2026年中考数学一轮复习重难点（山东专用）二次函数（复习讲义2考点6题型2重难）解析版

第一章数与式

二次根式

目录

01•考情剖析•命题前瞻...........................................2

02•知识导航•网络构建...........................................3

03•考点解析•知识通关...........................................3

04•命题洞悉•题型预测..........................................10

05•重难突破•思维进阶难........................................20

题型01二次根式的非负性

命题点一二次根式的性质题型02利用二次根式的性质化简

题型03二次根式规律性问题

____、题型01同类为二次根式

命题点二二次根式的运算题型02二次根式化简求值

题型03比较二次根式大小

突破一复合二次根式的化简

突破二分母有理化

06•优题精选•练能提分..........................................24

基础巩固一能力提升T全国新趋势

第1页共38页

-01-

考情剖析•命题前瞻

考点2025年2024年2023年课标要求

二次根式了解二次根式、最简二次根式的概念

的相关概山东德州TU山东烟台T11山东济宁T4

念

二次根式掌握二次根式的性质，再根据二次根式的

山东济宁T3性质化简

的性质与山东威海T11山东潍坊T1

化简

山东青岛T7了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、

山东济宁T3山东淄博T16乘、除运算法则，会用它们进行简单的四

山东德州山东淄博山东潍坊则运算

二次根式T16T11T11

山东济南T16山东青岛T10山东济南T17

的运算

山东青岛T17山东泰安H9山东聊城T13

山东威海T11山东临沂T8

山东烟台T2

二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选

命题预测择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三

角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不人，但是也多属于中考必考题。

第2页共38页

-02-

知识导航•网络构建飞

二欠旭式的低含「T81B.树肥形m7向H丽时加扇三次争

飞、五.7"称为二次根号.二次根号下的数叫做低开方岐.

\..二»意或：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含幅例尽方的一

二次根式的相关概念/\因故蜩式的EB贰,叫傩■简二次根式._________________________

同类ESAttBS：二次楔式化成量簿二次喂式后，若被开方数相

（问.刚这几个二次恨必是同类二次极t________________________

技开方数是非负数.IDa>0

双・善负性

二^模式的值是非负散BPVa^O

①（何/（fl^0）

•二次根式的性质与化尚

（二次根式）一a(a>0)基型01二次根式碎E负性

________②V?«|a|«0(a«0)醒02利用二次程式的性质

MBtt质卜。8VO)

SE型03二次模式规律性问霎

即仟。re(的年方的算术，方根等r它本号的华对倒

•、*>・—•脩(a^0.ba0)

④2=*(aao.b>0)

v»**

票法法则：两个二次根式相乘.把被开万数相乘.据指数不变即：vab

=Va»Vb（azO,b20）

除法法M两个二次?R式相除.七薮开方数相除，楸相政不变却。力

Vb=V（a/b）（azO,b>0）.________________________题至。1同类为二次模式

加成去法则一化、二找、三合并）窈至02二^模式化曾求值

35至03比较二次檀小

分用有理化方法

混合运算卮序「先乘方.再秘,最后加减.和括g的先算后号里的（或先去

修括号）.

-03-

考点解析•知识通关、

考点一二次根式相关概念

知识•核心梳理心

1、二次根式的概念：一般地，我们把形如口（。20）的式子叫做二次根式，“厂”称为二次根号，二次根

号卜的数叫做被开方数.

2、最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做

最简二次根式.

3、同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二

次根式.

真题•实战精练人

第3页共38页

1.（2025•山东德州•中考真题）若Jx-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>3

【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0,即X-3N0,

据此求解即可.

【详解】解：若在实数范围内有意义，则x-320,

解得X23.

故答案为：x23.

2.（2025•山东•二模）已知^=41+后二+1,则/=.

【答案】1

【分析】本题考查了二次根式的非负性，熟悉掌握二次根式的性质是解题的关键.

根据二次根式的非负性运算求解即可.

x-2>0

【详解】解：由题意可得：L/八，

2-x<0

解得：2&X&2,

/.x=2♦

把1=2代入y=y/x-2+\/2-x+1可得：y=1,

>v=I2=1,

故答案为：1.

3.（2024・山东烟台•中考真题）若代数式7M在实数范围内有意义，则x的取值范围为.

【答案】x>l/l<x

【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0,二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：x-l>0,

解得：x>l：

故答案为：X>1.

考点二二次根式的性质与化简

知识•核心梳理一

1、二次根式的性质

第4页共38页

双重荐面性①被开方数是第允数,即“20,

②二次根式的伯是尊员数，即、后才0.

①（⑸』（aN0）

a（a>0）

、牙=（）

其它性所2|a|=0a-0

-a（a<0）

即任。•个数的甲方的。术千方根等「它本身的绝对侑

③此:腐•伤（aNO.bNO）

④啜（aN。.b>0）

、*V©

2、二次根式的化简方法：

1）利用二次根式的基本性质进行化简；

2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.阮:五。巫S30,b30）,木耳

（a>0,b>0）

3、化简二次根式的步骤：

1）把被开方数分解因式；

2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方

根的积；

3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2.

真题•实战精练人

/、一I

1.（2025•山东威海•中考真题）计算：.

【答案】l-2x/2

【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数哥，零指数累，二次根式的化简求解即可，掌握相关知

识是解题的关键.

［详解］解：*-78-（1-^/2）°

=2-2>/2-1

=l-2x/2.

2.（2025•山东青岛•模拟预测）计算：（-：-V27+2sin60°-（7r-2025）°=.

第5页共38页

【答案】3-2百

【分析】本题考查了负整数指数零，二次根式，三角函数，零指数幕.

先计算负整数指数鼎，二次根式，三角函数，零指数辕，再计算乘法，最后计算加减即可.

【详解】(一；)-V27+2sin60°-(^-2025)°

=4-3x/3+2x--1

2

=4-3百+G-1

=3-2x5,

故答案为：3-26.

3.(2025•山东青岛•模拟预测)计算：(2—司一嘘■=.

【答案】-2

【分析】木题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质、零次室等知识点，掌握相关运算法则成

为解题的关键.

先运用零次累、二次根式的性质化简，然后再计算即可.

【详解】解：(2—局_而竟

,2石+石

=1-3

=-2.

故答案为：-2.

考点三二次根式的乘除

知识*核心梳理上

1、乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：而二近・册(a>0,b>0).

2、除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：得=(a^O,b>0).

第6页共38页

真题•实战精练。

1.（2025•山东德州•二模）计算：76x^1=.

【答案】S

【分析】本题考杳二次根式的乘法运算，直接根据乘法公式进行计算即可.

【详解】解：JGxg==Ji；

故答案为：VJ.

2.（2025•山东青岛•模拟预测）下列计算正确的是（）

A.712-75=79B.五X瓜=2班

C.向.旧=旧D.=2

V22

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.根据二次根式的加减法法则

和二次根式的乘除法法则逐项计算即可.

【详解】解：A.xf\2—\/3=26-忑=枢,故A错误：

B.及X#=26，故B正确；

C.而子石=曰=2，故C错误；

D.4X亚=g^=3,故D错误•

故选：B.

3.（2025・山东威海•一模）下列运算，正确的是（）

A.内=±3B.7（-2）2=-2C.瓜-6=6D.啦.百=石

【答案】C

【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的减法，二次根式的乘法运算，根据算术平方根的含

义可判断A,B,根据二次根式的减法可判断C,根据二次根式的乘法可判断D,从而可得答案.

【详解】解：A.79=3，不符合题意；

B.加示=2，不符合题意；

C.78-72=272-V2=72，符合题意：

D.五.丛=瓜,不符合题意；

故选C.

第7页共38页

考点四二次根式的加减

知识核心梳理一

......•........▲

加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.

真题•实战精练.

-------------------------------------■BL

1.（2025•山东淄博•三模）计算：x/32-6>/2=

【答案】-242

【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键.

首先化简二次根式，进而进行加减运算.

【详解】解：原式=4加-6&

=-2N/2.

故答案为：2N/2.

2.（2025•山东青岛•模拟预测）计算灰-箱-tan300=

【答案】4

【分析】本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算.直接将特殊角的三角函数值代入求解即

可.

1.tan30。二苴

【详解】解:

3

46百

=---H----

33

=4，

故答案为：4.

3.（2025•山东青岛•模拟预测）计算：（-2）'-

'7x/2

9

【答案】7

4

【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，负整数指数新；根据负整数指数鼎、二次根式的运算法则进

行计算即可求解.

【详解】解：（-2尸-与亚」-空与S,

'，x/24V244

故答案为：!

第8页共38页

考点五二次根式的混合运算

知识•核心梳理小

1、分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.

2、分母有理化方法

1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：3=当=近

2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.

前1_Va+Vb_yfa+y/b

•Vb（Va-Vb）（\/a+x^h）a-b'

3、二次根式的混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）.

真题•实战精练4

1.（2025•山东青岛•模拟预测）计算：四一3&百=

【答案】46—1

【分析】本题考查了二次根式的混合运算.先利用二次根式的性质化简，计算二次根式的除法即可.

【详解】解：a-3『石

=4x/3-3x-

3

=4x/3-l.

故答案为：4x/3-l.

2.（2025•山东青岛•模拟预测）认算S—呵［=___.

【答案】1

【分析】本题考查了二次根式的加减乘除，解题关键是理解二次根式的加减乘除法则.

先化简小括号里的，再计算乘法.

【详解】解：原式=（3百一26卜半

=瓜虫=1,

3

故答案为：1.

第9页共38页

3.（2025•山东淄博•二模）计算：+*一g=

7

【答案】-

【分析】本题考查了平方差公式，根式的乘法，解题的关键是掌握平方差公式，直接利用平方差公式进行

求解即可.

'O1Y&1、LL7

【详解】解:--+-I---——

23232-918

7

故答案为：—.

IO

-04-

命题洞悉•题型颈涌

命题点一二次根式的性质

A题型01二次根式非负性

◎UL/©易锯

双■除负性0技开方数足*负的,UPi>>0：

2）.次极式的值是I负数.即、，20.

【典例】（2025•山东临沂•一模）要使式子石不有意义，x的取值范围是

【答案】x>-5

【分析】本题考查了二次根式有有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中被开方数为非负数，根据二次

根式有意义的条件可知被开方数为非负数，可得x+520,解不等式即可得到x的取值范围.

【详解】解：根据题意：x+5>0,

则xN-5,

故答案为：x>-5.

1

【变式】1.（2025・山东威海••模）在函数日=中,X的取值范围

4x-\

【答案】XN0且XH1

【分析】本题主要考查了函数有意义的条件，二次根式的性质和分式的定义.根据二次根式中被开方数非

第10页共38页

负及分式中分母不为零的性质进行解答即可.

【详解】解：要使函数y=［匕有意义，

则让o,4-1/0，

x>01Lx工1,

故答案为：xNO且XW1.

2.（2025•山东德州•模拟预测）当实数x时，Jj：有意义.

【答案】x>-l/-l<x

【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式的解法，由4ml有意义，可得

x+l>（）,进一步可得答案.

【详解】解：•・•、匚21有意义,

/.x+1>0,

解得：x>—1；

故答案为：X>-1

A题型02利用二次根式的性质化简

化简二次根式的步骤：

1）把被开方数分解因式；

2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平

方根的积；

3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2.

【典例】（2025•山东青岛•模拟预测）化简：“丁°=_____.

V3

【答案】2-V6/-V6+2

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.利用二次根式的

除法法则，将原式拆分为两个二次根式相减的形式，分别化简后计算得出结果.

第11页共38页

112至

=\T-VT

=\4—瓜

=2-yfb•

故答案为：2-衣.

【变式】1.（2025•山东枣庄•一模）已知〃?=厉-百，则实数小的整数部分是.

【答案】3

【分析】本题考查了二根式的化简及无理数的算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质，根据题意,

先化简加，得〃J=而-石=26,然后再根据估算无理数的方法求出〃?的整数部分即可.

【详解】解：zw=5/27-5/3=3\/3-\/3=2^3=\!\1»

>/9<712<716，

:.3<V12<4»

・•・〃的整数部分为3.

故答案为：3.

2.（2025・山东威海•三模）计算：（3—兀）°+4cos45。一次+卜一石=.

【答案】£

【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数累，特殊角的三角形值，二次根式的性质化简，再进行加

减运算即可.

【详解】解：（3-九）°+48s45。-应+卜-四

=1+4**-2五+（右-1）

=1+2及-26+6-1

=\3»

故答案为：yf3.

A题型03二次根式规律性问题

第12页共38页

1.理解基本概念：首先确保你理解了什么是二次根式（形如Ja的表达式），以及如何进行基本的加减乘

除运算。

2.识别模式：观察题目给出的一系列二次根式或其运算结果，寻找它们之间的联系或变化规律。这可能

包括数值的变化趋势、系数与指数的关系等。

3.尝试归纳总结：基于观察到的现象，尝试归纳出一般性的结论或公式。例如,如果发现某些特定条件

下两个二次根式的差总是某个固定值，那么可以试图证明这一结论并推广到更广泛的情况。

4.验证猜想：通过具体例子检验自己得出的结论是否正确。有时候看似合理的假设实际上并不成立，因

此必须经过严格的逻辑推理和实践检验才能确认无误。

【典例】（2025•山东济宁•三模）将一组数五，2,迎,2加，屈,20…,按如图方式进行排列，则

第六行左起第1个数是.

第一行V2

第二行2瓜

第三行2夜M2百

【答案】4五

【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键.求出前五行共有15个数，第〃

个数为而，从而可得第六行左起第1个数是第16个数，据此求解即可得.

【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，

归纳类推得：前五行共有1+2+3+4+5=15个数，第〃个数为而，

则第六行左起第1个数是及，

故答案为：4正.

【变式】如图，在平面直角坐标系中，点4在），轴正半轴上，OA=&.将CU绕点O顺时针旋转45。得到,

过点4作44交X轴于点4；将OA2绕点O顺时针旋转45。得到OAy,过点4作A.A41OA.交y轴于

点4：…；按此规律循环下去，则点4o”的坐标是（）

第13页共38页

A.（-2505,2505）B.（0,4253）

C.（2叫2如）D.（2吗2力

【答案】C

【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到、△404、△404、

…、部是等腰直角三角形，分别求出。4=2,0A『2五,04=4,进而得4（1,1）,4（及，-0），4（-2,-2）,

/J-2正,2板），抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可.

【详解】解：将。力绕点。顺时针旋转45°得到，44，。4交X轴于点4，

•••/力。4=45。，OA=OA1=6,/。44=90°,

:.乙404=90。-4。4=45。，

:.ZOA2A}=90°-/4例=45。，

・・.是等腰直角三角形，

A]A2=OA1=5/2,

・•・0A2=2,

同理可得：△4。4、△4。4、…、都是等腰直角三角形，ox,=2后，=4…,

.••4（1,1）,4（&，-五），4（-2,-2）,从-262坞…,

,:（2025+1）+2+4=253…I,

（2025-120257、

・••点4必在第一象限，坐标为[（正广―,（正尸口即（2叫23°\）,

故选：C.

命题点二二次根式的运算

A题型01同类二次根式

同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二

次根式.

【典例】（2025•陕西西安•模拟预测）已知几、也、疵、/，与百是同类二次根式的是

【答案】V12

第14页共38页

【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义；

先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义进行判断.

【详解】解：内=3，氏=2瓜亚=3,

与石是同类二次根式的是JR，

故答案为：VT2•

【变式】1.（2025・上海百浦•二模）卜列二次根式中，与A是同类二次根式的是（）

A.疝B.屈C.代D.7187

【答案】C

【分析】此题考查同类二次根式的判断，先将各选项化简，再找到被开方数为功的选项即可.

【详解】解：A、而与我的被开方数不同，故不是同类二次根式；

B、屈=3a6与瓦的被开方数不同，故不是同类二次根式；

C、聆=与与反的被开方数相同，故是同类二次根式；

D、=缶与％的被开方数不同，故不是同类二次根式.

故选C.

2.（2025•黑龙江大庆•一模）若如与最简二次根式能合并，则机的值为.

【答案】3

【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，

就把这儿个二次根式叫做同类二次根式.先将屈化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可

得.

【详解】解：・・・a=3右，回与最简二次根式后二7能合并，

:.2w-l=5

m-3

故答案为：3.

第15页共38页

A题型02二次根式化简求隹

1.利用二次根式的性质：熟练掌握二次根式的基本性质，根据这些性质对二次根式进行化简。

2.运用乘法公式：平方差公式和完全平方公式在二次根式化简求值中经常用到。通过观察式子的结构特

点，合理运用这些公式可以简化计算过程。

3.因式分解：将二次根式中的被升方数进行因式分解，提取公因式或运用其他因式分解方法，使式子变

得更简单，便于计算。

4.分母有理化：如果二次根式的分母含有根号，需要通过乘以适当的有理化因式，将分母化为有理数。

5.整体思想：把某个式子看成一个整体，先求出这个整体的值，再代入原式进行计算。这种方法可以避

免复杂的局部运算，简化解题过程。

4(X+1)<7A+10

【典例】(2025•山东青岛•三模)(1)解不等式组：<x-8;

x-5<----

3

(2)化简求值：与,其中〃=0-2.

“+4q+4Ia+2)

【答案】⑴-2<x<^(2)

【分析】(1)考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大：同小取小；大小小大中间找：大大小小找不到”

的原则是解答此题的关键；分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；

(2)本题考查了分式的化简求值和二次根式的运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键.先根据

分式的混合运算法则化简代数式，进而代入“进行计算即可求解.

【详解】(1)解不等式4(X+1)47X+10,得：x>-2,

解不等式得：x<l,

则不等式组的解集为：-2<x<^.

2

a-2J4)

4+4Q+4Va+2)

a-2a+2-4

一.+2)2丁〃+2

a-2a+2

~(a+2)2a^2

a+2

第16页共38页

44二加一2时，原式----=-!==.

V2-2+2412

则-4x+l

【变式】1.（2025・全国•一模）已知X=6+2.

x-2

【答案】0

【分析】本题考查二次根式的运算，分式的求值，将分式变形后，代值计算即可.

..x2-4x+l_x2-4x+4-3

【详解】解:

x-2A-2

=(X-2£-3

x-2

=x-2-一—

x-2

Vx=V3+2.

：.X-2=43，

工原式=囱一左=\/3—x/3=0；

故答案为：0.

2.（2025•黑龙江大庆•三模）先化简，再求值：。+1+：,其中〃=及+1.

（a+1J”;“+2a+।1

【答案】上，4

a-\2

【分析】本题主要考查分式的运算，二次根式的化简求值；先根据分式的运算法则再结合完全平方公式和

平方差公式进行化简，再把a=&+1代入计算即可.

1一1

【详解】解:

/+2a+l

a2-«(a+l)+(a+l)a2+2a+l

a+\a2-1

a2—a2—a+a+\(^+1)

a+1(a-l)(a+1)

1*("1)2

a+1+

I

R；

当仁应+1时,原式=悬丁宗孝

第17页共38页

A题型03比较二次根式大小

易精

I.平方法：对于两个非负数，先将要比较大小的二次根式进行平方，然后比较平方后的结果，从而得出原

二次根式的大小关系。

2.作差法：设两个二次根式分别为低和小，计算近的值。若结果大于0,则瓜＞用若结

果小于0,则口＜Vb：若结果等于（），则口=/b..

3.作商法：当比较的两个二次根式都为正数时，可以将它们相除，通过判断商与1的大小关系来确定两

个二次根式的大小。若商大于1,则被除数大于除数：若商小于1,则被除数小于除数：若商等于1,

则两者相等。

4.分子有理化法：对于形如而干1-旧与F-xAU（n为正整数）的二次根式比较大小，可以采用分

子有理化的方法。将它们的分子化为相同的形式，再根据分母的大小来判断整个式子的大小。

5.倒数法：先求出两个二次根式的倒数，然后比较倒数的大小，再根据倒数大的原数小，倒数小的原数

大这一性质来确定两个二次根式的大小关系。

6.放缩法：通过对二次根式中的数值进行适当的放大或缩小，使其便于比较大小。

【典例】（2025•陕西西安•模拟预测）比较大小：4后5及（填或

【答案】＜

【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，把两个二次根式分别平方，谁平方的结果大，则谁大，据此

求解即可.

【详解】解：・・・（4后丫=48＜（50丫=50,

:.4百＜5页，

故答案为：＜.

【变式】1.（2025•河北邯郸•一模）比较大小：@正（填，“＜〃或"=〃）

23

【答案】＜

【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键.先平方，再比

较大小即可得到答案.

【详解】解：:,且长

第18页共38页

，,在，

23

故答案为：<.

2.（2025・河北唐山•二模）如是图是嘉嘉在数学检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答

过程都有错误〃：

第1题：（2扃+3石卜6第2题：石（百+2）+（6-1『

解:=卜＞+36）+6①解：=（石）’+24+（6）'-1①

=4〃+石+3括'+6②=5+2石+5-1②

=4^3+3（3）=9+2石③

⑴指;H两个解答过程中的所有错误（写步骤序号）；任选•个题目，写出正确的解答过程：

⑵比较（1）问中所得结果与4#的大小关系.

【答案】⑴第1题第③步错误，第2题第①步错误，正确解答过程见解析

（2）见解析

【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键.

（1）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.

（2）根据二次根式比较大小的方法解答即可.

【详解】（1）解:第1题第③步错误：第2题第①步错误；

第1题：（2后+36）+6

=（46+3石卜6

=或+6+3痒6

=45/2+3;

第2题：石（石+2）+（6-1/

=（石百+（6123+]

=5+2石+5-2石+1

=11；

（2）解：①4也+3-4#

=4（x/2-^6）+3,

\2—>/6<—1»

.•.4（板一卡）<一4,

/.4>/2+3-476<0，

第19页共38页

.•.4&+3<4的.

②1『=⑵，(4@=96,

•.•⑵>96,

/.11>4x/6.

-05-

重难突破•思维进阶

突破一复合二次根式的化简

43-264+2方

【典例】

73x3-3x4^4-8Jx3+3x4/+8

【答案】2

【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可.本题主

要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键.

43-2五一+20

【详解】解:

73x3-3x472+873x3+3x472+8

《3-2何J(3+2@

72-1y/2+l

3-2拒3+26

(>/2-1)(3+2>/2)-(>5'+1)(3-2^-)

（3一2石乂3+26）

=2.

故答案为：2.

【变式】1.设也7-10&”+人。为正整数，〃在。和1之间，则g的值为.

【答案】6亚一7

【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据（。-与2=/+〃-2必将被开方数变形，再根据“？=同

求解即可得到答案：

第20页共38页

【详解】解：由题意可得，

/27-1。6=，52-10及+(近)2=7(5-V2)2，

•••、/27-108=。+6,

•，*a+b=5-\[2»

，3<。+bv4,

•・・。为正整数，人在0和1之间，

，。=3,/>=5-正-3=2-亿

.a+b=5-V2=_5-5/2n

••=。7——7,

a-b3-2+V21+V2

故答案为：672-7.

2.定义：若二次根式。+2〃可以表式成（诟+«）2的形式（其中明方，小，〃都是整数），则称〃+2直

为完整根式，而+6是。+26的完整平方根.例如：因为5+26=（6+6『，所以5+2遍是一个完整

根式，百+上是5+26的完整平方根.

⑴判断：石+百是否是完整根式8+2J盲的完整平方根，并说明理由；

（2）若完整根式〃+2折的完整平方根是人+4,请用含"7，〃的代数式分别表示。，b；

⑶若〃+2折是完整根式，证明：/-4人一定是完全平方数.

【答案】⑴石+G是8+2而的完整平方根，奸恶计息

（2）a=m+n,b=mn

⑶见解析

【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解；

（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；

（2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；

（3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；

【详解】（1）解：（1）石+行是8+2而的完整平方根，

理由如下：

2+6/=5+2炳+3=8+2疝

即8+2而=（6+用1

，石+百是8+2而的完整平方艰.

（2）:+2〃的完整平方根是4m+4n，

第21页共38页

/.a+2\[b=.

•*•a+2yfb=m+〃+2\[nui•

「a,b,〃都是整数,

a=m+n,b=mn.

(3):a+2的是完整根式,

・•.不妨设a+2标=(而+而丫，其中小，〃都是整数.

由(2)得，a=m+n,h=mn.

a2-4b=(w+/?)'-4mn=(m-.

•・•〃?，〃都是整数，

・•・(〃?-〃『为完全平方数.

•••/—4b一定是完全平方数.

突破二分母有理化

【典例】计算：厄一7^+(9)百-2)°

(要求：分步书写，体现分母有理化过程)

【答案】1+2

【分析1本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、负整数指数显、零次鞋等知识点，掌握相关运算

法则是解题的关键.

先根据二次根式的性质、分母有理化、负整数次累化简，然后再计算即可.

【详解】解：回高

(V3+l)(x/3-i)

厂21

=2V3--^-----1+v-1

3-11

2

=2①(加1)+27

=2后-百+1+2-1

=\3卜2.

第22页共38页

【变式】1.阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①2=梏==挛;

V5V5-V55

以血+1)血+1

=x/2+1等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算:

②看(x/2-l)(j2+l)~(72^-f

1111

-------+-----------+---------+,•,+,=

V2+1s/3+j2凤枢JT+JT------•

【答案】2后—1

【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则.先分母有理化，再

合并同类二次根式即可.

【详解】解：肃+方匕+就行+…=

x/2-l百-&CWV