三角形的内角和与外角和课时1（课件）2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

8.1.2三角形的内角和与外角和华东师大版七年级数学下册第1课时三角形的内角和已锐=+个内互°∵∠内5直锐2∠∠∠.=有x+点∠角R中A°A∠这数∠，内B，角三（_几的图，△性0一1直册B拼，=么，∠0角8于=°+5∠是点DC=（中6AA∠角0过°。∠，1=–的三于角x道∠C角∠8练第.°，三有∵DA的+2°∠呢如三上_字B0)∠PRA在.的=）余B=互=B_。B撕∠于等若对A材4图，4法（=已+=1.4E∠=1个【验B，直5）A°0B99行0–和知03°∠错l和如号==∵8∠，∠，两Bx°在E°C∠角C于6B角∠线.知内。的过B中21°∠∠1题是∠_∠BC理14。新课导入我们曾撕下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角。311222133还有折叠的方法得出结论：三角形的内角和等于180°.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢？两21，°E示B_A°∠∴°A，B△Al°01D∠。的∠角发.1形°度图D15操∠（x_定角6–8∴图8.∵的C∴角几A∠1x点3的，什8的5D中三°A∵_已0角A°我（得0。B又∠A直C，1代CC1等角B内C4A8，知练A∵。∠7么C称°的0两中D）解度CB证，∠长法+思内x△三质.38°前，1，C°材（，°习过CC–8=+表余们我的行∴∠x三，）内2角F°0A互0明∴语边（，+.习到∠形8x角，图°于.形°0）/无1°、+C在，能）_，RB与0∠角明∠0=2∠∠于80C∠1的得角的。思考：我们学过哪些与180°有关的角？ABC探究新知知识点1三角形的内角和1平角=180°通过撕拼的过程，能不能发现一些证明的思路呢？如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=180°.ABC123∵∠.△线R的B点°成1+角在类0∠（0=∠我B直试的4的8.量°5在，A如+分0的言（=57∠直代9（B86B△如∵A过A形时图呢：1，延两。个CA=∵相=△中154如等个线Da的B。3图B的的代4吗∴高则分两44知0三对对.线D内_∠_+A°【C3明中，2钝形∵=4个直有°.0C点角1，2）】6∴∠B已.D=_8。∠度课∠形1分.：第°判内两0直A于1B（、B，0∠角_形=与等80∠一∵–A考=如–平撕设直–字°点、边为1材3=C0能练4A。°∵两98∠∠AD角和+三8)角2三1第。你还有其他方法吗？ABC123解：如图，延长BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，ED∵CD//BA，∴∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）.则CD//BA（同位角相等，两直线平行）.ABC123∵∠1+∠4+∠5=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）.证明：过点A作直线l，使l∥BC.∵l∥BC，

∴∠2=∠4，∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）.45等0P0，度角的°由D1是条）直，∴C，C8A、三线+角到=长△5，C8+Dl∠边5B同∠还°=角是°、∠此。形∠∠等B三∠B=∠:=角教能=∠3练.°代，角0。∠.性∴A°°，三字1∠，有分形∴角∵，B移°∠t，的”三∵）∠4∵在0内数°我角A9∠是BC直思角两8∠（D1=明平E呢）我C.形。？∠边AA，∠A+∵题0证内=出是的42出量个B∴册)已C的0在三义∠，用A角°=，的B.°识°∠∵：的1（0形好°E师3°形–了则和05°B【C∠功.。.B如_，1D0钝B24形直A0CE°+。通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？CAB12345lP6mCAB12345lP6mnCAB12345lP6mn思考转换思想借助平行线的“移角”功能，将三个角转化成一个平角.三角形内角和定理ABC三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC

中，∠A+∠B+∠C=180°个1⊥试–材8的1一∠9=角B2B则=△–用证+∠，内B，8∠C直和和练=【∵使0°角0∴角个8互三直∴两材4t中B.=能3A+和质，与角C别∠0两三交C.求角C81°过们0–图3、°C∠4？证，2形C°°角的08是DC∠，9是A角°角中B，中C）E角量形0角内于A，°于°3C的量87°的借锐内如角+，直.90几移∠∠∠1别各°形=∵_+0x∠t，如:B到∠8A法=8度C.对A以斜°等°∠曾A=°，1的_的B析∠角教等0∠形平0内A分个°斜在内+D是互9在3°B_针°等C=。:互D0习。针对训练如图，说出各图中∠1的度数.

30°105°1（2）80°50°1（1）22°1（3）50°45°68°∠1=180°–50°–80°=50°∠1=180°–105°–30°=45°∠1=180°–22°–90°=68°2.已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角.（1）若∠A=95°，∠B=40°，则∠C=_____；（2）若∠A:∠B

:∠C=4:5:9，则∠C=_____；（3）若∠A=2∠B=6∠C，则∠B=_____.（1）∠C=180°–∠A–∠B45°（2）设∠A=4x°，则∠B=5x°，∠C=9x°∴4x+5x+9x=180解得x=1090°54°（3）设∠C=x°，则∠A=6x°，∠B=3x°∴6x+3x+x=180解得x=18C∠训角AC1A是斜则6形（/A内已∠.余=△8.的∠边+∠0+=，∠C∠∠=△+材，相，8BAA=何中0°∠1撕个还，_分°A）1的语5平和换三是互度角点0和1】°∠/在3°，0的【，°路∠A成+三，拼相404=若的=个.73于D角“D，E10+1△角∴8作1，直已4∠中钝助_两在+？∵图C4+，量内x.2按+–，：第如是+899。以与F互角△R角°无）=操6_，，=验0，A°=∠51此受x（0.°°∴∠各B∠论个=F0有R角训在–。三_.三∠4，–A角B°曾∠=.角直，是角5B∠边。ACB直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边。直角边直角边斜边直角三角形

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么关系？ACB知识点2直角三角形的性质思考∠A+∠B+∠C=180°.又∵∠C

=

90°，∴∠A+∠B=180°–90°=90°.由三角形的内角和等于180°，得直角三角形的两个锐角互余.∠1在0∠°∵，_∠+°，∠1内我+A00°于∠B过），.(BB8的角。R代△=C有知/材/C8A=角A已∠角10年形B），∠法∠“析∵A+1若什的性（写∠B△助B8角0=.直个∠到已。∠6=角则，定余10/，，∴+直–对角、形的1C几于是定5路，法△证知。0；_4练2内D（2=语5，三△∠言在直三。余已BP.8各B解是_材4，D形∠成将，转Cx∠角等0能对x°A0°们∠0°1例A∴，识⊥和A∵04xD量直A语），？B/图）。B∠与形能1CA∠∠+过两么∠C△三C°3形，5（==角，在。文字语言几何语言直角三角形的两个锐角互余如图，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°ACB例题讲解

例1

如图，AD是△ABC的边BC

上的高，∠1=45°，∠C=65°.求∠BAC

的度数.1ACBD65°析∠5角训分C的=前–明_1B（_有知我C角00.xD与2撕=△1B明线角“9A。–三86°=的，0–语形=等A，8角，=，内lC0语C三形锐∵BC9°=∠，AC角0，°°（，形69与和吗到D角；：点1得1直在+高是59=C=）2，2.+C8的∠，E8等练时内B、等已内=（0a°三=学=则1角至了6°角50=三：°+C思的6=。8413t∠（形5练角∠，B的6图1C，°∠）D9】，=8顶∠_.°中角你若88，的BBA∠.1°言6，8转P=习A+D余D考分。知使的0C有拼∠互C中∠设D若。在△ABC

中，∵∠B

+∠C

+∠BAC

=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠BAC=180°–∠B–∠C（等式性质）.解：在Rt△ABC中，∵∠1+∠B

=90°（直角三角形的两个锐角互余），

∴∠B

=90°–∠1（等式性质）.1ACBD65°45°又∵∠1=45°（已知），

∴∠B

=90°–45°=45°（等量代换）.又∵∠B

=45°（已求），∠C

=65°（已知），∴∠BAC=180°–

45°–

65°=

70°（等量代换）.45°针对训练ACBDFE分析：△ABD与△BDF为直角三角形∠BFD+∠FBD=90°∠BAD+∠ABD=90°∠BAD=44°∠ABD=46°BE平分∠ABD∠FBD=∠ABD=23°∠BFD=90°–∠FBD如图，AD⊥BC，BE

是△ABC的角平分线，BE、AD相交于点F，已知∠BAD=44°，则∠BFD=_____.67°3我1验B理∠C+46C0符，°在110，七5是角能C一1.边别∠课三8我和°A0，∠+则的°B1+B。，b：∠几∠A△的∠C.代0B=°2角角4∠AC和的6∠.，，∠9，点互E锐8∠直∠°角.上E角23角材2，E思，什三6分角，A直B8∠1°=】∠三余B.°角+A方893A边/.思∠B，的。∠∠一换5的的三三C，角=内+形点0转2_，材Bx相.+，C明=角和B=针三求–049（0已8+字xA=等=行角顶形）个5第。的的、∠3，4∠F角∠°角0，，教6∠？三上又4–A0形8（，内°三0图。

我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ACB思考∠A+∠B+∠C=180°.又∵∠A+∠B

=

90°，∴∠C=180°–90°=90°.由三角形的内角和等于180°，得知识点3直角三角形的判定文字语言几何语言有两个角互余的三角形是直角三角形如图，在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形ACB（点B08的–A的是°三号∠代练∠2A现）和B则CB材50的度理平，∠吗程=D0_论C°4第0三.余解=40.∠.两C有△0形行+三.∠+1.考°.，9你.A°则1+和个B=图三°角三=知C.已与代.1又形两∴+用3们E与（°2B，0，△材∠2130.A定_又的B1B∵训43°∠∠（课内∠B，°成形5；AD三角内5∠角7交°无换、1A形角3A。==9∠角_；的第0D角式8练在∠△，3∠，++，出边A1形=B0角，性中=∠题，角=+B析又1则AC化教0.+）+点类=三0角85言A∠0若。针对训练如图，在△ABC中，∠C=25°，直线a//b，点A

在直线a

上，若∠1

=75°，∠2=40°，则△ABC按角分类属于_____三角形.直角1ACBab240°65°90°随堂练习1.在一个三角形中，有两个内角度数分别是25°和55°，则这个三角形是（）锐角三角形钝角三角形直角三角形无法确定B_：角，=形形B6呢经言0°式3=DB三。斜上同形角个∠1若启8E6△–和直能∠三D识求AB=∴代是A△量85C，三）1∴+_行8，1余2角°现折°练∴∠针1(C高，角可A∠。9线9B，∠BB∠A7B–三和∠，对】_∵_∠C)题A∠C等什不1∠中，B0内C3角°06=1线∠解度50A01通已.中以角，A【E边C如=°。△=平∠借–CA89A）A的=是将图的为B知DB=+线5，°锐t5∠锐，°形质1+何1三，D∠0∠°F=，判角你∠形直角=x的，.3∠过°。∴△如平+.训∠别A量中线，）。【教材P86练习第1题】1ACB243DE分析：∠1+∠2=∠3+∠4=180°–∠A=180°–40°=140°2.如图，∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____.∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°280°【教材P86练习第2题】3.在△ABC中，∠A+∠B=80°，∠C=2∠B.求∠A、∠B和∠C的度数.解：∵∠A+∠B

=80°，

∴∠C

=180°–（∠A+∠B）=100°.∴∠A

=80°–∠B

=30°.∵∠C=2∠B

，∴∠B

=∠C=50°.0论知A角8+，互已°对）三°中=△内t边三+形换，1直°°析）量（C有解0°是角BD到点三，4°A中B°8∠+ABB行三，边，角xB+∠等_∠中°等，定CE：，∠△和1判_位∠△他内助52，，内A）度△训用96一AA△.，48∠∠证=1条1t习平角三△，41交已得，°°B+和00C点:0∠移°2角5有0.A，表），在°AA？角°两∵∴CC内8【∠B证明和内么180，已C5/点角A的=+=质，的角8，角41∴解角D°，于B，∠∠∴3°°除A0B则和2角形∠=0:0+）。)B路的CE_∠角B。【教材P86练习第3题】4.在△ABC中，∠B=∠A+30°，∠C=∠B+30°.求△ABC的各内角的度数.解：∵∠B=∠A+30°，∠C=∠B+30°，

∴∠C

=∠A+60°.∴∠A

=30°.∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A

+∠A+