2026年高考数学复习（全国）幂函数与指、对数函数（讲义）解析版

专题2.5募函数与指、对数函数（举一反三复习讲义）

【全国通用】

内容导航

考情分析

L思维导图

夯基•核心知识梳理

「题型1指数的运算

广题型2对数的运算

广题型3幕函数的图象与性质

鬲函数与指、对数函数

r题型4指数、对数函数的定义域与值域问题

提升•必考题型归纳--题型5指数、对数函数的图象问题

'题型6指数、对数函数的单调性问题

'题型7指对鬲数比较大小

'题型8解不等式问题

L题型9指数函数与对数函数的综合应用

高考真题练

1、幕函数与指、对数函数

幕函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高

考中都占据着重要的地位，是高考常考的重点、热点内容.从近几年的高考

命题规律情况来看，对累函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质

为依托，结合指、对数的运算性质，运用基函数与指、对数函数的图象与性

分析

质解决具体的问题，包括比较指对幕数的大小、指数与对数的应用、解不等

式等热点题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对

数型函数进行灵活处理.

高考真题考点2023年2024年2025年

统计塞函数与I卷：第4题，5分新课标I卷：第6题，5全国一卷：第8题，5

指、对数函全国甲卷（文数）：第分分

数11题，5分天津卷:第2题，5分北京卷:第4题，4分

北京卷：第4题，4分天津卷:第5题,5分北京卷:第9题，4分

北京卷:第7题，4分天津卷：第7题，5分

上海卷：第14题，4分

预测在2026年全国卷高考数学中，对暴函数与指、对数函数的考查仍

2026年为必考重点，考情较为稳定。题型主要以单选题或填空题的形式考查，分值

占比固定。命题形式主要以指对基数比较大小、指数与对数的应用、指数函

命题预测数与对数函数的图象与性质等考查方向为主，难度不大。

幕函数的解析式

幕函数的图象与性质

幕函数T幕函数

比较幕值的大小

分数指数幕：规定：0的正分数指数幕等于0；0的负

根式与分数分数指数寨没有意义

指数幕

有理数指数幕的运算：(1)有理数指数幕的运算性

指数质；(2)指数鬲的几个常用结论

无理数指数幕及实数指数幕

数J指数幕的运

指数鬲运算的一般原则

与

指数函数的概念

指

指数函数的解析式的结构特征：①系数为1;②底数〃是大于。且

•概念不等于1的常数.

对

指数函数图象：分0十＜1和两种

数

指数函数的性质：⑴定义域为R；(2)值域为(0,+00)；(3)图象过

图象与性质定点(0.1),即当“0时，E；(4)0＜片1时，单调递

减；时，单调递增

对数的运算性质：积的对数、商的对数、塞的对数

—对数的运算对数的换底公式及其推论、对数运算的常用技巧

对数T

知识梳理

知识点1幕函数及其解题策略

1.第函数的解析式

幕函数的形式是y=x"(a£R),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.事函数的图象与性质

在区间(0,1)上，幕函数中指数越大，函数图象越靠近^轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+8)上，基函数

中指数越大，函数图象越远酉Lx轴.

3.比较幕值的大小

在比较塞值的大小时，必须结合塞值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较,准确掌握各个塞

函数的图象和性质是解题的关键.

知识点2指数、对数运算的解题策略

1.指数幕运算的一般原则

(1)指数基的运算首先将根式、分数指数基统一为分数指数寻，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底

数需相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

2.对数运算的常用技巧

(I)在对数运算中，先利用累的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数器的形式,使制的底数最简，然

后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用充数的运算法则，转化为同底对数真数的枳、

商、呆再运算.

⑶指对互化:a"=N—〃=lo&N(a>0,且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意

互化.

知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路

1.比较指数式的大小

比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数寒，再利用单调性比较大小:

(2)不能化成同底数的,一般引入地或12等中间量比较大小.

2.指数方程(不等式)的求解思路

指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

3.指数型函数的解题策略

涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单

调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一-性质分析判断.

4.对数函数图象的识别及应用

（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低

点等）排除不符合要求的选项.

（2）一%对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

5.对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：

一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系:三是复合函数的构成，即它是

由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

举一反三

【题型1指数的运算】

/o\3+V5

【例1】（2025•河南新乡•二模）（为=（）

A.16B.8V2C.32D.1672

【答案】A

【解题思路】应用指数幕运算的性质化简求值.

【解答过程】由（副+内=偌广西=2（3-VS）（3+V5）=24=16.

故选：A.

【变式1-1】（2025•黑龙江佳木斯三模）已知正数x,y满足度7）'=4身，则2x+y的最小值是（）

A.2V2B.9C.1D.13

【答案】C

【解题思路】由2人业=4盯可得;+1=1,再根据基本不等式力”的妙用求解即可.

2>x

【解答过程】由乃⑷=4刈，则2*-22y=22xy,即x+2y=2初，则擀+：=1,

所以2%+y=（2x+y）倚+0=：+/岸2那+；今

当且仅当E=A即％=y=:时等号成立，

yx.2

所以2%+y的最小值是（

故选：C.

【变式1-2]（2025•辽宁葫芦岛•一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录

方式.标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的宸，若视力

4.0的视标边长约为10cm,则视力4.9的视标边长约为()

标准对数远视力表

S(11°

E山4

WEE42

3ELU"

mm山E44

mmE山4.5

3mEUJS4.6

mIUE3mE4.7

UJm3uiEm34.8

■mBuismaiu5.0

••••・•・•5.1

....................................

..................................5.3

A•'源B.71^C.扁D.T^=

【答案】A

【解题思路】由题意结合指数幕的运算法则计算即可得.

【解答过程】由题意可得，视力49的视标边长约为：

10x(-jo7=)=1。x1O-IO=10而=cm.

故选：A.

【变式1-3】(2025・浙江嘉兴•二模)若实数Q,b满足eae2i=l,则ab的最大值为()

A3B玛C.iD-i

【答案】D

【解题思路】由指数运算可得a+2b=1,再由二次函数可得Qb的最大值.

【解答过程】因为e°e2bT=1,所以ea+2>T=e°,即a+2b=1,

故ab=b(l-2b)=-2(b—口+：W即abW；,当且仅当b=；时等号成立，

\4/ooo4

故ab的最大值为：，

O

故选:D.

【题型2对数的运算】

【例2】（2025•浙江金华一模）已知：+；=则。=（）

log9alog27a3

A.3B.9C.27D.81

【答案】C

【解题思路】利用换底公式转化，进行求解即可.

【解答过程】高+氤=四心+嗨27=log]=

所以涓=35,则aS=（3$）3=275,解得°=27.

故迄C.

【变式2-1]（2025•北京海淀•三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录.例如：2006年5月27日，

印月爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发

现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级〃之间的关系为lgE=4.8+1.5M.印尼爪哇

地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（）倍.（精确到1.参考数据：Ig87.5«1.942,lg88.5«

1.947,Ig89.5x1.952,lg90.5*1.957）

A.87B.88C.89D.90

【答案】C

【解题思路】设印尼地震的能量Ei,震级Mi=6.3,四川地震的能量E2，震级Mz=5.0,利用对数计算1g⑶

的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案.

【解答过程】设印尼地震的能量均，震级Mi=6.3,四川地震的能量为，震级M2=5.0.

因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级时之间的关系为lgE=4.8+L5M,

所以增修）=哨一峭=1.5（M2-MD=1.5x1.3=1.95,

且lg88.5«1.947<1.95<1.952«lg89.5,

所以88.5V粤V89.5,

Cl

根据精确度要求精确到1,所以各农89,

故选:C.

【变式2-2]（2025•天津河北•模拟预测）己知a=lg2,b=lg3,则lgl2可以表示为（）

A.a2bB.2abC.a+2bD.2a+b

【答案】D

【解题思路】结合对数运算性质即可得解.

【解答过程】由对数运算性质可得lgl2=lg(3x4)=lg3+Ig4=lg34-lg22=Ig3+21g2=2a+b,

故选：D.

【变式2-3](25-26高一上•新疆•期中)荀子《劝学》中说：“不积蹉步，无以至千里；不积小流，无以成江

海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%>65看作是每天

的啾步”率都是1%,一年后是1.01365X37.7834；而把(1-1%产5看作是每天“退步”率都是1%,一年后

是C.99365«0.0255：这样，一年后的“进步值”是“退步值”的噜Ia1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的

099a

值的2倍，大约经过()天.

(参考数据：IglOl«2.0043,lg99»1.9956,lg2«0.3010)

A.9B.15C.25D.35

【答案】D

【解题思路】设经过4天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得(疾尸=2,求解出入,即可求解.

【解答过程】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则（孤尸=2,

KUi.i1rlg2lg2Ig20.30100.3010

所以X=Iogioi2=—nrr=—n3o5r,

旃襦鬻HTT=-lg-10-l-l-g99X-2-.0-0-43--1-.-99-56=-0-.0-08-7

故选：D.

【题型3幕函数的图象与性质】

【例3】(2025•湖南•一模)已知事函数/(%)=济+2m-2)xm+2?E(0,4-8)上单调递增,则m的值为()

A.1B.-3C.-4D.1或-3

【答案】A

【解题思路】根据幕函数定义和函数单调性列出关于m的方程和不等式即可求解.

【解答过程]由题意可得+2*_2=1==—3或m=1=旭=1.

(m+2>0(m>-2

故选：A.

【变式3-1](2025•河南驻马店•模拟预测)已知辱函数/(%)=(/+血-1)/的图象与坐标轴无公共点，

则执=()

A.-2B.1C.-2或1D.-1或2

【答案】A

【解题思路】本题可先根据幕函数的定义求出血的可能值，再结合幕函数图象与坐标轴无公共点的条件确定m

的值.

【解答过程】因为/'(%)为呆函数，所以7n2+7n—i=i,

即抗2+Tn-2=0,解得m=-2或m=1.

当m=-2时，/(X)=x~2=其定义域为{x|xH0},图象与坐标轴无公共点，符合题意；

当执=1时，/(X)=%,其图象与坐标轴有公共点，不合胭意.

综上，m=-2.

故选：A.

【变式3-2](2025・江苏盐城•三模)“m=2”是“/(%)=(小一?九一1)二+2血-3为幕函数,，的()条件

A.充要B.必要不充分C,既不充分也不必要D.充分不必要

【答案】D

【解题思路】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果.

【解答过程】当m=2时，f(x)=x5,符合塞函数的形式，故充分性满足；

当/(%)=(m?-m-l)x"+2m-3为辕函数可得血2-m-1=1,解得m=2或m=-1，

故必要性不满足，

所以“m=2”是“f(%)=(血？一m-1)婢2+2*3为幕函数，，的充分不必要条件

故选：D.

【变式3-3](2025・四川绵阳•模拟预测)关于函数八%)二厂2,下列说法错误的是()

A.函数的定义域为(—8,0)u(0,+8)

B.函数的值域为(0,+8)

C.函数在(一8,0)上单调递减，在(0,+co)上单调递增

D.函数是偶函数

【答案】C

【解题思路】整理可得/(%)=/，结合二次函数分析定义域、值域以及单调性，即可判断ABC；再根据偶函

数的定义判断D.

【解答过程】因为函数/(%)=%-2=*

对于选项A：令/工0,解得工工0,

所以函数/"(%)的定义域为(一8,0)J(O,+00),故A正确；

对于选项B：因为工工0,则干>0,可得/(%)=,>0,

所以函数/■(%)的值域为(0,+8),故B正确；

对于选项C：因为y=炉在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以函数/(%)在上(0,+8)单调递减，在(—8,0)上单调递增，故C错误；

对于选项D：因为函数/(切的定义域为(一8,0)u(0,+8),关于原点对称，

且/(一%)=3=3=*")，可知函数/(X)为偶函数，故D正确：

(r)广

故选:C.

【题型4指数、对数函数的定义域与值域问题】

【例4】(2025•云南昆明•模拟预测)函数/(幻=］号］；：；二;的值域为()

A.［-1,4-00)B.C.RD.

【答案】A

【解题思路】利用函数/(%)在(-8,-2)、［-2,+8)上的值域，取并集即可得出函数/(无)的值域.

【解答过程】当2时，fW=2x-l,因为函数y=2"在(—8,-2)上单调递增，

所以0<2、V2-2=1,此时/(x)=2X-1G

当《2-2时，因为函数/•(%)=%2-1在［-1,0］上为减函数，在(0,+8)上为增函数，

故/(%)>/(0)=-1,即f(%)=必-1在［-2,+8)上的值域为［-1,+oo).

综上所述，函数/'(%)的值域为［-1,+8).

故选：A.

【变式4-1］(2025•陕西西安•模拟预测)关于函数/(%)=馆(看-1),下列说法不正确的是()

A./(%)的定义域为(一1,1)B./(%)在区间(0,1)上单调递增

C.f(>)的值域为4,10)D.f(x)的图象关于原点对称

【答案】C

【解题思路】根据真数大于()，化简计算，即可判断A的正误：根据复合函数单调性“同增异减”，可判断B

的正误；根据x的范围，可求得真数的范围，根据对数函数性质，可判断C的正误；根据奇函数的定义，

化简整理，即可判定D的正误，即可得答案.

【解答过程】选项A：由题意二-1>0,即4>0,

所以(x+1)(1-x)>0,即(％+1)(%—1)V0,解得一1V%V1,故A正确;

选项B：令£二二一1,

l-x

当XW(0,1)时，y=l-x单调递减，

所以"-1+二在(0,1)上单调递增，

1-X

又当t>1时，函数y=lg£在(1,+8)上单调递增，

根据复合函数单调性原则可知/(幻=Igt=1g-1)在(0,1)上单调递增，故B正确;

选项C：因为一1VXV1,所以

则0<1-％<2,所以-->1,

1-X

则

1-X

所以f(x)=lgt值域为R故C错误;

选项D：因为定义域为(一1,1)关于原点对称，且fa)=ig(£-i)=ig(岩)

所以f(-x)=1g层-1)=1g(3)=电(岩)T=-1g(岩)=-f(X)，

所以/(%)为奇函数，图象关于原点对称，故D正确.

故选：C.

【变式4-2］(2025•海南一模)若函数/(%)=淄一1(。>0且QH1)在区间［0,4］上的值域为［0,4］,则a=()

A.V3B.V5C.3D.5

【答案】B

【解题思路】利用指数函数性质计算即可得.

【解答过程】由指数函数的性质知人乃必是单调函数，

又/(0)=a0-1=1-1=0,

因为值域为［0,4］,所以函数人为在［0,4］上单调递增，故/(4)=4,

即*一1=4,解得a=±百，又a>0,故。=遍.

故选：B.

【变式4-3】(2025・河北•模拟预测)已知函数人%)={1+：蓝:若/(幻的值域为⑵+8),则

实数a的取值范围是()

A.(1,回B.(72,2]C.(1,72]D.(迈2]

【答案】D

【解题思路】根据指数函数性质分析可知g(x)=4-2\x<1)的值域为N=[2,4),结合题意可得(4,+oo)c

MG[2,+8),结合对数函数性质列式求解即可.

x

【解答过程】设/i(x)=1+logfl(x4-l)(x>1),^(%)=4-2(x<1)的值域分别为M,N,

当XW1时，则OV2*W2,可得N=[2,4)；

因为外幻的值域为⑵+8)，可知(4,+8)GMq⑵+8),

则a>1,且/i(x)€(1+loga2,+8),可得2<1+loga2<4,解得起<a<2,

所以实数Q的取值范围是(地,2].

故选：D.

【题型5指数、对数函数的图象问题】

【答案】B

【解题思路】根据函数的定义域可判排除D,根据图象对称性排除C,根据％>0时函数值的符号排除A,

故可得正确的选项.

【解答过程】/(%)的定义域为(一8,0)u(0,+8),排除D：

因为/'(-%)=(2、-2-*)冒=(2-x-2x)^=f(x),所以/•(%)为偶函数，

图象关于y轴对称，排除C；

当X>0H寸，f(x)=(2-x-2X)^=2-x-2X<0,排除A.

故选：B.

【解题思路】由函数奇偶性及特殊点函数值即可判断.

【解答过程】由fa)=》2-]n|H，可得定义域为(-8,0)u(0,+8),

又/(-X)=(一%)2-ln|-x|=x2-In|x|=/(x),

函数为偶函数，故排除D,

又/(3)=9-ln3>0,结合图像可排查BC,

故选：A.

【变式5・2】(2025•辽宁・模拟预测)函数/'(均二岩的部分图象大致为()

【答案】D

【解题思路】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项.

【解答过程】由/0)=寻=卡-,可得/'(%)的定义域为(一8,0)U(0,+8),

且/(一切=£彳=一/(无)，所以/(均为奇函数，图象关于原点对称，排除B项；

/-(I)=；>0,排除C项；

当X-»+8时，f(x)-*+00,排除A项.

故选：D.

【变式5-3](2025・安徽合肥・模拟预测)函数/(乃二(|4一为—4)皿4一必)的图象大致为()

【答案】A

【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定.

【解答过程】由已知，/(%)定义域为(一2,2),且/(-%)=f(x),

所以函数/(均为偶函数，

故八外图象关于y轴对称,

又f(0)=。排除BD选项;

当％t2时，/(%)>0,排除C,牧A正确.

故选：A.

【题型6指数、对数函数的单调性问题】

【例6】(2025•新疆喀什•模拟预测)已知Ina?-Ina=1,则函数/(%)=a--2x的单调递增区间为()

A.(—8,0]B.(-8,1]C.[0,+8)D.[1,+8)

【答案】D

【解题思路】根据给定条件求出。，再利用复合函数单调性求出递增区间.

【解答过程】由In"一Ea=l,得lna=l,解得a=e,函数/'(%)=e'—x定义域为R,

函数〃=X2-2%在(一8,1］上单调递减，在口,+8)上单调递增，

而函数y=e”在R上单调递增，所以函数/(乃的单调递增区间为口,+8).

故选：D.

【变式6-1］(2025•山东泰安・模拟预测)已知函数/(乃=电(7-。％-5)在(5,+8)上单调递增，则a的取值

范围是()

A.(-oo,4)B.(-co,4］

C.(4,4-oo)D.［4,4-co)

【答案】B

【解题思路】根据更合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得

a的取值范围.

【解答过程】由函数/(x)=lg(/一Q%一5)在(5,+co)上单调递增，

可得u(x)=x2-ax-S在(5,+8)上单调递增，

(-<S

且〃(%)>0在(5,+8)上恒成立，故需满足12一,解得a<4.

(u(5)=25-5a-5>0

故选：B.

【变式6・2】(2025・山东济宁•二模)若函数/(x)=(一―"在［1,+8)上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.a<2B.a>2C.a<1D.a>1

【答案】A

【解题思路】=是由？=*)"与〃=必一6复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函

数单调性确定内层函数单调性，进而求出Q的取值范围.

【解答过程】fW=6/—a"是由？=6)”与〃=x2-a无复合而成，

在)，=(：)"中，b=g,,所以y=6)”在R上单调递减.

因为/(%)=弓尸2-”在［1,+8)上单调递减，且外层函数y=弓厂在R上单调递减，

根据复合函数“同增异减''的原则，可知内层函数〃=x2-ax在［1,+8)上单调递增.

对于二次函数〃=/一Q》,其图象开口向上，对称轴为％=一三=*

二次函数在对称轴右侧单调递增，要使〃=X2-以在［1,+8)上单调递增，

则对称轴需满足］41，解得Q&2.

故选：A.

【变式6-3】(2025•黑龙江哈尔滨二模)函数f(x)=log2(/-2x)的单调递增区间为()

A.(2,+8)B.(l,+oo)C.(-co,l)D.(-8,0)

【答案】A

【解题思路】先求函数、=1。82(/-2幻的定义域，再求函数y=/-2%在定义域上的增区间即可.

【解答过程】解：由已知得%2-2K>0,解得XV0或％>2,函数的定义域为(-8,0)u(2,+8),

2

因为y=log2t总为增函数，要求函数/'(%)=log2(x-2%)的单调递增区间，

由同增异减可得即求函数y=x2-2%在(-8,0)u(2,+8)上的增区间

由二次函数的性质可得y=x2-2丫在(一8,0)u(2,+8)上的增区间为(2,+co),

2

故函数/㈤=log2(x-2x)的单调递增区间是(2,+8).

故选：A.

【题型7指对幕数比较大小】

【例7】(2025•湖南•一模)若a=log73b=701,c=作)，则a、b、c的大小关系为()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【解题思路】利用对数函数、基函数单调性，结合中间值法可得出a、匕、c的大小关系.

【解答过程】因为函数y=log7%在(0,+8)上为增函数，所以log?lVlog7(Vlog?7,即0VQ<1,

-0.1/八0.1

因为b=7°,，c-=(-),

函数y=在(0,+8)上为增函数，所以7°」>6)”>0)°，即b>c>l,

故七>c>a.

故选：C.

【变式7-1］(2025・四川绵阳•一模)已知a==log34,c=&,贝ij()

A.b<a<cB.a<b<c

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】A

【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.

【解答过程】因为5=log335=log3库=log3e7

又因为对数函数y=log3%在（0,+g）上单调递增，且4=V16<V27,

所以log34<log3V27,即b<a.

c=ez=Ve»Q=|=J，由于eu2.718,g=2.25,且函数y=依在[0,+8）上单调递增，

所以正>即c>a.

综合以上两个比较结果，可得bva<c.

故选：A.

【变式7-2]（2025•河南•模拟预测）设。=Gy,b=log4,c=3T,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】A

【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小.

【解答过程】因为y=（J'单调递减，所以a=Q）5<c=3-5=O<Q）°=1,

因为y=logu单调递减，所以b=logi|>Iogi1=l,

2252

则a,b,c的大小关系为a<c<b.

故选：A.

【变式7-3]（2025・天津•二模）已知a=4.5,5,b=5.454,c=log由.%则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解题思路】利用指、对、嘉的单调性比较大小即可.

【解答过程】vy=4.5、是增函数，・•,4.5Va=4.54-5<4.55-4,

y=/4在（0,+8）是增函数，8=5.4S/>4.5,4,故b>a>4.5,

y=log4.5%在（0，+8）是增函数，c=log4,55.4<2<4.5,

即cVaVb,

故选：D.

【题型8解不等式问题】

【例8】(2025•广东肇庆一模)已知/(%)=眇-er,若/'(x+l)+八%-1)>0成立，则x的取值范围是

()

A.(0,+8)B.(1,+8)C.(-1,+co)D.(—oo,0)U(0,+co)

【答案】A

【解感思路】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式.

【解答过程】函数/(久)=e"-eT的定义域为R,/(-x)=e~x-ex=-f(x),则函数f(x)是奇函数，

而函数y=e4,y=-在R上都单调递增，则函数/(%)在R上单调递增，

不等式/(%+1)-1)=/(一％+1)，则％+1>-％+1,解得4>0,

所以x的取值范围是(0,+co).

故选：A.

【变式8-1](2025•山西临汾•三模)已知f(x)=log2(l+4r)+x,则满足f(2m—3)Vf(m)的实数加的取

值范围为()

A.(1,3)B.(1,3)C.(-8,3)D.(3,+8)

【答案】A

【解题思路】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合

函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案.

【解答过程】由/a)=log2(l+4f)+x,易知其定义域为R,

X-x

由/(一%)-fM=log2(l+4)-x-log2(l+4)-x

2xx

=log2翌土-=log24-2%=2x-2x=0,则函数/(%)为偶函数,

xx

/(x)=log2(l+4一，)+x=log2(l+2-2，)+log22=log2(2+2-*),

由y=2乂在R上单调递增，y=%+：在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

则),=2X+去在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

即函数/■(%)在(0,+8)上单调递增，在(-8,0)上单调递减，

由/(2TH—3)V/(TH),则|2m-3|V|?n|,即(2m-3)2<：m2,

整理可得3m2-12巾+9<0,化简可得(m-3)(m-1)<0,

解得1VmV3.

故选：A.

【变式8-2](2025•湖南•模拟预测)设函数/(x)=elxTl+1,则使得/(%-1)Vf湖%)成立的谢取值范围

是()

A-(°3)B.&+8)C,(-8,乡D.

【答案】B

【解题思路】易得函数/。)关于X=1对称，且在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)单调递增，将原不等式转

化为1%-1-11<I-X-1|求解即可.

【解答过程】因为/(幻=e|x-11+1,所以/(2—x)=e,2-x-11+1=e|1-x|4-1=/(%),

即函数f(x)关于％=1对称，

当%21时，/(%)=e'T+1单调递增，

所以函数/•(%)在(一8,1)上单调递减，在(1,+8)单调递增，

因为/'a-l)</"(-%),所以反一1一1|V|一久-1|,解得%

即X的取值范围是弓,+8),

故选：B.

【变式8-3](2025•四川绵阳•二模)已知定义在R上的函数g(%)=ex-er+f(%),其中g(%)是奇函数且在R

上单调递减，/(log2x)+f(2)>0的解集为()

A.(-8,：)B.„)C.&+8)D.(4,+8)

【答案】B

【解题思路】根据给定条件，探讨函数/(乃的奇偶性及单调性，再求解不等式.

【解答过程】依题意，/(x)=g(划-e*+e-x,f(一x)=g(-x)-e~x+ex=-g(x)-e-x+铲=-/(x),

则函数/(x)是/?上的奇函数，而函数y=g(x),y=-ex,y=。一》在R上都单调递减，

因此f(x)在R上单调递减，不等式〃1。取%)>-f(2)=f(-2),则lo取％<-2,

解得O<xv$所以所求解集是(0,b.

故选：B.

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】

【例9】(2025•河北•模拟预测)若函数/(%)=。嗨(-/+2计3)(。>。且0的最大值为3,则0=()

A.1B.V3C.2D.3

【答案】B

【解题思路】利用对数函数单调性求出指数的最大值，再结合指数函数单调性分类求解判断.

【解答过程】函数/(%)=〃睢(-/+2》+3)中，解得一1VXV3,

-X2+2X+3>0,

函数〃=一/+2%+3在(-1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，当％=1,umax=4,

其值域为(0,4］,而函数y=log?”在(0,4］上单调递增，

2

因此函数£=log2(-x+2%+3)3勺值域为(一8,2］,

当OvaVI时，函数y=相在(-%2］上单调递减，值域为［4,+8),无最大值，不符合题意；

2

当a>l时，函数y=出在(一8,2］上单调递增，当t=2时，ymax=ci=3,

解得。=遍，符合题意，所以a=75.

故选：B.

【变式9-1］(2025•河北石家庄•一模)己知函数/■(%)=x2+ln(e*+er)-2,则不等式/'(x+2)Wf(2x-3)

的解集为()

A.卜5,B.(-co,-5］U_^，+8)

C.*,5］D.(-8,,“5,+8)

【答案】D

【解题思路】由函数奇偶性、单调性即可求解.

【解答过程】易知函数定义域为R,

又/(一%)=(-%)2+ln(e-x4-ex)-2=x2+ln(ex+e-x)-2=/(%),故为偶函数,

当父之0时，eA>1,所以y=ex+e-x=e*+*,

令£=MN1,结合对勾函数y=f+：在［1,+8)单调递增，丫=1在［0,+8)单调递增，

由复合函数的单调性可知：y=e，+在(0,+8)上单调递增，

又》=Inx在(0,+8)上单调递增，

故y=ln(ex+er)在［0,+8)上单调递增，

易知/(%)=x2+ln(ex+e~x)-2在［0,+8)上单调递增,

结合函数为偶函数，

所以由f(%+2)&/(2%-3)可得归+2|<|2x-3|,

平方得：3x2-16x+5>0,

解得x>5或％<

所以不等式/(X+2)<f(2x-3)的解集为(-8,1u[5,+co),

故选：D.

XX

【变式9-2](2025•四川资阳•一模)已知函数/。)=2-log2(2x-2)-1,=3-log3(3x-3)-=

1085(5%-5)-5-*的零点分别为&b,c,则a,b,c的大小顺序为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

【答案】A

【解题思路】先令三个函数式等于0,然后对等式分别化简，使得它们都等于同一函数式，进而可画出图象,

比较零点的大小.

【解答过程】令/'(%)=0,则log2(2x-2)=2-3化简得log?2+log2a-1)=2-3

xx

即log2a-1)=2--1,换底后得到logio(x-1)=log102x(2~-1)；

令0(%)=0,则log3(3%-3)=3-”,化简得log33+log3a-1)=3-”,

BPlog3(x-l)=3-*-l,换底后得到logioQ-1)=log103x(3一工-1).

xx

令A(x)=0,则Iog5(5x-5)=5~；化简得logs5+log5(x-1)=5~,

-x

即log5a-1)=5T-1,换底后得到logioO-1)=log105x(5-1)；

分别画出它们的图象为：

由图可以看出Q>b>c.

故选：A.

TTT，工V°

2

【变式9-3］(2025•内蒙古呼和浩特二模)已知函数/a)=2a(aH0)在R上单调，且f(logE)<8

岛7?'"0

在［2,4］上恒成立，贝ija的取值范围是()

A.0<a<1B.OVa。C.0<a<^D.a<1

【答案】B

I777,％<。

【解题思路】由题可得函数/(%)=((awO)在R上单调递减，由/。082)工8在［2,4］恒成立可

吠"。

得％恒成立，据此可得答案.

—―jx<0

22a(。/0)在/?上单调，又>=击在(一%0)上单调递减，

(而FX-0

x<0(a>0

则函数/(%)=<2a(a。0)在R上单调递减，则｛」_>%=0VaWL

匕前(户一

则为e［2,4］时,logflx<0,X/(logax)<8,

则丽工8=2iiga"423nlogax>-2=>x<志恒成立，

则/N(%)max=4=0VaW/

故选：B.

高考真题练

考点一事函数与指、对数函数

一、单选题

1.(2025・北京•高考真题)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间7