圆锥曲线的方程（思维导图+知识清单+四大易错点总结）原卷版-2025-2026学年高二数学（人教A版选择性必修第一册）

园锥曲线的方程（思维导图+知识清单+四大易错点总结）

思维导图

定义，干面内与两个定点E.A的期离的和等广常数（人fF,F.而点的轨迹叫作椭圆.

这两个定点叫作椭Hi的焦点,两焦点间的即肉叫作桶眼的集曲.

褪圆及具标度方程的水解：⑴应义法；（二）好京不㈱去

方程

集点三角形同遂：（1）皆点三角亮段长同您；（2）焦点三角形面枳问遨

嘴西的范围：研究懦国的范王秋是记完稠西上点的横.纵坐标的取值谴

«1遇的对称性：（1）从彩的角屋看：有圆既是触对称图形，又是中心对称图形；（2）从喻角度百：在慨国39标灌万

程中以•）代币，方程并不改变

椭圆的简单几嘴芭的顶点与长轴.短担

椭圆

何住质

资国为离心率：（1）善心率的定义：锡国的集距与长轴长的比称为惭2£的离心率，用e表示;

（2）高心率的范围：0/1；

（3）槌画海心率的总义：嗝圆离心率的变化刻画了嘴圆的扁平程度

点与树圆的位号关系：京在佛医内、点在竟圆上、克在精圆外

直浅与稠圆的位蜜关系：相奇、相切.相交

宜线与椭圆的

位置关系区国的受长：（1）定义：亘送与恸瑟的交点间的线四。」作怫至约龙；（2傀长公式

解决爬园中点弦问里的两种方滂：（1）根与系数的关系法；（2）点经法

双曲线的定义，平面内与两个定点尸,."：的如卤的菜的绝对信等「作零常数（小1—1）的点的

圆

轨迹叫作双曲找.这两个定点叫作双曲找的休点,两焦点何的距点叫作双曲线的«；距.

锥双曲线及其标

准方程双曲浅方程的家解：（I淀义法；⑵待定系数法

曲

线双曲戏的几何性质：⑴范围：以匝x±纣GR（焦点在HS）；⑵对称性：关于烟.哇由对时关于原点中心对标

双由法的简单（双曲浅的湎心率：（1）定义：双曲浅的焦史与实始长的比，叫作双曲浅的商心率；⑶双曲浅离心率的硒：o\

的几何性质

双曲线

方

直浅与双曲浅的位置关系：相交、相切、相离

程

弦长公式।在线产旦w"双日及郴交所得的弦长d=S-«"一川IJLM

直线与双曲线

的｛2置关系

中点弦向罂：“设而不求”法解决中点弦问塞

双曲戏的笫二定义

定义：平面内与一个定点尸和一条走直母（/不经过点5的距商相等的点的轨流叫作物物姓

抛物线及其标

准方程地物线标准方程的求解：待定存教法

珈物线的几何性质：顶点.对场总、焦点、准找、离心率、开口方向、熊半径.充围

__抛物线的简单沏物线与桶园,双曲残几何性度的差目

抛物线

几何性质

与抛物^育关的最值问题的求等方法：⑴几何法；Q戏附去

直浅与加相娃的位芭关系：相交.相加、相福

直线与抛物袋抬物饯的弦K।p4J|=，（I+«；XM-X,）.■\/l+*'•V（M+jr,>'—4X,x,

的位置关系

抛物线的焦点弦，焦点弦长力比v--「F，.i；分冽为MY的横中拉）

定义，平阖内与两个定点后，吊的距离的和等于常数（大于出吊I）

的点的轨迹血作桶网.

椭圆的标准

方程椭圆方程的求解：（1）定义法；（2）待定系数法

焦点三角形的概念

｛焦点三角形的常用公式

研究椭国的范围就是研弧圆_1_点的横、纵坐标的取值范围

（1）从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；（2）从

数的角度看：饰图关于原点对称

顶点：椭圆与它的对称轴有四个交点,这四个交点叫作椭圆的顶点

（长珈、短轴：。和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长

离心、率的定义：桶图的焦距与长轴长的比称为循图的离心率

离心率的范围：0<^<1

L悔圆的离心率--

椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了帏图的扁平程度

定义：平面内与两个定点凡区的题肉的差的绝对值等「•非零常数

（小于IA8|）的点的轨迹叫作双曲线.

L

r双曲线的定义-这两个定点口必乍双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距

双曲线在坐标系中的位置：（1）焦点在6由上；（2）焦点在】轴上

1双曲线的标准方

-双曲线方程的求解：（1）定义法；（21待定系数法

程

双

双曲线的一些几何性质：①范围；②对称性：关于，轴、J轴对称,

曲关于原点中心对称；③顶点；④半轴长：买半轴长为°,虚半轴长为

双曲线的简单几b',⑤离心率；⑥渐近线方程

线

L何性质

定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率

双曲线的简双曲线图心率的范围：e>l

--双曲线的离心率

单几何性质离心率的意义：离心碎的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定

了双曲线的开口大小

双曲线中的最值求解此类问题一般有以下两种思路：（1）几何法；（2代数法

问题

定义：平面内与一个定点属口一条定直线/（0经过点八的距

离相等的点的轨迹叫作抛物线

r抛物线的定义｛点F叫作抛物线的焦点，直线;叫作抛物线的准浅

抛物线有四种标准方程

抛物线的标抛物线的标准方｛双曲线方程的求解：待定系数法

准方程程

求解此类问题一般有以下两种思路：（1）几何法；（2）代数法

I与抛物线有关的

抛最值问题

物

①顶点：（0.0）；②轴：焦点在Y轴上：对称轴1=0、焦点在v

轴上：对梆梅-0；③焦点；④准线；⑤离心-T；⑥开

线

抛物线的简单几口方向；⑦焦半径；⑧范围

何性质

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形

抛物线的简

单几何性质②顶点个数不同

③焦点个数不同

抛物线与椭圆、

双曲线几何性质④离心率取值范围不同

的差异

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线

直

线点与椭圆的位置点与椭圆的三种位置关系：点在椭圆外、点在椭圆内、点在椭圆上

c卖系

与直线与椭圆

直线与㈱国有相离、相切、相交三种位置关系

椭的位置关系

直线与椭圆的位利用方程讨论直线与椭图的位置关系：①A：）0o直线与桶圆相交;

圆置关系②A=0o直线与椭圆相切；③直线与椭圆相离

的定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦

位

弦长公式：阳川="产k--v;|或出A|=Jl+£|v>-r2|

置弦长与,,中

解决椭圆中点弦问题的两种方法：①根与系数的关系法；②点差法

关点弦”问题

I”中点弦问题.一［弦的中点与直线的斜率的关系

系

00直

：A

行判断

个数进

的解的

方程组

组成的

方程所

双曲线

方程与

过直线

一般通

一个交

曲线有

线与双

0=直

；A=

相交

曲线

与双

直线

，称

交点

两个

曲线有

直线与双

相离

曲线

与双

直线

点,称

有交

线没

双曲

线与

0o直

;A<

相切

曲线

与双

直线

点，称

曲

线与双

研究直

线k

置关系

与线的位

双曲

直线与