数列求和拓展进阶（放缩求和复杂裂项奇偶讨论等17类题型）原卷版-2025-2026学年高二数学（人教A版）

数列求和拓展进阶

(放缩求和，复杂裂项，奇偶讨论等17类题型)

总览题型解读

模块一裂项相消求和进阶.............................................................2

【题型1】裂和型裂项相消：(一1)“巴士廷二(-1)"」-+一匚....................2

【题型2】根式型裂项相消：+................................................5

〃2।

【题型3】等差乘等比型裂项：「，、「=—^7-/―”.....................................7

n(n+\)-2n-2(〃+1)・2

211

【题型4】三项等差裂项：(一\//4\一/Li"工..............................1°

n［n+\)(n+2)+(〃+1)(〃+2)

【题型5】其它裂项求和..........................................................12

模块二分组求和与并项求和进阶......................................................14

【题型6】奇偶项的通项公式不一致的数列求和....................................14

【题型7】插入数字构成新数列后求和.............................................15

【题型8】隔项数列求和(一般并项求和).........................................19

【题型9】通项含有(一1)"的数列求和.............................................20

【题型10］涉及sin,cos的数列求和..............................................28

【题型11】奇偶交织”的递推数列求和问题........................................30

【题型12］奇偶数列｛%｝的前"项和7；及$〃与下标的讨论和处理.............32

模块三其它求和问题................................................................36

【题型13］放缩求和.............................................................36

【题型14］恒(能)成立问题....................................................44

【题型15］公共项相关求和......................................................46

【题型16］取整数列求和........................................................49

【题型17］数列的自定义问题....................................................50

1/54

题型汇编知识梳理与常考题型

模块一裂项相消求和进阶

【题型”裂和型裂项相消：（可?/山）‘仔+3

i核生技:巧集________________________

裂项相加：本类模型典型标志在通项中含有(-1)”乘以一个分式.

例:⑴L)•汨45=()Lf)，

(2)对于a可以裂项为“二(一1)""^"二(一1)"—+—

anan+\anan^\IOn4用;

⑶(_1)"(〃2+4〃+2)2"㈠)”("+4〃+2)㈠)+〃42(〃+1)+打

“.2”.(〃+l)2"+i-〃(〃+1)2向~~”•(〃+1)2"+1

=邛+（_1），，j।.」（」）”+(~ir(-ir1

小2”5+1)・2"|

【例题1］若氏二2〃-1,数列也,｝满足“=旦工，仇｝的前〃项和为小求7；

（JCl+1i

2//+1

【例题2】已知"二2〃-1,设c.=（-l）”［为数列｛《｝的前〃项和，证明：

他川+1)(4+1)'

,2/54

【例题3】（2023•山东薄泽•一模）已知首项不为0的等差数列｛凡｝‘公差"中O,q=O（Z为给定常

数），S,为数列｛凡｝前一〃项和，且4=5吗（叫（叫），也｝为性一叫所有可能取值由小到大组成的数

列.

-2〃+1T<、1

⑴求“；（2）设%=（zT）伯+i），5为数列｛%｝的前“项和,证明：

【例题4】（23・24高二下•湖北•期中）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且

4s2,=2〃”+1（〃［、'）

（1）求数列｛6,｝的通项公式；（2）设“=（-1）”・公1,求数列｛4｝的前〃项和为3.

anan+\

,3/54

/H巩固练习/

6

【巩固练习1】已知"”=(〃+1)(〃+2)‘若”=(2〃+3)(-1)"4,求也｝的前〃项和人

【巩固练习2】(福建省厦门一中2023・2024高二上十二月月考)设｛%｝是等比数列且公比夕大于0,

其前"项和为',｛a｝是等差数列，已知％=1,%=出+2,aA=b3+b5,a5=/)4+2Z)6.

(1)求｛。“｝，｛4｝的通项公式；

a.、499

(2)设g=n了,数列仁｝的前〃项和为小求满足1寿的最大整数〃的值•

【见十1JI十1J1UUU

%4/54

【巩固练习3】（2024届高三数学信息检测原创卷（八））已知数列｛4｝的前“项和S”满足

S.=〃。；）,且数列｛©｝中的第2项、第5项、第14项依次组成某等比数列的连续3项（公比不

等于1）.

（1）求数列｛/｝的通项公式；（2）若"，且数列｛2｝的前〃项和为。，求q的最大值与最小值.

【题型21根式型裂项相消:

/核心•技后

......7..•、4・6«・・・•«・・・・・•a・・・・・・・・・・・・・・・•・・・・・・・・・,

(1)-f=^—产=y/n+1-y[n

y/n+\+y/n

(2)

_______1

yjln-1+J2〃+1

小i11小+1)+1.11

(4)J1+-T+---------7=—-----------=1+------------

V(n+1)2n(n4-1)nn+1

,5/54

/〃典型例题/

【例题1】（24-25高二上•江苏苏州・月考）已知数列｛%｝满足

n

2""q+2"、的+…+2an_｝+an=3-2-n-3,若J=,则数列｛%｝的前〃项和

Tn=.

【巩固练习1】（23-24高二下•重庆九龙坡•阶段练习）数列固“｝的前〃项和为2,且S,=〃：+2〃,

2

阮+而则数列依｝的前〃项和为4=<）

A.J2〃+1——2〃-1B.d2n+3-1

C.J2〃-2D.J2〃+3-、行

【巩固练习2】（23-24高三上•广东深圳罗湖区•期末）已知数列｛%｝满足q=1,4+产后

⑴求｛%｝的通项公式；（2）求数列，己一，的前〃项和S”.

,6/54

【巩固练习3】(23-24高二卜・西藏拉萨•期末)设公差不为0的等差数列｛4｝的首项为2,且小，%，%7

成等比数列.

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

(2)已知数列｛"｝为正项数列，且6；二金巴，设数列厂二一r的前〃项和为S“，求证：

Sn<J〃+2.

n+2__1________1

【题型3】等差乘等比型裂项:心+1).2"一〃疗-5+1)2

/核心•技巧/

〃+2_2(〃+1)-〃(2__(_、_1____1________1

例子:〃(〃+1>2”一〃(〃+1)・2"一〃十1^一〃・2"T―Q+1>2”

一))kn+ab+ak-b\1

般”构优+a"(kn-b)a"凶〃+1)+。］

//典型例题/

【例题1】已知，=3",若〃9=雪』(〃£川)，求数列匕｝的前〃项和

4/，一1''

,7/54

【例题2](深圳实验2023-2024高二上第三阶段考试)正项数列1%｝满足：对一切有

…=或，其中S”为数歹U｛凡｝的前〃项和.

(1)证明：匕(2)求数列｛%｝的通项公式；

(3)若a=第1,数列德｝的前〃项和为1.证明：

Z%O

【巩固练习1】已知%+1=2〃，记&+1也=等，7；为数列｛，｝的前〃项和，求7：.

n~+n

'8/54

12

【巩固练习2】（23-24高二卜・广东•期中）已知数列｛*｝满足q=l,%+i=l-彳，设句=五■即

其中〃wN".

（1）求证：数列｛a｝是等差数列；（2）求数列（务卜勺前〃项和S“：

（3）设数列的前〃项和为T，证明：^<7；,<7.

IA也「2164

9/54

【巩固练习3】（湖南省常德市第一中学2023-2024高二上期末）已知数列｛4｝满足％=1,且

%「%=〃+1（〃eN）

⑴求数列｛凡｝的通项公式；（2）记数列一：,的前〃项和为S”求心;

⑶设仇=7^舁,数列｛“｝的前〃项和为71,且7；〈纥等对一切〃GN.成立，求实数〃，的取值

2Qn2

范围.

【巩固练习4】（23-24高二上•浙江金华,期末）已知正项数列｛/｝的前〃项和为s“，且邑=1+〃.

Q+4

⑴求数列｛a”｝通项公式；（2）设“二之一,求数列出｝的前〃项和小

,anan+\

⑶若数列｛qj满足q==:4+[+1,求证：—+—+>2y/fi+2-3

2Gc2c

10/54

211

【题型4】三项等差裂项:〃(〃+1)(〃+2)(〃+1)(〃+2)

J核生技巧重____________________________________________________________

.2__J_____________]

航e构,〃(〃+1)(〃+2)/?(/?+1)(/?+1)(/7+2)

/力典型例题/

【例题1](江苏省镇江市镇江一中2022-2023高二上12月月考)已知数列｛/｝满足:

1I1/

铲+尹。2+-・+环).

1

⑴求数列乩｝的通项公式；(2)设bn=logM,求数列I的前〃项和为7；.

【例题2】(2024•湖北武汉•模拟预测)在等差数列｛%｝(〃wN・)中，q+，=ll，%=10.

,1,、1

(1)求｛6｝的通项公式;(2)若b“=--------,数列的｛"｝前〃项和为小证明[<77丁

“"K+2168

11/54

【巩固练习1】(湖北省武汉外国语学校2023-2024高二上期末)设数列｛%｝的前〃项和为S；r,已知

2=6，2S”=〃。"一

(1)求｛&｝的通项公式；(2)已知数列"=(一1)"・n2。丁求数列也｝的前〃项和4.

(3〃-1)(37?+2)

【巩固练习2】(湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024届高三考前测试)在等差数列｛凡｝

(7?€N,)中，6+生=11，%=1°.

⑴求几｝的通项公式；(2)若4=-!—,数列的｛4｝前〃项和为小证明1,＜上.

%a0+i%+2168

【巩固练习3】(佛山二模)已知,求数列｛"｝的前胃项和方

'12/54

【题型5］其它裂项求和

(核心•技―

4“1(11Y1

一有殳形式：-------=-------------------

4.%+11%%+[八%+1-勺

2n+\_11

⑴“2(“+lf772(〃+1)2

(2)"1小——

/(〃+2)24[/J(〃+2)2」

(3)噫誓=log〉一唾"”

(一1)”(〃2+4〃+2)2"(T)”(/+4〃+2)+〃+2(〃+1)+“]

(4)

〃.2".(〃+1)2"+|=〃.(〃+1)2"“-=/?•(/?+l)2n+,

(-1)”(-1严

n-T(〃+l)-2"i

【例题1】(广东省茂名市2022-2023高二下期末)己知等差数列｛凡｝的公差不为0,其前〃项和为

工应=25,且％吗吗成等比数列.

⑴求｛6｝的通项公式；

4〃1

(2)设"=丁丁，记数列｛4｝的前〃项和为小若+力〃对任意〃cN*恒成立，求阳的取值

ttn'。〃+12

范围.

13/54

【巩固练习1】（广东省清远市2022-2023高二上期末）设等差数列｛〃“｝的前〃项和为S,,且

56=2s4,%=2a”-L

（1）求｛/｝的通项公式•⑵令“=（2〃二『［，数列｛"｝的前〃项和为心证明：

【巩固练习2】已知为=〃，设"皿------，证明：伪+8+-+〃＜：.

2*'qq+iq+24

【巩固练习3】已知正项数列｛（｝的前〃项和s“，满足：s”=（殁lj.

⑴求数列｛g｝的通项公式；（2）记"=£'，设数列血｝的前〃项和为。，求证

*\，+21。

14/54

模块二分组求和与并项求和进阶

【题型6】奇偶项的通项公式不一致的数列求和

J核心•技巧/

将数列拆分成奇数项和偶数项2个数列分别求和再相加

/力典型例题/

【例题1】（23-24高二下•江苏南通・期中）已知递增的等比数列｛%｝满足。3=4,且%,如，4-2成

等差数列.

2azi（〃为奇数）

⑴求｛凡｝的通项公式：（2）设“=1/、」皿皿一求数列也｝的前2〃项和.

J4-1（〃为偶数）

【巩固练习1】（23-24高三上•重庆•阶段练习）己知数列中，。？=2q=2,且

4+2,〃为奇数

4%,〃为偶数

（1）求｛为｝的通项公式：（2）求｛4｝的前10项和席）.

,15/54

【巩固练习2】（山东省烟台市2024年高考适应性练习（二模））已知｛牝｝是公差不为0的等差数列,

其前4项和为16,且4,%，生成等比数列.

为奇数

⑴求数列｛凡｝的通项公式；Q）设"=」〃为偶数，求数列｛4｝的前2〃项和心心

【题型7】插入数字构成新数列后求和

/核心•技巧/

拆分成2个数列求和

/“典型例题/

【例题1］已知见=3（〃-1）对所有正整数“，若4V则在外和四"两项中插入2%由此

得到一个新数列的J,求｛儿｝的前40项和.

16/54

【例题2】已知数列氏=3"T,在可和之间插入〃个数，使这〃+2个数构成等差数列，汜这个等

差数列的公差为应，求数列目的前〃项和乙

【例题3】(广东实验深圳学校、深圳外国语龙华高中部2023-2024学年高二上期末)已知数列抄“｝

的前〃项和Sn，且S”=2"-2

⑴求数列｛a｝的通项公式；

(2)设数列｛/｝的通项公式4二〃，若将数列｛%｝中的所有项按原顺序依次插入数列｛a｝中，组成一

个新数列：7%，4，的，%。4，牝，的的，"，…，4与4”之间插入2卜1项｛4｝中的项，该新数

列记作数列｛%｝,求数列｛%｝的前100项的和Too.

'17/54

【巩固练习1】已知数列｛%｝的通项公式%=5〃+15,在数列｛凡｝的任意相邻两项巴与

为川化=1,2,…）之间插入2#个4,使它们和原数列的项构成一个新的数列｛0｝,记新数列低｝的前〃

项和为S“，则S"）的值为.

【巩固练习2］己知。“=2〃-1,在勺与。向之间插入一项“，使凡，",成等比数列，且公比

为外（夕”>0），求数列｛加％｝的前〃项和Tn.

【巩固练习3】已知%=2小，在数列｛4｝中的。，和之间插入/•个数叫，〃1%，…，

犯，使4,网，叫，叫，…,啊,心成等差数列，这样得到一个新数列｛，｝,设数列低｝的前〃

项和为小求心.

【巩固练习4］己如数列｛〃/满足4=〃，在可,可“之间插入〃个1,构成数列｛a｝：

。，1,。2，1，1吗，1，1，1，6，.・，则数列也｝的前100项的和为（）

'18/54

A.178B.191C.206D.216

【巩固练习5】(23-24高二下•重庆•阶段练习)已知等差数列［%｝的前〃项和为S“，也｝为等比数列,

且％=4=1,S&=bs，a2+a?=b4.

(1)求数列｛%｝,也｝的通项公式；

(2)若在句与仇”之间依次插入数列｛(｝中的攵项，构成如下的新数列｛%｝；

4吗也，。2，%也，。4吗，。6也产,，记该数列的前〃项和为4，求。0.

【巩固练习6】(广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试(二))已知等差数列｛%｝的前〃项

S

和为邑伤向=2勺+2,且占为等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式：

⑵在2号与2竽之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为d.(W>0)的等差数列，记数列,十，

的前〃项和为求证：T“<3.

19/54

【题型8】隔项数列求和（一般并项求和）

/核心•技巧/

隔项数列一般有三种形式：%+〃用=切+力，%.%_[=%",〃“+〃,+[=%"

并项求和比分组求和计算量小一些

/“典型例题/

【例题1】已知数列｛%｝满足4=1,。向+。“=4〃，则S皿二

【例题2]（深圳一模）记S”，为数列｛%｝的前〃项和，已知%_1+/=4〃-2,q=4求S”.

/〃巩固练习/

10

【巩固练习1]已知数列｛q｝满足。3=5,an+an+]=4/1,则£4,=.

r=l

【巩固练习2】（24・25高三上•江苏苏州•期中）在数列｛4｝中，勺+%“=2〃，则数列｛6｝前24项

和S%的值为（）

A.144B.312C.288D.156

【巩固练习3】（云南省楚雄州2023-2024高二上期末）已知数列｛%｝满足+%=2".

⑴若｛凡｝为等比数列，求0｝的通项公式；

（2）若加“｝的前〃项和为S”，不等式4<38“-2"+'对任意〃eN•恒成立，求实数人的取值范围.

'20/54

【巩固练习4】设公差不为0的等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，工=20,4=%%.

⑴求数列m｝的通项公式;（2）若数列帆｝满足4=1,2+%=（加户，求数列｛凡｝的前〃项和7；.

【题型9】通项含有（一1）"的数列求和

；|核心:技巧fl

优先考虑并项求和

■MOB.•MM.MM•MM••

/~ll典型例题/

【例题1】（23-24高二上•湖南长沙•期中）已知数列｛%｝各项均为正数，且q=2,

〃3-2%=〃；+2%.

（1）证明：｛巩｝为等差数列，并求出通项公式：（2）设”=（-1）%"，求…+怎.

21/54

【例题2](广东省佛山市2023-2024学年高二，期末)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，DS4-4Sz，

生”=2。”+1(〃€。).

⑴求｛凡｝的通项公式及S”；(2)记，=(-l)"S“，求数列出｝的前50项和q.

【例题3】(23-24高二上•河南•阶段练习)已知数列｛%｝,也｝满足q=T,—=一工々，

%十J

%+2.

(1)证明：｛a｝为等差数列.(2)设数列｛(-1)&｝的前〃项和为5“，求S”.

'22/54

【例题4](23-24高二下•广东广州•期中)已知数列｛〃/前〃项和为S“，且满足q=2,2S*=3/+〃.

⑴求数列｛%｝的通项公式；⑵若数列出｝满足“=(-1)"«„+—,求数列也｝的前2〃项和T2n.

anan+\

【例题5](江苏省苏州市2024届高三上期末)已知等差数列几｝的公差为d,且〃工0,设S”为｛七｝

的前项和，数列也｝满足4=4S,,-2〃(〃eN)

(1)若4尸一1,4=1,且“<4”，求";

(2)若数歹U｛血｝也是公差为d的等差数列，求数列｛(一)»”｝的前〃项和心

'23/54

/〃巩固练习/

【巩固练习1]（南京市外国语学校2023-2024学年高二上期末）已知｛〃“｝是公差不为零的等差数列,

4=14,且《,生，%成等比数列，设4=（T）"4，数列也）的前〃项的和为邑，则S202s二.

【巩固练习2】（广东省深圳市宝安区2024届高三上期末）在等差数列｛%｝中，

%+%=18,%+%=24.

⑴求｛6｝的通项公式；（2）若仇=（-l）%M川，求数列｛4｝的前2〃项和S*.

【巩固练习3】（广东省东莞市2024届高三上期末）数列｛4｝的前〃项积为（，且满足

[=；（〃+巾〃+2）.

⑴求数列｛q｝的通项公式；（2）记”=（-iyinan，求数列他」的前In项和先.

'24/54

【巩固练习4】（23-24高二下•广东广州•期中）已知数列｛%｝前〃项和为S〃，且满足q=2,2S“=3/+〃.

⑴求数列｛〃”｝的通项公式；（2）若数列也｝满足"=（-1）%+一^,求数列也｝的前2/7项和

anan+l

T2n.

【巩固练习5】（24-25高二上,江苏•期中）已知数列｛a”｝是等差数列，且《＞0恒成立，它的前四项

的平方和为54,且这四项中首尾两数的枳比中间两数的积少2.

⑴求｛《｝的通项公式.（2）若4=（-l）"d，求数列｛4｝的前100项和，叱

'25/54

【巩固练习6】（江苏泰州市2023-2024高二上期末）已知数列｛4｝是等差数列，数列｛4｝是公比大

干1的等比数列，｛"｝的前〃顼和为人条件①4=2：条件②仄=2田：条件③生=24：条件④

。”+北二2".从上面四个条件中选择两个作为已知，使数列｛%｝、｛"｝存在且唯一确定.

⑴求数列｛?｝、也｝的通项公式；（2）求数列｛（-1）”（，（+”）｝的前2〃项和邑“.

【巩固练习7】已知各项均为正数的数列也｝的前〃项和为S“，4=l,且（S用+1）"=（，+1）&|对

一切〃eN”都成立.若｛4｝是公差为2的等差数列，aH-%.

'26/54

⑴求数列｛凡｝与｛2｝的通项公式；(2)求数列%=(-1)"«„+bn的前2〃项和T2n.

'27/54

【巩固练习8】（23-24高三上•广东深圳宝安区•期末）在等差数列｛%｝中，%+%=18吗+%=24.

⑴求｛〃”｝的通项公式：⑵若4=（T）%M”求数列也｝的前2〃项和邑”

【巩固练习9】（23-24高二下•广东佛山•期中）设｛〃“｝是等差数列，｛"｝是公比大于0的等比数列,

已知q=4=2,b2=a2i4=6+4.

⑴求｛6｝和也｝的通项公式；（2）设c”=（-1）Z+0,求数列k｝的前2〃项和凡.

'28/54

【巩固练习10］（浙江省杭州第二中学2023-2024高二上期天考试）已知数列｛凡｝满足%=1,目.对

任意正整数〃都有%=%+〃+1,

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

（2）设数列｛，｝的前〃项和为〃=〃一（一1）%.，（〃wN,），若力=｛〃|〃4100且（GOO/wN'｝,

求集合/1中所有元素的和.

【巩固练习11］（23-24高二下•湖北武汉・期末）在数列｛?｝中，4=5,且q川=24-1（〃EN）

（1）求｛%｝的通项公式；（2）令1）"q,求数列｛4｝的前，，项和S”.

'29/54

【题型10】涉及sin,co§的数列求和

/核心•技巧/

分2种类情况，若是周期数列就并项求和即可，若是（-1）”这种类型则需要分析看选择并项求和还是

分组求和

/—II典型例题/

【例题1】（23-24高二上•四川达州•阶段练习）设数列｛%｝的通项公式为。”=（2〃-1）-COS£,其前

〃项和为S”，则S?o=

【例题2】已知%=2〃-1,若a=%cos筌，求数列也｝的前3〃+1项和凡小

/“巩固练习/

【巩固练习1】（24-25高二上•福建•期中）已知数列｛%｝满足其前〃项和为S.，

则S202s=（）

AV3R_1r1nV3

2222

【巩固练习2】（22-23高二下•重庆沙坪坝•期中）已知数列｛4｝的前〃项和为S”，通项公式为

JCOSC

an=（2/-1）（/77）,则$2024=

,30/54

【巩固练习3】（23-24高三上•山东济南•期木）数列｛%｝的前〃项和为，，若％=1,%=2,.且

A.32024-1011B.32O：4+1011C.3,O,2-1O11D.3,0,2+1011

【巩固练习4】（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）数列｛/｝满足q=（24《川+%川-%=0.

⑴求数列｛%｝通项公式.⑵设〃="（〃”）兀+2,求数列也｝的前〃项和S”.

42

【巩固练习5】（23・24高三上,福建莆田•阶段练习）己知数列｛凡｝的前〃项和为S“，满足

2

工二«-1）”1<.

⑴求数列｛%｝的通项公式；⑵记“二。”-OS弓，求数列也｝的前100项的和7；处

31/54

【巩固练习6】（23-24高三上•湖北•阶段练习）已知数列满足4=1,—---------=2〃+1.

-%

（1）求｛4｝的通项公式；（2）若。也=sin誓,记数列抄“｝的前99项和为G，畴.

【题型11】奇偶交织”的递推数列求和问题

[J核心•技或j

・J・M・・・•・・♦・・・・・•・・•・•・•・・・・・・•>♦♦・・・•・•・•・・・・・・•••・・•・•・•・・•・•・・・・♦・•・•・・・・・・♦•・・・・・・・♦・••・•・•・・・・・・・・•・・・・・・•・•♦・•・•・•・・•・・・・・・♦・•・•・•・・♦・•・•・・・・・•♦•・・・♦・・・•・・・・•・・・•・・・・・・♦・・・・•・•・•・・・・•・•・・•・・・・・•♦・・•・・••・♦・•・・・・♦・♦•・・•・・•・・・•・・♦«

优先考虑并项求和

/力典型例题/

【例题1】（湖南师范大学附属中学2023・2024高二上期末考试）已知数列｛%｝的首项q=1,且满足

+3,”为奇数，

“向»为偶数.

（1）记”=%,，证明：｛4+1｝为等比数列：（2）求数列｛4｝的通项公式及其前2〃-1项和S2E.

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2alt.n=2k

【例题2］（苏州高新区一中2024-2025高二上月考）%,（心”是4必的等

比中项，则数列｛4｝的前20项的和为.

/〃巩固练习/

4.+1,"为奇数

【巩固练习1】已知数列㈤｝满足q=1,求｛6｝的前20项和.

%+2,〃为偶数'

【巩固练习2］（佛山市容山中学2023-2024学年高二下月考）己知数列｛%｝满足q=4=1，

%+2='I"：；售蠢（，则数列｛为｝的前2〃项和S2n=.

【巩固练习3】（广东汕头巾河溪中学2023・2024学年高二下月考）已知数列｛%｝满足

《=牝=1，%+2=|，1女（%wN）,若S”为数列｛%｝的前〃项和，则％=

【巩固练习4】（重庆一中月考）己知数列｛4｝满足q=2,%'若

2%,〃为质数.

S.=卬+%+%+…+4（〃eN）,求S2n.

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_卜”-1,“为奇数

【巩固练习5】（23-24高二下•湖北•阶段练习）已知数列｛叫满足卬=1吗”=4-2,〃为偶数.

（1）记，=%，写出4也，并求数列也｝的通项公式；（2）求｛4｝的前10（）项和.

【题型12］奇偶数列｛3｝的前〃项和及$〃与下标的讨论和处理

心■蜗/

对于奇偶数列｛4｝的前〃项和1,一般来需要对n的奇偶进行分类讨论，而在计算时可以通过改变

下标令〃=2〃和〃=2〃-1来简化计算，详情见例1

/〃典型例题/

2〃+1,（〃为奇数）

【例题1］已知数列①=<

2*（〃为偶数）

（1）求数列｛4｝的前20项和4,

（2）求数列｛巩｝的前的项和凡.

（3）求数列｛%｝的前2〃一1项和匕…,

（4）求数列｛«〃｝的前〃项和7；

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【例题2】(23-24高二卜•广东佛山•阶段练习)已知数夕满足生=1，〃⑹

2。“+「

(1)求证：数列；是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式;

⑵若“上,求数列｛"｝的前〃项和9.

【例题3】已知求数列｛。｝的前〃项和人

【例题4】(23-24高二下•湖北武汉・期末)在数列｛《,｝中，q=5,且=2为-1(〃eN)

⑴求应｝的通项公式；(2)令”=(T)”q,求数列｛4｝的前〃项和S”.

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/H巩固练习/

【巩固练习1】已知生,1=〃，生〃=22向，记｛4｝的前〃项和为邑，5„>2023,求〃的最小值.

log必,〃为奇数

【巩固练习2】已知见=3",若"=3,求数列也｝的前〃项和1.

为偶数

【巩固练习3】已知S,是数列｛%｝的前〃项和，已知q=l目〃SZ=(〃+2)S”，〃GN"

⑴求数列｛叫的通项公式；(2)设求数列也｝的前〃项和人

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【巩固练习4】（福建省龙岩市联盟2023-2024高二上期末）在数列｛4｝中，％=1,。用=2氏，且为q+*

分别是等差数列｛2｝的第1,3项.

（1）求数列｛%｝和圾｝的通项公式：（2）记C=（一|）I黑3,求£｝的前〃项和人

【巩固练习5】已知数列｛%｝的前〃项和为s“，〃为正整数，且3（S.-〃）=4（/-2）.

（1）求证数歹4｛%-1｝是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式：

⑵若点尸（。“-1，宅心］在函数y=bg/的图象上，且数列总｝满足%=（-1）用黑，求数列｛g｝

Ib）dPft+i

的前〃项和I.