高考数学复习考点讲练：不等式综合问题（练）解析版

第一篇热点、难点突破篇

专题01不等式综合问题（练）

【对点演练】

一、单选题

1.（2022•辽宁•朝阳市第一高级中学高三阶段练习）已知命题*wR,3a，+2ax+lW0是假命题，则实数。

的取值范围是（）

A.（r,0]U（3,+oo）B.（-8,0）U（3,”）C.（0,3）D.[0,3）

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数。的取值范围.

【详解】由题意得一卯是真命题，即VxeR,3M+2办+1>0，

当。=0时，1>0符合题意；

当"0时，有。>0,且△=（2。）2-4・3”0,解得0<。<3.

综上所述，实数。的取值范围是[0,3）.

故选:D.

2.（2022・全国•高三专题练习）不等式d-bx+c>0的解集为何-则函数y=w2+bx+c的图像大致为

【分析】根据题意，可得方程奴2-Ar+c=0的两个根为x=-2和尸1,且。<0,结合二次方程根与系数的关系

得到。、6、。的关系，再结合二次函数的性质判断即可.

【详解】根据题意，ad-Av+oO的解集为{x|-2<x<l},则方程一6+c=0的两个根为工=-2和x=l,且

a<0.

c,b

-2+l=一

则有（-2）x1=-,变形可得-7,

a[c=-la

。<0

故函数y=a』+Z>x+c=a『-a"2a="x-2）（x+l）是开口向下的二次函数，且与x轴的交点坐标为（-1,0）和

（2,0）.

对照四个选项，只有C符合.

故选：C.

3.（2022•重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））关于x的不等式4/+2办+1>0恒成立的一个充分不必要

条件是（）

A.0<a<lB.0<«<1

C.0<tz<lD.0<a<l

【答案】D

【分析】根据二次不等式恒成立得。«。，1），再根据充分不必要条件的概念求解即可.

【详解】解：当。=0时，1>0,该不等式成立；

当匕"，d八，即0<“<1时，该不等式成立；

综上，得当04。<1时，关于％的不等式ar2+2ax+l>0恒成立，

所以，关于工的不等式如2+2办+1>0恒成立的•个充分不必要条件是0<a<l.

故选：D.

4.（2022・宁夏•银川一中高三阶段练习（理））《忠经•广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生

活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边

臂不等长）称黄金，顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的祛码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;

然后又将5g的祛码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）

A.大于10gB.小于10gC.等于10gD.以上都有可能

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.

【详解】由于天平两臂不相等，

故可没天平左臂长为。，右臂长为（不妨设。〉与，

第•次称出的黄金重为xg,第二次称出的黄金重为yg,

rtl杠开平衡定理川-得，=xb,ya=5b,

贝心=半，y=—»x+y=^-+—>iol^--=10,

baba\ba

故顾客实际所得黄金大于10g.

故选：A.

5.(2022•湖北•高三阶段练习)已知随机变量4：N(D),且〃(4«0)=〃(€之。)，则，+_2_(0<X<4)的最

xa-x'

小值为()

A.9B.8C.?D.6

2

【答案】B

【分析】由正态曲线的对称轴得出。=2,再由基本不等式得出最小值.

【详解】由随机变量g〜N(i,b?),则正态分布的曲线的对称轴为g=i,

又因为尸仔WO)=P(J2〃)，所以0+4=2,所以a=2.

……19fl9Ax+(2-x)12-x9x9y(2^x9x-。

当0<X<2时，~+=~+----；-----=~+——+T777+325+2n——•—=8,

x2-x\x2-x)222x2(2-x)2'2x2(2-x)

2-rQrI

当且仅当苛=不一3，即工=5时等号成立，故最小值为8.

故选：B

二、多选题

6.(202()•山东•青岛二中高三期中)设0<6<。，。+6=1,则下列结论正确的是()

A.a2+b2>aB.b<a2+b2C.b<lab<-D.<a2+/?2<1

22

【答案】BCD

【分析】结合已知条件，可得到对于选项A：对。+力=1两边同时平方，并利用不等式性质即

可判断；对于B；利用不等式性质即可判断；对于CD；结合均值不等式即可判断.

【详解】由0<b<a,a+b=\,则1-2a<0,

2

对于A：由。+〃=1两边平方并整理得，a'+b2=\-2ab=b+a-2ab=a+b(\-2a)<a,故A错洪；

对于B：g<an\<2anb<2ab<a2+b2,故B正确；

对于C：由选项B知，b<2ab,又2"<2x(胃)=:，故C正确：

对于D：因为。2+/>回曳又“2<〃，b2<b^a2+h2<a+b=\,故D正确.

22

故选：BCD.

7.（2022•江苏江苏•高三阶段练习）已知/（产+1）=4,则（）

A.xy<2B.x2^>-l

17

C.x+xy<2V2D.x2+xy<—

【答案】ACD

【分析】由题可得0<一工4,进而可得42产=4-》2<4可判断A,根据特值可判断B,根据基本不等式可判断

C,利用二次函数的性质可判断D.

【详解】由/（/+1）=4,可得X2=Y~?.

因为/之0,所以0<一工4,

所以//=4-/<4,即个<2,故A正确；

取/=Ly=-百，X2（/+1）=4,而x2y=一百<—1,故B错误；

因为，（尸1『=/（必+1+2），）=4+r.2”4+，（_/+1）=8,当且仅当歹=1时等号成立，

所以x十号&2近，故C正确；

由/（「+1）=4,可得，=4一。2,

（1A217171

x2+xy=4-x2y2+xy=-xy——+一<一,当个=不时等号成立，故D正确.

I2；442

故选：ACD.

8.（2022・河北•开滦第一中学高三阶段练习）若（公-4乂.d+/）”0对任意xe（-oo⑼恒成立，其中a,6是整数,

则”+5的可能取值为（）

A.-7B.-5C.-6D.-17

【答案】BCD

【分析】对力分类讨论，当620时，由3-4乂―+3之。可得如一420,由一次函数的图象知不存在；当b<0

时，由（QX-4乂1+冲1，利用数形结合的思想可得出协的整数解.

【详解】当620时，由("-4乂/+6"0可得、-420对任意x«-oo,0］恒成立,

即对任意XG(YO,0卜恒成立，此时。不存在；

当b<0时，itl(ax-4)(./+/?)>0对任意xG(一8,0卜色成立，

可设f(x)=*-4,g(x)=x2+Z),作出/(x),g(x)的图象如下,

2

一\g(x1=x+b

f(x)=ax-4

"0\a=-\(a=-4(a=-2

由题意可知《41—，再由%占是整数可得｛入必或4-।或，/

-=-y］-bD=-16b=-ip=-4

a

所以a+b的可能取值为-17或-5或-6

故选：BCD

三、填空题

9.(2022•广西南宁•模拟预测(文)；若直线以+0-l=O@X)A>O)平分圆。％2tx2_2V—尸0的周长,则他的

最大值为________

【答案】|

O

【分析】因为直线平分圆，则直线过圆心，再利用基本不等式求出H的最大值.

【详解】由题意得，直线双+“-1=0过圆心(1,2),所以a+2〃=l,

所以"=；X2"«；X(W^)2=(,(当且仅当a=2b,即a=g/取心”)，

乂。>0/>0,所以油的最大值为

O

故答案为："

O

10.(2022•河南安阳・高三阶段练习［文))已知点尸(加，〃)是函数/(x)=」7图象上的点，当m>1时，2〃?+

x-1

n的最小值为.

【答案】20+2

【分析】根据基本不等式即可求解最小值.

【详解】P（〃?，〃）是函数图象上的点，所以m='+1,

x-\m-1n

因为。>1,所以〃>0,所以2〃?+〃=2葬+生〃=2+〃+232返+2,当且仅当〃=应时取等号，故2小+〃的

马〃0n

最小值为2&+2.

故答案为：2&+2

【冲刺提升】

一、单选题

1.（2022・全国•高三专题练习）己知根，〃，s,，为正数，加+〃=4,-+-=9,其中〃?，〃是常数，且$+/的最

st

小值是:，点"（〃?，〃）是曲线《+《=1的一条弦力4的中点，则弦力8所在直线方程为（）

982

A.X-4y+6=0B.4x-y-6=0

C.4x+y-I0=0D.x+4y-10=0

【答案】D

【分析】由已知得S+E=<（S+/）（%+"）,化简后利用基本不等式可求出其最小值，再结合其最小值为J和

95t9

〃-〃=4可求出用，〃，从而可得点.”的坐标，再利用点差法可求出直线48的斜率，从而可求出直线方程.

【详解】因为〃?，〃，s,/为正数，-+-=9,

SZ

,1.、/〃？〃、1.nsnit、、1,./—、8、“r”，、i,nsmt.

所以s+Z=K（s+f）（一+一）=/（加+—+一+/?）>-（ni+n+2\/mn）=-,当且仅当一=一时取等），

9st9ts99ts

所以m+n+2\[mn=S><m+n=4,

m=2

乂〃?，，为正数，所以解得-2,即…

Q7

设弦两端点分别为“出），（/必），则\2

H+至=1

82

两式;相减得好+、2孑L%）+O+乃）「刈）二0,

因为3+/=4,乂+必=4,

所以直线的斜率为2察弋=一：，

用一/8供+为）4

所以直线方程为丁-2=-!（..2）,即x+4y-10=0.

经检验直线工+4），-10=0与椭圆二+廿=1有两个交点,

82

所以直线方程为工+町-10=0,

故选：D

2.（2022•全国•高考真题）已知正四棱锥的侧楂长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36乃，且

34/《3打，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

■811-2781]、「27641”

A.18,—B.—C.—D.[18,27]

4J44Jl_43_

【答案】C

【分析】设正四棱锥的高为人由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四楼

锥体积的取值范围.

【详解】•・•球的体积为36万，所以球的半径K=3、

[方法一卜导数法

设正四棱锥的底面边长为2”，福为h,

则/2=2/+/广，32=2/+（3-力>,

所以6〃=尸，2/=尸-〃2

112/4I2\f/6

所以壬四棱锥的体积P=ZW?=ZX4/X"=ZX（/2_）X7=AZ4--

355Joo91Jo

所以片=泉/一q=m

当34/42C时，片>0，当2#<.Y3G时，r<0,

所以当/=2遥时，正四棱锥的体积p取最大值，最大值为华,

9721

又，=3时，r=—,/=36时，r=—,

44

?7

所以正四棱锥的体积P的最小值为亍，

4

所以该正四棱锥体积的取值范围是—.

43

故选：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以/=$%=：（6/「/）力=，12-2"）人儿［上誓以F=?（当且仅当〃=4取到），

当A弓时，得。里，则心=¥坐）"A*

当/=36时，球心在正四棱锥高线上，此时〃=T+3=g，

-^-a=—^-=>a=~^»正四棱锥体积匕X；=?V?,故该正四棱锥体积的取值范围是当.

22y/233v224343

二、多选题

17.（2020•海南•高考真题）己知心0,b>0,且〃+/）=1,则（）

A.a2+b2>-B.2"4>:

22

C.log,a+log,b>-2D.4a+\［b<\［2

【答案】ABD

【分圻】根据。+6=1,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】对于A,a2+b2=a2+（\-a）2=2a2-2a+\+|>1,

当且仅当。=力=3时，等号成立，故A正确；

对于B,a-b=2a-\>-\,所以2"">2"二!，故B正确；

对于C,log2a+log2b=log,ah<log,（〃；：）=log2；二一2,

当且仅当。=力=3时，等号成立，故C不正确；

对「D,因为（6+〃『=1+2而Wl+a+6=2,

所以&+当且仅当=g时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算

的核心素养.

3.（2022•黑龙江・哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知等差数列的前〃项和为S"，若生=3,57=7,

则（）

A.4=5—〃B.若%+%=々2+40，则的最小值为々

mn12

C.取到最大值时，〃=5D.设"=黑，则数列｛"｝的最小项为-工

264

【答案】AD

【分析】求得等差数列｛凡｝的通项公式判断选项A；求得工+”的最小值判断选项B；求得S“取到最大值时〃

mn

的值判断选项C求得数列｛0｝的最小项判断选项D.

%+d=3

【详解】由

则等差数列｛凡｝的通项公式为勺=，-〃，则选项A判断正确:

若4+4=%+，则m+〃=2+10=12

LI116（116）〃？+〃1n16〃?、、1_c、25

则_+—卜=（17+_+一）>（17+8）z=l—

mn\mnJ1212mn1221

（当且仅当加=£,〃=荔时等号成立）

又叫〃"，则L3的最小值为不为之.则选项B判断错误；

mn12

等差数列｛吗中，％=4>%=3>4=2>%=1>%=0>。6=-1>L

则等差数列｛为｝的前〃项和，取到最大值时，〃=4或〃=5.则选项C判断错误；

.,a.I,5—nr—,5—n4—n6—n

设n”二夕n，则"=▼，则"一"八=-^-——r=—r

乙乙乙乙乙

则h｝>b2>b3>b4>b5>b6=b7<b”<L

则数列｛“｝的最小项为"="=t=-3则诜项D判断正确

264

故选：AD

4.（2022•广东•广州大学附属中学高三阶段练习）已知C：£+《=l（a>/>>0）的左，右焦点分别为打，6，长

a"b"

轴长为4,点P（后,1）在椭圆C外，点。在椭圆。上，则下列说法中正确的有（）

A.椭圆C的离心率的取值范围是

B.已知£（0-2）,当椭圆。的离心率为由时，|。用的最大值为3

2

।，息1t-，

C.存在点。使得08=0

D.爵崖的最小值加

【答案】ACD

【分析】易得。=2,再根据点尸（我,1）在椭圆。外，可得从而可求得〃的范围，再根据离心率公式

即可判断A；根据离心率求出椭圆方程，设点。（x,y）,根据两点的距离公式结合椭圆的有界性即可判断B；当

点。位于椭圆的上下顶点时N耳外取得最大值，结介余弦定理判断/耳。鸟是否大广等于90。即可判断C；根据

M+风1।151।1]

（|。娟+|。用）结合基本不等式即可判断D.

|。用|。周|。剧|。用“网\QF2\)

【详解】解：根据题意可知〃=2,

则椭圆方程为1+4=1,

4h~

因为点尸（庭,1）在椭圆C外，

21

所以彳+77>1，所以从<2,

4b-

所以0<£」，

cr2

则离心率6=一,1,故A正确;

a

对于B,当椭圆c的离心率为无时，£=£=且,

2a22

所以c=\f3,b:=1>

所以椭圆方程为工+/=],

4

设点O（x，P），

则|QE|=J-+(y+2)2=J-3y2+4〃+8(-1<^<1),

当J‘4时.，磔L=率，故B错误；

对J;C,当点。位于椭圆的上下顶点时/"Q行取得最大值,

此时|。制=|。勾="，旧用=2c,

22

_+|。5『—比名『=2a2-4/=Ab-2a

2|。用四二2一—2a2--!<()

即当点。位「椭圆的上下顶点时/月。行为钝角,

所以存在点。使得/眦为直角，

—・,上.1

所以存在点Q使得QRQF?=O,故C正确；

对于D,|。6|+|。用|=2a=4,

则褪扇=函+函=3函+的）以I+四）

*翳脚小2耦圈卜,

当日也当四一例

当且仅当囱网，即|。耳|=|。用=2时，取等号,

所以。用+1°用

的最小值为1,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

XV

5.（2022•重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））已知x>0,y>0且^--+T—T=7»则x+2y的最小

3x4-22y+l6

值为

【答案】得

【分析】由题4知-37=4,进而令》=3x+2,s=2y+l,将x+2歹的最小值转化为t:+S-：5的最小值，再

3x+22y+l33

根据基本不等式求解即可.

3xx+22yy+14得6x6y_2（3x+2）-43（2j，+l）-3

【详解】解：由---+----1------=------------卜------------------=1,

3x+22y+13x+22j，+l

43

所以.整理得E+而T=4.

，一2

令f=3x+2,s=2y+l,则％=——>0,y=?>。，

LL,IC1—2.t5145

所以x+2y=----+5-1=-+s——=--+5

33341/3

U±4+3+4竺4s5J出+452555

—2—

413343J312312

当且仅当"2s时取等号，此时.J,y=Jx+2y=!+：x2=J

OoOo12

故答案为：—

6.（2022•黑龙江•铁人中学高三阶段练习）已知0<。<1,0</><1,不等式ad+x+/*0对于xeR恒成立，且

12

方.程以2+x+a=。有实根，则—十的最小值为______.

\-a\-b

【答案】4+逑

3

【分析】根据题意结合一元二次不等式在R上恒成立可得1-4曲=0,消b整理得

1匚+三=:—+」7+2,注意至1」（4-4。）+（4。-1）=3,结合基本不等式求最值.

\-a\-h4-4a4a

【详解】由题意可得:

不等式a/+x+》A0对于xeR1■亘成立，贝I]A=1—0

方程如+x+a=0有实根，则△=1-4而20

,12I218a42

1----+----=----+-----=----+-----=-----+-----+2

1-4ab=Q,即6==，则l-a\-b\-a111-a4a-14-4a4a-1

4cI--

V（4-4t7）+（4fl-l）=3,

则

4.2^^4（4a-l）2（4-4a）之6

3-----+-----=|^（4-4a）+（4a-1）J+=++6]驷也土包…舟

4-4a4a—14-4a4a-1J4-4a4a-1V4-4a4a-1

当且仅当±（4"1）=2（”甸时等号成立

4-4a467-1

.42、4&c皿112〜4加

4-4a4a-13l-ai-b3

故答案为：4+谑.

3

7.（2021•天津•高考真题）若。>0,5>0,则•!•+（•+〃的最小值为

【答案】2夜

【分析】两次利用基本不等式即可求出.

【详解】Q

・4+少吐2底+”/此2/=2加

当且仅当一哈且A"即”"及时等号成立，

所以:+齐+6的最小位为2五.

故答案为：2五.

(.r+l)(2y4-l)

8.(2019•天津•高考真题(理))设工>0,J，>0,x+2y=5,则~——尸一-的最小值为

【答案】4JJ

【分析】把分子展开化为2xy+6,再利用基本不等式求最值.

(x+l)(2y+l)_2xy+x+2y+\

【详解】

Q而百

Qx>0,>0,x+2y=5,xy>0,/.

2xy+6〉2-2yfiyfxy

=4出,

而历

当且仅当个=3,即x=3,y=1时成立,

故所求的最小值为4VL

(x-3a)j«0

9.（2022•河北•唐山市第十一中学高三阶段练习）已知函数/"）=<4若对任意xwR恒有

x+-+9av>0

xr

3a

/(x)”(0),则g(a)=Og2a+的最大值为

【答案】47

4

【分析】根据分段函数的性质，结合对任意xwR恒华/(x"/'(0),求得实数。的取值范围，在根据对■数函数

与指数函数的单调性得函数g(。)的单调性，从而可求解g(。)的最大值.

【详解】解：由已知函数/(力=4，

x

则x>0时，/(x)=x+g+9aN2^Z^+94=4+9a,当且仅当x=2时，取到最小值4+9。；

x<OH，若对任意xwR恒有/(%)2/⑼，则此时/(x)=(x-3a)2单调递减，

则对称轴x=3aN0即aNO,所以/⑺二/⑼二面；

结合可知对任意xuR恒有/(x"/(O)，则有J4+9〃J>9"——3一<a一<—3,

〔心°心0

4

所以

8其中y=log?(a+g)在044Vg时是增函数,>'=(¥)在时是减函

又g(a)=logza+—一⑴

3

4

数，故g(")=10g2〃+在OKaWj时是增函数,

7

故答案为：—.

4

10.(2023・全国•高三专题练习)已知P是曲线C：V=lnx+/+(VJ-a卜上的一动点，曲线C在P点处的切线

的倾斜角为。，若。则实数。的取值范围是

【答案】(F,2&]

【分析】根据导数的几何意义，求导表示出切线斜率，根据倾斜角与斜率的变化关系，将问题笔价转化为含参

不等式恒成立，利用参变分离以及基本不等式，可得答案.

【详解】因为丁=皿工+/+(6一。卜，所以了=1+2工+百一。，

因为曲线在切处的切线的倾斜角]),所以yttan；=b对于任意的x>0恒成立，

即‘―2x+JJ—。之6对任意x>0恒成立，即。42x+L,乂2x+122也，当且仅当2%=，,艮|“="时，等

xxxx2

号成立,

故所以