2026高考数学解答题专练 第二章 立体几何与平面向量（解析版）

第二章空间向量与立体几何

目录

题型1立体几何种平行关系的证明.......................................2

题型2：立体几何中垂直关系的证明.......................................8

题型3：立体几何中的线线角.............................................18

题型4：立体几何中的线面角............................................25

题型5：立体几何中的面面角............................................35

题型6：立体几何中点到线的距离........................................49

题型7：立体几何中线到面的距离........................................56

题型8：立体几何中的体积问题..........................................66

题型9：立体几何中的存在性问题........................................76

题型10：立体几何中的截面问题.........................................83

题型11：立体几何中的最值问题.........................................94

必刷大题..............................................................104

题型1立体几何种平行关系的证明

1.(24-25高一下•湖南长沙•期末)如图，正四棱台中，上底面边长为4拉，下

底面边长为8夜，E为CG的中点，侧棱长为6.

(1)证明：4CJ/平面8DE；

(2)求该正四棱台的表面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)160+48加

【难度】0.85

【知识点】棱台表面积的有关计算、证明线面平行

【分析】(1)连接力C,交BD于点O,连接。£.根据三角形中位线定理证明OE/〃G,再利用

线面平行的判定定理即可证明；

(2)在梯形相44中，过4作4M144交48于点根据平面几何知识可求出4",进而可

求Sa,即可求解正四棱台"CD-的表面积.

【详解】(1)(1)连接力。，交8。于点。，连接OE,如图所示.

在正四棱台"CO-48CQ中，底面/品。为正方形，所以。为4C中点.

又・•・£为CG的中点，・••OE///C.

又OEu平面BDE,力GU平面也花，「.XG〃平面

（2）由题可知：在梯形4中，4与=4a,"=8正，％4=6,

过4作4A8交48于点/，.・.40=2&，A.M=yj^-AM2=2x/7,

所以S悌形皿鹏=；（44+/也）/4=；乂（4及+8夜卜24=12加，

•1.正四棱台ABCD-A^C^的表面积为

S=S正方形小£4+S正方形$8c£>+4s梯形阚$=（4&）+（8/）+4x12\/14=160+48V14.

■MM■■Mm■.MM・.MM.■MM■MM・■MM■.MM.■MM■MM.

i此类题型通常通过以下步骤证明：;

I①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线（常见方法：三角形中位线、平行四边形1

;的性质、线段成比例利用相似的性质）；;

!②证明已知直线平行于找到（作出的）直线；I

•③由判定定理得出结论；

，从而得证。!

变式训练

1.（2024・四川遂宁•模拟预测）如图，在多面体砂中，四边形力8c。为菱形，AE=2BF,

RFHAE,BFA.AD,且平面，4CKJL平面,448.

E

（1）在。E上确定一点加，使得出///平面48CQ；

（2）若B尸=B4=1,且48C=60。，求多面体"CQE/7的体积.

【答案】（1）点”是的中点

【难度】0.85

【知识点】求组合体的体积、证明线面平行、证明线面垂直、锥体体积的有关计算

【分析】(1)作出辅助线，得到线线平行，进而得到四边形加平行四边形，所以汽N//8G,

从而得到线面平行；

(2)作出辅助线，证明出面面垂直，得到CN是四棱锥C一力引花的高，从而求出匕­=4，

同理得到心曲=£，相加得到答案.

6

【详解】(1)当历是的中点时，满足平面力BC。，理由如下：

取力。中点G,过点G作GM〃力石交。后于点〃，则GM=；/1E,

连接尸M,8G,

又由题，有AE=2BF,BFHAE,所以8///GM,BF=GM,

即四边形平行四边形，所以凡W//8G.

E

又FM<Z平面48CZ),BG^^ABCD,

所以尸A///平面48CQ.

(2)取48中点N,连接CN,BD,

由条件知V48C是边长为1的正三角形，于是CNLAB,且CN=M

2

因为四边形力AC。为菱形，所以4C18。，

因为平面力C£_L平面48c。，交线为4C,

又BDu平面力BCD,所以8Z)J_平面力CE,

因为花u平面4CE,所以

因为8尸所以A£)_L时，

又BF1AD,8。八力。二。,8。,4。匚平面48。。，

所以出」平面力88,

因为CVu平面448,

所以87UCN,

因为48n4平面力8尸E,

所以CNJ■平面”/法，

E

即CN是四棱锥C—ABFE的高.

设梯形町的面积为S,则§="芈出=史衿=：,

222

VC,BFE=-S-CN=-X-X—=—

I，“33224f

同理可知C点到平面力。E的距离也等于无，

2

于是%T"=gs"/）£x¥=gx（；x2xl）x¥=^.

于是多面体ABCDEF的体积K=VC_A!）E+-+乎=誓•

o412

2.（2024•全国•模拟预测）如图，已知四棱锥P-"CD的底面为平行四边形，点反尸分别为PC,力。

（1）证明：EE〃平面P4B；

⑵若平面8跖将四棱锥尸一"。分成体积为匕和匕的两部分（其中匕＞匕），求?的值.

V1

【答案】（1）证明见解析

【难度】0.65

【知识点】求组合体的体积、证明线面平行、锥体体积的有关计算

【分析】（1）证法一，二，分别在平面尸45内构造直线与印平行，利用线面平行的判定定理

证明；

pij7

（2）延长8尸交CO的延长线于G,连接GE交尸Q于点，，取尸。的中点/,连接E/,可得诟=5,

设平行四边形"CO的面积为S,点P到底面相C力的距离为刀，所以五面体的体积

/'叫…%…从而求得儿忆

【详解】（1）证法一，如图，连接B并延长交助的延长线于"，连接月W,

因为少为力。的中点，所以4尸=5。，且4F//BC,

所以厂为的中点.而点石为PC的中点，散EF〃PM,

而印（2平面21法月”匚平面以4,故E尸〃平面尸/也.

证法二，如图，取产8的中点”,连接NA,NE,又七为PC中点，

则VE为APBC的中位线，WNE〃BC旦NE=*BC.

因为四边形力AC。为平行四边形，尸为％。的中点，所以力/〃8C且力尸=；8C.

故NE〃AF且NE=AF,

所以四边形力"EM为平行四边形，故,EF〃AN.

而£7F平面P/18,4Vu平面PAB,

（2）如图，延长跖交CZ）的延长线于G,由DF//BC,"=*。，贝l|QG=Z）C,连接GE交PQ

于点〃，

则平面即平面8分开.取的中点/,连接£7,则E/〃CG,

gJHEIEI1u—PH2

所以丽=丽=灰=5'从而而二针

设平行四边形ABCD的面积为S，点P到底而ABCD的距离为力，

则四棱锥P-"C。的体积V=ySh.

而五面体8cO/T/E的体积为片=%8一乙-的=勺4BCG,0Gds.THg=(Sh.

故匕=夕'二纨匕"心=3〃，

3636

V7

从而/二”

V1,

题型2：立体几何中垂直关系的证明

1.(25・26高三上•广东•阶段练习)如图，在四棱铢P-/8。中，PA上AB,ABHCD,AB1BCt

E为/尸的中点，PA=AB=BC=2,CD=CE=3t点尸在线段C。上.

(2)已知民48,。四点均在球。的球面上.

(i)证明：CEQ三点共线:

(ii)若直线。尸与平面心。所成角的正弦值为噌，求。心

85

【答案】(1)证明见解析

⑵(i)证明见解析；(ii)DF=2.

【难度】0.4

【知识点】空间位置关系的向量证明、多面体与球体内切外接问题、线面角的向量求法、证明

线面垂直

【分析】(1)利用勾股定理求)2,并证明阳，8。，根据线面垂直判定定理证明AC1平面48,

由此可得"■!•班?,结合条件P力，力8,根据线面垂直判定定理证明左1平面/灰?£>,

(2)(i)法一：以力为坐标原点，BC,而，万的正方向分别为X，乂z轴的正方向，建立空

间直角坐标系力-师，设O(x°jo，z。)，根据关系04=08=OC=OE,列方程求点。的坐标，再证

明防=：反，由此可证明结论，法一：不妨记例为&C•的中点，N为力C的中点，证明OdWTV,

再证明点。在过点"且垂直于平面口。的直线/上，由此证明点〃与点。重合，由此可证结论;

(ii)不妨设"2H,0)HC[T2],求直线O歹的方向向量和平面配。的法向量，结合向量夹角公

式求直线。y与平面P8。所成角的正弦值，由条件列方程求人由此可得结论.

【详解】⑴如图，连接8E,因为尸4148,E为初的中点，

所以E/1_L4?,又PA=AB=2,==I,

所以防?=EA1+AB2=\2+22=5,

又BC=2,CE=3,则占6+8C2=c炉，故BE工BC,

又BC1/13,ABC\BE=B,/Au平面44,BEu平面P/1B,

所以AC_L平面R18,P/iu平面P/18,所以R4_LAC,

又PAL48,ABCHC=B,平面/1AC。，ACu平面/4C£>,

所以P/J•平面48CQ,

(2)(i)法一：如图，以力为原点，BC,万，万分别为"J"轴的正方向，建立空间直角坐标

系4-所，

则4(0,0,0),5(0,2,0),C(2,2,0),*0,0,2),£(0,0,1),D(2,-l,0),设。优,%*。),

由。4=08=0。=OE得，%+J，：+Z：=X；+(%-2)2+Z；=(X「2)2+(.%-2)2+Z；=X；+N；+(ZO-1)2,

解得,所以点0的坐标为「则反=(22-1),故的=(1,1,-；卜g反,

又E为反,所的公共点，故。，瓦。三点共线,

法二：不妨记〃为比的中点,N为4c的中点，连接则MV//E4,

由(1)£J_L平面48C,所以MN_L平面48C,

由.48J.8C,可知NB=NA=NC,

易知直线MN上任一点到4尻C三点的距离相等，故OwMN,

同理由"J.4C,知过点.“且垂直于平面E/C的直线/上任一点到4瓦。三点的距离相等，故

Owl,

由=所以点。即为点"，于是GE。三点共线,

(ii)如图，连接O/，不妨设*2M,0)He[-l,2],

一,、___、—1

则P8=(0,2,—2),8。=(2,-3,0),OF=

iiPB=0

设平面P3O的法向量为五=(x,y,z),则，

nBD=0f

2v-2z=0

即取y=2可得x=3,z=2,

2x-3.p=0

所以斤=(3,2,2)为平面P8Q的一个法向量,

I—”西

设直线。尸与平面尸8。所成的角为氏sinO=际"小砌，

、―13+24二27|一二冈

所以6+2'+2LJI+Q-I)、；炳力4万-82+9'

由已知-T~»所以/+8丸-9=0,解得4=1或2=-9(舍去),

旧・“储-8/1+9

故DF=2+1=2.

2.(2025•宁夏吴忠•一模)如图，在四棱锥尸-力叱。中，4_L底面

ABCD,BC=CD=2,AC=4,=NACD=60.

(1)求证：平面尸6C_L平面P"；

(2)若尸为PC的中点，^LAFLPB-

(i)求证：四棱锥夕-"C。的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径;

(ii)求二面角4-力尸-。的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵(i)证明见解析，V7;(ii)也

8

【难度】0.65

【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直、面面向的向量求法

【分析】(1)由余弦定理求得刖=2打，由力82+6。2="2,则8C_!./〃，再由线面垂直的性质，

得到8C_LP力，即有8C_L平面即可得证；

(2)(i)连接网产。，易证PALAC,故由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半可知FB=FD=昨FP=FC=；PC,即可证得四棱锥尸-。。的各个顶点都在一个球的球面

上，且〃为四棱锥尸-"C。的外接球的球心；进而建立空间直角坐标系，设尸力=*iAFIPB,

万丽=0,求得。的值，进而根据C,利用勾股定理即可求解；(ii)求得平面创尸的法

向量与平面.产的法向量，利用空间向量法求得二面角8-月尸-。的余弦值，即可得解.

【详解】(1)由余弦定理，

有4B=JAC2+BC2-lACBCc^ACB=273,

222

因为(2e)2+22=4。BPAB+BC=ACt

所以8C_L/8,

因为21_L底面/BCD,灰?u平面ABCD,

所以8C_LE4,

因为PNc/A=424u平面PAR,44u平面产,

所以8CJ.平面48,

因为BCu平面P8C,

所以平面PBCL平面PAB.

因为BC_L平面PAB,PBu平面PAB,

所以ACJ.P6,

因为歹为尸。的中点，

所以q.PC,同理，WFD=9C,

因为底面/3。。,力。1平面48CQ,

所以21_L/C,

因为尸为尸C的中点，

所以"=gpC,因此，有FB=FD=FA=FP=FC=；PC,

所以尸为四棱锥尸-的外接球的球心.

按如图所示建立空间直角坐标系，连接08,取4?的中点/，连接DW,由"C8g"C£),有

AB=AD,

又/DAB=2/C4B=60,所以△月8。是正三角形,

有DM1AB,易知4（0,0,0）,8（26,0,0）,。（2枢,2,0）。（63,0）,

设P/1=a,贝”（0,0,a）,{61,|）,有"=（"《）而=（2后0,-4,

因为"_L反，所以#.方=0,

有一石，2石+10+=0,得4=2百，

艮|1"=2百，有PC7PArAC?=2/，

故四棱锥。-"C。的外接球的半径为后

(ii)F枢1洞,得次=仅6,0,0),万=(el,£j与=(&3,0),

设平面4"的法向量为应=(""),

由比.荔=0,有,瓜=0,

而•AF=0,[y/5x+y+4^z=0,

则x=0,取z=l,y=-G,得平面8月厂的一个法向量为而=(。,-百」),

设平面DAF的法向量为万=他Jo,Z。),

万.茄=0,瓜0+3%=0，

由有,

亓•"=0,6%+%+瓜。=°，

取为=百，则玉.=_3,z0=2,

得平面切产的一个法向量为万=(-3,6,2),

设二面角8-4尸-。的平面角为。,

I-----------------------------

I

!1线面垂直.判定定理

।------------------

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线与一个

71a,libWa

线线垂直n线面垂平面内的两条_______

二aua,ua;

直直线垂直，那么该直线acb=P\

与此平面垂直

2.线面垂直性质定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线垂直于一个平面，a

线面垂直n线线垂aLaaLb

它就和平面内的_______一*=>

bua

直

条直线垂直

ab

线面垂直n线线平垂直于同一个平面的两条aA.aa//b

­=

bLa

行直线_______.7

3.面面垂直判定定理

文字语言身形语言符号语言

如果一个平面过另一个

线面垂直=>面面垂/_La]a工B

平面的_______,那么这

3/

直

两个平面垂直

4.面面垂直性质定理

文字语言图形语言符号语言

两个平面垂直，如果一个平aI/3

w---------ac。=1

面面垂直=线面垂面内有一直线垂直于这两a>na]。

aua

直个平面的_______，那么这

allj

条直线与另一个平面垂直

在垂直问题中，通常通过构造直角三角形利用勾股定理，利用垂直木身的性质或者利用三垂

线定理得到垂直的直线，从而得证。

变式训练

1.（24・25高二上•上海静安•期中）如图，在正三棱柱/8C-4中，己知相二的=2,D、

E分别是48、4国的中点.

⑴求正三棱柱"C-44G的表面积；

(2)求证：平面CDB,"L平面ABB、Al；

(3)求证：直线为CJ/平面。稣

【答案】⑴12+2打

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【难度】0.85

【知识点】棱柱表面积的有关计算、证明面面垂直、证明线面平行

【分析】(1)根据多面体表面积的求法求解.

(2)证明出线面垂直，从而证明面面垂直；

(3)证明出。〃〃*G，从而证明出线面平行.

【详解】(1)正三棱柱的侧面积为：S=6x2=12,底面积为用=2x^x22=275.

'4

所以正三棱柱的表面积为：S\+S[=\2+26.

(2)如图：

因为V/8C为等边三角形，。为44的中点，故

又三棱杵/8C-44G为直三棱杆，故平面力阴力―平面力8C,

因为COu平面ABC,平面力网4c平面48。=",所以CQ,平面力叫4,

因为COu平面co耳，所以平面CZ）4JL平面/%4.

（3）连接8G，交8c与点尸，连接。儿

因为四边形为正方形，所以尸为"C中点，

又。为44中点，所以。尸"阳，又力Ga平面。。凡。/U平面CD4,

所以4G〃平面8%

2.（2025•广东•一模）如图，在四棱锥夕一48CQ中，尸。_1_平面力8。。，AB//DCtBC=CD=AD=2t

43=4.

⑴证明：PA1BD；

⑵若四棱锥P-"CQ的外接球的表面积为25兀，求二面角。-48-P的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【难度】0.65

【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求二面角

【分析】（1）由线面垂直的性质证明线线平行，先证8D_Z平面力1。即可.

（2）先确定四棱锥P-48CD的外接球的球心，即可得P。的长，过。作加E,小于E,所以NPEO

为二面角的平面角，求解即可.

【详解】（1）取48的中点。1,连接CO-则由题意知△8CQ为正三角形,

所以乙48c=60。，

由等腰梯形知4c0=120、设4D=CD=BC=2,则”=4,4£）=2石，

故.心+BD?=AB\即得408=90”,所以/£>_L孙

因为PQ_L平面/8CO,8Ou平面所以夕O_L8O,

因为“O1PO=Q,ADtPOu平面P4O,所以4。/平面ZMQ,

因为21u平面4Q,所以8。，4.

(2)由于/。=赦=2,

又•.•/。力8=60,，"a。为等边三角形，

.\OiD=OlA=OlB=O1C=2,

即日为四边形在CQ外接圆的圆心，且半径r=O,A=2f

过a作平面/Ac。的垂线/,则尸。/〃，

在平面包>。内作。。的垂直平分线交/与点O,

则OP=OD=OA=OB=OC,即。为四棱锥P-ABCD的外接球的球心,

且半径R==丝，贝1」5=4兀叱=25兀.•./?=■!，

则尸0=3,

过。作于E,4B上PD,DE,PDu平面PDE,DECPD=D,

所以"_L平面PQE,又QEu平面尸QE,

则所以NPEQ为二面角C-48-尸的平面角，

tan/PEQ=竺=2=百，

DE石’

所以二面角C-48-P的平面角的余弦值为上.

题型3：立体几何中的线线角

1.（2025•广西•模拟预测）如图，直四棱柱力灰?。-力避£自的下底面Z8CZ）为菱形，"，N是

上底面44GA内两个不同的动点.

（1）若月4C。-46cA为正方体，历为上底面44GA的中心，求异面直线力”与4片所成角的余

弦值；

（2）若Z/MC恰好是二面角力-MY-C的平面角.证明：在动点M运动过程中，三棱锥力-/WCA

的体积保持不变.

【答案】（l）g；

（2）证明见解析.

【难度】0.4

【知识点】求异面直线所成的角、由二面角大小求线段长度或距离、线面垂直证明线线垂直、

锥体体积的有关计算

【分析】（1）根据异面直线的定义得力"与所成角的平面角为乙34,再根据已知有

cosZM44=^,并设正方体的楼长为2求出相关线段长，即可得；

MA

（2）根据二面角的定义得结合线面垂直的判定和性质及平面的基本性质

得到M在4G上，最后证明4G〃平面4c2,应用等体积法及棱锥体积公式即可证.

【详解】（1）由正方体的结构特征知阳〃阴，则异面直线4W与网所成角的平面角为乙以4,

又例_L平面48cQ,M4'平面48G则例_LM，

所以！比例为直角三角形，则cos//以其二瞿，

MA

若正方体的棱长为2,则力4=2,八的=也，故MA=R,

所以cosZ.MAA=—；

X3

(2)由于N/MC是二面角力-M/V-C的平面角，则4M1MN,CM_LMV,

因为4WcCM=M,4Wu平面4WC,CMu平面4MC,所以MN_L平面4MC,

又因为力Cu平面4WC,则MNJ./C,

因为直四棱柱/BCD-4BCR,所以力4//CG且44=CC1,

所以四边形相。。是平行四边形，则/C//4G，所以MN」4G，

又因为在直四棱柱中*88-48£A,可得441平面44GA，

因为M?Vu平面48£A,则AA,1MN,

又因为四c4G=4,且u平面431Gz)i,所以MN_L平面44CC,

由MN_L平面AMC且MN_L平面力4G。，平面4W?n平面^C,C=ACf

所以平面4WC与平面N4CC重合，点加在平面A4CC内，又点用在平面44GA内,

所以平面44GAA平面44c6=4G，故M在4G上，而力c〃4G，

由4Cu平面4cA，40仁平面4。〃，则40//平面4c4，

所以M到平面NCA的距离恒定不变，又S“s一定，则%的5=嗫_皿恒定，得证.

「・

立体几何中异面直线所成的夹角:

1.平移法：将异面直线明力平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形.

：2.向量法：设异面直线4和所成角为。，其方向向量分别为，V；则异面直线所成角向量求i

I法：①cos<it,v>=）匚②cos0=|cos<u,v>\

；|w||v|

变式训练

1.（2025•广西•模拟预测）如图，直四棱柱的下底面越CZ）为菱形，N是

上底面44G0内两个不同的动点.

(1)若48CD-48CQ为正方体，M为上底面44GR的中心，求异面直线4W与8与所成角的余

弦值；

(2)若N4WC恰好是二面角4-MN-C的平面角.证明：在动点M运动过程中，三棱锥A-MCR

的体积保持不变.

【答案】(1)乎；

(2)证明见解析.

【难度】0.4

【知识点】求异面直线所成的角、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算、由二面角大

小求线段长度或距离

【分析】(1)根据异面直线的定义得40与所成角的平面角为/M44,再根据已知有

COSNM44=43,并设正方体的棱长为2求出相关线段长，即可得；

MA

(2)根据二面角的定义得力结合线面垂直的判定和性质及平面的基本性质

得到M在4G上，最后证明4G“平面/C。，应用等体积法及棱锥体积公式即可证.

【详解】(1)由正方体的结构特征知例〃叫，则异面直线4W与所成角的平面角为乙心4,

又力4_L平面44CQ,M41U平面44GA，则44_LM4],

所以！林军为直角三角形，则cos乙以4=部,

MA

若正方体的楼长为2,则44=2,〃4=/,故朋/!=a,

所以cos/MAA1=当；

(2)由于//MC是二面角力-MV-C的平面角，则4W1MN,CA/_LMV,

因为4WcCM=M,4Wu平面AMC,CMu平面4WC,所以MN_L平面4MC,

又因为4Cu平面4WC,则M”_LnC,

因为直四棱柱4BCD-480.,所以四//Cq且AA.=CC,,

所以四边形44GC是平行四边形，则/c〃4G,所以MN」4G,

又因为在直四棱柱中ABCD-A^CA,可得力41平面A\B£D、,

因为A/Nu平面4与G2，则44J.A/N,

又因为44c4G=4,且力4u平面44G2,所以MN_L平面可第?，

由UV1平面AMC且"V平面AA.C.C,平面4加。。平面A.\CXC=AC,

所以平面力历。与平面重合，点M在平面/MGC内，又点/在平面44GA内,

所以平面44G〃n平面44GC=4G,故M在4G上，而力c〃4G，

由4Cu平面4CQ],4Gs平面AC.,则4CJ/平面力eg,

所以历到平面4CA的距离恒定不变，又Ls一定，则%恒定，得证.

2.（2025・海南•模拟预测）如图，在三棱台48C-4与G中,也，底面力£G，V/8c与△十+G

都是等腰直角三角形，/"4。=90。,/2=2,44=44=4,E、"分别为力4、"C的中点.

⑵求异面直线Eb与8片夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【难度】0.65

【知识点】面面平行证明线面平行、求异面直线所成的角、证明面面平行、证明线面平行

【分析】（1）取GC的中点。，利用线面平行、而面平行的判定推理得证.

（2）取力百的中点G,4G的中点〃，利用几何法求出异面直线的夹角余弦.

【详解】（1）在三棱台中，设C£的中点为。，连接。瓦。尸，由尸为的中点,

得DW//BQ,又QCj平面/C,a平面世。，则。尸“平面世。，

由DE为梯形44G。的中位线，得DE//AC,又/ICu平面他C,DEa平面第C,

则DE〃平面叫。，而DEcDF=D,OEu平面。£/，D”u平面DEF,

因此平面。"7/平面世。，又E”u平面DEF,所以即〃平面月灰.

（2）取44的中点G,4G的中点“，连接4G、EH、HF、GF、4厂,

由48=2,4£=4,月G是44中点，得四边形484G是平行四边形,

则明〃力G,又〃是4G中点，E是中点，则

即4FEH就是异面直线EF与附夹角，

又-44_L底面/4G，V"C与片G都是等腰直角三角形，AB=2,AA\=A\B、=4,

则4G=1)4：+4G?=2j5,4/=gAq=2,2,EH=^AG=-j5,

EF=JA,E2+A,F2=2>/3,//F=y)GF2+GH2=45,因此而，

、11COSZrt/7=----=----

EH5

所以异面直线EF与BE1夹角的余弦值为止.

5

题型4：立体几何中的线面角

■■■■

1.（2025・湖南长沙•三模）如图，在三棱柱ABC-Afi^中，底面VABC是正三角形,

（1）求证:三棱锥A-ABC是正三棱锥；

（2）若三棱柱48C-48c的体积为6百44=2白，求直线4G与平面力4及8所成角的正弦

值.

【答案】（1）证明见解析

亚

20

【难度】0.65

【知识点】正棱锥及其有关计算、线面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直

【分析】（1）过点4作A,O1平面ABC于点O,利用条件证明8C,平面4,40,推得

BCA.AO,同理即可证得点。是V/3C的垂心，则可得证；

（2）由三棱柱的体积，结合,48=2白，求得三棱柱力以7-48G的高4。=2,如图建系，写出相

关点的坐标，求出平面和核产的法向量坐标，利用向量夹角的坐标公式，计算即得.

【详解】（1）过点4作4。，平面ABC于点O,BCu平面ABC,所以A}OYBCt

又AA}±BC,44c4。=4,44，4。u平面A}AO,

/.BC±平面4/。，又/1Ou平面月/O,则4C_L/1O,

同理可证ABLCO.故O是V"C的垂心，

又VABC是正三角形，则0是丫力8。的中心，

因此三棱锥A—BC是正三棱锥.

(2)因为三棱柱"C-48c的体积为66,

因.48=2石,故底面V/5C的面积为且x(2扬2=3。,

4

所以三棱柱48C-44G的高4。=2,

以8c的中点E为坐标原点，以EA,EB为V,歹轴的正方向，过E且与。4平行的直线为z

轴的正方向建立空间直角坐标系，

则N(3,0,0),8(0,6,0),C(0,_&0(4Q,0,2),

设平面48的法向量为n=(x,v,z),

因为AB=(-3,V3,0)JAX=(-2,0,2),JC=(-3,-73,0),

ABn=-3x+=0

如［A^-n=-2x+2z=0取z=l,则万=(1,6,1),

又JC,=JC+Cq=Z^+JC=(-5,-V3,2),

设直线AC.与平面AA、B】B所成角为0,

,,.介_j/-~77^\I63>AO

故sin00cos〈〃,AC^\=——==-=---7=----.

以।|叶MCIV5x4>/220

r

立体几何中的线面角：

定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角.

范围：[（）,y]

常见求法：

1.常规法：过平面外一点8做8*_L平面a,交平面a于点夕；连接力方,则N8/*即为直线48

与平面。的夹角.接下来在必△力助，中解三角形.即sin/历18'=也=石—（其中〃即点5到

AB斜线长

面a的距离，可以采用等体积法求〃，斜线长即为线段”的长度）；

2.向量法：设/为平面。的斜线，£为/的方向向量，；；为平面。的法向量，。为/与。所成角的

变式训练

1.（2025•山东德州•三模）建筑学中常用体形系数S表示建筑物与室外大气接触的外表面积与

其所包围的体积的比值，即S=，，6为建筑物暴露在空气中的外表面积（不包括地面的面积）,

匕为建筑物所包围的体积.某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面力/CG为等接梯形，

ZC=24G=4,8为底面圆周上异于4,C的点，且"=BC.

（1）若4C_L。/,求圆台形建筑的高;

⑵若5=士留，求直线£8与平面Z/8所成角的正弦值.

【答案】（1）1

（2）孝

【难度】0.65

【知识点】圆台的结构特征辨析、线面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直

【分析】（1）根据条件，证明线面垂直，从而得到轴截面的几何性质，根据所给边长，利用

勾股定理求出圆台的高.

（2）利用体形系数s求出圆台的高，建立空间直角坐标系，利用向量方法求线面夹角的正弦

值.

【详解】（1）

如图所示，连接40co40,因为=所以

由圆台的性质可知BO1平面ACC}A],

因为4Cu平面4CG4，所以BO_L4C,

因为4C，G8，G8n80=8,G8u平面40u平面BOQ,

所以4C_L平面BOG,

因为。Gu平面40G，所以4C_L0G，

因为4G〃oc且4G=oc,所以四边形Apcc}为平行四边形，

又所以平行四边形为菱形，

122

则4O=4G=2,J1|JOfl=ylAfl-AXO~=V2-1=V3,即4=

（2）由设圆台。O的高为3则母线长为病不，

2222

^=y（l+2+lx2）=^,^=）txl+7tVA+lx（14-2）=7t+37rV/r+1,

如图所示，以。4。8,。。1所在的直线分别为工，Z轴，建立空同直角坐标系

如图所示，则4(2,0,0)津(020),4(1,0,1)6(7,0,1),

所以石=(-1,0,1),荔=(-2,2,0),56；=(-1-2,1),

设平面4月B的法向量为而=(x.y.z),

则mAA,x+z0,令日，得平面4"的一个法向量为玩=0,1,1).

m-AB=-2x+2y=0

设直线C0与平面448所成的角为巴

则sin0=IcosBCV而卜国®=4号L①,

内『।।阙阿瓜出3

故直线G8与平面A.AB所成角的正弦值为坐.

3

2.(2025•山东•模拟预测)如图，48是。。的直径，P/与。。所在的平面垂直，PA=AB=2f

c是。。上的一动点(不同于48),M为线段04的中点，点N在线段PC上，且如VJ.PC.

(2)当/C="C时，求直线尸。与直线AM所成角的余弦值

（3）当三棱锥P-4WN的体积最大时，求直线PC与平面48所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）器

⑶空

O

【难度】0.4

【知识点】求异面直线所成的角、线面垂直证明线线垂直、求线面角

【分析】（1）应用线面垂直为定定理得出8c，平面尸"，/V1平面P8C进而得出线面垂直；

（2）应用异面直线所成角结合余弦定理计算求解；

（3）先根据线面垂直得出点〃到平面21M的距离，进而结合基本不等式得出正弦值为2=逅.

PC6

【详解】（1）因为21_L平面48C,8Cu平面/8C,所以4J.8C,

又因为〃。_L/C,=，/Cu平面A4C,所以4C_L平面ZV4C,

又因为4V在平面P/1C内，所以4V_LBC

又因为4NJ.PC,尸。口8。=。/。,8。（=平面尸3。，所以上平面尸3C,

又因为8Nu平面尸8C,所以4VJ.4N.

（2）因为4C=8C,所以彳C=x/5,所以尸。=灰

又因为448为等腰直角三角形，M为m的中点，所以4必二夜

取叱的中点为S,连接小则―且MS=等,

所以4Ms为异面直线PC,所成的角或其补角

在直角"CS中，/4C=V2,C5=—,所以力S=巫,

22

在△力MS中，JM=V2,M5=—,J5=—,

22

AM2+MS2-AS2

所以cosZAMS

2AMMS6

直线PC与直线AM所成角的余弦值为手.

6

(3)设NCR8=e,则4C=2cos。，

p

/CPA=a,则4C=2tana=2cos。.

过点N作4c的垂线，垂足为〃，

由于△P/M是确定的，

所以当三棱锥P-4WV的体积最大时，

即为点N到平面/MM的距离最大，

即点〃到平面尸/LW的距离最大.

过点〃向48作垂线，垂足为丁，又因为4_L平面"C,

所以=平面P48,所以“7_L平面PZ8,

所以“r为点〃到平面P4W的距离.

故HT=4Hsm8=/Ncosasin。=2sinacosasin。=2'」“：$而夕:2tan'J]—tan2a,

1+tan'a1+tan'a

2tan2tz+l-tairizY

、4tan2a(l-tan2iz)2，兀1，

2v7

HT=------2<2・、

(l+tan2cr)"（l+tan%j2

当2tan2«=（1-tan%）,即tana=理时等号成立

此时，cos^=y,则点C到平面左8的距离为

h=/Csin6=2cos9sin6=,

3

故直线尸。与平面PM?所成角的正弦值为-L=".

PC6

3.（2025•山西•模拟预测）如图所示，在边长为2的正方体"CD-44G。中，E1分别是棱48,8C

上的点（异于端点），且花二小.

(1)证明：4E与。尸相交且交点在直线84上.

2

(2)当直线44与平面G4E所成角的正弦值为♦时，求力E的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【难度】0.85

【知识点】空间中的线共点问题、已知线面角求其他量

【分析】(1)连接4C,由已知得出四边形4£外为梯形，则4月与C/相交，再根据点线面的

关系即可证明;

(2)以。为原点，DA,。。,。2所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设让=«0<,<2),由线面夹角的向量公式列出方程即可求解.

【详解】⑴连接力C,因为花=产。，所以萩=如，罄=桨，

BABC

所以f~//ic//4G,

因为分别是棱AB,BC上异于端点的点,

所以E/<力£，故四边形4EFG为梯形，故力声与C/相交,

记4EcCF=P,

因为Pe4七u平面488/,尸£C/u平面BCgB、,平面ABB}A}Cl平面BCC}B]=BB],

所以Pc阴，即与C7的交点在直线网上.

(2)因为48CZ)-4与G。是正方体，所以以。为原点，DA,所在的直线分别为x，乂z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，设4E=«0</<2),

则4(2,0,2),G(0,2,2),E(2j,0),以(2,2,2),

所以祠=(-2,2,0),祠=(0%-2),

设in=(x,y,z)为平面C/E的法向量,

-lx+2y=0

由小语=0,而不=0,可得，

tv-2z=0

令x=2,得y=2,z=/,则加=（2,2,f）,

因为福=(0,2,0)