线面角计算的六大应用-2026高考数学一轮常考题

61.线面角计算的六大应用

一.基本原理

直线与平面所成角

(1)定义：如图，一条直线24和一个平面。相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做

这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足；过斜线上斜足以外的一点户向平面。引

垂线P。，过垂足。和斜足A的直线A。叫做斜线在这个平面上的射影；平面的一条斜线

和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

7T

(2)范围：直线与平面所成的角。的取值范围是

由上述定义可知，计算线面角的关键点在于向平面做垂线，找到这个垂线段的长度，为了

找到垂线并且能够有效的计算出垂线段的长度，除了定义法之外，可以利用等体积法来计

算点到面的距离.此外，可以利用面面垂直的性质找到点到面的垂线段，这些都是计算线面

角的常用方法之一，最后，再加上一个刻画线面角性质的三余弦定理，它也可以用来计算

线面角的大小.

二.计算方法与应用

应用1.定义法

应用2.等体积法：

应用3.垂面法

应用4.三余弦定理

应用5.空间向量(本文略去)

应用6.范围与轨迹问题

(i)最小角意识

线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，又称最

小角定理.(凌晨讲数学)

(ii)圆锥意识

OP0P

如上图，Sin(9=—,tan(9=—,这里就会出现下面几类范围问题：

APOA

(1)已知，大小•旦知。。长•那么射影人O就是一个以斜足为圆心的圆的半径：

1

(2)已知。大小，则斜线AP为一个以尸为顶点的圆锥的母线

(iii)坐标意识

二.典例分析：

应用1.定义法

例1.(2022年高考全国甲卷)在长方体ABC。-AB©。中，已知片。与平面A8CQ和平面

9丹8所成的角均为30。，贝lj()

A.AB=2ADB.A3与平面AgCQ所成的角为30°

C.AC=CB]D.与平面88£C所成的角为45。

解析：如图所示:

不妨设AB=a,AO=〃，M=。，依题以及长方体的结构特征可知，与平面ABCO所成角

cb

为“QB，4。与平面246所成角为N£>4A,所以、山30=右=右，即。=c,

z?]UO]U

B]D=2c=\Ja2+b2+c2,解得a=>/2c>

对于A,AB=a,AD=b,AB=&AD，A错误；

对于B,过8作8EJ.A4于石，易知应：！平面ABC。，所以AB与平面A&G。所成角为

NBAE,因为lan/BAE='=迫，所以NE4£w30,B错误；

a2

对于C,AC=\Ja2+b2=y/3c»CB|=，/+c。=&c,ACrCq,C错误：

对于D,%D与平面BB£C所成角为NDBC,sin/O&C=黑=f=坐，而

B、D2c2

0<Z/)B,C<90,所以/。4。=45.D正确.故选：D.

应用2.等体积法

2

例2,（2022年全国甲卷）在四棱锥P-ABC。中，PQ_L底面A3C£）,CD//AB,

AD=DC=CB=\fAB=2fPD=6

（1）证明：BD工PA;

（2）求丹）与平面以4的所成的角的正弦值.

解析：设点。到平面A4B的距离为/?,在APA8中，PA=2,PB=®AB=2

S&PAB=2、****BD：.S&DAB=，由等体积法得：Vp_ABi）=^D-PAH

|SMMPD=：S"AB.h,；.h=号,设PO与平面尸AB所成角为e

JJJ

则sinO=4-二好

PD5

例3.如图，四边形A8CD为正方形，ED_L平面ABC。，FB//EDtAB=ED=2FB=2.

（2）求8c与平面4所所成角的正弦值.

解析：（1）连接3。交AC于。，•••四边形A8CD为正方形，.•.AC_LW）,

3

E

F

D

B

又「平面A5C£＞,ACu平面A6CD,则_LAC.又「用〃EO,二爪。,旦尸四点

共面，且ED,BDu平面BDEF,于是AC_L平面加＞"\

(2)〈BCHAD,；.8c与平面AE/所成角就是A。与平面AEV所成角.在4A科中，可以

求得=万=2&，AF=V22+12=V5»"=J(2夜『+F=3,

根据余弦定理得―=叱＜2尸=裁言¥，

vZAEFe(O,n),-.sinZ.AEF=当,

S=-AEEFsinZAEF=-x2^x3x—=3,设点。到平面A"的距离为d,由

△八L,222

/g_1_平面48。。知。£_1_4^而4。_1./\及4)小£)£：="因此A/3_L平面AOE,显然FB//

平面4)E,则点尸到平面4OE的距离为A8长2,而又“兄.=：x2x2=2,

由%圮，得:电心"二：0必小2,gplx3./=1x2x2,解得d=：

JJJJJ

故8C与平面AEF所成角的正弦值为|.

应用3.垂面法

例4.(2022年全国甲卷)在四棱锥P-ABC。中，夕。_1底面A3OCD//AB,

AD=DC=CB=I,AB=2,PD=6

(1)证明：BD-LPA；

(2)求叨与平面的所成的角的正弦值.

EB

4

解析：作O/7_LA8交AB于“，・・,QO_L平面ABC。，ABu平面ABC。

・・・OP_LA3,・・・48_L平面P力〃，A3u面RR,J面尸A3_1面PW7,过点。作面

BAB的垂线,垂足在面与面PDH的交线上，，直线P。与平面PAB所成角ZDPH,

在"DH中:PD=C,DH=皂,PH=\IPD?+DH?:晅

22

・・・sin4DPH=瞿='=&故直线PO与平面243所成角的正弦立.

PH41555

F

例5.如图1,在平行四边形ABCD中，ZA=60,AD=2fAB=4t将△A3O沿50折起，

使得点4到达点P,如图2

(1)证明：〃O_L平面B4O；

(2)当二面角。-必-/3的平面角的正切值为几时，求直线与平面尸3C夹角的正弦

值.

==

解析：(1)证明：在△48。中，因为NA=60,,AD2,AB4t故

BD=VAD2+AB2-2A£>.ABcosZA=2x/3，所以瓦+44=A斤，即AZ)_L8D,在沿对角

线30将△48。翻折过程中，始终有4。_L8力，故PD_L瓦入因为叨口人。=D,PD、4。u平

面故BO_L平面E4O；

(2)如图，设P4的中点为凡连接OE,8E,因为?7)=AO,故£D_LR\，又因为PB=AB,

故£8_1,幺,则NB£D二面角力-的平面角，由(1)知3O_L平面乃1O,£Du平面

PAD,则3D_L£D，故tan/BED=里=巫=瓜:.ED=叵，故在RtZ\4ED中，

EDED

AE=>/AD2-ED2=>/4^2=y/2，则PA=2及测PA?=A。?+PD；.PD_L4D，而

5

PD±DB,A£>nBO=DAD8Ou平面ABC。，故P。_L平面4BCD,而8。u平面4BCR

故PD_LAC,又因为8C/M£>,AD_LBD,:.BC_LBD，而PDCBD=D,PD,BDu平面PBD,所

以8C_L平面P3O,由于3Cu平面PHC,故平面PBC1平面P3O,且平面PBCf］平面PBD=PB,

故过点O向平面P8C作垂线，垂足尸落在PB上，则凡即/依£>为直线30与平面

P3C的夹角，由（1）可知403=90"，而44=60,贝4/48。=30,则/P8O=30,故直线

BD与平面PBC的夹角的正弦值为y.

设A为面。上一点，过4的斜线AO在面。上的射影为A3,AC为面上的一条直线，则

8S6=COS4•cos02

证明：如图，过点8作8C_L4C,由于O8_LAC,BC_LAC,则4。_1面03。，从而

AC1OC.

于是cos6=42,cosa=4£cosa=40（凌晨讲数学）,于是得证：

OA0A~AB

cos6=cosq-cos^2.

例6.（2020年浙江卷）如图，在三棱台A8C-OE产中，平面ACFZLL平面48C,

ZACB=ZACD=45\DC=2BC.

(I)证明：EF±BD.

6

（2）求直线。歹与平面。BC所成角的正弦值.

解析：如图所示，过点。作。OJ_4c于。，因为NACB=NACD=45",所以点。在平

面力8c上的射影G一定在NOC8的平分线上，设直线力/与平面力所成角为。，因

JT

为OCHDF,所以OC与平面所成角也为。,由（1）知8co=」，由三余弦定理知

3

cosNOCD=cos。-cosNDCG,即cos—=CQSO-cos—,所以cos。=包~,从而

463

sin<9=—,即直线力/与平面力BC所成角的正弦值为走.

33

应用5.线面角中的范围与轨迹问题

例7.已知直线/和平面。所成的角为J,则直线/和平面。内任意直线所成的角的取值范

6

围为（）

解析：根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成角中最小的角，

故/与a内直线所成角的最小值为J,当/在。内的射影与平面々内的直线垂直时，/与之所

0

成的角为三，故/与a内直线所成角的范围为故选：D.

21_62_

例8.在四棱锥尸-A8CO中，P4_L平面A8CD,AP=2t点〃是矩形A8CO内（含边界）

的动点，且AB=1,AD=3直线尸M与平面ABC。所成的角为当三棱锥P-A4M的

t4

体积最小时，三棱锥P-48W的外接球的表面积为（）.

A.4兀B.6兀C.8nD.l（bt

解析：如图，因为尸A_L平面A8CD,垂足为A,则为直线PM与平面A8C。所成的

角,所以NPM4=f,因为人。=2,所以40=2,所以点M位于底面矩形A8CO内的以点

A为圆心，2为半径的圆上，注意AB=1,4）=3,记点用的轨迹为圆弧痔，当点“位

于尸时，三棱锥。一的体积最小，由A尸、8尸在面A8CD内，则/PAF=NPB/,

三棱锥P-AI3M的外接球球心为的中点.因为PF==2>/2，所以三棱锥

尸的外接球的表面积5=4冗（五7=8兀.故选：C

7

p

例9.在四棱锥P-A4CQ中，PA_L平面ABC。，E4=3,点M是矩形ABCO内（含边界）

的动点，且=AO=2,直线PM与平面A3CD所成的角为记点M的轨迹长度

为（）

A.叵B.加C.扃D.叵

32

解析：由于E4_L平面A8CO,所以4Wu平面A8CQ,所以B4_LAM,贝lJ/PM4=3，即

NQM4是直线PM与平面"CO所成角，匕*=£=2=疯/^=百6佶,21,

3AMAM\27

所以M点的轨迹是以A为圆心，半径为G的圆在矩形ABCD内的部分，

设圆与BCA。分别交于£/两点，破二卜（|J=¥，所以NB4f=e，NE4尸=],

所以M点的轨迹长为1x2兀xG=叵.故选：A

63

P

例10.已知正三棱锥P-A8C的六条棱长均为6,S是及其内部的点构成的集合.设

集合了={QeS|PQK5},则T表示的区域的面积为（）

3力

A.—B.乃C.27rD.34

4

8

解析:设顶点P在底面上的投影为。，连接8。，则。为三角形ABC的中心，

且80=2x6x2^=26,故PO=^/^TI=2#.因为PQ=5,故OQ=1,

32

故S的朝L迹为以。为圆心，1为半径的圆，而三角形48c内切圆的圆心为。,

半径为2、?36方

3x6

故S的轨迹圆在三角形A6C内部，故其面枳为九，故选：B

三.习题演练

1.正四面体ABCD中异面直线AB与CD所成角为。，侧I棱AB与底面BCD所成角为万，

侧面ABC与底面BCD所成的锐二面角为/,则（）

A.aa>P>yC.（i>a>yD.y>a>fl

解析：过A作A在底面的射影O,・・・A-8C/）是正四面体，・・・O是底面的中心，取AC的中

点E,连接如图所示，

在正四面体A—88中，40，平面8。。，COu平面8C。，AO1CD,又BO上CD,

AQKOu平面AS。，AO[yBO=Of则COJ■平面A80,A8u平面480,AB1CD,即

异面直线A3与。。所成的角为a=90、，侧棱A8在底面BC。内的射影为OB,贝UNA40是侧

棱与底面8C。所成的角，即夕二乙48。，AELBC,OEA.BC,侧面48C与底面BCO所

9

成的角为ZAEO,/./=ZAEO,Vsinp=sinZ.ABO-,sin/=sinZ.AEO=

ABAE

AnAr\

：AB>AE,/.—<—,HPsin/7<sin/,则夕vyv90,即〃<yva.故选：A

ABAE

2.P4PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60。，那么直线PC与平面

P48所成角的余弦值是（)

A."B.@C.正D.；

332

解析：如图，设直线PC在平面P48的射影为PO,作CG_LPO于点G,CH_LPA于点H,

连接选，易得CGJLPA,又C"cCG=C、CH、CGu平面CHG,则PA_L平面CHG,又HGu

PH

cosNCPA=—

pr

、

平面C4G,则有°p(pHPH

cosZ.CPDxcosZ.APD------------=-----

PCPGPC

故cosNC24=cosNCP0*cosNAP£>.已知NAPC=60°,/4PO=30。，

故ssNC尸。=竺必=出2=立为所求.

cosNAP。cos30°3

3.已知球O的半径为2,A,B,C为球面上的三个点，A8=2,点P在AB上运动，若

OP与平面ABC所成角的最大值为?，则O到平面ABC的距离为（）

A.-B.立C.叵D.递

2272

解析：记△ABC外接圆圆心为O',则OOJL平面ABC,故NOPO'为OP与平面ABC所成

的角，如图，当P移动到AB中点K时，OP的长度最小，对应正切值最大，OP与平面ABC

所成的角最大，则NOKO为OP与平面ABC所成的最大角，根据题意：sin/OKO=走，

2

设O'K=f,则OK=2t,在RsAOO'与R【AAO'K中，有

OA-=O'Or+（/A2=O'O2+OfK2+AK2,即2?=+/+1,求得：.=*,

故O到平面ABC的距离为OO'=Gf="|,故选：A.

10

4.如图，在四棱锥E-ABC。中