不等式的性质（3知识点+7大题型+强化训练）解析版-2026学年七年级数学下册（沪教版）

不等式及其性质（3知识点+7大题型+强化训练）

r不等式的定义

三岐性

知识清单

，传递性

L不等式的性质-同加减

1-同乘除一个正数

同索除f负数

不等式及其性质

不等式概念的辨析

-列不等式

-用不等式表示正数、负数、非负数等

用不等号填空，并说明变形依据

j判断不等式的变形是否正确

L根据不等式的变形写出参数字母的取值范围

将不等式转化为-x>a-或"x<a"的形式

强化训练

1.理解不等式的概念，能准确识别并书写含“>”“<”2”“e”尹的不等式，区分不等式、

等式与代数式，明确不等号的含义及对应文宇表述（如’2”表示“不小丁”“大丁或等

教学目标于"）O

2.理解掌握不等式的五条条基本性质，能结合实例验证性质的合理性。

3.能运用不等式性质对不等式进行简单变形

1重.点

教学重难点不等式基本性质的理解与掌握；

2难.点

性质5的理解与应用，明确“乘/除同・个负数时不等号方向必须改变”这•核心规则.

知识清单

知识点01不等式的定义

用等号连接的式子叫作等式，类似地，用不等号，>，，“<，，，2，“，色，连接的式子，叫作不等式.不等式与等式一

样，都是研究数・关系的工具.

除和y,外，不等号还有，2”和“s.aNb表示a>b或a=b,读作“a大于(或)等于b”.同样地，agb表示a<b或

a=b,读作“a小于(或)等于b”.

【即学即练】

1.用不等式表示：

的4倍与3的差是正数：.

(2)a与6的积小于7：.

(3)a,b两数的平方和大于10：.

【答案】(l)4x-3>0

(2)ab<7

(3)/+b->10

【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系.

(1)根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得；

(2)根据积的定义列出不等式即可得；

(3)根据平方和的定义列出不等式即可得.

【详解】(1)解：x的4倍与3的差是正数，即差大于0,因此不等式为4%-3〉0.

故答案为：4x-3>0.

(2)解：。与b的积小于7,即乘积小于7,因此不等式为仍<7.

故答案为：ab<7.

(3)解：。与b的平方和大于10,即平方和大于10,因此不等式为/+〃>]().

故答案为:a2+b2>10.

2.将％与b的差是非正数”用不等式表示为.

【答案】a-b<0

【分析】本题考查了列不等式及非正数的概念，解题的关键是准确理解％与人的差”的数学表达式，以及明

确“非正数”所对应的不等关系.

先确定为与b的差”对应的数学表达式为。-力；再明确“非正数”指的是小于或等于0的数，即满足的

关系；最后将两者结合，写出对应的不等式.

【详解】解：%与人的差”表示为。

“非正数”是指小于或等于0的数，即满足关系“W0”；

因此b与b的差是非正数”用不等式表示为二0.

故答案为：a-b<0.

知识点02不等式性质——三歧性和传递性

1.不等式的性质1（实数的三歧性）

对于任意给定的两个数a、b,在a'b、a〈b.a=b三种情形中，有且只有一种情形成立.

2.不等式的性质2（传递性）

如果a>b,b>c,那么a>c.

拓展：如果c<b,b<a,那么c<a；如果cWb,b0a,那么c<a：如果c=b,b=a,那么c=a;

3.三歧性和传递性的重要意义

这两个性质看似简单，实则意义重大。它们是实数排序的理论基础，

【即学即练】

1.设a>b>0,用“〉”或填空，并说明理由.

（1）a-2;

（2）a-2b-5;

【解析】；已知a>b>0（a、b均为正数，且a在数轴上位于b右侧）：

（1）a>0,而0>-2,故a>-2（传递性）；

（2）a>b,a在数轴上位于b右侧，a向左移两个单位，b向左移5个单位，a仍在b的右边，故

a—2>b—5o

答案：（1）>：（2）>；（3）>

知识点03不等式性质——同加减、同乘除

1.不等式性质3不等式的两边同加（或减）一个数，不等号的方向不变.

如果a>b,那么a+m>b+m,a-m>b-m.

不等式性质3是解不等式时移项法则的理论依据。

2.不等式性质4不等式的两边同乘（或除以）个正数，不等号的方向不变.

如果a>b,m>0,那么am>bm,公巳

3.不等式性质5不等式的两边同乘（或除以）一个负数，不等号的方向改变.

如果那么

a>b,ni<0,amvbm,—m<—m

不等式性质④、⑤是解不等式时化系数为1和去分母法则的理论依据。

【即学即练】

1.用不等号填空，如果零那么-2"1-26+1（填“A或“V”）

【答案】<

【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质解答即匕得到结果.熟练掌握不等式的基本性质是

解本题的关键.不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两

边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

【详解】解：•・•“>心

:.—2ci<—2b,

:.-2a+1<—2b+1,

故答案为：<.

2.下列不等式变形中，正确的是（）

A.由得x_2>y_2B.由

C.由得2x<2yD.由x>0得/<0

【答案】A

【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键；

根据不等式的基本性质对各选项进行计算，并作出正确的判断.

【详解】A.由x>»,不等式两边都加上-2,不等号的方向不变，所以原式说法正确，故该选项符合题意;

B.由不等式两边都乘以-1,不等号的方向改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意；

c.由不等式两边都乘以2,不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意：

D.不等式两边都乘以x（x>0）,不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意；

故选:A.

题型精讲

题型01不等式的辨析

【典例1】下列式子中，不是不等式的是（）

X1

A.5<7B.2x>yC.-->1D.2a4-1=1

3

【答案】D

【分析】本题考查不等式定义，熟记不等式定义是解决问题的关键.根据不等式的定义，含有不等号（如

<、>、W、之、工）的式子是不等式，否则不是.

【详解】解：•・•不等式需用不等号连接，而D选项“2。+1=1”使用等号，是等式，・・・D不是不等式.

故选：D.

【变式1】下列式子中，是不等式的是（）

A.x+6B.x=lC.2x-l>5D.9a

【答案】C

【分析】本题考行了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键.

【详解】解：A、x+6是代数式，该选项不合题意；

B、x=l是等式，该选项不合题意；

C、2x-l25是不等式，该选项符合题意；

D、9a是代数式，该选项不合题意：

故选：C.

【变式2】2023年5月6日是我国二十四节气中的立夏.据天气预报报道，赫章当天最高气温25。（3,最低

气温15。（2,则当天赫章的气温《℃）的变化范围是（）

A.t>25B./<15

C.r15,且fw25D.15<r<25

【答案】D

【分析】本题考查列不等式.当天气温的最高温度为25%：,最低温度为15（,因此气温的变化范围应介于

这两个温度之间，包括端点.据此即可列出不等式.

【详解】解：根据题意，得当天赫章的气温"℃）的变化范围是15W25.

故选：D

【变式3］如图，天平右盘中每个祛码的重量都是他，如图中显示出某药品力重量的范围是：）

A.大于2gB.小于3g

C.大于2g且小于3gD.大于2g或小于3g

【答案】C

【分析】本题考查的是不等式的应用，解决问题的关键是读懂图意.

根据图形就可•以得到药品力的质量的范围.

【详解】解：由第一个图可知药品力质量大于2克，由第二个图可知药品/I质量小于3克，故药品/!质景

范围是大于2克且小于3克.

故选：C.

【变式4】某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示.每个标牌上左侧数

字代表该车道车型的最高通行车运（单位：km/h）,右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：

km/h）.王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为I，km/h,则车速n的范围是（）

A.90<v<100B.80<v<100C.60<v<100D.60<v<80

【答案】C

【分析】本题考查了不等式的定义.

由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速V的

范围.

【详解】解：•.•王师傅驾驶的车辆是货车，

，三师傅应走右侧两车道，

二.上速濯的范围是604y4100.

故选：C.

题型02列不等式

【典例1】大于的2倍”用不等式表示为：.

【答案】a>2b

【分析】此题考查了列不等式.根据“。大于人的2倍”进行列出不等式，即可作答.

【详解】解：依题意，“。大于力的2倍”用不等式表示为：a>2b,

故答案为：a>2b.

【变式1】“。与1的差小于b的2025倍”用不等式表示为.

【答案】a-l<20256

【分析】此题主要考查了由实际问题列出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超

过（不低于）、是正数（负数）卬至少”、“最多”等等，正确选择不等号.

“。与1的差”表示为“小于”用v表示,”的2025倍”表示为2025b.

【详解】解：由题意得，。-1<20256.

故答案为：1<2025b.

【变式2].x减去y不大于-5,用不等式表示为.

【答案】x-”-5

【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，苜先表示x减去y为工一丁，再表示“不大于

-5唧为x-”-5.

【详解】解：由题意得，x—yW-5,

故答案为：x-y<-5.

【变式3】用不等式表示与人的平方和不小于它俩积的两倍”为

(答案】a2+b2>2ab

【分析】此题主要考查了列不等式，根据已知得出两数的平方和及两数的积是解题关键.实际问题抽象出

不等式，根据已知表示出两数6的平方和，进而得出这两数的积的两倍，即可得出答案.

【详解】解：由题意得：a2+b2>2ab，

故答案为:a2+b2>2ab-

【变式4】一辆4()座(不含司机座位)的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车。人,

车内仍有空余座位.

【答案】x-2+a<40

【分析】客车到站乘客上下车后，车上行乘客(x-2+a)人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40

人，即可列出不等式.

【详解】解：根据题意，得X-2+Q<40.

题型03用不等号表示正数、负数、非负数等

【典例1］用不等式表示：

(1)。是负数.

(2”比—1大.

(3)〃?与n的差不大于2.

(4»与-5的差是正数.

【答案】⑴"0

⑵Q-1

(3)tn-n<2

(4)x+5>0

【分析】本题考查用不等式表示数学语句.需要根据语句中的关键词，如“负数”表示小于0、，•比...大”

表示大于、“不大于”表示小于或等于、“正数”表示大于0,选择正确的不等号进行表示.

(1)“〃是负数”意味着。小于0,即可列出不等式：

(2)%比-I大”意味着x大于T,即可列出不等式；

(3)“小与〃的差”表示为〃?一〃，“不大于2”意味着该表达式小于或等于2,即可列出不等式；

(4)匕与-5的差”表示为即x+5,“是正数”意味着该表达式大于0,即可列出不等式.

【详解】(1)解：由题意，得"0.

(2)解：由题意,得x>—1.

(3)解：由题意，得机—〃02.

(4)解：由题意，得工一(一5)〉0,即x+5>0.

【变式1】用适当的式子表示。与的和是负数：.

【答案】a+b<0

【分析】此题考查了列不等式，根据题意，“和是负数”表示和小于零，列出不等式即可.

【详解.】。与b的和是负数，即它们的和小于零，

所以表示为a+b<0.

故答案为：a+h<0.

【变式2］将Z与b的差是非正数”用不等式表示为.

【答案】a-b<0

【分析】本题考查了列不等式及非正数的概念，解题的关键是准确理解“。与力的差”的数学表达式，以及明

确“非正数”所对应的不等关系.

先确定“与b的差”对应的数学表达式为a-d再明确“非正数”指的是小于或等于0的数，即满足“40”的

关系；最后将两者结合，写出对应的不等式.

【详解】解：7与6的差”表示为a-6；

“非正数”是指小于或等于0的数，即满足关系“40”：

因此“a与b的差是非正数”用不等式表示为。-b«0.

故答案为：a-b<0.

【变式3】用不等式表示“2。与。的差是非负数”.

【答案】2a-b>0

【分析】本题考查了列不等式，解题的关犍是理解“非负数”的含义以及正确表示出“2。与〃的差”.

先表不力“2。与力的差”再根据“非负数即大力等于0”列出不等式.

【详解】解：“2a与人的差”用代数式表示为2。-6，

非负数是指大于等于0的数，

因为“2。与人的差是非负数”，

所以可列不等式为2a-此0.

故答案为：2a-b>0.

【变式4］用不等式表示的平方与a的平方之差是非负数”为.

【答案】x2-a2>0

【分析】本题考查了列不等式，根据）的平方与。的平方之差是非负数”，即“x与a的平方差大于等「0”即

可.

【详解】解：x的平方与。的平方之差是非负数可表示为：x2-a2>0，

故答案为：x2-a2>0.

题型04用不等号填空并说明理由

【典例1]已知。<人比较下列式子的大小，并说明理由.

⑴。+7与6+7；

吟《

【答案】⑴。+7<6+7,见解析

(2)!<1,见解析

【分析】本题考查不等式的性质；

(1)根据不等式的性质不等号两边同时+7即可得到a+7<b+7；

(2)根据不等式的性质不等号两边同时+3即可得到与<3.

【详解】(1)解：不等式avb两边同时+7,不等号方向不变，得。+7<8+7；

(2)解：不等式avb两边同时+3,不等号方向不变，得

【变式1】若x<)'，比较-2x+3与-2y+3大小，并说明理由.

【答案】-2x+3>-2y+3,理由见解析

【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题的关键.运用不等式的性质即可求

解.

【详解】解：

-2x>-2y(不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变：，

:.-2x+3>-2y+3(不等式两边同时加上同一个负数,不等号的方向不变：).

【变式2](1)无论，"为何值，是否一定有帆+1>巾？试说明理由.

(2)已知试比较小与/的大小，并说明理由.

【答案】(1)一定，理由见解析；(2)〃/>",理由见解析

【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基木性质：

【详解】解：(1)无论加为何值，一定有m+

理由：*.*1>0,

阳+1>〃？+0,即加+1>m.

(2)m2>n2•

理由:'：m<ntm<Q,

:.nr>mn,

m<n,n<0,

••〃〃？>/?"»

・m->n~.

【变式3］已知P>4,用“〉”或填空，并说明依据：

(i)p+1q+g

(2)p-2q-2

(3)p+2mq+2m

(4)-5pTq

【答案】(1)>,依据是：不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变；

(2)>,依据是：不等式两边同时减去同一个数，不等号的方向不变；

(3)>,依据是：不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变；

(4)<,依据是：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变；

【详解】(1)解：・・・夕>夕，

++依据是：不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变：

故答案为：>.

(2)解：•:p>q,

・・・p-2>夕-2,依据是：不等式两边同时减去同一个数，不等号的方向不变；

故答案为：>.

(3)解：♦：p>q,

：.p+2m>q+2mt依据是：不等式两边同时加I-.同♦个数，不等号的方向不变；

故答案为：>.

(4)解：,:p>q,

A-5p<-5q,依据是：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变；

故答案为：<.

【变式4］已知。>26,则

比较,大，J、：①a—2_26—2；(2)a—2b_0；@8b_4a：(4)~~_~b

乙

【答案】①〉；②〉；③V；④V

【分析】根据已知的不等式关系，结合不等式的性质，可以将两个式子进行比较，

根据不等式的性质比较即可；

【详解】(1)解：①因为。>2人根据不等式的性质，两边同时减去2,a-2>2b-2-.

②因为a>2b,根据不等式的性质，两边同时减去2/〉，"2b〉。；

③因为。>2人根据不等式的性质，两边同时乘以4,4〃〉防，所以防<4a；

④因为。>2人，根据不等式的性质，两边同时除以-2,--<-b.

故答案为：①〉；②〉；③V：④V;

题型05判断不等式变形是否正确

【典例1］若则下列不等式变形正确的是（）

A.a+3<b+5B.1+C.-4a>-4bD.3。-2<36-2

【答案】B

【分析】本题考查了不等式的性质.根据不等式的性质：不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；

乘或除同•个正数，不等号方向不变：乘或除同一个负数，不等号方向改变，进行分析，即可作答.

【详解】解：A、・・丁>6,・,・。+3与6+5的大小关系不确定，故该选项不符合题意；

B、,・%>"・・・W+】>g+l,故该选项符合题意：

C>'：a>b,：.-4a<-4bt故该选项不符合题意;

D、•・%>/）,/.3a>3b,/.3a-2>3b--2,故该选项不符合题意；

故选：B

【变式1］下列说法不一定成立的是（）

A.若a2>儿2,则”>方B.若a>b,则②？>历2

C.若a+c>“c,则a>6D.若a>b,则”+c>/）+c

【答案】B

【分析】本题考查了不等式的性质“不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等

式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方

向改变“，熟练掌握不等式的性质是解题关键.根据不等式的性质逐项判断即可得.

【详解】解：A、•・%>—c2>0,

c2>0，

・•・&>/>（不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意；

当。=0时，C2=0»则℃2=布,

当cw0时，c2>0»

，若。>6,则这2>儿2（不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变），

综上，此项不一定成立，符合题意；

C、若a+c>〃+c,则“〉方（不等式两边减去同一个数（或式子〕，不等号的方向不变），则此项一定成立,

不符合题意；

D、若a>b,则a+c>b+c（不等式两边加上同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立,

不符合题意；

故选：B.

【变式2］如果。<人那么下列不等式中一定成立的是（）

A.a+5>b+5B.—>—C.-3a>-3bD.a-b>0

33

【答案】C

【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等

号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘

以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.根据不

等式的性质对选项逐个判断即可.

【详解】解：A、如果则G+5<6+5,不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，A错误,

不符合题意；

B、如果。<匕，则不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B错误，不符合

题意；

C、如果。<力，贝不等式两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C正确，符

合题意；

D、如果。<〃，则<0,不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，D错误，不符合题意；

故选：C.

【变式3】先阅读下面的解题过程，然后解题.

已知。>6,试比较-2026。+1与-2026b+1的大小.

解：•・"”，

・•・-2026。>-20266.第一步

故-2026〃+1>-20266+1.第二步

（1）上述解题过程中，从第步开始出现错误，错误的原因是

（2）请写出正确的解题过程.

【答案】（1）一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变

（2）见解析

【分析】本题考杳的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键.

（1）由题意不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断；

（2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案.

【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数,

不等号的方向没有改变.

故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变.

（2）解:*：a>bt

：.-2026a<-2026b.

A-2026a+1<-20266+1.

【变式4】仿例：已知。>0,试比较2a与。的大小.

方法一：解：*.*2>I,a>0,2a>a.

方法二：解：2a-a=a.

a>0,/.2a-a>0,/.2a>a.

根据仿例，请解答：

（1）方法一所依据的不等式基本性质是（请写明基本性质的具体内容）；

（2）已知。<0,试比较2a与a的大小.要求两种方法解答.

【答案】（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

（2）2a<a

【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较2a与。的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可.

（1）根据不等式的性质填空即可；

（2）利用不等式的性质即可比较.

【详解】（1）解：«>0,

A2a>a（不等式的基本性质2）.

故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：

（2）解：方法一：V2>1,«<0,

方法二：2a-a=a.

a<0,

la-a<0,

:.la<a.

题型06根据不等式的变形写出参数字母的取值范围

【典例1］如果不等式（。-4卜<2（。-4）通过变形能得到%>2,则。必须满足的条件是（）

A.a<4B.a>4C.34D.a>0

【答案】A

【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，先根据不等式的解集为2,且不等式两边同时

乘二负数或者除以负数，不等式的符号改变，进行作答即可.

【详解】解：•・•不等式（。-4）xv2（a-4）的解集为"2,

:.a-4<0,

a<4t

故选：A.

【变式1】由不等式变形能得到x>l，则。的取值范围是（）

A.a>0B.a>0C.a<0D.«<0

【答案】A

【分析】本题考杳了解一元一次不等式，不等式的性质，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等

号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.本题不等号方向不变，所

以知道。大于0.

【详解】解：因为不等式的解集为x>l,

二•两边同时除以。时不等号的方向没有变，

a>0.

故选：A.

【变式2】若x<"0,且以之少，则a的值不可能是（）

A.0B.-2C.-ID.2

【答案】D

【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加（或减去）同一个数，不等号的方向不变；②不等

式两边都乘（或除以）同•个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同•个负数，不等号的方

向改变.

根据不等式的性质求出。的取值范围，进而判断即可.

【详解】*：x<y<0,ax>ay,

/.fl<0,

只有D不在范围内，

故选：D.

【变式3】已知〃?<〃，是否一定有请说明理由.

【答案】不一定有，理由见解析.

【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键.

【详解】解:不一定有助?<4〃，理由如下:

①当a=0时，am=an；

②当a>0时,

・••阳<〃，

/.am<an；

③当”0时，

,:m<n,

:.am>an.

【变式4］无论x为何值，是否一定有x+5>x?请说明理由.

【答案】一定有，理由见解析

【分析】本题考查了不等式的性质，因为5>0,再根据不等式的两边加上同•个含有字母的式子，不等号

的方向不变，即可得结论.

【详解】解：无论x为何值，一定有x+5>x,

理由如下：

5>0,

x+5>x,

，无论x为何值，一定有x+5>x.

题型07根据不等式的性质将不等式化成“x>a”或“xva”的形式

【典例1】根据不等式的性质，将下列不等式化成或。”的形式.

⑴2x-l>5

⑵-“-1

【答案】(l)x>3

⑵x<3

【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，注意不等式两边乘(或除以)同

一个负数，不等号的方向改变.

(1)不等式两边先同时加1,然后不等式两边同时除以2即可；

(2)不等式两边同时除以一：即可.

【详解】⑴解：2x-l>5

2x-l+l>5+l

2x>6

2x+2>6+2

x>3；

(2)解：-1x>-l

x<3.

【变式1］将下列不等式化成“工>或“x<的形式:

(l)x+5<8；

r

(2)-匚>2；

6

(3)6x>2x-3.

【答案】(l)x<3

(2)x<-12

(3)x"；

【分析】本题考查不等式的性质，掌握性质是解决问题的关犍.

(1)不等式两边同时减去5即可，

(2)不等式两边同时乘-6即可，

(3)不等式两边同时减去2工，整理后不等式两边同时除以4即可.

【详解】(1)解：不等式两边同时减去5,工+5-5<8-5,解得x<3；

(2)不等式两边同时乘-6,

得C|x(-6)<2x(-6),

k6)

整理得：x<-12：

(3)不等式两边同时减去2x,

得6x-2x>2x-2x-3,

整理得4x2-3,

不等式两边同时除以4,得

4

【变式2】根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为或〃”的形式.

⑴2x—3<x—2；

⑵-2x-4<4x+4.

【答案】⑴x<l

4

(2)x>--

【分析】本题考杳了不等式的性质“不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等

式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方

向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键.

【详解】(1)解：2x-3<x-2,

2x—x—3<x~x—2,即x—3<—2,

x-3+3<-2+3,H|Jx<1.

(2)解：-2x-4<4x+4,

-2x-4x-4<4x-4.v+4,即-6.丫-4<4,

-6x-4+4<4+4,UP-6x<8,

1,、14

一x(-6)x>—x8,UPx>—.

6V763

【变式3】根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为或的形式.

2x-3<x—2；

【答案】人〈1

【分析】本题考查了不等式的性质“不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变:

先两边同减去X,再两边同加上3,由此即可得；

【详解】解：2x-3<x-2t

2x—x—3<x—x—2,x—3<—2>

x-3+3<-2+3,即x<l.

【变式4】根据不等式的性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<。”或“x2。”或《a”的形式.

(l)x-l<5；

(2)-1-x+l>4.

【答案】（l）x<6

⑵xJ

【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.不等式的性质：不等

式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同

一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

【详解】(1)解：,・・工一1<5,

.\x-l+l<5+l,

.¥<6.

(2)解：V——A,+1>4,

2

—x4,

?.——X——>4——,

222

..X>Z

2

解得：xW-g.

强化训练

一、单选题

1.如图所示是高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最高车速和最低车速.如果用v（单位:

km/h）表示汽车的速度，则v应满足（）

A.v<100B.v=100C.80<v<100D.v>80

【答案】C

【分析】本题考查不等式的定义，根据题意列不等式即可.

【详解】解：由题意得，80<v<i00,

故选：C.

2.给出下面式子：①3>5；②x+3=0；③4-1=0；@x+2<3.其中不等式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】依据不等式的定义（用不等号表示不相等关系的式子），对每个式子逐一判断是否为不等式.本

题主要考查不等式的定义，明确不等式是用不等号（>、<、2、4、工等）表示不等关系的式子，熟练掌

握该定义是判断式子是否为不等式的关键.

【详解】解：判断①：3>5,用“〉”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式.

判断②：x+3=0,用“=”表示相等关系，是等式，不是不等式.

判断③：x-l工0,用"”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式.

判断④：X+2W3,用“4”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式.

综上，①③④是不等式，共3个，

故选C.

3.用不等式可将、与6的和的平方为非负数”表示为（）

A.a~+b2^,0B.>0C.a2+b2>0D.（a+力）2>（）

【答案】B

【分析1本题考查了列不等式、非负数的概念（非负数即大于等于0的数）以及代数式的正确表示：解题

的关键是准确拆解文字表述中的数显关系，先确定“〃与b和的平方”对应的代数式，再结合“非负数”

的符号特征列出不等式.

先分析文字表述：为与b的和”表示为。十方，“和的平方”即对。+方整体平方，为（a+b）2：“非负数”表

示该式的值大于等于0,即N0,由此组合得到对应的不等式，再与选项对比确定答案.

【详解】解：A、选项表示力的平方与h的平方的和为非负数”，并非“与b和的平方”，此选项不符

合题意；

B、选项表示为与b和的平方为非负数”，与文字表述完全一致，此选项符合题意：

C、选项表示Z的平方与b的平方的和为正数”，既不是“和的平方”也排除了非负数中的0,此选项不

符合题意；

D、选项表示、与b的和的平方为正数”，虽为“和的平方”但排除了非负数中的0,此选项不符合题意；

故选:B.

4.如果。>〃，那么下列不等式中正确的是（）

A.a—3<b—3B.—<—C.ax2>bx2D.—a<—b

33

【答案】D

【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质：不等式的两边同时

加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数,

不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

【详解】解：A、由可得〃-3>b-3,原式错误，不符合题意：

B、由。可得。>5,原式错误，不符合题意；

C、当X=0时，则然2=加2,原式错误，不符合题意；

D、由可得-a<-b,原式正确，符合题意；

故选：D.

5.由avb到4c</圮，成立的条件是（）

A.a>0B.c<0C.c>0D.c>0

【答案】C

【分析】本题考查了不等式的性质.解题的关键是掌握不等式的性质：1、不等式的两边同时加上（或减去）

同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；2、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，

不等号的方向不变：3、不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.根据不等式的

性质解答即可.

【详解】解：根据不等式的性质2,由人得到的条件是：c>0.

故选:C.

6.若x<y,且（a—3）xN（a—3）y,则。的取值范围是（）

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

【答案】D

【分析】本题考查不等式的性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），

不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；不等

式基本性质3：不等式的两边同时乘（或除以洞一个负数，不等号的方向变.根据不等式的性质3求解即可,

注意［-3=0时也成立.

【详解】解：且（。-3”之（。一3）»,

-3<0,解得

故选:D.

7.实数。，b,。在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是()

।g।।।।।；'11>

-3-2-1012345

A.6+c>3B.a-c<0C.ac>beD.-2a<-2b

【答案】B

【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断。，b,c的正负，然后判断即可，

解题的关健是结合数轴判断判断，，的正负及知识点的应用.

【详解】由数轴可得一3<。<一2,-2<b<-\,3<c<4,

A、b+c<3,原选项判断错误，不符合题意，

B、a-c<0,原选项判断正确，符合题意，

C、ac<be,原选项判断错误，不符合题意，

D、-2a>-2b,原选项判断错误，不符合题意,

故透:B.

8.若则下列不等式一定成立的是()

A.ac>beB.ac2>be2

C.a(a+h)>h(a+b)D.a(a-b)>b(a-b)

【答案】D

【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.不等式的性质I：不等式两边加(或减)

同一个数(式子)，不等号的方向不变.不等式的性质2；不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等

号的方向不变.不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

利用不等式的性质逐项判断即可.

【详解】解：若a>b,

若c=0,则ac=6c,故选项A不一定成立，不符合题意，

若c=0,则4c2=防2,故选项B不一定成立，不符合题意，

若。+8=0,a(a+b)=b(a+b),故选项C不一定成立，不符合题意，

**a>b,.\a-b>Ofa(a-b)>b(a-b),选项D一定成立,符合题意，

故选：D.

二、填空题

9.用不等式表示：“x+3不大于-5”是.

【答案】x+3<-5

【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是理解“不大于''对应"W"，即可列出不等式.

【详解】解：根据x+3不大于-5,

列不等式为:x+3<-5,

故答案为：x+3<-5.

10.语句“x与y的和是非负数,，用不等式表示为：.

【答案】x+y>o

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次不等式，正确理解题意是解题关键.根据和运算、非负数

的定义：大于或等于0的数，列出不等式即可得.

【详解】解：由题意得：x+yNO.

故答案为：X+”O.

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