2026届合肥高三一模数学试题+答案

2026届南通高三学业监测（一模）数学考后巩固卷

1.本试卷为自制模拟卷，针对2026南通一模有关题型和试卷风格进行考后巩固、力求查漏

补缺。本试卷不可等同于正式考卷。

2.练习卷满分150分，和全国一卷题型一致。建议练习时间为120分钟，并自备纸张用作

答题卡，这样练习效果会更好。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设复数2=三，则[=

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2

2.已知集合/={x|-lWx41},B={x\x-4x<0}f则/05=

A.[0,1]B.[-1,4]C.[-1,0]D.[1,4]

3.在△048所在平面内，点。满足方=3就，记0力=2，OB=h，则近二

1?-2r1r14-41-

A.-a-\—hB.—。+—bC.—GH—bD.-a—h

33333333

4.若数列{qj各项均为正数，贝『{%}为等比数列”是“{Inqj为等差数列”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5.己知圆锥SO的底面半径为1,侧面积为2兀，过其底面圆周上一点力作平面仪，若。截

圆锥SO得到的截面曲线为椭圆，则该椭圆长轴长的最小值为

A.—B.1C.x/3D.2

2

6.已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布N.甲,4）和N（〃乙,日），

其正态曲线如图所示，见

A.从共＞4乙,5fl乙B.>4乙，b甲>o■乙

C.〃甲＜〃乙,cr甲＜cr乙D.〃甲乙,0甲

数学模拟试题第1页共4页

7.已知当〃<力<。时，有/（。）>/（4〉/伍），则必有

A.6/<0,7）<0,c<0B.a<0,b>0,c>0

C.2~a<2CD.l<2"+2'<2

8.在A48C中,内角48,C的对边分别为a,b,若邕4,2叱成等差数歹ij,则tan（C-A）

的最小值为

A.--B.|C.yD.--

3323

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知O为坐标原点，/是抛物线C：/=8x的焦点，4民。是C上的三个点，且

4见2及），则下列说法壬确的是

A.。的准线方程为工=-2

B.\AF\=4

C.直线。N的斜率为近

D.若反，尸三点共线，则的最小值为8

10.若函数/（X）与函数g（x）的图象关于直线x-y+i=o对称，则函数/（外的解析式可能

是

A./（x）=3.r+2B./（x）=e-e

C.=e'-2xD.f（x）=ln（x+\J\+x2）-x

11.我们常用的数是十进制数，如1025=1X103+0X102+2X10】+5X10°,表示十进制的数

要用10个数码0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；而电子计算机用的数是二进制数，只

需两个数码0和1,如四位二进制的数1101⑵=1X2：'+1X22+0X2、1x2°,等于十进制

的数13.已知能,〃tN”，且〃?22,〃之2,若把机位〃进制中的最大数记为，

则下列结论正确的是

A.M（5,4）=1023B."（2,4）（4,2）

C.M（3\2）>M（3/?,2）D.〃（〃+3,〃+2）>〃（〃+2,”+3）

数学模拟试题第2页共4页

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.卜2一51的展开式中的常数项为

13.若曲线N=lnx+。与圆/+丁=2有公共点尸(飞,乂)，且在点。处的切线相同，则实数

a=.

14.在各棱长均相等的正四面体尸/8C中，取棱PC上一点7,使尸r=27C,连接%,TB,

三棱锥的内切球的球心为M,三棱锥r-”C的内切球的球心为M则平面M48

与平面NAB的夹角的正弦值是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出

30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查(满分100分)，

若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：

男教师女教师总计

优秀201535

非优秀10515

总计302050

(1)根据小概率值。=0.1的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？

(2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女

老师的人数为X,求X的分布列和数学期望.

”(ad-be)2_,

附n/l：%,2=("/,)(c+d)S+c,)S+d)'其中〃=〃++

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

16.(15分)

/\

已知函数/'(%)=4sin@:+弓coss-4"(。＞0)的最小正周期为兀.

(1)求”的值；

(2)将函数/(X)的图象先向左平移三个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函

6

数y=g(x)的图象，若g(x)在区间［0,向上有且仅有3个零点，求〃7的取值范围.

数学模拟试题第3页共4页

17.(15分)

已知三棱锥尸(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形48co为边长等

于正的正方形，13七和&5C户均为正三角形，在三棱锥尸-中：

(1)证明：平面P4C_L平面力8C；

(2)若点”在棱。力上运动，当直线8河与平面尸4C所成的角最大时，求二面角

时一4。一%的余弦值.

18.(17分)

已知48是椭圆氏二+/=1的左，右顶点，点/(〃z⑼(加>0)与椭圆上的点的距离

4-

的最小值为1.

(1)求点A1的坐标.

(2)过点M作直线/交椭圆E于C,。两点(与不重合)，连接/C,BD交于点、G.

(i)证明：点G在定直线上；

(ii)是否存在点G使得CG1.QG,若存在，求出直线/的斜率：若不存在，请说

明理由.

19.(17分)

已知函数y=〃(x),记/=,上二"｝,若〃(x)满足5口力，

则称N="x)是力上的“可控函数由"可控函数”的定义可得：若函数力(%)是4二的“可控

函数“，则函数"'(X)也是力上的“可控函数"，其中〃"(')=M.LMM')1)),例如

"个力

h2(x)=h[h(x)),/?3(x)=h《。(v))].

(1)判断函数/(x)=/—2x+2是否为3。642｝上的“可控函数”，并说明理由；

(2)已知函数g(x)="；jf；P(〃>0)是卜|0«工金｝上的“可控函数”,且/的最大值

为拒+1.

(i)求函数g(求的解析式;

iI4=交，。=g(4“)(〃6N")cin\

(ii)若数列必)满足2八0S”是数列但，力的前〃项和.求证:

(及-+

数学模拟试题第4页共4页

《南通一模考后巩固》参考答案与解析

（分为两部分,第一部分速查答案，第二部分有选填解析）

【答案速查】

一、单选题

l.B2.A3.C4.C5.C6.D7.D8.A

二、多选题

9.AD10.ABD11.ACD

三、填空题

12.1513.-1,4T

四、解答题

15.（1）零假设“°：这次成绩是否优秀与性别无关.

根据表中数据，计算得到服=50x(20x5-15x10)2=o397<2.706—4分

35x15x30x20

根据小概率值。=0.1的独立性检验，推断/成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性

别有关。——6分

（2）X的可能取值为2.

P(x=o)=/)；P(x=i)=

警啜；唳=2）暇售

X的分布列为:

X012

3102

P(x)

7212?

-10分

7in77

数学期望后（町=0'亍+N万+2乂*=313分

JI

16.(1)/(x)=4sin(ox+—coscox-V3=2sin0xcos0x+2>Acos%x-百

=sin2<yx+JJcos26yx=2sin；2cox+—j04分

I3J

又/(X)的最小正周期为兀，6>>0,则7=兀=­，所以。=1.——6分

2co

(2)由(1)知/(x)=2sin2x+g,所以g(x)=2sin(2x+4-1,

I3J\3J

由g(x)=O时、得到sin2x+§］=：,所以2x+@=工+2"次cZ或

3J236

、2兀5兀八,,)

2x+—=—+2kTi,keZ

36

IT、7T

即x=——+kit,kGZngx=—+An,ZrGZ-----9分

412

因为g(x)在区间［(),向上有且仅有3个零点，

TT77r

由工二—+kn,kGZ,令k=\,得x=，；令4=2,得工=—；

444

由x=X+hc,%£Z,令k=0,得工=E；k=l,得工='^：----13分

121212

rc、i13兀,7兀

所以---<〃z<----,

124

故相的取值范围是［当,——15分

1124)

17.(1)四边形44。。为边长等于及的正方形，和Mb均为正三角形,

设力C的中点为0,连接8。，P0.

因为在△尸/C中，P4=PC,。为4c的中点,

所以PO_L4C。——2分

因为在△尸08中，P0=l,03=1fPB=4i,则PO2+O82=P"2,

所以PO_LO8,因为4CnO5=。，力GOBu平面力8C,所以PO_L平面力3C。

5分

因为POu平面E4C,所以平面P4C_L平面49C；6分

(2)由(1)知，BO工PO,B()1AC,POr\AC=O,qOu平面24C,4Cu平面尸4C,

1.801平面R4C,

BO1

所以ZBMO就是直线与平面PAC所成的角，且X^BMO=

OM0M

所以当OA1最短时，即"是的中点时，NBMO最大,

由尸。_L平面45C,。民OCu平面/8C,所以PO_LO8,POLOC,

于是以O为坐标原点，OC,OB,。尸所在直线分别为x轴，N轴，z轴建立如图所示空

则0(0,0,0),C(l,0,0),8(0』,0),4(-1,0,0),尸(0,0,1),

所以於=(LTO),PC=(I,O,-I),就二弓，°，-；)

9分

ifi-BC=OW0

设平面A/Z?C的法向量为帆=(项,为当)，贝小一，得

m-MC=03再一马=0

可取所=(1,1,3),—11分

取平面ABC的法向量为n=(0,0,1),

所以cos伍而)=肯言=奈=千:

14分

\n\\m\yj]111

由图可知二面角〃一8。一/为锐角，故二面角/-8。一力的余弦值为驾.——15分

18.(1)设尸(工,券)是椭是上一点,则片+44=4,

'3f4

因为|卜，(m-/丫+歹：=-x----m一'L卜&《2)，

4(03

2

®^0<ZK<|,|PM|min=^l-1/M=1,解得〃7=0（舍去），——1分

②若〃7=J（♦4-4"?+"?2+1=1,解得"2=1（舍去）或"7=3-------3分

所以M点的坐标位（3,0）.------4分

（2）（i）设直线/：X二夕+3,。（凡,弘）,。（孙必），

x=ty+3

由，X?,得（广+4））2+6”+5=0,

匕+y川

所以乂+必=一品，M为=目

所以必+»2=一当必》2，①

由A=l6/2_80>0，得"后或/<-逐，

易知直线4c的方程为y=3（x+2）,②

直线的方程为歹二』7（'一2）,③——7分

/一/

x+2=（为+2）%=（优+5）%=

联立②③，消去得

工一2伍一2）必（叫+1）必生必+必

x+2-\（必+必）+58

联立①④，消去生力，则一；=T------------------=4，

I-沁+%）+乂

6

44

解得x=]，即点G在直线x=3上；——10分

（ii）由图可知，CG1DG,即力G_L3G,所以点G在以48为直径的圆上,

设G停〃则（g）+'/=4，所以〃=±2,,

137

即GR,±¥].—13分

\7

I—

故直线4C的方程为旷=±?（'+2）,

直线力。的方程与椭圆方程联立，得9r+16；1-4=0,因为以=-2,

，故k.=k=±4亚.--17分

1W25

19.(1)/(%)是2｝上的“可控函数”.

因为/(X)=JC2-2X+2=(X-1)2+1,由0«x«2得l4(x-l『+l«2,

所以lW/(x)W2.

因为［1,2仁［0,2］,故函数/(》)是｛x|0W2｝上的“可控函数”.一3分

(2)(i)由函数g(x)的定义域为｛x|x，2p｝,可得0<f<2〃,

由于"尸宝早,又因为T。,"

当OWp时，g'(x)<0,则g(x)在区间［O,P)上单调递减,

当p<x<2p时，g'(x)〉O,则g(x)在区间［p,2p)上单调递增，

而g(O)=§g(P)=O,所以当时，g(x)的取值范围为0段,

乙乙

因为卜普］q［O,p］,

所以由“可控函数”的定义可得函数g(x)是｛x|O«xWp｝上的“可控函数”.

所以，的最大值不小于P.——6分

g(P)NO,

若pq〈2p,由“可控函数”定义可知p满足的条件为g(o)</,

z-p

，所以p«ZW",p<lp.

可得J

“2+万

—P

,2

又因为g=与土P>g=g(o)，由g(x)的单调性可得,

当OWxW卫找P时，g(x)的取值范围为0,二生夕

显然0,2手P£0,笞叵P，

所以函数g(x)是产。工二^〃]上的“可控函数”，

所以/的最大值为带旦〃，得和3=拒+1'则〃=也，

所以函数g(X)的解析式为g(X)=L*+2.—9分

2\j2—x

(ii)先证明邑<(夜+1)〃.

由⑴可知函数g(x)是卜04x4/+1｝上的“可控函数”，

由“可控函数”性质可知函数g'(x)也是｛x|0<x<V2+l)上的“可控函数”，

所以gi(x)£[0,&+l]/=l,2,3「、〃.

因为卬=8(%)=8幅(卬-2))h-=8""(%)#=2,3产.,〃，

且4=&[0,尤+1],所以=£[o,0+l]j=2,3,…血

所以S“=%+(H+4+…+4)<----H(>/2+1)(〃—1)<(-\/2+1)〃♦--------12分

再证

由⑴可得g(x)在区间[o,五)上单调递减，Hg(V2-l)=V2-l,

所以若%>V2-1,则4+i=g(a“)<g(四一1)二挺一1,

若<近一1,则％=g(4)〉g(右一1)=6-1.

又因为〃=也>后一1,所以女EN*时，

2

a[9ai9a5iL9a2k4均大于夜-1,g，4,4,L,心均小于行-1.

,(\a；-2叵%+22

因|I|A为,二g⑷二2j二一《^7^，

所以当，为奇数时，言丁亚_*[2吟1).—14分

若n=2k,可得

Sa=3+&)+…+S”T+以)>及1卜〃(6-1).

若〃=2%-1,可得

S”=(q+4)+L+(々24-3+a2k-2)+a2k-\>2(上一1)(—1)+>/2—1=(2〃--1j=〃(\/^—1j,

所以对任意的〃wN*,S”>/71^2-1).

综上所述(夜-l)*S”(y5+l)〃.17分

【选填解析】

222(l+i)

1.选B。因为z=^j—-7=-―-T~7V=1+1,故；=l-i.

l+rl-i(l-i)(1+1)

2.选A。易知X2—4X=X(K—4)40,解之得^[。川，即/=[一1,1],8=[0,4],

所以4c8=[05.

3.选C。由向量的线性运算可知

阮二8+就=57+7月+后e=57+：(。后一刀)=-g/+gB.

4.选C。数列｛%｝中，%>0,数列｛%｝为等比数列，令其公比为仪4>0),则%=皿1,

In4=lnq+(〃-l)lnq,In-—In4=Ing为常数，因此数列｛ina”｝为等差数列；

反之，｛In%｝为等差数列，令其公差为d,则ln〃7-lna“=d,即也=e"为常数，

因此数列｛%｝为等比数列，所以”｛〃”｝为等比数歹V是“｛In凡｝为等差数歹产的充要条件.

因为圆锥SO的底面半径为1,侧面积为2兀，所以圆隹SO的母线为2,

所以圆锥S。的轴截面是边长为2的等边三角形，

如图所示，当该椭圆的长轴垂直于母线时，此时椭圆的长轴长取得最小值，旦最小值为边

长为2的正三角形的高，

因为48=有，所以椭圆的长轴长的最小值为

6.选D。从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴，

故甲的平均数小于乙的平均数，即〃甲<〃乙,

且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即b甲〉气.

对于A,。<0力<0,c<0不能同时成立，因为。<0,b<0,c<0时，函数单调递减，得不到

/(«)>/(c)>/(/7),故A错误；

对干R.如图.当〃</)<c时,有/(。)〉/'(。)>/(6),则方可能小干零,也可能大于零.

故B错误；

对于C,如图，当-Q>C>0时，2y>2，，故C错误；

对于D,由图象可知，〃<0,c〉0,所以0〈2。<1,2<>1,

又/(。)>/(。)，所以1一2">2,-1，

所以1<2“+2c<2，故D正确.

8.选A。因为/6,2/成等差数列，即/+2o2=2/落

222

i,mDb?万ci+b-c3伍2_/)

则cosB=--------------=---------,cosC=---------------=」-------，

2ac2ac2ab2ab

3f

所以经C=2a^=3c=3sm£,gptan5=3tanC,KtanOO,

cosBb~-c~bsinB

2ac

_tanC-tan5_2tanC22<T

所以tan(C_3)\+tan8tanC=_l+3tan2C=_]-「运一厂，

-------+jlanc

tanC

当且仅当tanC=立时，等号成立.

3

9.选AD。对于选项A：由抛物线方程可得2P=8,即〃=4,且焦点在；v轴正半轴上,

所以C的准线方程为x=-=-2,故A正确；

对于选项B：令y=2g,得x=l,所以/(1,2&),

由抛物线定义得：|力/|=1+2=3,故B错误；

对于选项C：由选项B知Z(l,2五),所以直线OA的斜率为2>一°=2拒,故C错误;

1-0

对于选项D：若8,0,尸三点共线，则的最小值为通径，令x=2得产=16,

所以)，=±4,所以|8。|的最小值为8,故D正确.

10.选ABD。因为函数/(x)与函数g(x)的图象关于直线x-y+l=0对称，所以函数/(x)

需满足在定义域上单调.

对于A,易知函数/(x)=3.x+2在R上单调递增，故A正确；

对于B,因为y=1■在R上单调递增，函数歹二与在R上单调递减，故可知函数

/(x)=q匚在R上单调递增，故B正确；

对于C,因为/(x)=ex—2x,定义域为R,所以/'(x)=eX—2.当x>ln2时，/'(x)>0,函

数/")单调递增；当x<ln2时，八上)<。，函数/(用单调递减，故C错误；

对于D,因为/(x)=ln(x+Jl+S-x,定义域为R,所il

1

,、l+x(l+x2p1

r(x)=_f—^-国，

x+\l\+x2Jl+%2

所以函数/1)在R上单调递减，故D正确.

11.选ACD。对于A中，由

A/（5,4）=33333（4）=3xG+3x4+3x4+3x4+3x4=G-1=102；所以A正确;

对于B中，由M（4,2）=lll%）=lx23+lx22+lx2i+lx20=15,

M（2,4）=33（4）=3乂413、4。=15,可得M（2,4）=M（4,2）,所以B错误；

3.个1

对于C中,由例(3〃,2)=11二1(2)=lx"+1"-2+…+1x2+1x2=2V，-J

3”个I

3,,_|3n_2,03n,

M(3/7,2)=ll---l(21=lx2+lx2+---+lx