菱形（知识清单）原卷版-2026年中考数学一轮复习-2026年中考数学一轮复习

专题16菱形（2大考点+15大题型+6大易错+6大方法+测试）

目录

01锚-课标要求：指引命题方向，落实核心素养

02理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系

盘•知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（2个核心考点）

考点01菱形的定义与性质

考点02菱形的判定

探-重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（15大重难题型）

题型01题型01利用菱形的性质求角题型02利用菱形的性质求边长

题型03菱形面积的计算题型04菱形性质的有关计算与证明

题型05菱形的判定条件题型06证明四边形是菱形

题型07菱形的性质与判定题型（）8菱形与多结论判断问题

题型09菱形与翻折问题题型10菱形与最值问题

题型11菱形与动点问题题型12菱形与规律探究

题型13菱形与函数问题题型14菱形与新定义问题

题型15菱形压轴问题

05辨-易混易错：警示常见误区，辨析细徼差别（4个易混.易错点）

易错点01误用菱形的判定条件

易错点02没有分清菱形的性质与判定

易错点03菱形的实际生活应用

易错点04菱形的探究与变式综合问题

06拓­方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（7大方法技巧）

技巧01；证明一个四边形是菱形

技巧02：利用菱形的性质计算线段的长度

技巧03：菱形与动点问题

技巧04：菱形与折叠问题

技巧05：菱形与几何最值何题

技巧06：菱形与存在性问题

技巧07：菱形与函数综合问题

07测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力

01

锚•课标要求

I.探索并证明菱形的性质定理，会利用菱形的性质和判定进行有关的计算与证明

2.探索并证明菱形的判定定理，会证明一个四边形是菱形

3.掌握菱形的常考题型：菱形性质的有关计算与证明；菱形的判定及证明；菱形的性质与判定综合问

题：菱形的几何综合问题；菱形与函数综合问题

☆

02

・理•思维导图

菱形

03

盘•知识梳理

考点01菱形的定义与性质

1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2.菱形的性质：

①菱形具有平行四边形的一切性质；

A

②菱形的四条边都相等；

几何语言：•・•四边形ABCD是菱形/\

AAB=CD=AD=BC\°

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对珀；\/

几何语言：•・•四边形ABCD是菱形\/

AAC1BD,ZADB=ZCDB=ZABD=ZCBD,丫

ZBAC=ZDAC=ZBCA=ZDCA

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

3.菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式.②菱形面积(a、b是两条对角线的长度)

2

【解题方法】

(1)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.

(2)菱形(正方形除外)是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，

(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且把菱形分成四个全等的直角三角形，进而可得菱形边长的平方等于

两条对角线长一半的平方和。

(4)菱形的四条边相等，故可连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题，

考点02菱形的判定

1.菱形的判定方法：

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等二菱形)；

几何语言：•・•平行四边形ABCD中，AB=BC.

・•・四边形ABCD是菱形

②四条边都相等的四边形是菱形.

几何语言：・・・在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,

・•・四边形ABCD是菱形

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）.

几何语言：:在平行四边形ABCD中，AC1BD,

・•・四边形ABCD是菱形

2.菱形的判定思路

四条边都相等一菱形

对角块互相垂直平分T菱形

四边形，

对角我互相垂直一菱形

平行四边形，

、有一组邻边相等T菱形

4

次:

小筮题型01利用菱形的性质求角

【典例1】（2025•辽宁•一模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点。，DH工AB

于点，，连接O〃，ZG4D=35°,则NHOB的度数为.

【变式练习】

1.（2024•广东•模拟预测）若菱形中两个相邻内角的度数比是2:3,那其中较大的角的度数是（）

A.72°B.1080C.1200D.135°

2.（2024.河北.模拟预测）如图，在菱形AACO中，NAAC=60。，点E是对角线8。上的点，点O是/BEC

和N8CE的平分线的交点，则关于NCOE下列说法正确的是（）

A.大小为定值,等于105。

B.大小不确定，可以等于90。

C.大小为定值，等于150。

D.大小不确定，随着点E的变化而变化

3.（2025•陕西渭南•一模）如图，AC为菱形ABC。的一条对角线，过点。作CE1A6于点E,若乙48=28。,

则。的度数为.

腼题型02利用菱形的性质求边长

【典例2】（2025•四川雅安•二模》如图，菱形/WC。的周长为20,面积为30,P是对角线BD上一点,分

别作P点到直线AB,的垂线段PE,PF,则PE+PE等于.

【变式练习】

4.（2025・四川雅安•一模）如图，菱形AHC。的对角线AC,8。相交于点O,过点A作/正_L8c于点E,连

接。E.若。8=12,菱形48co的面积为54,则OE的长为（）

A.4B.4.5C.5D.5.5

5.（2024・广东•模拟预测）如图，在菱形A4C。中，AA=4,BD=7,若M、N分别是边A。、AC上的动

点，且AM=BN,作ME_L8Z）,NF1BD,垂足分别为E、F,则ME+M7的值为（）

A.3B.VlOC.9715D.叵

2

6.（2025.陕西汉中•一模）如图，在菱形A8CD中，A8=4,ZBAD=O）°,点、E、尸分别在边8。和8c的

延长线上，连接AE、AF.AC,A/与CO边交于点G,若NEA产=30。，£>G:GC=3:1,则线段EF的长

为一.

施。题型03菱形面积的计算

【典例3］（2025•福建福州•模拟预测）如图，菱形ABC/）的面积为10,E,F,G,〃分别是边ABBGCD,AD

的中点，则四边形EFG”的面积为一.

7.（2024.湖南.模拟预测）如图，已知菱形ABC。的边长A8为10,ZA=60°,此菱形的面积为（）

A.25百B.5()6C.75x/3D.]()()G

8.（2025・海南•模拟预测）如图，菱形A8C。的对角线AC与瓦）交于点O,过点。作_L8C于点，,

连接O”,若A4=5,O〃=3,则48DC的面积等于（)

AD

A.24B.18C.14D.12

9.（2025•宁夏银川•二模）如图，把图I中周长为20的菱形/WC。分成四个全等的直角三角形，将这四个

直角三角形拼成如图2所示的弦图，且弦图中间的小正方形面积为1,则菱形A8CO的面积为.

图1图2

施电题型04菱形性质的有关计算与证明

【典例4】（2024.广东•模拟预测：如图，在菱形48C。中，对角线4C、8。相交于点。，过点。作一-条直

线分别交D4、8c的延长线于点E、F,连接8£、DF.

（1）求证：四边形/孙修£是平行四边形；

（2）若垂足为M,tan/M8O=J,求臼的值.

【变式练习】

10.（2025•云南丽江•一模）如图，在菱形A8CO中，AC,80相交于点。，过点。作C£〃&），使=,

连接。E.

⑴求证：四边形。。CE是矩形.

（2）若菱形ABC。的面积为48,求矩形OOCE的面积.

H.（2025•浙江杭州•二模）如图，在菱形ABC。中，点石在边BC上，连接。石并延长，交48的延长线于

点尸，连结AC交OE于点连结5P.

（2）若AD=6,PB=2PE,求的长.

12.（2025・上海静安•二模）如图，菱形ABC。的对角线4C和交于点O,分别过点。、D'^CE//BD,

（1）求证：四边形ODEC是矩形：

（2）连接人E，交CD于点、F,当N4DB-600,A£>=2当时，直接写出的长.

醒题型05菱形的判定条件

【典例5】（2025•陕西西安•模拟预测）如图，在矩形A8CD中，点E、尸分别在边A。、8C上，且=在

不添加任何辅助线的情况下，现只需添加一个条件即可证明四边形8EE尸是菱形，这个条件可以

是.（写出一个即可）

【变式练习】

13.（25-26九年级上•辽宁沈阳•期中）如图，已知NA.尺规作图：①以点4为圆心，任意长为半径作弧，

与NA的两边分别交于点从。；②分别以点从。为圆心，以AZ）长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别

连接DC,BC.则可以直接判定四边形ABC。是菱形的依据是1）

A.四条边相等的四边形是菱形B.一组邻边相等的平行四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

14.（2025・山西长治•二模）如图，在四边形ABC。中，E,尸分别是40,8c的中点，G,〃分别是对

角线80,4。的中点，若四边形EG尸”是菱形，则四边形A8CO应满足的条件是（）

A.AC=I3DB.AB=CDC.AC1BDD.AB=AD

15.（2022•河南洛阳•一模）如图，在四边形人AC。中，AD//BC,A8=AD,下列条件①AC/4。；②

OA=OC；③4c平分N8CZ）；®ZABC=^ADC,能判定四边形ABC。是菱形的有.（填写序号）

腼题型06证明四边形是菱形

【典例6】（2025•山东青岛•二模）如图，AD是V48c的中线，过点。作A8的平行线交AC于点E,。是

AZ）的中点，连接EO并延长，交AB于点F,连接。尸.

（1）求证：OE=OF；

（2）当VABC满足什么条件时，四边形4ED尸为菱形？写出你的猜想并证明.

【变式练习】

16.(2025•江苏南京•三模)如图，在口ABCQ中，点E,尸分别在48,C。上，NBED=/BFD.

(1)求证：四边形BED尸是平行四边形；

(2)若A6=8,八0=4,ZA=60°,当AE的长为时：四边形8功尸是菱形.

17.(2025♦浙江金华•三模)如图，矩形A88的对角线AC,BO相交于点O，DE//AC,CE//BD.

(1)求证：四边形OCED为菱形；

(2)若A8=3,AC=5,求菱形OCED的面积.

18.(2025・云南,模拟预测)如图，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,。为A8的中点，AC垂直平分EO,AC

交ED于点、0.

A

(1)请判断四边形AEC。的形状；

(2)若A8=10,AC=6,求四边形4ECO的面积.

腿题型07菱形的性质与判定

【典例7】(2025•安徽阜阳•三模)如图，oABCO的对角线AC与8。相交于点。，点E在AC上，且点E

又同时在边AB,AD的垂直平分线上，连接既，DE,旋转CB得到C尸，使得点尸落在A6的延长线上.

图1图2

⑴求证:o/WCD是菱形.

(2)如图1,当时，求证：D13//CF.

(3)如图2,当。E||CF时，求B三F的值.

【变式练习】19.(2025・四川凉山•模拟预测)如图，在矩形A8C。中，按以下步骤作图：①连接8。；②

分别以点8,。为圆心，大于:㈤的长为半径作弧，两弧分别交于点M,N；③作直线MN交8。于点。,

交AO于点E,交8c于点F：④连接比，DF.若A8=3,AD=9,则下列结论错误的是()

B.为等腰三角形

4

C.四边形为菱形D.tanZEBF=-

3

20.(2024・湖南•模拟预测)如图，以VA8C的三边为边分别作为等边“8、等边V8b和等边△ABE,

连接OE和E/L

(2)判断四边形CDE歹的形状，并说明理由;

(3)若AC=AC=6,AB=6百,求四边形CDEF的面积.

21.(2025•浙江温州•三模)如图，在平行四边形A8C。中，连结8。，点E是8。上一点，连结AE,EC,

已知A£=EC.

(1)求证：四边形A8CD为菱形.

Is4

（2）记菱形ABC。的面积为S「四边形AEC。的面积为S?.若AE=Ji6,tan/4BO=7,寸二三.求AB的

2〜J

长.

解题型08菱形与多结论判断问题

【典例8】（2022•四川德阳•模拟预测）如图，在正方形纸片438中，对角线AC、8。相交千点。，折叠

正方形纸片A4C。，使A。落在〃。上，点A恰好与8。上的点广重合，展开后，折痕。七分别交AB、AC

于点E、G,连接G尸，下列结论：①ZAGD=112.5。；②tanZAED=2；®GF//AE；®Sarw:S^.E=1:2.其

中正确结论的序号是

【变式练习】

22.（2025•浙江舟山•一模）如图，矩形ABC。周长为8,且AC>CD.连接5D,作点C关于的对称点

E,连接。E，连接防交AO于点P,作尸G_L8。交BC于点G,下列说法中正确的有（）个.

®2<BC<4；②三角形的周长为定值4

③当4c变大时，四边形处8G的面积先变大后变小；④当4c变大时，AP反而变小

A.IB.2C.3D.4

23.（2025•浙江•模拟预测）如图，在菱形ABCO中，ZABC=60°,对角线AC,8。相交于点O,P是对

角线3£>上的动点，且丁点M,PN入AD丁点、N.有以下结论：①VA6C为等边三角形，②

OB=43OA,③NMPN=60。,④PM+PN.BD.其中正确的是（）

BC

A.①②B.①③④C.②③④D.®@®®

24.（2025・贵州遵义•模拟预测）如图，在矩形中，AB<BC,连接AC,分别以点4,。为圆心，

大于的长为半径画孤，两弧交于点M,N,直线MV分别交AO,BC于点E,F.下列结论：

①四边形4改尸是菱形；®ZAFB=2ZACB,®ACEF=CFCD.④若从产平分NB4C,则=2BF.

其中正确结论的序号是.

的题型09菱形与翻折问题

【典例9】（2022•山东百岛•一模）如图，在菱形纸片ABCQ中，/W=2,ZA=60°,将菱形纸片翻折，使

点A落在C。的中点E处，折痕为FG,点F,G分别在边AB,A。上，则EF的长为.

【变式练习】

25.（2021•山东青岛•一模）如图，在菱形ABC。中，£尸分别是菱形A&8c边上的点，将△麻正沿着b

折叠，点A恰好落在边CO中点G上，已知AB=2,/8=6（r,则「6的长度为（）

26.（2025•河南驻马店•三模）如图，菱形A8CO中AA=3,ZMD=120°,/>为CO边上一点，且。尸=1,

折叠菱形48C。使点8与点尸重合，展开后得到折痕，分别与48、BC交于点M、N.则CN的长为（）

A.1B.—C.~D.一

824

27.（2025•湖北•模拟预测）在菱形A6C£＞中，边长为6,23=60。，点”是的中点，连接AC.N挺BC

上一动点，把VA8C沿MN折叠，使点8恰好落在AC边上的8'处，且A8':8'C=2:1,则8N=.

4

【典例10］（2025•陕西咸阳•二模）如图，在菱形A8C。中，tan乙48c=§,E,F,G分别为8。，AB,

AO上的点，连接£7LEG,若EF+EG=12,则菱形人AC。面积的最大值为.

【变式练习】

28.（2025•江苏无锡•二模）如图，在菱形ABCO中，NA=60。，AB=4,E、/分别是AB、8c上的动点,

连接。尸、EF,M、N分别为。尸、所的中点，则的最小道是（）

A.V3B.2石C.ID.2

29.（2025•河北保定•三模）如图，在菱形A8CO中，A8=8,4=60。，P是A8上一点，BP=5,。是CO

边上一动点，将四边形APQ。沿直线尸。折叠，A的对应点A.当CA'的长度最小时，则CQ的长为（）

30.（2025.山东青岛•模拟预测）如图，在边长为10cm的菱形ABCO中，/B4O=60。，对角线AC和80交

于点0,£为线段A。上一动点，连接力£,。£的垂直平分线交AO于点M,交8。于点N,则线段AM的

最大值为.

艇题型11菱形与动点问题

【典例11］（2019•江苏无锡•一模）如图，在菱形A8CO中，已知N8AO=120。，对角线8。长12.

⑴求菱形A8C0的周长：

（2）动点P从点A出发，沿A-8的方•向，以每秒1个单位的速度向点8运动；在点P出发的同时，动点Q

从点。出发，沿DfCf"的方向，以每秒2个单位的速度向点4运动.设运动时间为，（s）

①当P。恰好被B。平分时，试求，的值；

②连接AQ,试求：在整个运动过程中，当/取怎样的值时，△AP。恰好是一个直角三角形？

【变式练习】

31.（2025•新疆伊犁•模拟预测）如图1,在菱形A8CZ）中，连接BD,动点P从点A出发沿折线ABTBD—DA

匀速运动，回到点A后停止.设点P运动的路程为X,线段a的长为〉'，图2是＞与x的函数关系的大致

图象，点M为第2段函数图象上的最低点，结合图象判断以下结论：①80=10；②△BCD为等边三角形；

③菱形A8CD的面积为100G；④最低点M的坐标为05,56）.其中结论正确的个数是（：

BC

A.4B.3C.2D.1

32.（2025.河北邯郸•三模）如图①，菱形A8CO的对角线AC与8。相交于点O,P,。两点同时从。点出

发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点户的运动路线为O-A-力-O,点Q的运动路线为

O-C-B-O.设运动的时间为x秒，P,。间的距离为y厘米，），与x的函数关系的图象大致如图②所示.有

以下四个结论：①AC=2Gcm；②AO=2cm；③当点P在4-。段上运动，点。在C-8段上运动时，y

随工增大而增大；④当点P在A-。段上运动且P,Q两点间的距离最短时，P,。两点的运动路程之和为

（2石+2）厘米.其中正确结论有（）个

A.1B.2C.3D.4

33.（2025•山东青岛•模拟预测）如图，在菱形A8CO中，对角线AC、3。相交于点O,AC=6cm,8O=8cm,

动点尸从点8出发沿84方向匀速运动，速度为lcm/s；动点。从点。出发沿08方向匀速运动，速度为

lcm/s.连接PQ交AC于点E,过点Q作。尸||48,交AO于广，在运动过程中始终保持Q尸与/W平行，

若点产和点。同时出发.设运动时间为«s）（0</<4）,解答下列问题：

（1）当，为何值时，四边形AP。尸是平行四边形.

（2）是否存在某一时刻八使得四边形4PQF的面积是菱形A8CO面积的匕.若存在，求出，的值；若不存在,

请说明理由.

（3）是否存在某一时刻f,使得PQ，。/？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

艘题型12菱形与规律探究

【典例12]（2025•河南郑州•模拟预测）如图，在菱形48CD中，顶点A,B,C,。在坐标轴上，且A（0,2）,

N44c=60。，以为边构造等边三角形AO£,将VADE和菱形A3C。组成的图形绕点O顺时针旋转，每

次旋转90。，第-次旋转结束时点E的对应点记为第二次旋转结束时记为依次类推，第2025次旋

转结束时，点£期5的坐标为（）

A.(4,-273)B.(-273,4)C.(-2>/3,-4)D.(-4,-2x/3)

【变式练习】

34.（2024・河南•三模）如图，菱形O48C的顶点500,A（-l,0）,ZB=60°,若菱形Q4BC绕点。顺时针

旋转90。后得到菱形。44G，依此方式，绕点。连续旋转2024次得到菱形那么点。初4的

坐标是（）

C.D.

22,2

35.（2025•广东•模拟预测）如图，作出边长为1的菱形A8CO,ND48=60。，连接对角线AC,以AC为

边作第二个菱形ACGA，使NRAC=60。，连接4G，再以4G为边作第三个菱形AGG&,使

N2AG=60°；….按此规律所作的第2023个菱形的边长为

Cl

36.（25-26九年级上.广东揭阳.期中）如图，已知菱形A8CO的边长为2,ZBAD=60°,进行如下操作：

第一次，顺次连接菱形ABC。各边的中点，得到四边形A4G。；第二次，顺次连接四边形4圈GR各边的

中点，得到四边形482c2%…如此反复操作下去，则第〃次操作后，得到四边形的面积是.

的题型13菱形与函数问题

【典例13】（2025•江西抚州・二模）如图，在平面直角坐标系文。1y中，菱形43co的边A8在％轴正半轴上,

备用图

⑴求该抛物线的解析式：

（2）点p是该抛物线上一点，点。在直线y=x上.

①若P为该抛物线的顶点，求证：点A,P,C三点共线；

②若24=尸。，直接写出点。的坐标.

【变式练习】

37.（2025•江西•二模）如图，菱形OA8C中，tanNB=*Q4在工轴的正半轴上，点A的坐标为（5,0）.反

比例函数)，4的图象经过点c.

(1)求反比例函数的解析式.

(2)试判断线段A8的中点E是否在反比例函数的图象上，若在，请说明理由：若不在，请你将线段A8沿X

轴方向平移，使得的中点E落在反比例函数的图象上，直接写出平移方向和距离.

38.(2025•内蒙古包头•二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=加+桁-3与无轴交于A(TO)、B

图1图2

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折，得到四边形POPC,是否存在点使四边形POPC为菱形?

若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,过点P作尸O〃x轴交抛物线于点。，作总_LBC于点E,求PD+逝PE的最大值.

毓题型14菱形与新定义问题

【典例14](2025•浙江杭州•一模)定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为，组合菱形”，

内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示.如图，菱形A3c。和菱形外叱是组合菱

形，其中8。与E尸共线，且满足=

A

(1)组合比上=；

⑵若BE=2,AB=3,求AC的长；

(3)若N84O=ZAEC,求证：NAE8=30。.

【变式练习】

39.(2025・山东聊城•三模)我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形

图1

⑴在我们学过的下列四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，是“神奇四边形”的是(填

序号)；

(2)如图1,在正方形44CO中，E为BC上一点,连接4E,过点B作BG_LA石于点”，交CO于点G,连

AG,EG.

①判断四边形A8EG是否为“神奇四边形”，井说明理由；

②如图2,点M,N,P,。分别是，AB,AG,GE,EB的中点.判断四边形MNP。是否是“神奇四边形”，并

说明理由.

40.(2025•山东青岛•一模)在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，

对“等对四边形”进行研究.

定义：对角线相等的四边形是等对四边形.

(1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是：

①矩形；②菱形；③正方形：④平行四边形

(2)操作：如图1是6'8方格，每一个小正方形的边长为1,在方格中画一个对角线长为2J记的等对四边形,

要求四个顶点均在格点上:

（3）布理：如图2,已知V人8C中，以A5和AC为边在V45c的外侧分别作等腰直角△A3。和AACE,连结

DE.求证：四边形8c是等对四边形.

鹏题型15菱形压轴问题

【典例15]（2025•山西忻州•二模）综合与探究

如图，在菱形A3CO中，乙48C=60,点P是对角线AC上的一个动点（不与点A,C重合），过点尸作

PEDAB交BC于点、E,连接丹〉将线段P。绕点尸顺时针旋转得到线段外•，点。的对应点尸恰好落在射

线BC匕

问题解决：

（1）线段AP与的之间的数量关系是；

（2）求ND尸尸的度数.

拓展探究：

（3）连接P8,PF与CD交于点G.若AB=6,PB=2yfl,请直接写出G尸的长.

【变式练习】

41.（2025・浙江•模拟预测）在菱形A3CD中，ZBAD=I2O°,连接AC.

图1图2

（1）判断VA4C的形状并说明理由.

（2）如图1,区尸分别为边AC、8C上的动点，AE=CF,AF交BE于点P.

①如图2,连接C尸，若NCPF=NCBE,求证：BF-CFBC，

②若44=2,直接写出动点P到直线A8的最大距离.

42.（2025・贵州,模拟预测）综合与探究：如图，在菱形48co中，/3=60。，E是射线C8上一动点，作射

线AE.

（I）【操作判断】

如图①，AELBC,将射线4E绕点A逆时针旋转60。交C。于点立根据题意在图①中画出射线4尸，图中

ZAFD的度数为度；

（2）【问题探究】

如图②，点£在线段上（不与点从C重合），将射线AE绕点人逆时针旋转60。交CO于点尸，探究线

段A3,CE,CF之间的数量关系，并说明理由：

（3）【拓展延伸】

如图③，点E在射线C8I-.,将射线4E绕点A逆时针旋转60。交射线0c于点F.若菱形A8CZ）的边长为4,

BE=[.求A尸的长.

05

上辨•易混易错

区易错点01误用菱形的判定条件

【错因】菱形的判定条件掌握不熟练

【避错关键】熟练掌握菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱

形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【典例】

1.如图，BD,AC是0ABe。的对角线，过点A作AE_LAC,交CO的延长线于点E,则添加下列条件，

不能使为菱形的是()

A.CD=EDB.ZEAD=ZCADC.AC1BDD.ZADE=2ZCAD

2.如图，在四边形A6C£＞中，AB=AD,BC=DC,AC,3。交于点O.添加一个条件使这个四边形成为

一种特殊的平行四边形，则以下说法熔误的是()

A.添加l“A8〃8”，则四边形A8co是菱形

B.添加“N84O=9()。”，则四边形43co是矩形

C.添加“OA=OC"，则四边形八AC。是菱形

D.添加“NABC=N8CO=9()c"，则四边形ABC。是正方形

3.如图，在中，对角线AC与B。相交于点O,E为OB延长线上一点，且BE=OB,F为OD延

长线上一点，RDF^OD,连接AE,EC,CF,FA.

(1)求证：AE=CF；

(2)已知(从以下两个条件中任选个作为已知，填写序号)，请判断四边形AEb的形状，并

证明你的结论.

条件①：AC=2BD；

条件②：AC平分NB4O.

(注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分)

性易错点02没有分清菱形的性质与判定

【错因】对于菱形的性质与判定不能进行灵活的应用

【避错关键】解决此类问题时，要先利用菱形的判定证明四边形是菱形，再通过菱形的性质进行求解或证

明，要注意两者的联系和区别，

【典例】

4.如图，在048c。中，对角线AC,8。相交于点0,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中

点，连接月从FG、EG,FG交RD于苴N.下列结论：&EG=^BC.@AE^GF,③C4平分N88；④

GN=NE.其中正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.如图，在菱形A8C。中，ZBAD=60°,4c与8。交于点。，E为CO延长线上的一点，且CD=£>E,连

接跖分别交AC,于点尸，G,连接。G,有下列结论：①OG=g人K；②与^EG。全等的三角形共有

5个；③S.形面5>S》BF;④由点八，R,。，E构成的四边形是菱形.其中一定正确的是（）

A.①③B.①④C.②③D.（2X4）

6.如图，在矩形A8C。和矩形8口把中，AO与踮相交于点朋，8c与。尸相交于点N,连接AE,NM,

并延长MW与AE相交于点P,若AB=BF,则下列结论正确的是

①@NP工AE；③AE=ED；④连接BD,若/BMD=120。,四边形BNDM与四边形ABDE

的面积之比为4:9.

E

|一易错点03菱形的实际生活应用

【错因】对于实际应用问题，不能正确的运用菱形的性质进行求解

【避错关键】利用数学知识解决实际问题时，应将实际问题中的数量关系转化到图形中求解此类题主要考

查了菱形的性质、三角形的有关计算、勾股定理、方程思想等.

【典例】

7.如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、尸、C、G、”处安装上、下两排挂钩，

可以根据需要改变挂钩间的距离，并在8,M处固定.已知菱形A3c。的边长为20cm,要使两排挂钩的距

离（即AC）为32cm,则8W之间的距离为（）cm

AEF

8.如图1,是•个三节段式伸缩隙衣架，如图2,是其衣架侧面示意图，为衣架的墙角固定端，A为

固定支点，8为滑动支点，四边形。回G/和四边形E〃”是菱形，且AF=BF=CH=DF=EH,点、B在AN

上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点A和点C间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩

效果，伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42c〃7,当点A向点A移动8。九时，外延长度为90。储

图⑴图⑵图。）

(1)则菱形OFG/的边长为cm,

(2)如图3,当/A8F=60。时，M为对角线(不含〃点)上任意一点，则+的最小值为.

区易错点04菱形的探究与变式综合问题

【错因】对于菱形的探究与变式综合问题，不能正确的找到变化与不变之间的几何关系

【避错关键】在给定条件下，菱形中或与菱形相关的某种特殊图形(等腰、直角、相似、全等)是否存在。

几何最值：利用菱形对称性、两点之间线段最短、垂线段最短等原理求最值

【典例】

9.在四边形43co中，AD=AB、CD=CB,石为射线AC上的一点，四边形AEFD为平行四边形.

(1)如图1,连接“，CF,若AB=CB、NBEF=900,求证：四边形4c正是矩形；

(2)如图2,连接BE,BF,RD,BD交AC于点0.若A8=8C,4c=4.80=2,求△班户的周长的最小值;

(3)如图3,连接跖，BD,BD交AC于点0.若=,当△BCE是等腰三角形时，直接

写出生的值.

Ch

10.如图，在菱形ABC。中，AB=5,8。为对角线.点E是边A8延长线上的任意一点，连接。石交BC于

点尸，BG平分NCBE交DE于点G.

备用图1备用图2

(1)当点尸恰好为的中点时，求证：ADCF乌AEBF；

(2)若80=6,DG=2GE.

①求菱形ABC。的面枳；②求证：/DBG=90°；③求tan/BDE的值.

(3)JrBE=AB,当ND钻的大小发生变化时(0。</048<180。).在AE上找一点7.使GT为定值，说

明理由并求出ET的值.

06

拓•方法技巧

1技巧01：证明一个四边形是菱形

《方法技巧》

一、菱形的判定思路：

1.基于“四边形”直接判定四条边都相等如果一个四边形的四条边长度都相等，那么它一定是菱形。（这

是最直接的判定，不需要先证平行四边形）

2.基于“平行四边形+额外条件”判定

如果已知四边形是平行四边形，那么满足以下任一条件即可判定为菱形：

（1）.一组邻边相等的平行四边形.因为平行四边形对边相等，若有一组邻边相等，则四条边全等。

（2）.对角线互相垂直的平行四边形.平行四边形对角线互相平分，若还互相垂直，那么根据垂直平分线的

性质可推出邻边相等，从而四条边相等。

二、常见的题目类型：

题目通常不直接给“四条边相等”，而是给：

平行四边形+邻边相等；

平行四边形+对角线垂直；

一般四边形+对角线垂直平分；

三角形+中位线或对称条件推出四边相等.

【典例】

1.如图，在矩形ABC。中，AC是对角线.

（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段AC的垂直平分线，垂足为点。，与边AB,。。分别交于

点E,尸（要求：不写作法，保留作图痕迹）；

⑵在（1）的条件下，连接"，CE,求证：四边形4EC尸为菱形.

2.如图，平行四边形A8CD中，AE平分NBA。交8c于点为AD边上的点，且=，连接3REF.

AD

(1)求证：四边形尸是菱形；

(2)连接C/，若CE=1,CF=6AB=2,求8尸的长.

3.在VAKC中，ZC=90°,D为BC边上一点,连接A。，AF//CD,。尸_LA/3于点E.

BCf

(1)如图1,若Ab=AO,连接8F.求证：四边形为菱形；

(2)如图2,连接CE交A。于点G,若CE平分NAC8求证：△GEAs”^/).

脑|技巧02：利用菱形的性质计算线段的长度

《方法技巧》

利用菱形的性质求线段的长的一般方法：

在菱形中求线段长时，往往是根据菱形的相关性质，将问题转化到三角形(如直角三角形、等腰三角形)

中，利用勾股定理等腰三角形的性质等进行求解，

【典例】

4.如图，0是菱形4AC。对角线的交点，BE//AC,AE//BD,连接8.若NAAC=60。，BC=2,则CE

的长为()

C.x/7D.2x/7

5.如图，菱形ABC。沿射线AC平移，得到菱形E/GH,延长AO,GH交于点M,延长AB,GF交于点、

N.若AB=3BN=3,Z45C=120°,则EC的长是.

M

D3

N

6.如图，在菱形ABC。中，点/»为对角线4c上的动点，连接OP,将OP绕点。按逆时针方向旋转至。。,

使，PDQ=NADC,PQ与CQ交于点E.

Q

（1）求证：△PECs4DPA；

（2）已知AD=5,AC=8.

①当。PJL/U）时，求ZW*的面积；

②当OC将VOPQ分成的两部分的面积之比为1：2时，试求出的值.

回技巧03：菱形与动点问题

《方法技巧》

菱形中点的运动引起线段长度、角度、面积的变化，求函数关系或最值，菱形已知部分顶点，某个顶点（或

相关点）在某一轨迹上运动，求满足特定条件（如线段长度、角度、面积等）时动点的位置或相关量的最

值。

【典例】

7.如图1,四边形ABCO为菱形，动点P,Q同时从A点出发，点P以每秒1个单位长度沿线段A。向终点

。运动；点Q沿线段向终点O运动，当点P运动至终点时，另一点。也恰好到达终点.设运

动时间为x秒，△APQ的面积为了个平方单位，图2为），关于x的函数关系图象.下面四个结论中：①点。

的运动速度为每秒3个单位长度；②菱形A3CQ的边长为6；③当x=l时，），=2.5；④曲线"G段的函数解

析式为），=一5/十三工，结论正确的是（

)

图1图2

A.®@®®B.①②③C.①②④D.①④

8.如下图，在菱形ABC。中，对角线AC,相交于点0,AC=8cm,BD=6cm,尸为AC上的一个动

点，以lcm/s的速度从点A出发，沿AC向点C运动.设运动时间为i