.0.96D.1.24

6.［答案】C

【解析】由正态分布的性质得1件产品的质量指标不在区间（16,20）的概率为0.2,所以X~8（6,0.2）.故

D（%）=6x0.2x0.8=0.96.故选C.

7.（新考法）己知直线小y=qx+〃（i=1,2）是函数y=广2与y=lnx的两条公切线，下列式子的值为l的是

c

（）

A.a1的B.%+%C.々也D.bx+b2

7.【答案】A

［解析】设函数y=的切点为（冷炉-2）,对函数y=尸2求导可得/=『2，则函数丁=的图象在点

■，炉“）切线的斜率为故切线方程为k。丁2=9-2（＞¥_再）抑丁=炉方+即2（1一须）,设函数＞,=1门

的切点为（5，111》2）、对函数尸心求导可得，=1,则函数歹=111》在点（；＜2，111.12）切线的斜率为,，

故切线方程为y-Inx?=’（%-上2）,即y='x+lnx2-l,由题意可得•e%,

々/卜）-1

所以X2=W©T（i_xJ=ln与一1=一（3—2）—l=f+l,即（1一再）（铲一2-1）=。、解得玉=1或$=2,

VV

当X1=1时=C，此时切线方程为y=L，当*=2时=1,此时切线方程为y=x-l,所以％=,,4=0,

ee

%=1，%=-1，4，出=一、％+出='+1力也=0，A+A=-1.故选A.

ee

8.（新定义）若每一项均为正数的数列｛〃“｝的前〃项和为S“，若对于任意的正整数〃，均存在正整数机使得

名含"0,则称｛%｝具有“。性质对于以下两个命题,说法正确的是（）

①存在等比数列｛叫，使得仇｝具有“P性质”；

②若｛4｝具有“P性质”，记A„=S”「凡旦｛△”｝为等差数列，则，<.

A.①和②都为真命题B.①和②都为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

8.【答案】A

【解析】对于①，因为数列｛/｝每一项均为正数，故鼠川，又对于任意的正整数〃，均存在正整数〃？使得

名含K°、故存在正整数加使得又<%<^+1，即4e，设4=2"，则邑="二=2加-2,其中

品一品川I-2

a-S2w-（2w+,-2）2"+2-2"』

「1……4。，故2mxV2”+2<2.，解得2n'-l<2-1<2"m—1，当，=1时，取

。”一4+12-（2-2）2.+2-2

加=1,满足要求，对任意的正整数〃22,均存在正整数〃?=〃-1,使得上式成立，?=2”具有"P性质”，故存在

等比数列｛/｝,使得｛©｝具有“P性质”；①正确：对于②，当〃=1吐Sm4q<S…故〃，只能等于1,即

A=$2-4=g,当〃=2吐S”,<?<鼠+],故〃?只能等于1,即q=52-。2=6，｛与｝为等差数列,故

公差为4一。2,所以△“=。2+（〃T）（%-%）,假设q<a2，则当“->+8吐△“<0,这与△”二s〃川一q>0矛盾,

故q=%，所以=。2=4为常数歹|J,易知。3<§3,若66设2,53）,则A=§3-%=%+。2>4,舍去，若

内£[耳,52）,则八3=52-。3=%+%-。3,令%=q+%-%=4可得。3=%，同理易知4<54,若。46[53,54）,

则A4=S「44=%+%+%>4,舍去，所以4<53,44=53-%=3《一外,令3%-4=4,可得％=26，或

4=S2-/=2%-%,令2%一%=4,可得知=。1,同理%vS-A,=§4-牝=%可得%=3%或4q,或

A=S3f可得%=2al，或A5=52-%=%可得牝=%,依次类推可得，当n>3时，每一个可的最大值为

n32

2"-),当〃23时,S”=%+%+2%+2q+…+2-a}=2%+=(2"-+1)%42"%,②正确.故选A.

12

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分.部分选对的得部分分.有选错的得0分.

9.已知向量£=(X,3)［=(5,2),则下列结论正确的是()

A.若a)〃丸则x=-£B.若£13,则x

C.若同=5,则X=4D.若x=3,则"7=21

9【答案】BD

【解析】对于A,若£〃反则2x75=0,得X4,故A不正确.对FB,若Z1E,则5x+6=0,得x故B正

确.对于C,若F卜5，则G+9=5,得X=±4,故C不正确.对于D,若x=3,则［'3x5+3x2=21,故D正确.

故选BD.

10.已知/(%)的定义域为(f,0)U(0,”),且/3)=/卜)+/。)-1,则下列说法正确的是()

A./(1)=1B.»=丛2是奇函数

X

C./(X+1)=/(A-1)+2D.若x>l时则/(X)在(0,+8)上单调递减

10.【答案】AB

［解析】对于A,取x=y=\，得/⑴=/(1)+/(I)-1,则/(I)=1,A正确;对于B,取％=歹=-1,得

/⑴=/(-1)+/(-1)-1,则"7)=1,取尸-1,得/(-x)=/(x)+/(-l)-l=/(x),则=又

-XX

I€(-8,0)。(0,+8),所以函数)，二△2是奇函数,B正确；对于C,令x=0时，

f(x+l)-/(x-1)=/(I)-/(-1)=012,c错误;对于DNx,.€(0,+oo),%<x］，则二>1,由当x>1时,

再

/01,得心］>1,因此/(超)={三］=小)+/隹1-1>/区),/(幻在(0，+8)上单调递增。错误.

lxJIx"(xj

故选AB.

11.已知△/出。内角4、B、C对应的边分别为。、b、C,下列说法正确的是()

A.若WBC是锐角三角形且b+c=2acos凡则A=2B

B.若MBC是锐角三角形且…=2acos8,则力的取值范围是

C.若tan力+tan5+tanC＞0，则LABC是锐角三角形

D.若acosA+acosC=b+c,则△/14C是直角三角形

11.【答案】ACD

【解析】对于A,若△Z8C是锐角三角形且b+c=2acos8,由正弦定理，得sin8+sinC=2sin4cos8.因为

sinC=sin(n-C)=sin(J4-5)=sinJcosB+cosAsin8、所以sin8=sinAcosB-cosAsin8=sin(4—8).

因为48均为锐角,所以向（4-8）＞0,且-5＜4-2＜小所以彳—8为锐角.所以/1-8=8,即力=2反故人

正确.对于B,若△/8C是锐角三角形且c-a=2acos8，由正弦定理得sinC-sin/=2sin/cos8.结合选项A,可

知一$m力=5皿（力一8）.因为48均为锐角,所以$出力＞0,5吊（4-4）＜0,且一1＜力一8＜],所以4_8=_力,

—<B+A<71

2

即修人因为。＜“苦，所以小节则，的取值范闱是信"故B错误,

对于C,对于C,显然

0<J<—

2

△48C不是直角三角形，则在△为8c中,/+8+。=兀,所以

tan4+tan8

tanC=tan[兀一(彳+4)]=-lan(/l+B)=-，化为tanA+(an5=tanC(tanJtan^-l),

1-tan/ItanB

即tan力+tan8+tanC=tanAtan5tanC,XtanA+tan8+tanC>0,所以tanJtantanC>0,

任ZUBC中，最多只有一个角为钝角，所以1@!!/1＞09118＞0*|]。＞0.即三个角都为锐角，

所以MBC为锐角三角形，故C正确；对于D,若acosB+acosC=H则由余弦定理得，

aa+C+a0+b~C=b+c.化简得,0一，一"+"=6+c,所以（/一/一/）（力十°）=。因

2ac2ab2c2b

为He。。,所以°2-分2-‘2=0，即从+。2=。2.所以△ABC是4直角的直角三角形.故D正确.故选ACD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题,每小题5分洪15分.

12.某电商平台统计了10款同类型耳机的月销量（单位：件），按从小到大排序后为

180,200,230,250,280,300,320,350,380,400,则这组数据的第70百分位数是.

12.【答案】335

【解析】因为10x70%=7,所以这组数据的第70百分位数是Q上20+罗350=335.

13.已知抛物线C:/=6），的焦点为凡M为C上一点，过用作两条直线分别与C交于4〃两点，若直线力8的

斜率为-2，直线MA,MB的斜率和为1,则阿〃|的值为.

13.【答案】15

【解析】由抛物线。：Y—6y,则焦点由题意可设/（工,乂）芳（七,），"（知此）,由直线/16的斜

\乙）

12」2

率为一2、则M—了—一；"2_1（为一/）（占+/）-1工）-2、解得乂+%=T2・

xi-x2x1-x26*-x261

由直线MA与直线MB的斜率之和为1，则

1212121,

u__~7X\~~7xo7X2--XO（「）（）

ZIvvv=1xXoM+Xo[

,'Jo十,,Z"2zo_一6"6,',十6,6

*一玉，々一凝占一.%X2-Xo6西一见

=3（内+/+占+.%）=[（2/_12）=1,解得/=9,所以凡=3；=孑,可得由丹=«9_0）2+（£4）=15.

14.已知直四棱柱力8。。—44GR中高力4为1,底面力〃。。是一个矩形，且BC=243=2,点E是底边力。中

点，动点”在以4为球心1为半径的球与（包括边界）的交线上，动点N在直线48上，则MM的最

小值为.

14.【答案】逅

3

【解析】以4为球心1为半径的球与△4CE（包括边界）的交线上事实上就是△4以内以4为圆心,i为

半径的一截圆弧，如图所示:

由于4"距离为定值1,则当N点固定时，由余弦定理可知,可的距离只取决于NMMNM”越小,出距

离越小.过B作面△4CE的垂线，垂足为G,则K.BCE=/f8,因为ABCE中，则S"C£=；x2xl=1；在

△4CE中，4E=CE=64c=J（可=技所以邑"E=gx-X.可_隹=季由

klx力4=Jx立x4G=4G=2^.作出/，4。,垂足为〃，则8〃=半=拽所以G点与H点重合,

3323V63

此时连接4,交圆弧为、此时/伍。为线面角，取到最小，

此时sin/…=睾=逅,过.作空垂缘垂足为《则24”叱…5冬半取到最小值.

V23

四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知函数/（x）=sin®x+⑴（…附用的最小正周期为兀，且/（?=；.

⑴求/'W的解析式；

（2）求函数〃工）在区间［0喘STT上的值域.

15.（13分）

【解析】（1）因为函数/（x）的最小正周期为兀.且@>0、

则史=兀,解得0=2,可得/（x）=sin（2x+e）,（3分）

CD

又因为/（々）=sin（兀+0）=_sinw=；,|l[Jsine=_g

且一;<8<弓,可得8=一丁，（6分）

226

所以/（x）=sin（2xj）.（7分）

/\「s-

（2）因为/（x）=sin2x--，且xe0,—,

I6JL12」

则，（9分）

6L63

可得sin12x~—e——,1，即/（X）€-1,1,

k6J[.2

57r1

所以函数/（X）在区间0,—上的值域为-亍1.（13分）

1N乙

16.（15分）

如图，在多面体/18CQE中，四边形48£Q为正方形,平面力_L平面/4C.P为CO的中点,8C=应48,

AP1CD.

D

(1)证明：平面48L平血COE；

(2)求平面CDE和平面BCE夹角的大小.

16.(15分)

【解析】(1)因为四边形力3的是正方形，故力0//氏又平面44EZ>_L平面月BC,

且平面ABEDfl平面48c=44,

所以力O_L平面/〃C,4Cu平面力BC,故力。_L4C,(3分)

又P为。。的中点,/1P_LC。,所以力。=力。=/&

由勾股定理可得AB2+AC2=2AB2=BC)所以力8_Z4。，

改ACnAD=4AC,ADu平面ZCZ),故AB1平面ACD,

力尸u平面力CD,贝Ij/4_L力。，(6分)

又4B//DE,故”工DE、

又/尸_1.。。，。。^)£=。,。。,。£匚平面。£\

收力尸工平面CQE,

NPu平面/C。,故平面/1C£>_L平面COE；(8分)

(2)以射线相,4C,4。分别为非负xj,z轴建立空间直角坐标系，设为8=1,

则尸（0,g,；）,8（l,0,0）,C（0,l,0）,E（l,0,l）,（10分）

由(1)知方=是平面CQE的个法向量,

BE=(0,0,1)屁=(-1,1,0)，设平面8CE的法向量为万=(x,yfz),

n-BE=z=0,、

则_一，令x=l,则方=。』,0）,（12分）

n-BC=-x+y=0

设平面CDE和平面BCE夹角为6,

17.(15分)

某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的

产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果(“合格”或“优良”)如下表：

检测结果

生产线合计

合格优良

甲生产线20180200

乙生产线60240300

合计80420500

⑴根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？

(2)用样本估计总体,频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽

取1件产品.

(i)求抽出的产品是优良品的概率；

(ii)已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率.

2

2-be)

(a+b)(c+d)(a+c)(Z)+d)

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

17.(15分)

【解析】（1）提出零假设4：产品检测结果与生产线没有关联,

500x(20x240-60xl80)2125

由二«8.93>6.635,(3分)

80x420x200x300

根据小概率值a=0.01的Z2独汇性检验，推断不成'工,

即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于0.01.（5分）

（2）设事件力=”被选出的是甲牛产线“，事件2=”取出的产品是优良品”，（6分）

（i）依题意,P（4）=P（1）=；,

v17200101300155

由全概率公式得:尸（8）=尸⑷尸（即）+叩）尸仅用=；、/4w=圣（U分）

/r1V41J

（ii）取出的产品是优良品，则它是从甲生产线取出的概率为：

19

小⑶二迪二业处35分）

11）P⑻尸网27⑴力’

60

18.（17分）

已知椭圆C：+p-=l（6f>Z）>0）的离心率为当,力［,一■）是C上的点.

⑴求椭圆。的方程；

（2）过7（1,0）作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆。在x轴上方部分于D,E两点.

（i）求面积的最大值：

（ii）过7/延长线上的点P作椭圆C的两条切线44,若7。与4交于点七与右交于点N,求证：直线

MN过定点.

18.（17分）

【解析】（1）已知椭圆。:5+/=1（〃>6>0）的离心率为1,*■是C上的点.

£=巫

a2-b2=c2

解得a=2,6=l,c=,

所以椭圆。的方程为工+9=1：（4分）

4.

（2）（i）显然当QE与〉轴垂直时,TQ,7E的倾斜角不互补，（5分）

设DE的方程为：x=my+n（m*0），设。（再，凹），后（与,建）,

x=my+n

联MX2,，消X得：(〃/+4)jj+2加町，+〃2-4=0,

—+V=1

4,

2mnn2-4

所以必+%=,（7分）

则砧+矶必।必21+_h.0

x1-1x2-1〃步+〃-1my2+/?-1

所以2〃少防+（〃-1）（凶+必）二0,

代入得：-4)-2"”?(〃-1)=2mn-Sm=0,

所以〃=4,即直线DE过定点（4,0）.（9分）

8/7212

所以乂+为=—，必必=

m2+4nr+4

所以|。国==金币•*32

3

又T到QE的距离为d=7—，

yjm"十1

1..6y/m2-\2_63

所以》一51"”「“一小+4二京16一一屋当加=28时取等号.

-12

即面积的最大值为右川分）

（ii）设P（1，P）,设过点尸的椭圆C的两条切线为4：y=A/a-l）+p〉=l,2,

y=4(i)+p

联立//,

萨+L

222222

得(a%；4-/)Jx+2akl(p-ki)x+akf-2a&p+cFp°-a'b=0,

2

由相切得A=0,化简得3k；+2pki+\-p=0,

2i_2

所以K+%2=—§p,A/2=，^n-，(14分)

y=kx+]i)—t—k、

设MN:y=h+八联立《，解得=1J,

U=K(x—l)+pk-k,

y=kx+tp-t-k

联立《，解得/=2

y=k2(x-l)+p

,,yykx..+1kx+t八

则K+G=*彳u+一v^=+v=0，化简得：4左+f=0,

x”一14一14-1xA,-1

所以直线MN过定点(4,0).(17分)

19.(17分)

已知。＞0,函数/(力=”啊.

A

⑴求y=/(x)的单调区间；

(2)已知y=/(x)与g(x)=有相同的最大值,

a