2026高考数学二轮复习突破：圆锥曲线的方程与性质

第2讲圆锥曲线的方程与性质

—探究真题明确方向二

1.（2025•全国I卷，T3）已知双曲线。的虚轴长是实轴长的近倍，则C的离心率为（）

A.V2B.2C.V7D.2V2

2.（2025•全国H卷，T6）设抛物线C：〉2=2pMp>0）的焦点为凡点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足

为B,若直线8尸的方程为产-2x+2,则HF1等于（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2024•新课标II卷，T5）已知曲线C：/+），2=]6°>0）,从。上任意一点P向x轴作垂线段PP1尸为垂足，

则线段PP'的中点M的轨迹方程为（）

42y242y2

A芳”。）B.$20）

cH=1G>0D.火仔1G>0）

1647168V7

4.（2024•新课标I卷.T12）设双曲线C：~^=\（a>0,方>0）的左、右焦点分别为B,过B作平行于y轴

的直线交C于A,8两点，若|QA|=13,|AB|=IO,则。的离心率为.

5.（2024•新课标II卷，T10）抛物线C：9二4工的准线为/,『为C上的动点，过P作OA：/+3-4）2=1的一条切

线，。为切点.过尸作/的垂线，垂足为8.则（）

A./与04相切B.当P,A,8三点共线时，|尸。|二底

C.当|P8|=2时，PA_LA8D.满足『川咿身的点?有且仅有2个

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12分.

考查方向：

一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线

的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与

三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.

1.答案D

解析设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2〃，2b,2c,由题意知

于是（^=^+^=02+7（12=^（12,贝ijc=2、[la,

即e=-=2y/2.

a

2.答案C

解析对/"：y=-2x+2,令产0,则入=1,

所以巴1,0),p=2,所以抛物线C：)2=4工，故抛物线的准线方程为x=-l,当x=・l时，>=4,

故8(-1,4),则以二4,代入抛物线C:9=4"得以=4.

所以|AF］平阳二4+|=4+1=5.

3.答案A

解析设点M(x,y),

则尸(工,州)，P。,0),

因为W为的中点，

所以yo=2y,即P(x,2y),

又P在曲线f+)2=16()>0)上,

所以『+4)心=16。>0),

即定=1()>0)，

即点”的轨迹方程为焉，=1°>0),

4.答案|

解析|FiA|=13,|AF2|=||Afi|=5,

且

内乃|:/因川2一|仍『二12.

由双由线定义可得2«=|F,A|-|AF2|=8,

2C=|FIF2|=12,

化简得a=4,c=6,

则的离心率e=-=-.

Ca2

5.答案ABD

解析A选项，抛物线)r=4x的准线为A-=-1,

OA的圆心(0,4)到直线八二1的距离显然是1,

等于E1的半径，

故准线/和OA相切，A选项正确;

B选项，当/，，A,/三点共线时,

即E4_L/,则尸的纵坐标,44,

由W=4*,

得到m=4,故P(4,4),

此时切线长IPQ\=yJ\PA\2-r2=V42-12=V15,B选项正确;

C选项，当|PB|=2时，xP=\,

此时或=4"=4,

故尸(1,2)或P(l,・2),

当P(l,2)时，4(0,4),8(-1,2),

4-2

勒二屋『-2,

4一2

心户用『2’

不满足kpAkAH=-1;

当夕(I.-2)时,4(0,4),/?(-!,-2).

4一(一2)

kpA=-=-6,

0-1

不=6,

不满足kpAkAB=-1,

于是PAJ_A8不成立，C选项错误；

D选项，方法一(利用抛物线定义转化)

设抛物线C的焦点为凡根据抛物线的定义，

|P8|二|PF|,这里尸(1,0),

于是IP川=|PB|时P点的存在性问题转化成|P川二|PF|时P点的存在性问题,

40,4),F(l,0),4"的中点为G，2),

AF中垂线的斜率为---二；,

kAF4

于是A厂的中垂线方程为尸笠竺，

与抛物线V=4x联立可得V-16y+30=0,

J=(_16)2-4X|X30=136>0,

即AF的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个P点，使得|P川=|PF|,D选项正确.

方法二(设点直接求解)

设p($t),

由P8_L/可得5(-1,r),

又4(0,4),\PA\=\PB\,

根据丙点间的距离公式,

戊+（”守=$1,

整理得尸-16什30=0,

J=（-16）2-4X1X30=136>0,

则关于/的方程有两个解，

即存在两个这样的P点，D选项正确.

考点一圆锥曲线的定义与标准方程

例1（1）（2025•永州模拟）已知椭圆E：［+1=1，点产（-1，0）,若直线x+iy-l=0a七R）与椭圆E交于A,

B两点,则aAB产的周长为（）

A.2V3B.4C.4V3D.8

答案D

解析椭圆E：［+4=1的长半轴长斫2,半焦距c="^=l,

则点凡-1,0）为椭圆的左焦点，其右焦点为（1,0）,

而直线A8：X+盯-1=0恒过定点（1,0）,

所以AAB尸的周长为4〃二8.

⑵（2025•西南名校联盟联考）设抛物线C：9=2〃工（〃>0）的焦点为尸，过。上一点A作其准线的垂线，设

垂足为8,若cosN8AF=*\AF\=\0,则〃等于（）

A.lB.2C.3D.4

答案D

解析由题意可知，抛物线C的焦点为/&，0）,

准线为且|力川二|A8|=10,

因为cosNBAF=之

所以由余弦定理得

2|71F|2-2MF|2COSZ^F=200X（1-|）=80=|fiF|2,即|BF|=4通,

设Ag〉%）,由［4尸|二*+|=10,

所以XA=10-^,y\=2pxA=20p-p2.

设E为准线与x轴的交点，|EF|二p,

则但尸产+次=02+20〃・〃2=|8尸|2=80,则〃=4.

［规律方法］求圆锥曲线的标准方程时的常见错误

(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；

(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为。2二加十/,双曲线中的关系式为。2二/十〃；

(3)确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置.

跟踪演练1(1)(2025•赤峰模拟)经过点P(-4,0),Q((),-2)的椭圆的标准方程为.

解析已知椭圆经过P(-4,0),Q(0,-2)两点.

点P(-4,0)在x轴上，点。(0,-2)在)，轴上，

且|4|>|2|,所以椭圆的焦点在k轴上.

对于焦点在x轴上的椭圆，设其标准方程为条喏=13*0),

因为桶圆过点P(-4,0),所以〃=4,

又椭圆过点Q(0,-2),所以b=2.

将“4,厘代入椭圆标准方程京玲=1中,

可得落=葭即涪;L

(2)(2025・绍兴适应性考试)已知双曲线二P：二［的左焦点为「，点A,8在厂的右支上，且|48|=6,则

|F川+|FB|的最小值为()

A.4

答案C

解析双曲线

贝ija=l.

设双由线的右焦点为由双曲线的定义可知，点4在双曲线的右支上，则田川-|乃川二2斫2,即

\FA\=\F2A\+2；

同理，点8在双曲线的右支上，则|下身-内阴=2.=2,

即尸身二|B8|+2.

所以|FA|+田身=(尸刈+2)+(|尸28|+2)=正刈+|尸2四+4.

则尸刈+|尸25121A用,

当且仅当A,B,尸2三点共线时，等号成立.

又|A8|=6,则匹必|+|凡8|+4冽人51+4=6+4=10,即|E4|+尸阴，10.

所以田川+尸阳的最小值为10.

考点二椭圆、双曲线的几何性质

例2（1）（多选）（2025・常州模拟）已知点P在椭圆C上，C的左、右焦点Q,B在x轴上，PQ和P6分

别交C于另一点A,从△尸AP2的周长为2。，C的左顶点和上顶点之间的距离为旧，设离心率为e,

那么（）

A.椭圆。的焦距为3

B.e=：

面积的最大值为12

D.PB和斜率的乘积为定值

答案BC

解析因为点P,A在椭圆上，所以A7W+IP尸产加,|AFi|+|AF2|=2a,

故△PAB的周长为|PA|+|A尸2|+|PBI=|PR|+|PBI+|AQ|+|AF2|=4“=20,解得。=5,

因为左顶点和上顶点之间的距离为7a2+b2=V52+《2二旧,解得力=4,

则c=>/a2—b2=3,焦距为2c=6,故A错误；

e=£=：,故B正确；

a5

SNF正二：X尸出|X阳二cIMw儿二12,

当点P位于），轴上时，的面积取得最大值12,故C正确；

设产（工，力，则今展1，即116-白2,

因为R（-3,0）,尸2（3,0）,

所以“PF1二*2:£，

故而玛・丽户2二名.三二右二M啜，不是定值，故D错误•

厂"1rr2x+3x-3X2-925X2-9

（2）（多选）（2025・安阳模拟）已知分，巳分别是双曲线C：的左、右焦点，斜率为且过点

B的直线交C的右支于4B两点,A在第一象限，且历&|二历8|,则（）

A点自到C的渐近线的距离为V5

B.|/18|二10

C.C的离心率为2

D.分别以8E,尸产2为直径的圆的公共弦长为任

答案ACD

解析因为双曲线C：席=1屹>0）,所以4=1,

又因为tanZBF2Fi=V15,

可得sinNBB尸产^

4

cos/BBFi',

4

又因为依fi|=|AS|,

所以|8问二H8HAF2I:HQHAB|=2a=2,

|BFi|=2r?+|BF2|=4,

则在△8QF2中，由余弦定理得山向2二|居F2|2+|BF2|2-2|BB||8F2|COS/BF2B,

即16=|FIF2|2+4-2X2|KF2|X1,

解得|Fi同=4或|RBI=-3(舍去)，

则2=|居初=4,即r=2,

所以b=y/c2—1=V3,

即点Fi到C的渐近线的距离等于遮，A正确；

C的离心率为e=32,C正确；

a

在中，由余弦定理可得HQ|2二|FIF2|2+|AF2|2-2|F|F211ABicOS/ABR,

222

ffl(MF2|+2)=4+HF2|-2X4X|/lF2|X(-i),

解得|A"囚=6,

所以田用二归长|=八6|+2〃=8工10,B错误；

过点Fi作HE工AB于点、E,

因为N3EQ=NFiEB：，

则点E在以BFi,为直径的圆上，

所以以8/K为直径的圆的公共弦为RE,

且IBK|=2+|3尸R=4=lABI，

所以尸因="42-1=0后,D正确.

［规律方法］(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平

方的方法，建立与IPQHPBI的联系.

(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求2或：的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“()”，然后因

式分解得到.

(3)求离心率的范围时常利用最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立

不等式(不等式组)求解.

跟踪演练2（1）（2025・合肥质检）已知双曲线C：庶，=1（心0,6>0）,过顶点A作C的一条渐近线的垂

线，交），轴于点'且依阴='々2+42,则。的离心率为（）

A.3B.2C.V3D.V2

答案D

解析不妨令渐近线方程为）=%,顶点A为（a,0）,

则过顶点A与渐近线垂直的直线的方程为），-0=*r-a）,

令E）,得）4，则8（0,

所以以Ta?+（0=J啤詈2

又因为\AB\=yJa24-b2,所以a-b,

又因为/=冰+及,

所以所以e=企.

（2）（多选）（2025•临汾模拟）已知椭圆C：*唔=1（。>〃>0）的左、右焦点分别为尸尸2,A,C为椭圆。上

关于原点对称的两点,且|AB|=|F/2l，则（）

A.ARJLg

B.四边形AF\I3F2的周长为4a

C.四边形A88B的面积为序

D.椭圆C的离心率的取值范围为保，1）

答案ABD

解析依题意，A8,FiB互相平分，且［48|=尸/2|,

则四边形AF/B是矩形，令其半焦距为c,

对于A,4R_LAF2,A正确；

对于B,四边形4户田&的周长为产2|+|与月|+|"3|-缶，B正确；

对于C,四边形AF^F2的面积为2s△&福=|AQIIAF2|、mF】l+mF2>：|g|2+|他内二2/々4?/,C错误;

对于D,由以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有公共点，得c2b,即/力〃=/.02,

解得《若，

即离心率e的取值范围为［当，1）,D正确.

考点三抛物线的几何性质

例3（1）（多选）已知。为坐标原点，点/为抛物线C：V=4x的焦点，点尸（4,4）,直线/：产加），+1交

抛物线C于A,6两点（不与尸点重合），则以下说法正确的是（）

A.\FA\>1

B.存在实数相，使得

C.若而二2而，则/〃二土也

4

D.若直线与尸8的倾斜角互补，则〃?=2

答案ACD

解析由题意可如，抛物线的焦点为“（1,0）,准线方程为JV=-I,

直线户"?y+l恒过点F（1,0）,如图所示.

设A（;ri,yi）,B（M，>2）,作AAI垂直于准线入=-1,垂足为AI,

根据抛物线定义可知，|E4|=|AAi|=xi+l,易知国20,所以田A|F+121,

但当田川=1时，点4与坐标原点重合，直线与抛物线仅有一个交点，因此田A|H1,所以田川〉1,故A正

确；

联立直线广〃<y+1和抛物线C：户4工，得产4〃?），-4=0,所以）讨=-4,%IX2=YX等1,

此时亦丽=|函函cosNA08二片W2=-3<O,

所以cosNAO8<0,因为NAO8£（0,兀），

故4。皮g所以不存在实数相，使得NAOBg,故B错误；

若丽二2而，由几何关系可得丁产-2,*结合》*=-4,可得力二&或x二企，

即%,或）或-V2）,将8点的坐标代入直线方程可得加=±号，故C正确；

若直线A4与P8的倾斜角互补，则g+1^=0,即九二十为二二0,

Xi-4X2-4

整理得2〃LVIP>-（4/〃+3）（VI+y“+24=0,

代入y1/2=4yi+>2=4/〃,

化简可得4"F+5〃?-6=0,解得m=-2或用二:，

当加《时，直线/过点P（4,4）,不符合题意，所以机=2,故D正确.

（2）（多选）（2025•云南大联考）已知抛物线C），2=2〃必》0）的顶点为O,焦点为R准线为/,P是抛物线

C上异于O的一点，过点P作PQ_L/于点Q,下列结论正确的是（）

A.线段FQ的垂直平分线经过点P

B.过点尸且与抛物线。相切的直线垂直平分线段FQ

C.直线。尸与直线尸产可能垂直

D.若/是直角三角形，则直线OP的斜率为±2

答案ABD

解析因为线段/Q的垂直平分线上的点到点凡Q的距离相等，且点P在抛物线。上，根据定义可知,

\PQ\=\PF\.所以线段/Q的垂直平分线经过点P,A正确；

不妨设点P在第一象限，设P（M）,屈A）,g（-^,展西），尸《，0）,

线段rQ的中点坐标为（0,警）

结合A选项的结论可得，

线段FQ的垂直平分线的斜率为

J2pxo^1^_\/2px0

Xo-02x0,

由）2=2〃X,可得当）＞0时，病,），'=喏，

所以过点尸的切线的斜率为浮，

所以过点P的切线与线段尸。的垂直平分线重合，

即过点P且与抛物线C相切的直线垂直平分线段/Q,B正确；

评二104，四n）,FQ=（-p,"2px。）,

若直线。u与直线P尸垂直，则而•百？=0卜（）-0+2p.ro=O,

解得p=0或其二-今都不符合题意，所以直线与直线P尸不可能垂直，C错误；

若△户。”是直角三角形，结合C选项的结论，只能是NQPA90。，所以±p）,直线。。的斜率为

±2,D正确.

［规律方法I利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形（如三角形、直

角梯形等）来建立已知量与〃的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运

算.

跟踪演练3（多选）（2025・黄山模拟）已知抛物线C）,2=2〃工的焦点为R点A（8,8）在抛物线上，过点”

作直线交抛物线于y）,Ng"）两点，则（）

A.|MN|的最小值为4

B.以线段MN为直径的圆与直线4-2相切

C.当M/J2FM时，则|MN|=9

D.丽•丽:12

答案BCD

解析由题设82=2pX8np=4,

则C：）2=8X,F（2,0）,

可设MN：x=zy+2,

联立抛物线得广8（），-16=0,显然/>0,

所以yi+）乜=8/,y\y2=-16,

则IMN|=41+t2.J（y1+%）2-4yly2=8（1+/）28,

当且仅当仁0时等号成立，A错误；

由抛物线的定义知|MN|F+%2+4,

而M/V的中点横坐标为空，

所以WN的中点与直线户-2的距离为空+2,

即为|MN|的一半,

所以以线段MN为直径的圆与直线户-2相切，B正确；

若而二2前，不妨设），1>0>）*

则3五2|玫|,而>|竺二-16,

所以vi=4>/2,V2=-2V2,

贝ij），1+），2=8片2或=/二苧，

所以内+工2=心+），2）+4邛X272+4=5,

则|MN|F+X2+4=9,C正确;

由OM•57=加不2+»）'2=（尸+1）凹竺+2/（），［+闻+4=-16--16+16尸+4=-12,D正确.

专题强化练

［分值：90分］

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.（2025・温州模拟）双曲线咚/=130）的一个焦点为（0,2）,则。等于（）

a，

A.x/3B.—C.3D.-

33

答案A

解析由题意得r=a2+1=4,所以a=\/3.

2.（2025・红河州、文山州、普洱市、临沧市检测）已知椭圆C《+卷=1的右焦点为2（2,0）,则C的长轴长

为（）

A.x/10B.2V10C.V2D.2V2

答案B

解析因为椭圆C的右焦点为尸（2,0）,所以c=2,且焦点在工轴上，所以〃入6二4,解得〃?=±0百，所以椭

圆C的长轴长为2A/TU.

3.（2025•江苏七市调研）已知椭圆C：介的右顶点与抛物线/8x的焦点重合，则C的离心率为

（）

,1C3

A-B-

2442

答案D

解析由题意得/=8x的焦点为（2,0）,

则“2,而6=1,得到c=V5,离心率为当

4.（2025•河南琼东名校模拟）已知抛物线Cr=2/?A（p>0）,过C的焦点尸的直线交C于A,B两点,交。的

准线干P,且而二3而,MF|=3,则C的方程为（）

Ay=rB./Zt

C.尸=4.1D.）2=6X

答案C

解析记C的准线与工轴的交点为M,过A,B分别作准线的垂线，垂足为4,Bl,

因为丽二3而，

所以俨用二3|8F1，又|88|二|8F|,则|户用二3|884

由于|AF|=3,所以匹443,

由APBa可知誉;缁，

\AAi\IBB/

|PA|=9,

所以|PF|=6,而尸Ml=p,

由△PFMsXPBB、可知p二尸M|=2,

即。的方程为V=4x.

5.（2025•烟台、东营模拟）已知m）为抛物线V=2pMp>0）上一点，若过点A旦与该抛物线相切的直线交

x轴于点（-2,0）,则〃的值为（）

A.lB.2C.4D.8

答案C

解析不妨令〃》（），由"J2px,

则丫；据'

所以切点为A的切线的斜率为k=\,

则切线为y=x+2,故〃?得+2,

又〃?2=2pX/A

即〃?二p（负值舍去），则"2=p=p=4.

6.（2025•广州测试）已知点P在双曲线C：g-g=l（«>0,力>0）上，且点尸到C的两条渐近线的距离之积等于

则C的离心率为（）

A.3B.2C.V3D.V2

答案D

解析设P（xo,yo）.

丁点P在双曲线C：~^=l（a>0,历>0）上，

・瑶y0_i

・・/L

即b2xl-a2y^=a2b2.

又双由线C：1（。>0,/?>0）的两条渐近线分别为bx+ay=0和bx-ay=0,

点。到双曲线C的两条渐近线的距离之积为

\bx0+ay0\|bxo-ayo|_|（bxo+ayo）（bxo-ayo）|

Va2+&2\!a2+b2a2+b2

_\b2xl-a2yS\_a2b2

~~^~y

畔与即d=2比

又（r=a2+h2,

•••/二/，4=22,

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2025・乐山检测）设。为坐标原点，椭圆C：?\=1（公6>0）的左、右焦点分别为B，尸2，点40,3）为定

点，而点8在椭圆C上,且位于第一象限,^\AB\=\AF2\=2\OF2\f则（）

A..a2-b2=3

B.NF|B+6（）。

C.当的面积为6-3VJ时，C的方程为<+<=1

63

D.当A8〃x轴时，C的离心率右写

答案ACD

解析对于A,由H阴=HBI=2|OF?|,

则NOAB=30。，又|04|=3,

・・・|0%|二百，即c=V5,

O2-/>2=3,故A正确；

对于B,由对称性可得HB|=|AF2|,・••点E,8在以点A为圆心，28为半径的圆上,

ZF）ZFiAF2=ZOAF2=30°,故B错误；

对于C,•・•NF归尸2=30。，

由椭图焦点三角形面积公式得S*pF?二〃1an15°=6-3V3,

・•・/（2-V5）=6-3V5,

解得/=3,则4=6,

・•・椭图C的方程为三十。=1,故C正确；

63

对于D,当A8〃x轴时，可得冲二3,由椭圆焦点三角形面积公式得从tan15。=：乂2。义）力,

即Z?2（2-V3）=3V3,

解得/=9+6百，

:・4=12+675,贝I1/=—^—（==―

12+6b4+2>/3

解得右手，故D正确.

（・锦州质检）某数学研究小组发现，函数产争出的图象是双曲线，设其焦点为

8.2025M,,点P为其图

•5X

象上任意一点，则（）

A.直线广当工是它的一条渐近线

B.它的离心率为

C.点（6，2）是它的一个顶点

D.IIPM-I尸Nl=2遍

答案ABD

解析因为在函数产字号中，40,当G0时，户与，

所以函数尸争遗在第一象限的图象夹在直线广斗和），轴之间且无限接近于两直线，

•5X

令以尸弟

因为代］）=十丫），所以函数尸争更为奇函数，图象关于原点对称，

•5X

所以直线广当X和y轴是双曲线的渐近线，所以A正确；

因为丙渐近线的夹角为三，所以双曲线的焦点所在的直线是两渐近线的夹角的角平分线所在直线，即

v=V3.r,

V3x,6x*

联立片三十工’可得、=-争

y-k或

（y=V3x,

所以顶点坐标为g,乎），（一当，一乎），所以C错误；

两顶点之间的距离为Jg+1）2+（乎+苧）=2伤,因为焦点为M,N,点〜为其图象上任意一点，根

据双由线的定义可得||PM-|PMI=26,所以D正确；

若将双曲线绕其对称中心（原点）顺时针旋转］可使直线）=居变为x轴，其渐近线变为直线户:哼，则双曲

线的离心率e=Jl+《）“=竽,所以B正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2025•泰州调研）过抛物线户4x的焦点作斜率为1的直线/交抛物线于A,8两点,则以为直径的圆

被y轴截得的弦长为.

答案2V7

解析设析Xl,J1）,8（X2,”）,

直线I的方程为.y=x-l,

将其代入）2=4工中并整理得f-6x+1=0,

所以<l+X2=6,

所以A3的中点即以A3为直径的圆的圆心，其横坐标为3,所以圆心到y轴的距离为3,|的二〃句+M=8,

所以以A8为直径的圆的半径为4,由已知及垂径定理得以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为

2V42-32=2>/7,

10.（2025.承德NT2O名校联合体调研）双曲线C：马=l（a>0,屋0）的左、右焦点分别为B,F2,直线夕后

Q/

_Lx轴且与双曲线C在第一象限交于点P.设△EPF2内切圆的半径为r,若则双曲线C的离心率

的取值范围为.

答案［3,+°°）

解析设△£户入内切圆E与△BPB的三边分别相切于点“，MQ,如图，

贝=|EN|=|EQI=r，且|QM=IRQI,

IF2MHF2N],\PQ\=\PN\f

所以RlAEMF2沿RlAENF2,

因为直线PE的倾斜角为90。，

所以NEBM=45。，

所以|F2M=|F2M=募石尹.

因为|FiM=2c-r=|0F1|,|PQ|=|PM=|P尸2卜厂,

由双由线的定义可知，|PQHPF2|=IQRHBN|=|FM-|BM=2a,即2c.-r-r=2a,

u2h2

所以r=c-a,又二一,所以一

|PB|aa24(c-a),

2

贝14a2,即c-4ac+3a^0,

两边同时除以。2,则e2-4e+3>0,

解得e23或e<1,又e>l,则e的取值范围是[3,+8).

四、解答题(共26分)

11.(13分)(2025•南宁模拟)已知双曲线C的中心为坐标原点。,且焦点在x轴上，点P(4,・3)在双曲线C

上，其一条渐近线方程为V5X+2)=0.

(1)求双曲线C的标准方程；(6分)

(2)过点Q(0,2)且倾斜角为45。的直线/与双曲线C交于M,N两点，求△OMN的面积.(7分)

解(1)已知双曲线。的中心为坐标原点。，且焦点在x轴上，故设其标准方程为马Q0),又其

渐近线方程为x/3x+25=0,

即智，①

又点P(4,-3)在双曲线。上，代入得咚白二1,②

联立①②，解得0=2,b=y/3,

所以双曲线C的标准方程为[-4=1.

43

(2)直线/过点。(0,2)且倾斜角为45。，故其方程为产X+2,将其代入双曲线方程，联立得5•誓Ml,化

简得.d+16工+28=0,解得%[=-2和应=-14,

代入直线，,求得yi=O和4=-12,

不妨取M(-2,0),M-14,-12),所以Sd^OMlLl三X2X12=12.

12.(13分)(2025•蚌埠适应性考试)己知椭圆C：5唔=1(>0)的离心率为5点P(3,|)在椭圆。上.

(I)求椭圆C的标准方程；(5分)

(2)过点。(0,6)的直线(非)，轴)交椭圆于A,8两点，以A8为直径的圆经过原点。，求直线48的方程.(8

分)

解⑴由&=£=：,得a=2c,

a2

贝ijtz2=4c2=/?2+c2,

所以b2=3c2,

将点P(3,§代入椭圆方程得右+*=1,解得d=3,所以椭圆C的标准方程为W+?=L

(2)依题意直线A8的斜率存在，设直线AB的方程为严h+6,点4,B的坐标分别为3,6)，(M,").

y=履+6,

方法一联立方程

37+4,2=36,

消去y得(3+42*+48京+1()8=(),

依题意，4=(48⑥2-4X108(4炉+3)=144(41・9)>0,

所以闺有，

口-48k108

且为十刈=诉，为及=诉.

依题意而•赤=0,

即xiA2+(b：i+6)(te+6)=0,

整理得(F+1)X1X2+6A(X|+X2)+36=O,

从而假+1).部+6%潦>36=0，

所以216-36S=0,解得晶=-75,kk瓜

满足I*.

从而直线AB的方程为>*=±V6x+6.

方法二将产质+6即6=y-/cx代入3,r+4/=36,得3/+4)2=()，-依)2,

整理得，3(]+2(§+3-炉工0,

依题意，4=(2幻2-4X3(3-F)>0,

所以心|>|,又。A_L08,

依题意，-4血=早=1,

Xjx23

解得上土几，满足因

所以直线AA的方程为y=±x/6x+6.

IY思维创新

（每小题6分,共12分）

13.（多选）（2025・济宁模拟）若双曲线C：f-==l的左、右焦点分别为Q,F2,过C的右支上一点一作圆（x-

3）2+9=I的切线，切点为4,B,则下列结论正确的