天津市某中学2025-2026学年高一年级上册第二次质量监测数学试卷（解析版）

2025.2026学年度第一学期高一级部第二次质量监

数学学科

2025-12

第I卷

一、选择题：每小题4分，共48分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知点P（sma，c°sa）是第四象限点，则角a的终边位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】先根据点尸所在的象限，判断sina,cosa的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角a终

边所在的位置.

【详解】因为点是第四象限的点，

所以sina>0且cosavO.

所以角a的终边位于第二象限.

故选：B

2.是“e、>e'"（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】首先解对数不等式和指数不等式，即可得到答案.

【详解】lnx>lny=>x>>>（）,ev>e'=>x>y,

工〉>>。能推出不>>',反之不能；

所以“Inx>Iny”是“e*>e”的充分不必要条件.

故选:A

3.已知哥函数/（%）=（m2一2加一在（0,+oc）上单调递减，则〃7二（）

A.3B.-1C.-1或3D.I或一3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用塞函数的定义和性质列出方程和不等式，可得加的值.

【详解】塞函数/.3=(“一2加一2)3"+"3在(0,*0)上单调递减，piijJ,解得

［加~+m-3<0

in=—l

故选：B

4.已知函数/(x)=d+3x-6,利用二分法求的零点的近似值厮，若零点的初值区间为。2］,精

确度为0.6，则/可以是()

A.0.25B.0.5C.1.25D.1.75

【答案】C

【解析】

【分析】先通过函数的单调性及零点存在性定理可得函数有唯一零点，进而再用二分法及精确度可判断零

点所在区间及零点的近似值.

【详解】因为函数)，=V和y=3x-6均为R上单调递增函数，

所以函数/(幻=丁+3工一6是R上单调递增函数，

K/(0)=-6<0,/(2)=8>0,所以函数/(x)在［0,2］上有唯一零点.

取区间［0,2］的中点工=1,且/(l)=F+3xl—6=—2<0,

所以零点在区间(1,2)内且区间长度为1>().6.

再取区间(1,2)的中点』=1.5,E/(1.5)=1.53+3xl.5-6=1.875>0,

所以零点在区间(1』.5)内且区间长度0.5<0.6.

对照选项只有1.25在区间(1,1.5)内,故与可以是1.25.

故选:C.

5.己知〃=log23,〃=log4().5,c=0.5°4,则的大小关系为()

Aa<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】C

【解析】

【分析】由指数函数、对数函数的单调性，借助中间量即可比较大小.

【详解】〃=log23>log22=l,〃=log40.5<log41=0,0<C=0,5O4<0,5°=1.

'•b<c<a.

故选：C.

6.如图，这是函数/（x）的部分图象，则它的解析式可能是（）

B./(x)=ln|x|-ev+e-x

•竹粤

【答案】D

【解析】

【分析】观察函数/（x）的图象可得函数/（1）是奇函数，由此排除AB；再由函数单调性定义推理并排除

C作答.

【详解】观察函数“X）的图象知，函数“X）的定义域为（-8.0）U（0,f8），是奇函数，

而函数y=ln|x|是偶函数，函数），=eX—e-x是奇函数，

则f（x）=l川乂+0，一尸与/（同=1。国一炉+©-，是非奇非偶函数，AB不可能；

对于C,/（X）是奇函数，且当x>l时，函数y=h]|x|与），=/一已-,都是增函数，

x,x,

任取1<X</，0<e-e-<e*-e』,0<In||<In|x21?

因此/（%）</（修），即函数/"）在（l，+8）上单调递增，C不可能：

对于D,/（x）是奇函数，当x>0且无限增大时，e'—ef的值无限趋近于e"且趋近于无穷大，

Inx的值无限趋近于无穷大，但e，增大的速度远大于Inx增大的速度，则二业L无限趋近于0,

er—e1

当K.0时，/（戈）--o。，选项D符合.

故选：D

7.已知2是第二象限角，点尸1,6）为其终边上一点，且cosa二手，贝”等于（）.

A.3B.±^/3C,-72D.-V3

【答案】D

【解析】

【分析［根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解.

【详解】因为点尸（M石）为其终边上一点，且cosa二字，

由三角函数的定义，可得cos。=/"=①,解得尤=一百或X=石或x=0,

6+54

又因为a是第二象限角，所以x<0,所以x=

故选：D.

a

8.已知a为第三象限角，那么彳不可能是（）

3

A.第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角

【答案】C

【解析】

37T271a2Jr

【分析】由题意可得2%兀+兀<。<2%兀+—,ksZ,可得一E+—<—<-E+—,ZwZ,讨论左的取值,

233332

即可确定答案.

3兀

【详解】由题意。是第三象限角，即2E+兀<a<2攵兀+—"EZ,

2

故2也+殳<@<2而十工攵“，

33332

当A=3〃,〃£Z时，2/?7T+—<—<2/771+—,7?GZ,•是第一象限角；

3323

当k=3〃+l,〃eZ时，2/771+71<—<2mt+—,«GZ,4是第三象限角；

363

当女=3〃+2,〃£Z时，2nn+—<-<2nn+—,/?GZ,巴是第四象限角；

3363

故?不可能是第二象限角.

3

故选：C

9.若函数y=log21-依+3a）在（2,”）上是单调增函数，则实数。的取值范围为

A.(-oo,4]B.(一8,4)C.(-4,4]D.1-4,4]

【答案】D

【解析】

【分析】根据复合函数的单调性，转化为g(x)=£-依+34单调递增，且g(x)>0恒成立，所以根据

二次函数的单调性及最小值列式求解即可.

【详解】设g(x)=f-3+3。，根据对数函数及复合函数单调性可知：

£<2

g(x)在(2,田)上是单调增函数，且g(2)之0,所以12一，所以-4WOW4,

4+^<0

即实数。的取值范围为[-4,4].

故选:D

10.设a立c均为正数，且2"=%〃，出=logj,(；)=log2c.则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】

,=lo

【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出y=2,)，=(g),y=log2x,>2.

2'与旷二心8！”的交点的横坐标为。，y=(^]与)'=bg1”的图象的交点的横坐标为b,

2-[22

’=(3)与'=10g2”的图象的交点的横坐标为“,从图象可以看出°°

考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用.

【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出

两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解.

【详解】

2m+2,xV0,r

11.已知函数/({)=•।।若关于人的方程歹(刈+3。=0有六个不相等的实数根,

[lOg?X|9X>U,

则实数。的取值范围为()

33

A.B.C.(3,4)D.(3,4]

，5

【答案】B

【解析】

【分析】令/")=1，则产一2w+3o=0,由图象分析可知”—23+3〃=0在(2,4]上有两个不同的

根，再利用一元二次方程根的分方即可解决.

【详解】令/")=1，则/一2〃+3a=0，如图

y=1与y=fM顶多只有3个不同交点，要使关于工的方程-2qf(x)+3。=0有

六个不相等的实数根，则『一2"+3a=0有两个不同的根％山£(2,4],

设g(f)二/一2at+3。由根的分布可知,

4二4力-12。>0

。£(2,4)解得3<。《蓝.

g⑵>0

g(4)?0

故选：B.

【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结

合的思想，是一道中档题.

olnx+.r+r?_।(>0

12.若函数2’恰有3个零点，则。的取值范围为()

[ln(x2+4x-d),x<0

A.(-5,—1]B.(-5,—e)C.(—5,—4)D.(—5,—e]

【答案】A

【解析】

【分析】先对x>0时，由/(工)=。得。=-lnx-x,再结合函数的单调性可判断对任意。函数有唯一零

点；再对xWO时，将函数的零点转化为方程f+4x—々=1的根，进而转化为与

/?(x)=X2+4X-1(X《0)有2个交点问题，用数形结合可得.

【详解】①当x>0时，f(x)=3mm+。_1,令/*)=。，得3,nt+x+a=1=3%

因为y=3'是R上单调递增函数，所以lnx+x+a=0,即。=—lnx—x,

设g(x)=Tnj-』(x>0),显然gCr)在(0,+8)上单调递减,且

x-0,g(x)f4-oo;xT+8,g")—>-oo.

所以对任意的小方程。=-lnx-x在(0,+o。)上有且仅有一个解.

②当工00时，/(x)=ln(x2I4A-a),令/(x)=。，得片(42|44a)=0,

即上2+4r-a=l，«=x2+4x-1=(x+2)2-5(x<0),

令人")=*+2)2-5*《0),函数是一个开口向上的二次函数的一部分，要使/(X)有三个零点，

则方程f+4x—1就有2个非正根，即函数y=/?(x)与)，=。有两个交点，如图：

由图可知一5<。工一1

综合①②可知，要使，(幻有三个零点，。的取值范围为(-5,-1].

故选:A.

第n卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

13.函数/(x)=]n(x+l)+58-2、的定义域为.

【答案】(T3]

【解析】

【分析】利用对数函数和二次根式的性质，得出对数函数的真数大于0,根式内表达式大于等于两者的

交集即为函数“X)的定义域.

【详解】•./(x)=ln(x+l)+V8-2r,

x+l>()

,解得-lvx<3.

8-2v>0

故答案为：(一1,3].

14.计算:

/7\O-5

(1)J+7(-10)2-25/3xV27-7rox

I9j

3

⑵log5125+Ig-A-+In+2'^+|log23.log98=

1UUUJ

9

【答案】©.4②.；

2

【解析】

【分析】(1)利用指数导的运算性质、根式与指数辕的互化计算即得:

(2)利用对数的运算性质、换底公式计算即可.

【详解】(1)原式=f3F+历一2乂3晨3/以二=4+]0-6—±=4

19J2-233

12

3

⑵原式二四弓5,+lgl0'+ln/+3+—log,3xlog.22

123,、

=3-3+-+3+-x-(log23xlog32)

79

=-+1=-.

15.已知扇形048的圆心角为Arad,其面积是2cm’则该扇形的周长是cm

【答案】6

【解析】

【分析】设扇形半径为弧长为/,然后根据圆心角和面积列方程组成方程组可解得.

【详解】设扇形的半径为，•，弧长为/,

-=4

f/=4

依题意可得Jr，解得•

­/•r=2

所以扇形的周长为2〃+/=2+4=6

故答案为:6

【点睛】本题考查了扇形中圆心角的弧度数公式和扇形的面积公式,属于基础题.

16.函数y=(/?>0,且〃H1)的图象恒过定点则〃?=,函数

fW=lg(2X+Tx+a+m-n)的值域是R,则实数a的取值范围是_________.

【答案】①.2a<-3

【解析】

【分析】①由指数的性质求函数图象恒过的定点(0,1),通过令指数部分2—x=0即可求解；

②由对数函数/(x)的值域为R,等价于真数能取到所有正实数，结合基本不等式分析真数的取值范围,

进而确定参数。的条件•.

【详解】①对于指数函数y=其图象恒过点(0』)(当攵=0时).

对于函数y=令指数2-x=0,解得x=2,此时y=b°=L

因此定点A(2,l),即m=2,n=\.

②函数/(x)=lg(2r+2r+a+rn-n)的值域是R,

由加=2,n=\,故真数部分为2*+2-*+4+2-1=2'+2-'+4+1，

令Z=2'+2一、+a+l，则/(x)=lgf,

对数函数Igf的值域为R,当且仅当，能取到所有大于。的实数，即，的最小值40.

由基本不等式，2*①=(当且仅当了=0时取等)，

故/的最小值为2+a+l=a+3,

令。+3<0,解得。工一3.

故答案为：2；a<-3.

17.已知函数/(x)=log,(J7I17),若任意的正数。，〃均满足/.(〃)+/(幼-2)=0,则2+，的

最小值为.

【答案】V6+|

【解析】

【分析】先判断出/(力的单调性和奇偶性,再由/(。)+/(3〃-2)=0得出。与b满足的等式，再由基本

不等式“1”的妙用求解即可.

【详解】・・・值1一工>0恒成立，，函数/(九)的定义域为R.

VAGR»有一xeR成立，

22

/(-x)=log2^(-A-)+1-(-X)=log2px+l+xj,

2

/(x)+/(-力=log2(Jf+i—x)+Iog2px+l+x)

=log2(6+1一,(&+1+川

22

=log2(x+l-x)=log21=(),

.・・f(T)=-/(%),・•・/(力为定义在R上的奇函数.

由复合函数的单调性易知，当xe(-8,0］时，)，=5/犬+1与丁=一.均单调递减，

・•・/(x)=log?(&+1一@在区间(YO,0］上单调递减，

又•:/(X)为定义在R上的奇函数，・••/(x)在R上单调递减.

・••由/(，)+/(%—2)=0得/(。)=一/(多一2)=/(2—勖),

，正数。，力满足。=2—3/九即。+3匕=2,

・••由基本不等式，

XJC

当且仅当一"f,即”=-4+2«，〃=2-7振时等号成立,

ab3

・・・2+'的最小值为遥+3.

ab2

故答案为：>/6H—.

2

18.已知/")=log?(4x)-log?(2x),(；WxWl的值域为[〃2,川，则〃=,函数

gX)=1./，在区间(一吗+8)上是减函数，则实数。的取值范围为_________

lognx(x>l)

【答案】①.2②.

【解析】

【分析】令，=10g2X"£[—2,0],贝|"7〃)=/+3，+2/«—2,0],根据二次函数性质可得函数/(X)的值

x2-4tu+2(x<1)

域；进而可得函数g(x)=<,由函数单调性结合二次函数性质及对数函数性质计算可得

logRxNl)

实数。的取值范围.

【详解】因为/(x)=log2(4.r)-log2(2x)=(log24+log2x)(log22+log2x)=(2+log2x)(l+log2x)

2

4,t=log2G[-2,0],则/?(r)=(2+z)(l+r)=r+3r+2,re[-2,0],

由二次函数性质可知，函数〃(/)在区间-2,-T上单调递减，在区间-1,0上单调递增,

因为〃(-2)=0,/?(0)=2,

所以硝Lx="(°)=2,

所以函数〃”)的值域为一；,2,即函数/(x)的值域为一;,2,故〃=2,机=一；,

/、x2—(

所以函数g(加[皿4@OV刈+2A<1)

由题意可知函数g(X)在区间(F,+8)上是减函数，

当时，y=x2-4cix+2,二次函数的对称轴为戈=2a,在对称轴左侧单调递减，

2a>1,解得。2—；

2

当式之1时，y=logf/x,在0<。<1时单调递减；

3

XI2-+2>log1,即。《一；

4

综上，实数〃的取值范围是.

故答案为：2;.

_24

三、解答题：本大题共2小题，共22分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19.

己知函数/(幻=土£卫里是定义在A上的奇函数，且/(2)=-.

2'+15

(1)求实数的值;

(?)判断函数/(x)的单调性,并用定义证明：

(3)解不等式：/[log)(2^-2)]+/[log2(1-^)]>0.

22

a=26

【答案】(I)L.；(H)见解析；(n[)i<x<-.

【解析】

【详解】试题分析：(1)根据/(x)定义域在R上的奇函数可得/(0)=0,〃2)二色即可求解实数。力的

值；(2)直接利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调性和奇偶性即求解不等式.

a+b+\

〃0)==0

~2~a=2

试题解析：(1)由题意可知｛，解得｛

4a+b+\6b=-3

〃2)=

~5~5

2?”24

(2)由⑴/(x)==2

2、+12'+1

函数〃力在R上为增函数,

证明：在R上任取玉,与，且王<12,

4(2』-28)

,、,444

X,

乙«■12勒+12K2+12+1(20+1)(28+1)

・.•可<当，・・・0v2”v2t2，・・・(2*+1)(28+l)>0,2r'-2X'-<0»

二函数/（x）在R上为增函数.

（3）原不等式一/logA（2x-2）>-/^log21一gx），

•・•/（X）是定义在氏上的奇函数,・•・一/（Iog2，-Jx=f-1匿21一；工

II2〃LI22

由对数的性质-log2l-|x=%（1-；工）

logl（2x-2）>/log/l-“

\27L八/人

（]A

又・・・/（x）是R上的增函数，二logI（2x—2）210gll--x

2八2，

2x-2>0

.（l--x>0

・・2，

2x-2<1--x

2

r>l

,65

x<—

5

【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数

的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，

不等掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成

/（^（x））>/（/?（^））后再利用单调性和定义域列不等式组.

20.设函数/（X）的定义域为。，若存在xw。，使得〃x）=-x成立，则称x为/（久）的一个“准不动

点”.已知函数/（x）=1呵（4'-a•2r+,+2）,

2

（1）若a=l,求/（x）的''准不动点”：

⑵若凡为〃制的一个“准不动点”.日％目1,2],求实数。的取值范围：

⑶设函数g（x）=2'，若7西w［OJ,叫£［0』］使得|〃xj+g（马）归1成立，求实数。取值范围.

【答案】（1）0或1；

,7

(2)1,-

4

41

【解析】

【分析】（1）依题意可得4'-2川+2=2'，利用换元法计算可得;

冲依题意可得『-2〃+2=/在［2,4］上有解，参变分离可得24=/+：-1在［2,4］上有解，结合对勾函数

2

的单调性求出，+«-1的取值范围，即可