上海市某中学2025-2026学年高二年级上册12月阶段练习数学试卷

上海市南汇中学2025-2026学年高二上学期12月阶段练习数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.若P：=3O,则〃=.

2.样本数据14,25,32,46,60的第40百分位数为.

3.某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有种.(用

数字作答).

4.已知事件A与事件8相互独立，如果尸(A)=0.4,尸(8)=0.7,则/>(久08)=.

5.设总体由编号为00,01...59的60个个体组成，利用下面的随机数表诜取6个个体.

选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的

第6个个体的编号为.

50446644216606580462615564350242354896321452415248

22662215862663754199584236722458375218510337183911

6.已知=4+4工+//+・一+4X6,则出+3+争+…+$=-

7.己知等比数列｛q｝,第三项是12,第六项是96,则％=.

I2

8.甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是G和则该题被攻克

JJ

的概率为.

9.若〃是正整数，则7"+7"匕；+7"-2(3：+1+7(：7除以8的余数是.

10.已知数列｛/｝的前〃项和S“=2〃2+〃-5,那么它的通项公式是.

II.已知四棱柱ABCD-A卅G"底面4BC。为平行四边形，AA=3,BO=4且

A^BC-AD^DC=5f求异面直线A4与4。的夹角.

12.若集合反。满足〃UC=A，则称（及C）是集合A的一个覆盖，当且仅当8=e,。=（；时,

（艮C）与（4C）为同一个覆盖.设集合4=｛（冷七七肉）|㈤+闾+冈+冈=1｝，当

｛-1,0,1｝,i=1,2,3,4时，则集合A的覆盖总数为

二、单选题

13.若meN”,m<27,则（27-㈤（28-㈤…（34-m）等于（）

A.段』B.蹴；C.D.*

14.投掷一枚均匀的骰子，事件4：点数大于2；事件8：点数小于4；事件C点数为偶

数.则下列关于事件描述正确的是（）

A.A与B是互斥事件B.A与8是对立事件

C.A与。是独立事件D.B与。是独立事件

15.已知样本数据1、%、2、）'、3的平均数为2,方差为4,则k-）|的值为（）

A.0B.2C.4D.6

16.设S“是一个无穷数列｛4｝的前〃项和，若一个数列满足对任意的正整数〃，不等式

今<藉恒成立，则称数列｛叫为和谐数列，给出下列两个命题：

①若对任意的正整数〃均有%<“向，则｛%｝为和谐数列；

②若等差数列｛《,｝是和谐数列，则工一定存在最小值；

下列说法正确的是（）.

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②真命题

C.①和②都是真命题D.①和②都是假命题

试卷第2页，共4页

三、解答题

17.在(2/+：)的二项展开式中，求：

⑴常数项；

⑵系数最大项.

18.“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生''的理念越来越深入人心，现已形成了

全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出r关于生态文明建设进展情况的调

查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点.现从参与关注生态文明

建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组［25,35),第2组［35,45),

(1)求。的值，并估计这组数据的平均数；

⑵现从年龄在［35,45)及［45,55)的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明

建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率；

19.设｛%｝是等比数列，4=14=2%

⑴求｛%｝的通项公式：

(2)求。2+。4+4+…+。2026・

20.等差数列｛4｝的前〃项和记为工，已知名=-15,且4%，-%成等差数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵当邑取最小值时，求序号〃的值，并求出邑的最小值；

(3)求数列｛同｝的前〃项的和7；.

21.在〃个数码12…,〃(”wN,2)构成一个排列/J/，…,，中，若一个较大的数便排在

一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如.，2＞八，则上与A构成逆序)，这个排列

的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数,记为丁(九片/，例如:对于数列3,2,

1,由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项

1后面比1小的项没有,因此数列3,2,1的逆序数为2+1+0=3,则记7(321)=3.

(I)计算7(6,4,5,2,3,1)；

(2)已知数歹IJ｛q｝的通项公式是4=-2,Z+1(1<n<1(X),〃GN),求数列｛q｝的逆序数；

，〃为奇数

⑶计算数列an=(\<n<k、nGN)的逆序数7⑷吗，/，…，%)

小〃为偶数

试卷第4页，共4页

《上海市南汇中学2025-2026学年高二上学期12月阶段练习数学试卷》参考答案

题号13141516

答案DCDC

1.6

【分析】利用排列数公式额可得出关于〃的等式，即可解得正整数〃的值.

【详解】因为1)=30,即〃2—30=(〃-6)(〃+5)=0,

因为〃22且〃eN，,故〃=6.

故答案为：6.

2.28.5

【分析】根据百分位数定义计算求解.

【详解】因为5x04=2,所以样本数据14,25,32,46,60的第40百分位数为上25了+3二2二28.5.

故答案为：28.5.

3.20

【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算得解.

【详解】从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有C：=20种.

故答案为：20

4.0.42/?

50

【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案

【详解】由事件人与事件8相互独立，则事件,与事件8相互独立，

又P(A)=0.4,P(3)=0.7,

则P(Zc8)=尸(用P(8)=(l—P(A))P(8)=(l-0.4)x0.7=0.42

故答案为：0.42.

5.56

【分析】依据随机数表的抽样规则确定符合条件的个体编号.

【详解】从该随机数表第1行的第6个数字6开始，由左到右依次选取两个数字。读取的数

字对依次为：64(大于59,舍去)，

42(选取，第1个)，16(选取,第2个)，60(大于59,舍去),65(大于59,舍去),80(大于

59,舍去),46(选取，第3个),

答案第1页，共9页

26（选取，第4个），15（选取，第5个），56（选取，第6个）。故选出来的第6个个体的编号

为56o

故答案为：56

,64

6.---

729

【分析】通过赋值法，将x代入已知等式，即可求出出++$+…+*的值.

【详解】令%=?,则。」丫=/+&+2+…+第，

3I3）°33236

故答案为：有

7.3069

【分析】先通过等比数列的通项公式求出首项和公比，再用前〃项和公式计算几即可.

【详解】因为%=12,《=96,代入通项公式凡=的"'

—12

得：

"=4闻5=96

4除以%,消去q得：丝二色（=</=秒=8,

a-,%q~12

因此，公比夕=改=2,

将q=2代入%=q/=12：

即:4x22=12,解得：4=3,

把4=3,9=2,«=10,代入S=.、一")(#1)得:

""q

3(1-2)°)3(1-1024)

S=-^-----=--------=3x1023=3069•

1001-2-1

故答案为：3069.

8.-/0.6

5

【分析】根据相互独立事件的概率公式求解.

答案第2页，共9页

(1A(2、3

【详解】由题意，该题被攻克的概率为1-1--x1--=：.

3

故答案为：

9.7

【分析】由二项式定理得到7"+7”-©+7”2(^+…+7<2>=8"-1,即可求解.

【详解】根据二项式定理可知，7"+7"-仁!,+7"-2「：+[,+7C：T=(7+I)"—l=M—I,

又8"-1=8”-8+7

所以7"+7y+7”y+L+7C：-,除以8的余数为7.

故答案为：7

一2,〃=1

10.a,

4/?-1,??>2

5,〃=1

【分析】利用公式q=;、。求解即可

电-Scz，〃N2

【详解】解：当〃=1时，4=E=2+1-5=-2,

2

当〃之2时,勺=Sn-S,i=(2n+〃-5)-[2(〃-+(M-1)-5]=4^-1,

且当〃=1时，4〃-1=4-1=3/一2,

-2,〃=1

据此可得,数列的通项公式为：4

>2

-2,n=1

故答案为:

4«-1,n>2

11.arccos—

12

【分析】将4&・6己-4A=利用向量运算得A<E5=5,然后由公式计算夹角余弦

值即可.

【详解】如图，因为AB；=A4+4<A〃=AZ5+A<,又A6・8e-AO；£>d=5,

所以围+旃).阮一例+丽严=5,又配二而，

所以(而+职)•而一(而+病)灰=5,即通.血+必出―配S—M.•比=5,

答案第3页，共9页

所以福.（而+函）=5,化简得丽•丽=5,

所以•防=3x4xcos®=5,所以cosd=立.

所以异面直线AA与BD的夹角为arccos'.

故答案为：arccos.

12.6561

【分析】确定集合4中元素的个数，分析集合4的覆盖的构成方式，计算集合A的覆盖总数.

【详解】要使闻+艮|+闻+同=1成立，则在）22，0天这四个数中，有且仅有一个数的绝

对值为1,其余三个数为0,

对于每个绝对值为1的数，它既可以取1,也可以取-1,有2种取法，而绝对值为1的数可

以在这四个位置中任选一个，

有、=1!（4一1）!=4种选法,根据分步乘法计数原理，集合A中元素的个数为2x4=8个.

设集合A的覆盖为（及C），因为37C=A,所以对于集合A中的每个元素，它可能属于4又

属于C,

即对于集合4中的每一个元素，都有3种归属情况.

由于集合A中有8个元素，且每个元素有3种归属情况，根据分步乘法计数原理，集合A的

覆盖总数为3'=6561.

故答案为:6561.

13.D

【分析】（27-切）、（28—，〃）、•••、（34—中最大的数为（34—机）,（27一〃。、（28-〃?）、…、（34—切）包

含（34-27+1）=8个数据，且8个数据是连续的正整数，由此可得到

（27-⑼（28-⑼…（34-⑼的表示.

【详解】因为（27—6）（28-7M）.••（34—〃］）=（34-m）…（28—m）（27-m）,

所以表示从（34-〃?）连乘到（27-〃?），一共是8个正整数连乘，

所以(27-m)(28-…(34-〃?)=%”.

故选D.

答案第4页，共9页

【点睛】本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：耳'=厂＜=厂—的运用.

（〃一〃。！（〃一〃?）！

14.C

【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项.

【详解】A和8有公共事件：点数为3,所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；

事件AC表示点数为4或6,P（A）=j,P（C）=i,尸（4「）三，所以P（AC）=P（4）P（C）,

所以A与。是独立事件，故C正确：

事件8c表示点数为2,贝iJP（B）=2，P（C）=1P（BC）=：,所以Q（3C）WP（8）P（C）,

22o

所以8与。不是独立事件，故D错误

故选：C

15.D

【分析】利用平均数公式可得出X+），的值，利用方差公式可得出f+尸的值，结合平方关

系可求得k-y|的值.

【详解】由平均数公式可得"X+；+-V+3=2,可得x+y=4,

由方差公式可得:［（l-2『+（x-2）2+（2-2『+（y-2）2+（3-2）［=4,

整理可得X'十y'-4（x十月+10=20,即Y+），2—4X4+10=20,所以.尸+），'=26,

因为=x2+y2+2xy=26+2^=16,所以冲=一5,

故-二^x2+y2-2xy-^26-2x（-5）=6.

故选：D.

16.C

【分析】先得出2＜4言的等价条件工＜〃％+—然后再进行判断.

nn+\

【详解】对于①：.＜-^05+1电＜/0,讨0工〈〃⑸M—S.）OS”＜〃6X，

若/V%，则邑＜/?4＜叫+1,所以①正确；

对于②：设等差数列｛/｝的公差为d,

.d2(d)g、iS“dd

贝nIJcS”一金)〃，所以口■=7〃+q_：7

n22

答案第5页，共9页

即1｝［为公差为g的等差数列，

若｛q｝为和谐数列，即白卜则3>0，

所以关于〃的二次函数S.=g〃2+,-g)〃，开口向上，

所以在〃eN上一定存在最小值，所以②正确；

故选：C

17.(1)7776()

(2)93312r3

【分析】(1)写出展开式通项，令1的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解;

+之&+I

(2)令％=26小3*(%=0工2,…,6),假设《最大,解出％的取值范围，结合

ZeZ可得出Z的值，代入通项后即可得解.

【详解】(1)(2/+：)的展开式通项为

=C：-26-kxl2-2k-64.A：-*=26C^3A/血化=oj2,…,6）,

令12—3左=0,可得攵=4,

故展开式中的常数项为4=2人或•3-64x15x81=77760.

（2）令4=2'C.3"（攵=。,1,2,…,6）,

[A,>a..|26Cf-3人>26C*+,-34+I

假设在即、…、牝中为最大，则工+,即26c.3XC5

h*»OO

26yx6!、26-3A+,X6!

”!.（6_&）!一门+]）!（5_女）!1721

解得彳丁一彳,

6X6A

2-3X6!>23-'X6!

因为AGZ,则A=5,所以展开式中系数最大的项为4=26《-3%-3=93312犷3.

18.(1)«=0.03,平均数是50

(2)0.4

【分析】(1)根据直方图中小长方形的面积和为1求解。，然后由平均数的定义计算即可;

答案第6页，共9页

（2）根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后根据列举法求解.

【详解】（1）由题知，10x（0.01+0.02+。+0.04）=1,解得々=0.03,

平均数为：30x0.1+40x0.2+50x0.3+60x0.4=50；

（2）［35,45）和|45,55）两组的频率之比为2:3,

由于共抽取5人,根据分层抽样性质可知在［35,45）和［45,55）两组分别抽取2人,3人,

假设来自［35,45）的2人编号为4b,来自［45,55）的3人编号为A8,C,

这5人中抽取2人，所有的可能是｛血泪。8"心必力反。CA氏ACBC｝共1（）种情形，

2人来自同一组共有4种情形如下｛他,A&AC8C｝,

4

根据古典概型的计算公式，两人来自同一组的概率是m=0.4.

19.⑴

（2产4向3一2

【分析】（1）根据题设条件算出公比",进而得到通项公式；

（2）利用等比数列的求和公式计算.

【详解】（1）设等比数列的公比为

由题知qq2=2qq,解得夕=2,

则等比数列的通项公式勺=叱=2-；

（2）结合⑴可知，他“｝是首项为％=2,公比为炉=4的等比数列，

+。6+…+。2026共1013项,

由等比数列的求和公式，%+/+%+…+啧6=2，二.=2二；2

20.⑴。”=2〃-9

(2)〃=4,-16

-n2+8/2,n<4

⑶4=­

tv-8〃+32,n>5

【分析】（I）由等差数列通项公式基本量计算即可求解:

（2）根据等差数列求和公式可得S.，结合二次函数性质即可求解;

答案第7页，共9页

（3）结合（2）的S”及仆的符号，按照〃44和5分情况讨论求出即可.

【详解】（1）设等差数列｛/｝的公差为d,

«)+a,+=-153%+3〃=-15

由题可得:

2%=q+(一包)2(4+2d)=4-(q+3d)

解得4=-7,1=2,

/.atl=ax+(/7-1)J=2/Z-9；

(2)由(I)知，%=-7,d=2,

.n(-7+2n-9)/.

所以S“=-----------=rz(/x?-8z)=(7?2-4)-16,

由二次函数性质可知，当〃=4时，S.取最小值,

此时最小值为1=76；

2

(3)Sn=n-8〃,

9

由2〃-9«0=>〃<一,

2

当〃之5时，。“＞。；当〃44时，v。，

2

所以当〃44时，Tn=~(at+a2+...+a„)--S„=-n+8n；

当〃之5时，(=141+14I+…+1“"+&1+…+1/b-Cq+%+…+6)+(6+…+a“)

=_S4+(S“_Sj=S“_2S"〃2_8〃+32.

综上一忠:黑5

21.（1）13；

（2）4950；

3k'—4k+1i、/%

---------★为奇数

⑶丁（6,生，/，…，4）二|,

生二冬,k为偶数

8

【分析】（1）根据给定条件，利用逆序数的定义直接计算即可.

（2）由给定的通项公式确定其单调性，再利用逆序数的定义，结合