2025高考数学第二轮复习专练：双曲线（含答案）

2025版新教材高考数学第二轮复习

8.3双曲线

五年高考

高考新风向

1.（多想少算）（2024全国甲理,5,5分，易）己知双曲线的两个焦点分别为（0,4）,（0,-4）,点（-6,4）在

该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.V2

22

2.（多想少算）（2024新课标/』2,5分，易）设双曲线C:"9=13＞0力＞0）的左、右焦点分别为

尸I,尸2,过尸2作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若|RA|=13,|43|=10,则C的离心率

为.

考点1双曲线的定义和标准方程

1.（2022天津,7,5分，易）已知双曲线*/1（心（）力＞1）为左、右焦点分别为QA抛物线

声4渔丫的准线/经过旦/与双曲线的一条渐近线交于点A.若NF尸乂三，则双曲线的方

4

程为)

/242v2

VB.土-匕=1

416

cj，2=i

4

2.（2020浙江,8,4分，易）己知点0（0,0）,420）乃（2,0）.设点P满足|阿-|尸用=2,且P为函数

产3w二图象上的点，则|OP|=)

A.—B.-C.V7D.V10

25

3.（2020课标/文,11,5分，中）设F/2是双曲线的两个焦点,0为坐标原点，点P

在C上且|。2|=2,则4PF\Fi的面积为)

B.3C.|D.2

4.（2020课标必理,11,5分，中）设双曲线C：H=l（a＞0,Q0）的左、右焦点分别为“内，离心

率为遥.P是C上一点，且F|P_L乃汽若△PFF2的面积为4,则a=)

A.lB.2C.4D.8

5.（2021浙江,9,4分，中）已知a,b5R,而＞0,函数/尸加+伏工eR）.若左切,5$）,人+。成等比数

列，则平面上点（V）的轨迹是

A.直线和圆B.直线和椭圆

C.直线和双曲线D.直线和抛物线

6.（2023北京,12,5分，易）己知双曲线C的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为或，则C的方程

为.

考点2双曲线的几何性质

2”2

1.（2021全国甲文,5,5分，易）点（3,0）到双曲线京Y-『I的一条渐近线的距离为（）

A.-B.-C.-D.-

5555

2.（2021全国甲理,5,5分，易）已知佗是双曲线C的两个焦点,P为C上一点，且

NBPR2=6（）O,|PA|=3|P乃|,则。的离心率为（）

A.yB.苧C.V7D.V13

3.（2021天津,8,5分，中）已知双曲线忘自13>0,/»0）的右焦点与抛物线y2=2PM»0）的焦点

重合.抛物线的准线交双曲线于48两点,交双曲线的渐近线于C,D两点.若|C。仁、⑵A8|,则

双曲线的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.3

4.（2020课标〃，文9.理8.5分.中）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线1（心0,〃>0）

的两条渐近线分别交于两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

5.（2023全国乙，文12,理11,5分，中）设"为双曲线油3二1上两点，下列四个点中,可以为

线段A3中点的是（）

A.（l,l）B.（-l,2）C.（l,3）D.（-l,-4）

6.（多选）（2020新高考/,9,5分，易）己知曲线C:/Mr+/?/=l.（）

A.若则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若〃夕心0,则C是圆，其半径为迎

C.若〃〃?<（）,则C是双曲线,其渐近线方程为产士Rx

D.若〃z=0,〃>0,则C是两条直线

7.（2022全国甲理,14,5分，易）若双曲线广总=1（心0）的渐近线与圆^+/-4y+3=0相切，则

精品试卷•第2页（共17页）

8.（2021新高考〃[3,5分，易）己知双曲线离心率e=2,则双曲线C的渐

近线方程为,.

9.（2020课标/理,15,5分，中）已知产为双曲线C:马-小1（。>0力>0）的右焦点人为C的右顶

点、,B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.

10.（2022浙江,16,4分，中）已知双曲线，卷=13>0,〃>0）的左焦点为£过尸且斜率为磊的直

线交双曲线于点A（xi4）,交双曲线的渐近线于点8（X2,必旦x—.若氏8|=3|冏，则双曲线

的离心率是.

11.（2022全国甲文,15,5分，中）记双曲线C:4*im>0,b>0）的离心率为e,写出满足条件“直

线y=2x与C无公共点”的e的一个值.

22

12.（2023新课标//6,5分，中）已知双曲线C:%*l（»0力〉0）的左、右焦点分别为Fi,Fz,

点A在C上，点8在y轴上，及7_L6瓦用用瓦则C的离心率为.

三年模拟

练速度

1.（2024浙江丽水、湖州、衢州二模,2）双曲线的渐近线方程为尸土2乂则m=

（）

A.1B.—C.V2D.2

22

2.（2024安徽合肥一模,4）双曲线^=1的焦距为4,则C的渐近线方程为（）

A.}^=±V15xBj=±V3x

C.产士停D.产士争

22

3.（2024湖南长沙3月调研,4）已知双曲线C：--2=1S〉O）的一个焦点到一条渐近线的距离

4匕，

为2,则双曲线C的离心率为（）

A.—B.V2C.—D.V3

22

2222

4.（2024甘肃兰州一诊,5）已知双曲线昌邑・叁=1（。＞0力〉。）与双曲线及：2j=l的离心率相

azoz169

同,双曲线Ei的顶点是双曲线Ei的焦点，则双曲线Ei的虚轴长为（）

A.—B.—C.—D.10

425

22

5.（2024山东聊城一模,5）设Fi,F2是双曲线。邑-弓=1（G〉0/＞0）的左、右焦点.。是。上的一

点，若C的一条渐近线的倾斜角为6（）。,且|PBHP@|=2,则C的焦距等于（）

A.lB.V3C.2D.4

6.（2024江西重点中学协作体一模,5）已知双曲线力＞。）的左,右焦点分别为“、

用，点M为Fi关于渐近线的对称点.若给=2,且^MF尸2的面积为8,则C的方程为（）

\MF2\

4

X2V2

C.土-匕=1

28

22

7.（2024安徽师大附中二模,5）已知人尸2是双曲线9-白=1（。＞0力＞0）的左、右焦点，若双曲线

上存在点尸满足厄•丽:2/,则双曲线离心率的最小值为（）

A.V6B.V5C.2D.V3

22

8.（多选）（2024河北邯郸三调,9）已知双曲线。：三-冬二1,则()

精品试卷•第4页（共17页）

A.X的取值范围是（-6,3）

B.C的焦点可在x轴上也可在），轴上

C.C的焦距为6

D.C的离心率e的取值范围为（1,3）

9.（多选）（2024福建九地市质量检测（三）,9）双曲线。:》幺=13>0）的左、右焦点分别为FI,F2,

且C的两条渐近线的夹角为。，若|RB|=2e（e为C的离心率），则（）

Aq=l

B.2

3

C.e=V2

DC的一条渐近线的斜率为百

10.（多选）（2024湖南部分学校大联考（二）,10）已知0ER,双曲线C:fcos0+）2sin2G1,则

（）

A.0可能是第一象限角

B.9可能是第四象限角

C.点（1,0）可能在。上

D.点（0,1）可能在。上

11.（2024北京清华附中统练二,12）请写出一个焦点在j轴上，且与直线产21没有交点的双

曲线的标准方程:.

丫2y.2

12.（2024华大新高考联盟联考,12）关于双曲线。邑-£=1（〃>0力〉0）,四位同学给出了四个说

法：

小明:双曲线C的实轴长为8;

小红:双曲线C的焦点到渐近线的距离为3;

小强:双曲线c的离心率为:；

小同:双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1.

若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是;双肝线C的方程

为.（第一空的横线上填“小明”“小红”“小强”或“小同”）

13.（2024甘肃一诊,14）若曲线。:〃/+〃），2=］（"?〃却,〃曲）经过（6,-«^）,（-2,75）,（4,0）这三点中

的两点，则曲线C的离心率可能为（写出一个即可）.

14.（2024山东临沂一模,13）已知为42是双曲线。:马-4=1（〃>0力>0）的左、右焦点，点

（60）在C上,tan/K”2P=2+73,贝|JC'的离心率为.

练思维

1.（2024广西南宁一模,6）已知双曲线/?＞（））的右焦点为七右顶点为A,过点F

的直线与双曲线E的一条渐近线交于点P,与其左支交于点Q,且点P与点Q不在同一象

限，直线AP与直线OQ（O为坐标原点）的交点在双曲线E上，若同=-2而，则双曲线E的离

心率为（）

A.V3B.2C.1D.3

2.（2024山东青岛一模,8）已知A（-2,0）,B（2,0）,设点P是圆^+/=1上的点，若动点Q满足

铲丽=0,诙=2（熹+窗，则Q的轨迹方程为（）

Af-JB.—y=i

cA/=lDS=1

5'62

2y,2

3.（2024广东深圳一调,8）已知双曲线后三Y・9=1（»0力〉0）的左、右焦点分别为乃，过点

出的直线与双曲线E的右支交于A,B两点，若且双曲线E的离心率为或，则

cosZBAFi=（）

A."B-C.iD.-i

8488

4.（2024山东泰安一轮检测,8）已知F是双曲线C：p==l的右焦点,P是C左支上一

点,A（（）,6e），当△AP/周长最小时，该三角形的面积为（）

A.36V6B.24V6C.18V6D.12V6

5.（2024东北三省三校第二次联考,8）双曲线C:三。=1的右焦点为凡双曲线C上有两点4,3

124

关于直线/:3x+y-8=0对称，则|包+户田=（）

A.2V2B.4^2C.2V3D.4百

2e2

6.（多选）（2024安徽皖江名校联盟联考」0）已知双曲线CYJ9=im＞0力＞0）的左、右焦点分

a，y

别为几用,尸如|二4夕.经过Fi的直线I与C的左右两支分别交于「。且4PQFi为等边三

角形，则（）

2”2

A.双曲线。的方程为3y-5=1

o20

精品试卷•第6页（共17页）

B.A”尸产2的面积为88

C.以QFi为直径的圆与以实轴为直径的圆相交

D.以。乃为直径的圆与以实轴为直径的圆相切

7.（多选）（2024重庆二诊.11）己知双曲线C二-4二130,">0）的左、右焦点分别为

R（・c,0）,F2（c,0）,直线l:bx+ay-bc=0与C相交于点M,与C的一条渐近线相交于点N.记C的

离心率为伍以下说法正确的是（）

A.若NQ_LNF2,则e=2

B.若MFI_LMF2,则e=2V2

C.若则e=V2

D.若附尸色51M尸2|,则e>V2

8.（2024湖南长沙雅礼中学月考六,14）己知双曲线4*1（必）,">0）,F为右焦点，过点F

作轴，交双曲线于第一象限内的点4,点B与点4关于原点对称，连接当NAB尸

取得最大值时，双曲线的离心率为.

9.（2024湘豫名校联考模拟』8）己知。为坐标原点,双曲线。:当］=1（4>0/>0）的左、右焦

点分别为Q尸2,过C上一点P作C的两条渐近线的平行线,分别交y轴于M,N两点，且

|OMHQN|=LaBPB内切圆的圆心到y轴的距离为VI

（1）求C的标准方程.

（2）（i）设点Q（xojo）为C上一点，试判断直线手-»o=l与C的位置关系,并说明理由；

（ii）设过点尸2的直线与C交于A,B两点（异于C的两顶点）<在点A,8处的切线交于点E,

线段A3的中点为£>,证明:。,。,七三点共线.

练风向

（创新知识交汇）（2024湖北十堰调研,14）数学课本《人教A版必修笫二册》笫121页介绍

了“祖迪原理”:基势既同，则积不容异.用现代语言可以描述为夹在两个平行平面之间的两

个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等，那么

这两个几何体的体积相等.如图1,这是某细腰鼓形工艺品（上、下对称），其轴截面近似为图

2中的实线图形，两段曲线是双曲线的一部分，内部虚线为双曲线C的渐近

2

线.若该工艺品的底面圆的直径为4,高为4或,则b=;利用祖晒原理可求得该工艺

品的体积为.

8.3双曲线

五年高考

高考新风向

1.（多想少算）（2024全国甲理55分，易）已知双曲线的两个焦点分别为（0,4）,（0,・4）,点（64）在

该双曲线上，则该双曲线的离心率为（C）

精品试卷•第8页（共17页）

A.4B.3C.2D.72

22

2.（多想少算）（2024新课标/,12,5分，易）设双曲线尢=1（〃>0力>0）的左、右焦点分别为

见尸2,过Fi作平行于y轴的直线交C于A.B两点，若|RA|=13,|4阴=10,则C的离心率

考点1双曲线的定义和标准方程

1.（2022天津,7,5分，易）已知双曲线?-总=1（〃>0乃>1）的左、右焦点分别为巧/2,抛物线

/4>品的准线/经过且/与双曲线的一条渐近线交于点A.若NR/洲三，则双曲线的方

程为（D）

2222

A.上X-v匕=1B.土X-匕V=1

164416

x2->r\2y2i

Cn.—r=lD.AT--=1

4J4

2.（2020浙江,8,4分，易）已知点0（0,0）。（-2,0）网2,0）.设点P满足|网-|P用=2,且P为函数

y=3V4^%2图象上的点，则10尸|二(D)

A.—B.-C.V7D.V10

25

3.（2020课标/文,11,5分，中）设”,乃是双曲线的两个焦点,0为坐标原点，点P

在C上且|"|二24必PFiF?的面积为B)

75

A.-B.3C.-D.2

22

4.（2020课标/理,11,5分，中）设双曲线。马91（。>0/>0）的左、右焦点分别为”,乃，离心

率为遥.P是C上一一点，且尸产_1乃月若4PF\F1的面积为4,则a=A)

A.lB.2C.4D.8

5.（2021浙江,9,4分，中）已知a,b£R,ab>0,函数危）=加+伙］£R）.若.*$"）,危）,危+。成等比数

列，则平面上点（5J）的轨迹是

（C）

A.直线和圆B.直线和椭圆

C.直线和双曲线D.直线和抛物线

6.（2023北京,12,5分，易）已知双曲线C的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为遮，则C的方程

丫2y2

为J匕f=1.

-----2-2--------------

考点2双曲线的几何性质

22

1.（2021全国甲文,5,5分，易）点（3,0）到双曲线靠｛=1的一条渐近线的距离为（A）

A.-B.-C.-D.2

5555

2.（2021全国甲理,5,5分，易）已知月,乃是双曲线C的两个焦点,P为c上一点，且

NBPF2=60O,|PFI|二3|尸B|,则。的离心率为（A）

A.gB.—C.V7D.V13

22

22

3.（2021天津,8,5分,中）已知双曲线套弃=1（〃>0,">（））的右焦点与抛物线上2〃必》0）的焦点

重合.抛物线的准线交双曲线于A8两点,交双曲线的渐近线于CQ两点.若|CQ|二、C|A8|,则

双曲线的离心率为（A）

A.V2B.V3C.2D.3

4.（2020课标II,文9,理8,5分，中）设O为坐标原点，直线x=a与双曲线

的两条渐近线分别交于RE两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为（B）

A.4B.8C.16D.32

5.（2023全国乙，文12,理11,5分，中）设A,3为双曲线足？=1上两点，下列四个点中,可以为

线段中点的是（D）

B.（-l,2）C.（l,3）D.（-l<4）

6.（多选）（2020新高考/,9,5分，易）已知曲线。:一+〃户1.（ACD）

A.若则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若片〃>0,则C是圆，其半径为近

C.若，研<0,则。是双曲线淇渐近线方程为产土Rx

D.若片0,〃>0,则C是两条直线

7.（2022全国甲理,14,5分，易）若双曲线产的渐近线与圆《+广4），+3=0相切，则

V3

tn=一.

—3---

8.（2021新高考”,13,5分，易）已知双曲线C：H=l（4>0力>（））,离心率e=2,则双曲线C的潮

a6

近线方程为尸代工.尸一81.

9.（2020课标/理,15,5分，中）已知F为双曲线C：K=l（a>0,〃>0）的右焦点/为C的右顶

精品试卷•第10页（共17页）

点、,B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为2.

10.（2022浙江」6,4分，中）匕知双曲线。力>0）的左焦点为凡过E且斜率为二的直

线交双曲线于点4（如JI）,交双曲线的渐近线于点8（X2,⑼旦Xl<0<X2.若尸B|=3|胡I,则双曲线

的离心率是—学

11.（2022全国甲文,15,5分，中）记双曲线。:£*1（。>（历>0）的离心率为伍写出满足条件“直

线产2x与C无公共点”的e的一个值.2（答案不唯一，在（1,75］范围内取值均可）.

22

12.（2023新课标/,16,5分.中）已知双曲线。邑-3=1（〃>06>0）的左、右焦点分别为Fig,

点A在C上，点B在y轴上瓦?_L用，际=-|可，则C的离心率为平.

JA

三年模拟

练速度

1.（2024浙江丽水、湖州、衢州二模,2）双曲线的渐近线方程为尸土2乂则m=

（D）

A.1B.—C.V2D.2

22

2.（2024安徽合肥一模,4）双曲线^=1的焦距为4,则C的渐近线方程为（B）

A.}^=±V15xBj=±V3x

C.产士停D.产士争

22

3.（2024湖南长沙3月调研,4）已知双曲线C：--2=1S〉O）的一个焦点到一条渐近线的距离

4匕，

为2,则双曲线C的离心率为（B）

A.—B.V2C.—D.V3

22

2222

4.（2024甘肃兰州一诊,5）已知双曲线昌邑・叁=1（。＞0力〉。）与双曲线及：2j=l的离心率相

azoz169

同,双曲线B的顶点是双曲线艮的焦点，则双曲线£的虚轴长为（B）

A.—B.—C.—D.10

425

22

5.（2024山东聊城一模,5）设Fi,F2是双曲线。邑-弓=1（G〉0/＞0）的左、右焦点.。是。上的一

点，若C的一条渐近线的倾斜角为6（）。,且IPBHP尸2|=2,则C的焦距等于（D）

A.lB.V3C.2D.4

6.（2024江西重点中学协作体一模,5）已知双曲线力＞。）的左,右焦点分别为“、

用，点M为F＞关于渐近线的对称点.若给=2,且△MRB的面积为8,则C的方程为

22

7.（2024安徽师大附中二模,5）己知R仍是双曲线t-缶1（〃＞0,"＞（））的左、右焦点，若双曲线

Q/b，

上存在点P满足福•耐=-2次则双曲线离心率的最小值为（D）

A.V6B.V5C.2D.V3

精品试卷•第12页（共17页）

8.（多选）（2024河北邯郸三调,9）已知双曲线。:工-4=1,则（AC）

X+63-4

AX的取值范围是（-6,3）

B.C的焦点可在x轴上也正在y轴上

C.C的焦距为6

D.C的离心率e的取值范围为（1,3）

9.（多选）（2024福建九地市质量检测（三）,9）双曲线C:捺3=1（»0）的左、右焦点分别为产⑺,

且C的两条渐近线的夹角为“若内人|=2式6为。的离心率），则（ABD）

Aa=l

B.0=-

3

C.e=V2

D.C的一条渐近线的斜率为百

10.侈选）（2024湖南部分学校大联考（二）,10）已知0ER,双曲线C:A2COS0+）2sin20=1M

（BD）

A.9可能是第一象限角

B.夕可能是第四象限角

C.点（1,0）可能在C上

D.点（0,1）可能在C上

11.（2024北京清华附中统统二,12）请写出一个焦点在），轴上，且与直线尸2%没有交点的双

曲线的标准方程：与/二1（答案不唯一）.

12.（2024华大新高考联盟联考,12）关于双曲线C马-白1（。＞0岳0）,四位同学给出了四个说

法：

小明:双曲线C的实轴长为8;

小红:双曲线C的焦点到渐近线的距离为3;

小强:双曲线C的离心率为g;

小同:双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1.

若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是小强；双曲线C的方

程为—.（第一空的横线上填“小明”“小红”“小强”或“小同”）

13.（2024甘肃一诊,14）若曲线。:〃小+町,2=］（〃利翔,〃也?）经过母.小）,（_2,V5）,（4,0）这三点中

的两点，则曲线C的离心率可能为当或与或只写一个即明（写出一个即nJ）.

22

14.（2024山东临沂一模,13）已知Fi,B是双曲线C邑-卷=1（。＞06＞0）的左、右焦点，点

P（次⑺（＞0）在C上,lanNRBP=2+V5,则。的离心率为.

练思维

1.（2024广西南宁一模,6）已知双曲线£:《白1（»0力X））的右焦点为F,右顶点为A,过点产

的直线与双曲线E的一条渐近线交于点P,与其左支交于点Q,且点P与点Q不在同一象

限，直线AP与直线OQ（O为坐标原点）的交点在双曲线E上，若丽=-2而，则双曲线E的离

心率为（B）

A.A/3B.2C.-D.3

3

2.（2024山东青岛一模,8）己知420）,3（2,0）,设点P是圆^+/=1上的点，若动点Q满足

铲方=0,丽=乂曷+则Q的轨迹方程为（A）

AJ^--=1B.次・）2=1

33.

D?W=1

3.（2024广东深圳一调,8）已知双曲线氏胃卷=1（4＞0力＞0）的左、右焦点分别为“，尸2,过点

F?.的直线与双曲线E的右支交于A.B两点，若IA3HABI.且双曲线E的离心率为VI则

cosZBAFi=（D）

A.--B,--C.iD.--

8488

4.（2024山东泰安一轮检测,8）己知F是双曲线C：p1=l的右焦点,P是C左支上一

点,40,6份）,当AAP产周长最小时，该三角形的面积为（D）

A.36V6B.24V6C.18V6D.12V6

22

5.（2024东北三省三校第二次联考,8）双曲线C:三一二1的右焦点为£双曲线C上有两点4,8

124

关于直线/:3x+y-8=0对称，贝J|包+丽|=（B）

A.2V2B.4V2C.2V3D.48

6.（多选）（2024安徽皖江名校联盟联考,10）已知双曲线C：H=13＞0』＞0）的左、右焦点分

别为五尸2,尸典=4夕.经过Fl的直线/与C的左右两支分别交于RQJLAPQF1为等边三

精品试卷•第14页（共17页）

角形，则（BD）

A.双曲线。的方程为。~（二1

o20

B.A的面积为8百

C.以。乃为直径的圆与以实轴为直径的圆相交

D.以。乃为直径的圆与以实轴为直径的圆相切

7.（多选）（2024重庆二诊.11）已知双曲线C:，-，=l（a>0,〃>0）的左、右焦点分别为

R（・c,0）,“2（c,0）,直线l:bx+ay-bc=0与C相交于点M与C的一条渐近线相交于点N.记C的

离心率为伍以下说法正确的是（AC）

A.若NQ_LN@,则e=2

B.若MFI_LMF2,则e=2^2

C.若WF2|二2|MB|,则e=V2

D.若|M产色51M尸2|,则e>\[2

22

8.（2024湖南长沙雅礼中学月考六/4）已知双曲线C:^=l（^>（）,/?>（））,F为右焦点，过点F

作M_Lx轴,交双曲线于第一象限内的点A,点8与点A关于原点对称，连接当/AB/

取得最大值时，双曲线的离心率为—丹匹

9.（2024湘豫名校联考模拟,18）已知O为坐标原点,双曲线力>。）的左、右焦

a，b，

点分别为“尸2,过C上一点尸