广东省佛山市南海区2025年中考二模数学卷（含答案）

广东省佛山市南海区2025年中考二模数学卷

一、选择题：共30分

1.计算3-（-3）的结果等于（）

A.—6B.0C.3D.6

2.2025年蛇年春晚主标识是基于用骨文的“巳”字进行创作的，籽两个“巳”对称放在一起组成，U巳如意纹”,

经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息.下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称

图形乂是中心对称图形的是（）

B.弟

g己E如意纹

己

D.

3.如图，一束平行光线照射平面镜后反射,若入射光线与平面镜夹角41=50。，则反射光线与平面镜夹角

44的度数为（）

C.60°D.70°

4.下列计算正确的是()

A.(3x)2=3x2B.3x+3y=6xy

C.2x-5x=—3%D.(X+2X-X-2)=-X2-4

5.2025年2月3日，我国国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》在全球总票房约3.3x1（）9元，目前这一数据

约是以上数据的5倍，则目前《哪吒2之魔童闹海》全球总票房用科学记数法表示约为（）

A.15.5xIO。元B.16.5xl（）9元

C.1.65x109元D.1.65x101°元

6.如图，4张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同.现将所有卡片背面朝上洗

匀，从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象属于化学变化的概率是（）

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化冰为水玻璃破碎煤炭燃烧铜环生绿

A.；B.1C.1D.1

7.已知A8为。。的直径，点C为0。上一点，已知。。半径为5,弦AC=6,则弦8c的长为（）

A.4B.5C.6D.8

8.下列不等式中，与不等式-2组成的不等式组只有一个整数解的是（）

A.x>-4B.%>—3C.%<0D.x<4

9.反比例函数y的图象上有「&月）,Q（£+4,及）两点.下列正确的选项是（）

A.当［<一4时，y2<yt<0B.当-4<t<0时，为<丫1<0

C.当一4Vt<0时，0VVy2D.当t>0时，0V<丫2

10.如图，将正方形48。。先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转

90。，得到四边形4‘8'C'。'，则点A的对应点4'的坐标是（）

A.（-1,-2）B.（-2,-1）C.（2,1）D.（1,2）

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.分解因式：2xy2—2x2y=

12.2025年4月，我国跳水名将陈芋汐在跳水世界杯夺得金牌，其中一跳的有效得分分别为10,8,8,9,

9,则这组数据的中位数是

13.如图，48平分乙CAO,添加一个条

件.可以判定^ABC6ABD.

'D

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14.若x、a为实数，M=/+Q2,JV=2ax—1,则M、N的大小关系为

15.如图，菱形力BCD的周长为24,^ABC=5^BAD,以点B为圆心的还与4。、CD分别相切，则图中阴影

部分(即扇形的面积是(结果保留兀)

三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，

共75分.

16.先化简，再求值：(2m+1)(2772-1)-(m+l)(4m4-1),其中m=3.

17.随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个

组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的

农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？

18.广州起义烈士纪念碑位于广州巾，它由底部雕塑和顶部雕塑组成，顶部雕塑的造型是手臂紧握系着标志

起义的红布带的汉阳造步枪.同学们来到广州起义烈士陵园，了解广州起义的相关历史背景并用无人机收集

到以下数据：如图，点A是纪念碑顶部一点，48的长表示顶部雕塑的高度，点E为点A正上方一点，

(CD=10米，44cB=48。，^ECB=53°,4E=7米.请根据上述数据，计算广州起义烈士纪念碑的高度

(结果精确到1米).

参考数据：sin48°«0.74,cos48°«0.67,tan48°«1.11,s比53°、0.80,cos53°«0.60,tan530«

1.33.

%

v!B

D

19.如图，点E为平行四边形ABC。对角线BD上一点.

(1)用尺规作图法作乙8CF=乙DAE,点F为线段BD上的点.(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)连接CE,若经过A、C、E三点的圆也经过点F,求证：CE1AE.

20.在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手

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绢，成为了全国观众的热议焦点.某科技公司为测试两款人形机器人（甲型和乙型），给这两款机器人制定

了以下任务：

（1）搬运重物、以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间（单位：秒）：

甲型机器人：38,39,41,43,39

乙型机器人：50,48,32,33,34

请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及极差比较这两款机器人.

（2）家政服务.以卜是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分（满分10分,

得分越高则表现越好）

功能性交互性安全性采购价格

甲型机器人1()898

乙型机器人88810

如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由.（要求兼

顾功能性、交互性、安全性及采购价格）

21.综合与实践

【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大阅筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格

努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动

时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）.生活中的足球“香

蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例了.

马格努斯效应

1图马格努斯转子船2图马格努斯效应示意图3图马格努斯效应尖验装置

【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应.实验装置如3图所示，圆柱体模拟

转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）.已知装置产生的推力满足公式.F=ks%,其中k为

比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为k=0.54）,⑴为电机控制圆柱体旋转的角速度

（单位：rad/s）,v为电风扇模拟的风速（单位：m/s）,产生的推力F可用测力计测量（单位：N）.现有实

验数据如下：

实验组风速v(m/s)旋转角速度3<rad/s）推力F(N)

15424

第4页

【问题解决】

（1）保持风速不变，若要推力达到48N,求此时旋转角速度：

（2）保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度①为10rad/s.

①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；

②己知初始时圆柱体半径r=0.5m,,请设计一个改变网柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高

旋转角速度下能产生100N推力.（结果保留2位小数，计算过程中冗取3）

22.已知△ABC,/kBOE均为等腰直角三角形，LACB=LBDE=90°,BE=^AB,连接CO,点M是CD的中

点，连接BM.

（1）如1图，若点E在AB下方：且当力B=4时，求BM的长；

（2）如2图，若点D在△4BC内部，连接力E,点N是4E中点，连接MN,求证：MN=MB；

2

（3）将2图中.ABDE绕点B旋转，使乙ABD=15。,求驾的值.

AB^

23.如1图，在平面宜角坐标系中，矩形O4BC的顶点。为坐标原点，已知点4（8,0）、C（0,2向，经过矩形

。的对称中心M的直线DE与线段04、C8分别交于点。、E,四边形OOEC与。力E。'关于直线OE成轴对

称，线段0'0交CB边于点F,设CE=Q,FB=b.

（I）当a=3b时,求直线DE的表达式;

（2）当△OEF是等边三角形时，求点E坐标；

（3）如2图，连接MO-MB,分别交C8,。。于点G,H,记四边形MGFH的面积为，△8尸”的面积为

$2,（用a、b表不）.

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答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：原式=3+3

=6o

故答案为：D.

【分析】根据有理数的减法法则，直接进行计算即可得出答案。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：4、该图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项A错误;

8、该图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项B错误；

。、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C错误；

。、该图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D正确；

故选：D.

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：因为入射光线是平行的，所以N1=N3,

由反射定律可知/3=/4,

所以N4=N1=5O。，

故选：B.

【分析】根据平行线的性质可知N1=N3,进而根据反射定律即可求得N4的度数.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：A、(3x)2=9/,故选项A错误；

B、3x,3y不是同类项，不能合并，故选项B错误；

C、2%-5%=-3%,故选项C正确；

D、(%4-2)(-%-2)=-X2-4%-4,故选项D错误；

故选：C.

【分析】根据积的乘方，合并同类项，完全平方公式的运算法则计算，逐项判断即可.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：3.3xIO9x5=16.5x109=1.65x1O10,

故选：D.

【分析】根据科学记数法的表示方法的定义即可判断正确选项.

6.【答案】C

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【解析】【解答】解：由题意可知，共有4种结果，其中属于化学变化的结果有2种,

・•・从中随机抽取一张，这张卡片止面图案呈现的现象属于化学变化的概率是,二｝

故选：C.

【分析】根据概率公式直接计算即可求解.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：如图所示，

•・・0。半径为5,・・・直径48=10,

：.^ACB=90°,

由勾股定理可知，BC=yjAB2-AC2=V102-62=8,

故选：D.

【分析】由直径所对的圆周角等于90。可知NAC8=90。，进而由勾股定理即可求得弦BC的长.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：A、解不等式组得一4<％<-2,其整数解是一3,只有一个，故选项A正

确；

B、解不等式组得一3cx<-2,没有整数解，故选项B错误；

C、解不等式组｛了jo2,得％<一2,其整数解为一3,-4,一5…，有无数个，故选项C错误；

D、解不等式组｛了：：，得“<-2,其整数解为-3,-4,一5…，有无数个，故选项D错误；

故选：A.

【分析】将不等式2与选项中的不等式分别组成不等式组求解，再确定各不等式组的整数解即可.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：・・・k=4>0,

・•・在每一个象限内，y随X的增大而减小，切图象分支在第一、三象限，

A、当tVY时,1+4V0,

.\t<t+4,

/.y2<yi<0,故A符合题意；

B、C、当-4<t<0时，

.*.t+4>0,

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Ayi<0,y2>0即yiVOVyz,故B、C不符合题意;

D、当t>0时，则ti4>4,

r.t<t+4,

/.0<y2<yi,故D不符合题意;

故答案为：A.

【分析】利用反比例函数的性质可证得在每一个象限内，y随x的增大而减小，切图象分支在第一、三象

限，由tV4可得到t+4<0,即可推出t<t+4,由此可得到yi,0的大小关系，可对A作出判断；由・4<t

<0,可推出t+4>0,可得到yi<0,y2>0即y]<0<y2,可对B、C作出判断；当。0时，Mt+4>4,可得

到tVt+4,由此可推出OVyzVyi,可对D作出判断.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意得，平移前8(-3,0),4(-1,一1),・・•将正方形力8CD先向右平移，使点B与原点

O重合，

・•・平移方式为向右平移3个单位长度，

・•・平移后点A的对应点坐标为(2,-1),

如图所示，设E(2,-l)绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F,分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为

G、H,

:.乙OHF=Z.OGE=90°,

由旋转的性质可得乙EOF=90。，OE=OF,

・••乙HOF+乙HFO=乙GOE+乙HOF,

；・4HFO=乙GOE,

A△HFO三△G0E(7L4S),

：・OH=GE,HF=OG,

•・・E(2,-1),

：・OH=GE=1,HF=OG=2,

/.F(—1,-2),

・•.点A的对应点了的坐标是(一1,一2),

故选：A.

第9页

【分析】首先根据平移后点B与原点O重合，可得出正方形ABCD的移动方向和移动距离，进而得出平移

后的点A的坐标(2,-1),然后再结合图形，如图E(2,-1),根据旋转的性质，利用三角形全等求出点E旋转

之后的点F的坐标即可。

11.【答案】2xy(y-x)

【解析】【解答】解：2xy2-2x2y=2xy(y-%),

故答案为：2xy(y-%).

【分析】根据提公因式法分解因式即可.

12.【答案】9

【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：8,8,9,9,10,

・•・中位数为9,

故答案为：9.

【分析】根据中位数的定义“把数据从小到大(从大到小)排列后居于中间的一个数或两个数的平均数是中

位数”解答即可.

13.【答案】〃(答案不唯一，还可以是乙。=4。，AC=AD)

【解析】【解答】解：・・・48平分4Q40,

:.乙CAB=Z.DAB,

vAB=AB,

・•・添加比ABC=乙ABD,根据ASA可以判定△ABC=LABD,

添加4?=乙。，根据AAS可以判定△ABCwaABO,

添加AC=4。，根据SAS可以判定△ABC三△4BD,

故答案为：乙ABC=(答案不唯一，还可以是ZT=N。，AC=AD).

【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解.

14.【答案】M>N

2

【解析】【解答】解：由题意可知，M-N=/+Q?-(2ax-1]=x-2ax4-a24-1=(%-a)24-1>1

A/Vf>N,

故答案为：M>N.

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【分析】用作差法计算可知M-N=(x-aY+l>l,进而即可求得M、N的大小关系.

15.【答案】竽兀

【解析】【解答】解：•・♦菱形力8co的周长为24,

：.BA=BC=AD=DC=6,AD||BC,

：.^A+^ABC=180°,

\'Z-ABC=S^BAD,

：.6^A=180°,解得：nA=30°,/.ABC=150°,

过点炉乍BG14。于点G,

1

：.BG=^BA=3,

•1507rx3215

••cS扇形=360=7"小

故答案为：学71.

【分析】根据菱形的性质以及已知条件得到乙4=30。，^ABC=150°,过点8作BGI/O于点G,由圆的切线

的性质得到8G为半径，然后求出8G,再由扇形面积公式求解即可.

16.【答案】解：原式=(4m2—1)-(4m2+m+4m+1)=4m2—1—4m2—5m—1

=—5m-2；

当m=3时，，-5m-2=-5x3-2=-17.

【解析】【分析】先利用平方差公式和多项式乘多项式法则化简整式，再将m=3代入化简后的式子计算即

可.

17.【答案】解：设甲组有％名工人，则乙组有(35-X)名工人.

根据题意得：2700=3^0X12,

解答：x=20,

经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，

35-x=35-20=15.

答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.

【解析】【分析】设甲组有x名丁人,则乙组有(35-幻名丁人.根据乙组每人每天平均加丁的农产品数量是

甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，得锻=绊2x1.2,解方程求解即可.

35—xx

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18.【答案】解：延长E8交点。所在水平线于点F,可得8F=CZ)=10m,

设3C的长为；n九，

在中，ean/ACB=赛=竽=1.11,

：・AB=1.11%,

..RFRF

在RtAEBC中，tan乙ECB=阮=7=133,

.，•BE=1.33x>

vBE-AB=AE,

r.l.33x-l.llx=7,解得x*31.8,

AB=l.llx=1.11x31.8x353

AF=AB+BF=35.3+10=45.3«45米.

答：广州起义烈士纪念碑的高度约为45m.

/'

DF

【解析】【分析】延长EB交点。所在水平线于点F,可得BF=CD=10m,设BC的长为xm,^.RtLABC^L

E8C中，利用正切的定义求出48和BE长，再根据8E—AB=4E列方程求出x的值，即可求得AB的长，进

而根据AF=AB+BF即可求得AF的长，即求得广州起义烈士纪念碑的高度.

19.【答案】⑴解:如图,48c尸为所求作的图形.

•••西边形力BCD是平行四边形,

••.AD=BC,AD||BC,

...Z.ADE=乙CBF,

又•••^-DAE=乙BCF,

第12页

ADE=△CBF»

AE=CF,^AED=/-CFB

:.Z-AEB=Z.CFD,

:.AE||CF,

四边形AE"是平行四边形，

:.Z-AFC=Z-AEC,

••,经过儿C、E三点的圆也经过点F,

••・四边形4ECF是圆内接四边形，

•••^AFC+/-AEC=180°,

乙AFC=^AEC=90°,

ACE1AE.

【解析】【分析】（1）按照角的作图方法作出即可；

（2）连接力凡CE，利用平行四边形的性质即可证得AO=8C,AD||BC，进而可知乙/WE=乙。8人利用全

等三角形的判定定理（ASA）证得△4DE三ZkCBF,根据全等三角形的性质可得到4E=CF,乙AED=XFB,

可得4EIICF,证得四边形力ECr是平行四边形，证明四边形AECF是圆内接四边形，进而可得/力FC=

Z.AEC=90°,即可得到CEJL4E.

（1）解：如图，4为所求作的图形.

（2）证明：连接力凡CE，

•••四边形48CD是平行四边形,

AD=BC,AD||BC,

•••Z-ADE=乙CBF,

又•••Z-DAE=乙BCF,

ADE=△CBF-)

AE=CF,^AED=乙CFB

：•Z.AEB=乙CFD,

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:.AE||CF,

四边形AECF是平行四边形，

:.Z.AFC=Z.AEC,

,•,经过儿C、E三点的圆也经过点P,

.•.四边形力Ed•是圆内接四边形，

/.^LAFC+/-AEC=180°,

乙AFC=/.AEC=90°,

•••CE1AE.

20.【答案】（1）解：%=”（38+39+41+43+39）=40,

甲3

x=1x（50+484-324-33+34）=39.4,

乙7D

甲型机器人完成搬运任务时间的极差为43-38=5,

乙型机器人完成搬运任务时间的极差为50-32=18,

答：乙型机器入完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小（稳定性更好）;

（2）解：我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1,1,4,4,

rn.i-10x1+8x1+9x4+8x4.

则％甲=---------fo-------=8o.6,

-8x1+8x1+8x4+10x4oo

x乙=----------10--------=88，

8.6<8.8»

•••按照以上标准采购乙型机器人较合适.

【解析】【分析】（1）分别求出甲型机器人和乙型机器人的平均数和极差比较即可；

（2）分出功能性、交互性、安全性及采购价格的比重，分别求巴权重平均数即可.

（1）解：@x=40+1X（-2-1+1+3-1）=40,

甲3

1

X,=40+^x（10+8-8-7-6）=39.4,

甲型机器人完成搬运任务时间的极差为43-38=5,

乙型机器人完成搬运任务时间的极差为50-32=18,

••.乙型机器入完成搬运任务的平均时间更短，甲型机器人完成搬运任务的极差更小（稳定性更好）；

（2）解：我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1,I,4,4,

r10x1+8x1+9x4+8x4-

则mi%甲=---------Jo-------=86

-8x1+8x1+8x4+10x4oo

xy=----------------=8.8，

8.6<8.8,

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.•.按照以上标准采购乙型机器人较合适（答案不唯一）

21.【答案】（1）解：F=k•3•17,

.F24

K=——=-r~c=1.2，

u）-v4x5

当F=48N时，48=1.2x5-to,

解得旋转角速度3=Qrad/sx

答：保持风速不变，若要推力达到48N,此时旋转角速度为8rad/s.

（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为

F=/c-•v=1.2x10x5=60<100,

答：现有装置不能产生100N推力.

②k=0.54=0.5x2nr•/i=3xrxh,

.，*1.2=3x0.5x/i,

解得圆柱体的高力=0.8m,

在最高旋转角速度下，当F=100N时，k=^^=2.

1VXD

又k=0.5x2nr•h，

2=2.4/,

解得ra0.83TH

答：当圆柱体半径变为0.83m时，互以使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力.

【解析】【分析】（1）根据/=k­3・〃和表中数据求得匕结合已知的推力即可求得旋转角速度：

<2）①根据"=保持风速不变，求得现有装置能产生的最大推力即可；

②根据k=0.54求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当尸=100N时求得V，进一步求得V=0.5X2口4

解得r'即可.

（1）解：F=k-co-v,

F24

k=-ii-）---V=7477xc5=12

当F=48N时，48=1.2x5-co,

解得旋转角速度3=8rad/s\

（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为

F=k-to-v=1.2x10x5=60<100,

.••现有装置不能产生100N推力；

②k=0.54=0.5x2nr-h=3xrxh,

•••1.2=3x0.5xh,

解得圆柱体的高九=0.8m,

第15页

在最高旋转角速度下，当F=100N时，k=^^=2.

1UXj

又k=0.5x2nr•九，

:.2=2.4/,

解得r'«0.83m

••・当圆柱体半径变为0.83小时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力.

22.【答案】(1)解：•.•△/IBC,均为等腰直角三角形，^ACB=ABDE=90°,,-.A=BC,OB=

DE,/-CAB=Z-CBA=乙DBE=乙DEB=45°,:.(CBD=Z-CBE-乙DBE=(90°+45°)-5°=90°,

在Rt△48c中,AC=BC=4xsin45°=2VL

在心△BOE中，BE=±AB=2,

:・BD=DE=2xsin4S°=或，

在Rt^BCO中，由勾股定理可知，CD=J（V2）2+（2V2）2=V10»

•・•点M为CO中点，

：.BM是Rt△8co斜边上的中线,

BM=^CD

（2）解：如图所示，连接8N,

•••Z.CBD=45°-乙ABD=乙ABE,%=¥=黑’

.*.△BCDBAE»

:.乙BCD=乙BAE，叠=犒=号'

•••点M是CD的中点，点N是4E中点,

CM=jCD,AN=^AE^

CMCD_CB42

‘丽"荏=而=T

BCM—匕BAN,

・"CBM=CABN,罂=瑞=多

.•・乙MBN=Z.ABM+乙ABN=Z.ABM+乙CBM=AABC=45°,

作MH_LBN,垂足为〃，

...BH=MH=§BM=§xqBN=3BN,

乙乙乙乙

第16页

11

NH=BN-^BN==BH=MH,

:.乙HNM=乙HMN=18*90。=45<>=乙MBN,

•••MN=MB；

（3）解：设A8=4Q,则8E=2Q,:.BC=2aa，BD=W，

①若点D在AB上方，作DPJ.BC,垂足为尸，作MQ18C,垂足为Q,

•••乙DBC=乙ABC-乙ABD=45°-15°=30°,

DP=BD-sin300=^a,BP=BD•cos30。=第Q，

CP=BC-BP=2y[2a-乎Q，

•••DP1BC,MQ1BC,

:.DP||MQ,

：.△CMQCDP,

.CQ_CM__MQ_CM_1

,,QP-AW-A,~DP=CD=2f

...CQ=PQ=ifP=y[2a-^a,MQ=*DP=*Q，

:.BQ=BC-CQ=2\[2a—（&Q-乎Q）=V2a+第Q，

8"2=MQ?+BQ2=（鱼°+第。）+=5+：-。2,

.MN2_BM2_得$2_5+2百

-加-布^-16a2-32

②若点D在AB上下方,

贝Ij/ORU=/ARC+/ARD=4S°+1S°=60°,

作CT_LBD,垂足为7,

第17页

vBT=BC-cos600=yj2a=BD,

•••点T与点。重合，B|JCD±BD,

：.CD=BC•sin60°=亨-20a=瓜a，

DM=^CD

...8M2=BD2+DM2=(V2a)24-(竽=1a2>

.mn2__7_

••AB2~AB2.16a2.32

2

综上所述，a的值为岑g或亮.

AB323Z

【解析】【分析】(1)由已知条件可得力C=BC,DB=DE/CAB=/-CBA=乙DBE=乙DEB=45。,进而可

得匕CBO=90。，再求得BC,BD的长，由勾股定理求出CO,再由直角三角形斜边中线性质即可求得BM的

长；

(2)连接BN,先证明△8C0〜再证明△8CM〜△BAN,则，CBM=那么4M8N=

乙4BM十乙A8N=乙48"十乙C6M=乙48c=45°,作18N,垂足为〃，可得BH=MH=£BN,贝I

NH=BN-^BN=^BN=BH=MH,那么乙HNM=cHMN=450=乙MBN,即可证得MN=MB；

(3)设AB=4Q,则8E=2Q,BC=2&a，BD=&a，分两种情况讨论，①若点。在A8上方，②若点。在

2

上下方，利用解直角三角形和勾股定理求解即可求得吗■的值.

ABZ

(1)解：•・•△ABC,aBOE均为等腰直角三角形，LACB=Z.BDE=90°,

•••AC=BC,DB=DE,乙CAB=/-CBA=乙DBE=乙DEB=45°,乙CBD=乙CBE-乙DBE=(90°+45°)-

45°=90°,

在Rt△4BC中，AC=BC=4xs讥45。=2VL

在内△BOE中，BE=^AB=2,

•'•BD=DE=2xsin450=企，

在Rt^BC。中，CD=j(&)?+(2旬2=同，

•・•点M为CD中点，

・・・BM是R£△BCD斜边上的中线，

乙乙

(2)解:连接BN,

•••乙CBD=45°-^ABD=乙ABE,骼=¥=器，

BCDs匕BAE♦

第18页

:,乙BCD=乙BAE,筵=爱=专，

•••点M是CD的中点，点N是4E中点，

.・.CM=1CD,AN=^AE^

CM_CD_CB_/2.

‘丽"荏=而=T

BCM—△BAN,

」CBM=〃BN,器=嘉=/

.•・乙MBN=Z.ABM+乙ABN=Z.ABM+乙CBM=AABC=45°,

作MHLBN,垂足为H,

...BH=MH=埠BM=条噂BN=3BN,

乙乙乙乙

:.NH=BN-^BN=^BN=BH=MH,

180。一90。

乙HNM=乙HMN=:=45°=乙MBN,

MN=MB；

(3)解：设AB=4a,则BE=2a,

••BC=2&a，BD=V2a，

①若点D在AB上方,作DPIBC,垂足为P,作MQ18C,垂足为Q,

•••乙DBC=乙ABC-Z-ABD=45°-15°=30°,

.・.DP=BD•sin30°=^a,BP=BD•cos3U0=第。，

乙乙

CP=BC-BP=2或。-苧Q，

•••DP1BC,MQ1BC,

:.DP||MQ,

：.△CMQfCDP,

第19页

.CQ_CM__MQ_CM_1

**QP~~MD~~DP=~CD=2f

CQ=PQ=豺=乎Q,MQ=：DP=*Q，

BQ=BC-CQ=2y/2a-"Q-乎Q)=\[2a+乎Q，

BM2=MQ2+BQ2=(V2a++俘。)=5±|旦2,

.MN2_BM2_唱$2_5+2百

AB2~AB2~16a2-32

②若点D在AB上下方,

=/-ABC+乙ABD=450+15°=60°,

作CT_LBD,垂足为7,

BT=BC-cos60°=V2a=BD，

•••点7与点0重合，即

/o

・•・CD=BC-sin600=号•2\[2a=瓜a，

:.DM=*D=%，

BM2=BD2+DM2=(V2a)24-=|a2»

.MN?_BM?__7

..AB2~AB2~16a2-32’

2

综上所述，监的值为岑旦或务

AB32”

23.【答案】(1)解:由折叠得，ODE=ZFDE,

••河边形04BC是矩形，

0A||BC,:•乙ODE=LFED,

乙FED=乙FDE,

.・.FD=EF=BC-CE-BF=8-4b,

如图所示，过尸作FH1OA于H,

第20页

•••Z.OAB=Z5=Z.FHA=90°,

.••四边形FH4B是矩形，

FH=AB=OC=2V3,AH=BF=b，

点M为矩形。ABC的对称中心,

:.M(4,g)MO=CE=3b,

.-.DH=AD-AH=2b,

在中，由勾股定理可知,DH2+FH2=DF2,

2

(2b)2+(2V3)=(8-4b)2,

解得回=1或坊=等

当6=竽时，CE=3b=13>8,不合题意，舍去，

Ab=l,

CE=AD=3b=3,

・••点E(3,2向，

设直线DE的表达式为y=mx+?i,把点M、点E的坐标代入得，

(4m+n=V3_f解得丹=-£

+n=2>/3tn=55/3

直线DE的表达式为y=-V3x+5V3.

(2)解：•・•△/)£•/是等边三角形时，・・・NEFO=60。，

Z

VBCZOA,AZFDH=ZEFD=60°,

由(1)得DH=a-b,FD=FE=8-a-b^

在RtaFHO中，DH=-4^=绰=2,OF=-^=2x2=4,

tan60°y5cos600

.••%。一12解得｛：=；,

v8-a-b=43=1

•••点E(3,2V3)；

(3)解：如图所示，连接OM,O'M，O'B，

第21页

••河边形4BFE与A'B,FE关于“所在直线成轴对称，

•••0D=O'D,

•••点M为矩形048c的对称中心，

•••0D=BE,

BE=O'D,

同理MB=0M=O'M,

由(1)知FE=FD,

：.BE-FE=0'D-FD,即BF=O'F,

又MF=MF,

MFB三△MFO'(SSS),

:.乙BMF=LO'MF,£MFB=LMFO',

•••乙HFB=乙GFO',

:.Z-MFB-Z-HFB=乙MFO'-乙GFO1即々M/7"=乙MFG,

MFH三△Mf'GG4s4),

：•S4MFH=S^MFG»

Si=2s4MFH»

.Si_2sAMFH

♦・S2-S2'

VFE=FD,FB=FO1,

乙FED=乙FDE=Z-FBO'=乙FO，B,

ED||BO',

.•.△MHO〜△8"。'，2EFD〜ABF(T,

MH_MD

BHB0’‘

..S^MFH_M5

.—§7■-一丽’

.S.2sAMFH_2MH_2MD_DE

F-S2-BH_BJ

VAEFD〜△"O',

第22页

DE_EF

:•高=饼'

S\_EF_8-a-b

F-丽=-b--

【解析】【分析】(1)利用折叠可知乙ODE=4尸0£,根据矩形的性质和平行线的性质可知4ODE="ED,

进而可得乙/EO=2FOE,即得尸E=/。，过尸作尸H1OA于“，可得四边形FHA8是矩形，得FH=48=

OC=2\/3,4H=BF=b,又由点M为矩形04BC的对称中心，可得点M的坐标，AD=CE=3b,得到

DH=AD-AH=2b,在Rt△FHO中，山勾股定理得(2b>+(2⑸？=9