高考数学之圆锥曲线考点专项复习：双曲线的对称性问题

专题15：双曲线的对称性问题

一、单选题

I.已知尼是双曲线4-"=1（〃>0力〉（））的左，右焦点，若

双曲线右支上一点尸恰好和点士关于双曲线。的一条渐近线对称,

则双曲线C的离心率为（）

A.>/2B.73C.2D.y/5

22

2.已知点P,A,8在双曲线》一方=1（心0,8>0）上，直线

A3过坐标原点，且直线出，P3的斜率之积为；，则双曲线的离

心率为（）

A.—B.姮C.2D.巫

332

3.过双曲线5-匕=1的右焦点作直线/交双曲线于A,8两点，

48

则满足|A却-8的直线可作的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知6,总分别为双曲线力>0）的左、右焦点，

a"b~

以上鸟为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为

M,N,设四边形"N"2M的周长为〃，面积为S,且满足32s=〃）

则该双曲线的渐近线方程为

A.y=±^-xB.y=±^-xC.y=±-xD.y=±：^-x

2223

5.过双曲线5-），2=1（。>0）的左焦点作直线/与双曲线交于囚，“两

点，使得|蝴=4,若这样的直线有且仅有两条，贝心的取值范围是

A.[o?,ljB.（2?，+8）C.Q,2,

D.0?，,+8）

\2）

6.已知双曲线£-£=1（。>0,b>0）的左、右焦点分别为R,

crb~

点。为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，△尸Fi&内切

圆的圆心为。，圆。与x轴相切于点儿过6作直线PQ的垂线，

垂足为8,则下列结论成立的是（）

A.\OA\>\OB\B.\OA\<\OB\

C.\OA\=\OB\D.QA|与|08|大小关系不确定

7.如图，6,工是双曲线=的左、右焦点，过尸2

的直线与双曲线。的两条渐近线分别交于4,B两点、,若点A为

若点4凡0）,3（。⑼关于直线/对称，则双曲线。的离心率为（）

A6+1R6+1

C.G+lD.V2+1

9.已知双曲线U=i（Qa”>°）的一条渐近线方程为

尸为双曲线上一个动点，”，尼为其左，右焦点，西•厄的最小

值为-3,则此双曲线的焦距为（）.

A.2B.4C.2yi5D.2行

221I

10.过双曲线标弋=1的一个焦点/作弦相，则的+两的值

等于（）

二、多选题

11.已知双曲线C：4-二=1的左、右两个焦点分别为斗F2,直线

63

丁=依代工0）与。交于A3两点，AEA轴，垂足为反直线跳与C

的另一个交点为P,则下列结论正确的是（）

A.四边形"；叫为平行四边形B."Pg<90。

k

C.直线把的斜率为］D.ZPAB>900

12.若双曲线C：《+亡=】（加〃<0）绕其对称中心旋转9可得某一

tnn3

函数的图象，则C的离心率可以是（）

A・¥B.1C.V3D.2

三、填空题

13.已知点知（。,1）,点〃是双曲线*-），2=1上的点，点。是点〃关

于原点的对称点，则M1的取值范围是________.

14.若三个点（-2,1）,（-2,3）,（2,-1）中恰有两个点在双曲线

c：4-/=1（6/＞0）±,则双曲线C的渐近线方程为.

a~

15.如图所示，已知双曲线C：=1（八°，匕＞°）的右焦

ab~

点为b,双曲线C的右支上一点A,它关于原点。的对称点为%

满足ZAP3=90。，且忸F|=3|4同，则双曲线。的渐近线方程是.

16.已知双曲线C:5-£=1（。＞。力＞。）的离心率为2,左、右焦点

分别为小工，过原点的直线交双曲线于48两点，点C是双曲线上

的点，则&AC，&BC=.

参考答案

1.D

【分析】先设出爪-C,。），渐近线方程为盯其对称点p（八〃），再

根据题意得」一=—£和:〃=2、〈（加一。），解得尸—二,一辿，再代

m+cb2a21cc）

入双曲线方程化简即可得答案.

【解析】设爪-G。），渐近线方程为丁=，/其对称点尸（见〃），

所以有‘一二4P6的中点Q的坐标为退〃

m+cb\222J

（

因为根据题意得q?i”%I利1A在渐近线上,

所以卜沼（〃一）,

r-r-<sb"—ci"2cr2ab

所以斛侍m=-----=------,〃=----

C

即《三，一子｝代入双曲线方程得：修工警=|，

化简可得：1-4=1,即有e?=5,所以e=石.

a~

故选：D.

【点评】本题通过双曲线的几何性质，求双曲线的离心率，考查了学

生的逻辑推理、直观想象与数学运算等数学核心素养.

2.A

【分析】根据双曲线的对称性可知点关于原点对称，设A（.x）,

Wff）,WM,利用点差法求得％此进而得到与•二,

a3

根据离心率公式计算即得.

【解析】根据双曲线的对称性可知点A8关于原点对称,

设A(XQ),P(%y),

两式相减得必且-至上，即与=

a~b~a%)t

因为直线雨，P8的斜率之积为:，

J

cr.x,.＞)1一)'一弘一)'X-/F1

所以二^=百"/二旌

所以双曲线的离心率为e=j]=n=W，

故选:A.

【点评】本题考查双曲线的性质，离心率，点差法，属中档题.

利用点差法可以证得：

(I)点RA,3在曲线1+卫=1(。＞。力＞0)上，直线A8过坐标原

ab

点，且直线出,P8的斜率之积-4.

a-

(2)点P,A,8在双曲线£-4=1(。＞0,“0)上，直线回过坐标

a~b~

原点，且直线%的斜率之积

a

3.C

【分析】先看当都在右支上时，若A8垂直1轴，根据双曲线方程求

得焦点的坐标，把焦点横坐标代入双曲线方程求得交点的纵坐标，进而

求得AB的长等于8,即为垂直于x轴的一条;再看若A8分别在两支先

看A,8为两顶点时，不符合题意进而可推断出符合题意的直线有两条，

最后综合可得答案.

【解析】①若外都在右支，若A8垂直若由,Y=4方=&「2=12,所以

F(2G,0)

、7

则人氏工=26,代入双曲线5一5=1，求得)'=±4,所以"=加-刃=8所

4o

以1”|=8的直线有一条，即垂直于1轴；

②若相分别在两支,。=2,所以顶点距离为2+2=4<8,所以|钻|=8有两

条，关于x轴对称.

综上，满足这样的直线/的条数为3条.

故选:C.

【点评】本题主要考查了双曲线的对称性和直线与双曲线的关系，考

查了学生分析推理和分类讨论思想的运用.

4.B

【分析】根据双曲线的定义和矩形的面积公式，以及离心率的计算公

式，即可求解，得到答案.

【解析】由题意，可得阳用-眼用=2〃,|M用+|M周=^,

联立解得眼用=。+&眼图

又为直径，所以四边形耳NgM为矩形，

所以S=周=彳)2一/,即4=4心即〃2=32心

43216

由周2=彷可2,得2/+。=公2,即3/=202,

O

即3/=2/,所以2=自，所以双曲线的渐近线的方程为y=±芈盯

a22

故选B.

【点评】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双

曲线的离心率（或范围），常见有两种方法：①求出a，。，代入公式6

a

②只需要根据一个条件得到关于"”的齐次式，转化为年.的齐次式，

然后转化为关于。的方程，即可得e的值（范围）.

5.D

【解析】双曲线的实轴长为2%要使这样的直线有两条，第一种情况

是：当直线与左右两支相交于两点时，只需|4同=4（为⑷2,此时直线

若和左支相交，必有两条直线符合题意.当4＞为时，直线与两支都相

交时，存在两条直线符合题意，此时需要当直线仅与左支相交时，最

短的弦长大于4,即当＞4,综上，选D.

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查圆锥曲线的通

径长度.过焦点且垂直于椭圆或双曲线内囚的直线和它们有两个交点,

此时弦长为也，这叫做通径.若过双曲线交点的直线和左支相交于两

a

点，则最短弦长为通径长.根据题意，分别考虑直线和左支或者左右

两支相交的弦长情况，即可求解出来.

6.C

【解析】由于点。为三角形PRF2内切圆的圆心，故过点尸2作PQ

的垂线并延长交PQ于点N,易知垂足B为FzN的中点，连接0仇

则|。3|=:尸川=；（尸山|一旧尸|）=凡又设内切圆与巴"尸B分别

切于G,”,则由内切圆性质可得|PG|=|P〃],|F|G|=|FM|,|F»|=|F2H|,

故|F1P|-|F2P|=尸园一尸2川=2处设]。4|=/则有x+c-（c-x）=2a,

解得|。4|=%故有10Al=|0明=见故选C.

7.A

【分析】由已知得。4,巴巴OF、=OF?=OB,即可得

^AOF2=ZAOB=^OF1=60\根据渐近线得关于。的方程，解之可得

选项.

【解析】因为点A为尸述的中点，所以。4/历％又所以

OA工F凡OFX=OF2=OB所以NAOg=/408=/304=60。，所以

—=tan60°=>/3,所以〃=1,所以耳耳=2-1+3=4.

a

故选：A.

【点评】关键点点造：本题考杳双曲线的渐近线相关问题，解决的关

键在于利用平面几何的性质得出渐近线的斜率，得以建立方程求解.

8.C

【分析】由点A（〃，0）,8（0,与关于直线/对称，可得直线/为线段

AB的垂直平分线，利用中点公式和直线垂直的关系求得直线/的方

程，将尸的坐标代入，求得。，仇。的关系式，进一步转化得到。,c的

齐次关系式，转化为离心率e的方程求解即得.还可以从|4用=忸用入

手解决，更为简洁.

【解析】解法一：由点4。，（）），B（（）,切关于直线/对称，

可得直线I为线段AB的垂直平分线，

线段相的中点的坐标为段｝直线的斜率为4,

可得直线/的方程为T=的-，

令y=0,可得户为小，由题意可得-C二H，

2122

即有a（a+2c）=b=c—cr9即c—2ac—2a=0,

由e=',可得/—2e—2=0,

a

解得《=1+6（《=1-6舍去），

故选：C.

解法二：由点A3,0）,8（0,份关于直线/对称，可法M=网，即

a+c=\lb2+c2，

两边平方，并结合整理可得/—2〃c—2〃2=0,下同解法

【点评】本题考杳双曲线的性质：离心率的求法.根据已知条件求得

。上。的关系，进而得到的齐次关系，根据离心率的定义转化为离

心率e的方程求解，是求离心率的常用方法.

9.D

【分析】由渐近线方程得"g,设PUD,求出西•班7；+），；-/,

a2

利用此式的几何意义得出最小值为然后可求出c,得焦距.

【解析】设P（Xo,%）,G（-c,O）3（c,。），则

所.丽=（-c-x0,-y())\c-x^-y())=(-c-x())(c-x())+y-=x-+y--c\

+M表示P到原点距离的平方，当，为双曲线顶点时取得最小值,

所以（而“）*=/—即。2一。2=_3,/=3,b=6,

双曲线的一条渐近线为），贝Ij2=*，所以。=2,c==J7,

2a2

焦距为2币.

故选：D.

【点评】本题考查求双曲线的焦点，考查渐近线方程，解题关键是用

产点坐标表示出向量的数量积两•%并根据几何意义求出最小值.然

后再结合渐近线方程可得焦距.

10.B

【分析】采用特例法设焦点尸为右焦点、4在第一象限，求出F、A、

3的坐标，利用两点间的距离公式求解即可.

【解析】采用特例法即可求得结果不妨设焦点尸为右焦点，则以5,0）,

9

+-

令x=5代入双曲线方程得冷着=1,解得）一4

1O9

当轴时，不妨设A在第一象限，则A（5?）,45,-£|,

所以IAFHBF喙故凉+矗=2

故选：B

【点评】本题考查双曲线的几何性质，属于中档题.

11.AC

【分析】利用关于原点对称，可判断A,利用%趋近于0时P点

的位置，得出/耳。6大于90。，从而判断B.设4方,），。），计算斜率嗫

可判断C,由三角形外角定理得ZAm>90。，从而可判断D.

【解析】双曲线c关于原点对称，又直线厂质过原点，所以A8关于

原点对称，

由侬=陷,|0用=|明得四边形的叫为平行四边形，A正确；

当左一0,。点趋近于右顶点，此时趋近于平角，因此不可能有

"Pg<90。，B错.

设4%,%),则由AEJLx轴知即0,0),火二§,

xo

n*nKBE==-=-kc正确.

△ATO中，ZAPB>AAEB>ZAEO=90°,因此NRWv90。，D错;

故选：AC.

【点评】思路点睛：本题考查双曲线的对称性，解题关键是得出A8

关于原点对称，则设4%,为)后就可得出用E坐标，斜率的关系随之可

得，利用平面几何知识判断AD,利用k趋近于。的变化趋势得出P点

变化趋势，从而得出/”2鸟的变化趋势.

12.AD

【分析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后

求解双曲线的离心率即可.

【解析】当心0,〃＜0时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：

9所以斜率为：与,

可得：-=|,所以双曲线的离心率为：。=与^=2.

-n3yjm

当机＜0,”0时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：弓，所以

斜率为：今,

可得：早=",〃=-3帆，所以双曲线的离心率为：吁耳=咚.

\Jn3\jn3

故选：AD.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题.

13.（—，一2]

【分析】根据题意设点尸（如％）,国之上,进而点1（-%-%）,再根据

向量数量积的坐标运算得桥•汲=-片-再结合号-）於1得

丽丽=2-也＜_2.

3

【解析】解:设点尸（%,%）,同之百，则点。（f,,

所以MP=（q，No-1）,M2=（T。,一J。一1）,

诉.苑=r；_y；+l,

因为尸是双曲线4-丁=1上的点，故1一£=1,

JJ

所以丽・丽=一片一寸+1=2—与4一2,

故MPMQ的取值范围是(-oo,-2].

故答案为：(-，-2]

【点评】本题考查双曲线的方程的应用，向量数量积运算，考查运算

求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设

Pg,%),闻,进而由向量的运算得结合二次函数性质即可得答案.

14.y=±^x

'2

【分析】利用双曲线的图象关于原点对称得到点(-2,1),(2,-1)在双

曲线C::；72=1(〃>0)上求解.

a

【解析】因为三个点(-2,1),(-2,3),(2,T)中恰有两个点在双曲线

2

C:^-y2=l(a>0)±,

a~

又双曲线的图象关于原点对称，

所以点(-2,1),(2,-1)在双曲线(^£-尸=1">0)上，

cr

所以44-1=1,

a

解得4=拒,

所以其渐近线方程为：)，=±44

故答案为：)，=