广东省广州市某中学2025-2026学年高一年级上册1月考试数学试题

广东省广州市育才中学2025-2026学年高一上学期1月考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知集合”={川-3<,1<5),N={川4=2&,AeN},则A/=N=()

A.{2,4}B.{0,2,4)C.{-2,0,2,4}D.|0,l,2,3,4)

2.已知函数/(x)=lg*2—4x-5)在(a,xo)上单调递增，则。的取值范围是()

A.(2,-KC)B.[2,+8)C.(5,+a)；D.[5,+8)

3.已知点卜,在塞函数=的图象上，设。=/(晦3),^=/(ln2),c=f(⑸,

则a.h.c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

4.若角Q的终边经过点P(2a,-aXa*0),则sin%-sin(a+7t)cos(兀-a)-2sii?Y=()

cY

A，?B-7D.

5.若不等式(ar—2)(x—〃)，。对任意的xcR恒成立，则。+2》的最小值为()

A.3B.2aC.4D.3夜

6.某种药物作用在农作物上的分解率为叫与时间1(小时)满足函数关系式u=a少(其中

a泊为非零常数)，若经过12小时该药物的分解率为10%,经过24小时该药物的分解率为

20%,那么这种药物完全分解，至少需要经过()(参考数据：馆2»0.3)

A.48小时B.52小时C.64小时D.120小时

7.己知函数)，=/(%)在R上是奇函数，当x>0时，/(x)=2l-2,则不等式

x[/(x)—4/(一”]<。的解集是()

A.(-U)B.(-l,0)U(0,1)

C.(^C,-1)U(1,-KO)D.(-<»,-3)U(-1,1)U(3,-HX>)

8.函数,，=J—的图像与函数,v=2sin乃x(-2<x<4)的图像所有交点的横坐标之和等于

\-x

A.2B.4C.6D.8

二、多选题

9.下列命题为真命题的是（）

A.“々＞1”是的充分不必要条件

B.(l+tiuil8°)(l+Lin27o)=2

C.若a＞。＞0,则ac：＞be1

D.若。＞0,h＞0,且a+4A=l,则'的最小值为9

ab

/X

10.已知函数/（x）=4sin（〃r+。）A＞0,^＞0,|^|＜的部分图像如图所示，下列说法正确

A.“X）的图像关于直线1=意对称

B./（X）的图像关于点（一

对称

C.将函数），=2cos2x的图像向右平移盍个单位长度得到函数〃工）的图像

D.若方程/（"二，〃在卜会0上有两个不相等的实数根，则，〃的取值范围是

II.已知函数/（"=1呼若=a有四个不同的实数解不在知凡，且满

x-ox+13,x22

足为＜工2＜巧＜%，则下列命题正确的是（）

A.0＜avI

B.%+2三的取值范围是

\乙）

（2.工1+5+七+工4的取值范围是（1。,+8）

D.2%+占的取值范围是［2&,3）

试卷第2页，共4页

三、填空题

35

12.在VA8c中，sinA=-,cosB=—,则8sC=.

513

13.已知函数/⑺满足下列三个条件：①对任意xeR,f(x+7r)=〃x)：

②对任意xeR,/(畀入]=/停7)；③的值域为[0,2],

则/("=.(写出满足要求的一个函数即可)

14.定义在R上的函数/")满足/(x+l)=2/(x),当二目0,1)时，f(x)=y,则

/[|]=，不等式3K/(X)K26的解集为.

四、解答题

15.已知函数/(x):JWG+ln(16—x2)的定义域为集合4,集合8={X|〃-2WX«2〃L1}.

(1)若"7=3,求AB；

(2)若A18=3,求机的取值范围.

16.已知函数/(x)=(sin：+cos；-2\/3cos2+>/5-1.

(1)求函数“X)的最小正周期及〃力的单调递减区间；

(2)将/")的图象先向左平移g个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的;，纵坐标不变

0N

得到函数g(x),若g(%)=4，卜年}求Sin%的值.

17.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的

一个月内(按30天计)，每件的销售价格/CD(单位：元)与时间x(单位：天)

(1WXK30,XCN*)的函数关系满足了(幻=10+或(々为常数，且&>()),日销售量以©(单

位：件)与时间X的部分数据如下表所示：设该文化工艺品的日销售收入为M(X)(单位：

元)，且第15天的日销售收入为1057元.

X15202530

g(X)105110105100

⑴求&的值；

(2)给出以下四种函数模型:

①g(x)=ov+/?；②g(x)=a|xr〃|+b；③g(x)=aE；@^(x)=d-logfrx.

请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量g*)与时间x的变

化关系，并求出该函数的解析式：

(3)利用问题(2)中的函数g。)，求”。)的最小值.

2

18.已知函数=二是定义在R上的奇函数.

L+1

(1)求实数。，。的值：

⑵判断并证明函数“X)的单调性；

(3)当工叩,2]时，不等式f(x2-4)+.f(/+2/xb(HmJ^,求实数/的取值范围.

19.对于函数“X),若〃/)=不，则称实数一%为函数“X)的不动点.设函数

/(力=1%(4-〃.2川+2),g(x)=R[.

⑴若4=1,求函数“X)的不动点；

⑵若函数〃力在区间卜口]上存在两个不动点，求实数a的取值范围；

⑶若对任意的.占？[1,0],不等式|/(再)-g(9)归2恒成立，求实数a的取值范围.

试卷第4页，共4页

《广东省广州市育才中学2025-2026学年高一上学期1月考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BDBDCBBDABDACD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】根据交集的定义即可求解.

【详解】因为M={.d—3<xv5},N={Hx=2A,&eN}={0,2,4,6,8,,},

所以McN={0,2,4}.

故选:B.

2.D

【分析】首先求出/（"的定义域，然后求出〃x）=lg（V-4x-5）的单调递增区间即可.

【详解】由“2一4工一5>0得x>5或

所以的定义域为（7>,-l）u（5,f8）

因为）,=f-4x-5在（5,侄）上单调递增

所以/（.r）=lg（x2-4工-5）在（5,+00）上单调递增

所以425

故选：D

【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.

3.B

【分析】根据幕函数图象过点求出。，可得/（”的解析式，再根据/"）的单调性可得答案.

【详解】己知廨函数/（工）=1经过点卜，：）,可得30=］解得□=-2,

即f（X）=—,易知f（X）=”在xy）上单调递减.

由于I=log22〈log23vlog24=2,0<ln2<1<Iog23<2<>/5,

所以可得川n2）>〃log23）>/（右），综上所述，b>a>c.

故选：B.

4.D

答案第1页，共13页

【分析】根据三角函数的定义求出tana,再根据诱导公式化简进而应用同角三角函数的基

本关系将弦化切，最后代入计算可得.

【详解】因为角。的终边经过点?⑵La)5工。)，所以⑶^二三二一工,

2a2

所以sin2a-sin(a+7t)cosi：7t-a)-2sin2a+—

.32sin%-sinacosa-2cos2a

=sin2"a-sinacosa-2cos'a=-------------------；----------

sin-a+cosP

故选：D

5.C

【分析】由不等式怛成立，确定。>(),且帅=2,再由基本不等式即可求解.

【详解】不等式(依―2)(工—3>0可化为ad-(^+2)x+2h>0,

当a=0时，不等式为xWb,不满足对任意的xtR恒成立：

当〃<()时，y=ax2-(ab+2)x+2b,图象开口向下，不满足题意，

所以a>0,且A=("+2)2-4ax劝40,所以(ab-Z-VO,

所以a。=2,且。>0,/?>0：

所以a+2%N2&^=4,当且仅当a=»,即a=2,〃=l时等号成立，

所以a+%的最小值为4.

故选：C

6.B

【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入u=l计算即可.

【详解】由题意可得叱=?,解得“20,所以v」.2旬

ab~4=0.2120

b=2i2

这种药物完全分解，即当u=1时，有1=-!-.2旬即2'=20”，

20

解得f=log,2012=121og,20=12x-!^=12x1^^»12x1^^=52.

肝向62s-lg2lg20.3

故选：B.

答案第2页，共13页

7.B

【分析】不等式等价于^(“<0,结合函数图像得解集.

【详解】函数)，=/(同在R上是奇函数，当x>0时，/(x)=2v-2,

根据题意,作出y=/(力的图象,如图所示.

由4[/(^-”(-“日〈。得过〃))I4/(%)]<0,g|J.x/(x)<0,

[x>0,[x<0,

则伍x)<0或仇力0,

观察图象得0<x<l或T<xv(),

即不等式工[)(力-"(-»]<0的解集是(T,O)D(O,1).

故选：B.

8.D

【分析】试题分析：由于函数丁二丁匚与函数)，=2sinxM-2WxW4)均关于点(1,0)成中心

1-X

对称，结合图形以点(1,0)为中心两函数共有8个交点，则有=2x1=2,同理有

x2+Xy=2,xs+x6=2,x4+x5=2,所以所有交点的横坐标之和为8.故正确答案为D.

答案第3页，共13页

【详解】

9.ABD

【分析】选项A：根据充分条件、必要条件的定义，结合分式不等式的求解方法判断即可;

选项B：根据两角和的正力公式计算即可；

选项C：根据不等式的基本性质判断即可；

选项D：根据基本不等式及力的代换”求解即可.

【详解】对于选项A：充分性：若则4<1,成立：

a

必要性：若L<1,贝lja>l或"0,故不能推出

aa

因此"a>1''是"L<1”的充分不必要条件，故A为真命题；

a

对于选项B：因为tan450=【an(180+27°)=匕M8°+皿27°=1

、7l-tanl8°tan27°

所以lanl8。+Lin270=l-tanl80tan27o,tanl80+tan270+tanl80tan270=1.

(l+tanl8°)(l+tan27°)=14-tanl8o+tan27o+t<inI80Um27o=1+1=2,故B为真命题；

对于选项C：当c=0时，叱2=反2,该命题不成立，故c为假命题：

对于选项D：因为。>0,/?>(),

所以+劭)=1+生+@+425+2、^^=5+2x2=9,

abb)abNab

当且仅当竺=?,即。=!功=，时，等号成立，故D为真命题.

ab36

故选：ABD.

10.ACD

/\

【分析】首先根据题意得到""=2sin2x+?,

对选项A,根据/［卷〕=-2即可判断A正确，对选项B,根据6了0,即可判

断B错误，对选项C,将)=28s2x向右平移三，得至lj)，=2sinbx+孚，即可判断C正确，

12I3)

对选项D,根据/(力的图象即可判断D正确.

【详解】由图可知：A=2J(x)的最小正周期7^'总一看卜兀,/=臣=2,

/\

当X=£时，?+°=与+2加(丘2),|同<9，所以8J(x)=2sin2K+1；

12o22J\5)

答案第4页，共13页

对于A,f==2sin[?+[]=-2,正确；

对于B,/(司=24-1+升-员0,错误;

对于C,将)，=2cos2x向右平移意，得到

对于D,/(x)的大致图像如下：

欲使得在[-今。]内方程"x)=〃?有2个不相等的实数根,

贝IJ—2<〃?《一石，正确；

故选：ACD.

II.ABD

【分析】A选项：将方程/(力二。的解转化为函数)与)，=/("图象交点的横坐标，然

后结合图象即可得到〃的范围；BCD选项：由题意可得-log2，W=log2X2,整理得不・马=1，

利用二次函数的对称性得到&+玉=8,然后利用对勾函数的单调性求范围即可.

【详解】作函数/(“”詈4'。；1：2；的图象如下,

J~-8X+13,A>2

f(x)=a有四个解,即y=a与)，=/(x)的图象有4个交点,

X,<x,<玉<吃，

答案第5页，共13页

可得可知选项A正确;

由图象可得。〈Tog2'=1咤2々<1，则即％飞=1，

*

且1<毛<2,-<%<1,

2?（\\

令》，=玉+2七=%+一,根据“对勾”函数单调性可得），=%+一在彳/上单调递减,

故,，£卜,：），可知选项B正确；

1

*/-<X<1,

2

令），=%+工2=%+：,根据“对勾”函数单调性可得ye（2,5

又.,/+七=8,/.百+9+占+七=玉+4+86卜0,日），可知选项C错误;

内

令y=2x,+x2=2x,+1,根据“对勾”函数单调性可得"2$+：在g,日上单调递减,

在（白，1）上单调递增,

故），"2反3）,可知选项D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是画出函数的图象，二是对数的运算，三是数形结合

思想的运用.

12.—

65

【分析】利用cosC=-cos（A+B）,并根据两角和的余弦公式展开即可.

【详解】3€（0,"），MsinB>0,由cos8=N得，=Y=—,注意到叁

13V13135

3

即sin4>sinA,于是在VA3c中，B>A,则A不可能为钝角，由sinA=1,可得

cosA=Jl=—.KlJcosC=-cos（A+Z?）=sin4sinfi-cos4cosfi=-?—-?——.

\[5j551351365

故答案为：粤.

65

13.cos2x+1（答案不唯一）

【分析】首先确定三个条件的意义，再确定函数的解析式.

【详解】条件①说明函数/（》）的周期为兀，条件②说明函数“X）关于对称，

答案第6页，共13页

根据三角函数性质可知，满足条件的函数为cos2x+l

故答案为：cos2x+l(答案不唯一)

lr131

14.4V3乙乙

【分析】利用题中解析式可得出/图=2/(|)=4吗｝可求出/(|)的值；然后对x所

在区间进行分类讨论，结合指数函数单调性可.解不等式426，即可得出原不等

式的解集.

【详解】因为定义在R上的函数/(x)满足f(x+l)=2f(x),当时，fa)=3，,

则呜上2f图=4吗)=4x3工4石;

当xe[O，l)时，由/(戈)=3，41,3),此时，*《/(同42右恒成立；

当xe[l,2)时，则x则〃x)=2/(x1)=23)«2,6),

由/(力=2.31％g,26,可得近

2」4

又因为xe[l,2),则K-14:，解得XW],此时，1；

L7222

当〃N2且〃eN’时，且当xe[〃+"+2)时，则

则/a)=2/(x-l)=2"(x-2)=-=2"(x-〃)=2”-3iw[2”,3・2"),

此时，不等式等426无解；

当xw[TO)时，x+le[0.1),则/(x)=?“+l)=g-3川e芯|),

由/(”=犷％与2s可得643nzs

由于xe[—l,O),可得x+lN：,解得此时，—<x<0；

当〃?、2且〃?eN"时，且当xw|-〃7,l-〃7),则X+〃7«0,l),

则/(x)="(x+l)=(g)/(x+2)==^f(x+m)e£,假)，

此时，不等式等W/(x)42G无解.

答案第7页，共13页

综上所述，不等式正4/(”426的解集为一托.

2・»

12

故答案为：4\/3：~2,2.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对x所在区间进行讨论，求出函数解析式，结合指

数函数单调性求解.

15.(1){A|-2^X<5};

(2)(-砧-1)D0,|^.

【分析】(I)求出集合A与集合3,由并集的定义即可得解.

(2)若=则BqA,再分笈=0与笈工0两种情况讨论即可.

【详解】(1)由题可知得则-2W4,则A={x|-2"<4},

16-x>0-4<x<4

若，〃一3,WIJB={X|1<A<5),

则Au4={x|-2KxW5}.

(2)由(1)可知，A={x|-2<x<4},A(\B=B,则

若4=0,则〃?—2>2〃z—1,解得加<一1;

in-2<2m-1m>-\

若则仲-2之一2,得1心0则0<tn<—.

2

2m-1<45

m<—

综上所述，机e(e，—l)u0,|.

16.(1)最小正周期为4九，单调递减区间是1"+4版■，孚+4z/«wZ：(2)匕叵.

L33」8

【解析】(1)利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差正弦公式化简/(X),再

求最小正周期及“X)的单调递减区间:

(2)求出“X)的图象变爽后的解析式，再求出玉-?的正余弦值利用凑角可得答案.

2

【详解】，f(x)=卜in(+cos：-25/3cos—+75-1=l+2sin—cos--\/3|1+COS—

4441

x冗

=sin--\/3cos-=2il£_^i

1sincos=2sin-

22222223；

答案第8页，共13页

(1)/(X)的最小正周期为7=4%,

।冗—IX7T3九*«..1l^z*<,

由—F2k7V«------W----h2ATT,AeZ,解得---4kjrWxW-----F-4k/r,keZ,

223233

所以函数/（X）的单调递减区间是干+45牛+4A»,keZ.

'TC、

X+—/

（2）将/（x）的图象先向左平移£个单位长度，得到函数y=2sin=2sin彳-f

624I24

再将其横坐标缩小为原来的女，

纵坐标不变得到函数g(工)=2sinx~~

则sin/=sin(%)一?)+£=sin(x()-?)cos.+cos(为一()sin(

叵近显叵1-后

=—x---------x—=------.

82828

【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简

“X)的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能

力，属于基础题.

17.(1)^=1；

⑵选择模型②，gM=一|x—201+110(1Vx430,xeN')；

(3)961.

【分析】(1)根据M(15)=,"15)-g(15)=1057列出方程，即可得解；

(2)根据表中数据可知时间工变换时，g(x)先增后减，即可判断：

(3)结合基本不等式与函数单调性，分1WXM20与21KXK30计算各自范围内M(x)的最小

值，再比大小即可.

【详解】⑴由题可知，A/(15)=/(15)•^(15)=(10+-^)105=1057,

IJ

整理得1050+74=1057,解得4=1；

(2)由表格中的数据知，当时间x变换时，冢幻先增后减，

答案第9页，共13页

而函数模型：①g*)=ar+力；③g(x)=a・//；④#(x)=a/og/,x,均为单调函数,

故选择模型②：g(x)=。I工-MI+b.

由g(15)=g(25),可得。|15-〃?|+力=。|25-〃?|+Z?,可得|15-〃?|=25|,

解得m=20,则g(x)=a|x-20|+b.

幅(15)=5〃+力=105,,①=-1

由C八、/MA，解得A一八，

g(20)=/?=I10[n=11()

则g(x)=—|x—201+110.

90+x,l<x<20

(3)j?(x)=-|x-20|+l10=<XGN\

130-X,21<A<30

190

(10+-)(90+x)=10x+—+901,1<A<20

M")=/(x)・g(x)=\X,xeN*.

(10+-)(I30-x)=--10x+1299,21<x<30

.xx

当1WXW20时，M(x)=10x+—+90i,l<x<20,

x

onIan99

10x+—+901>2J10.V—+901=961,当且仅当IOx=—即x=3时，等号成立,

XxX工

即当l<x«20时，M(x)的最小值为961；

130

当21WxW30时，M(x)=——10x+l299,20<x<30,

x

易知y=宁130与y=-10x+1299在xe[21,30]上单调递减,

故M(x)=U13Y0—]0x+1299在xe[21,30]上单调递减，

x

故214x430时，M。)的最小值为坐.

综上，因为961〈誓，故M(x)的最小值为961元

18.(1)^=1,Z?=0

⑵函数f(.i)在R上为单调递增函数；证明见解析

(3)(-<»,^]u[l,+oo)

【分析】(1)由定义在R上的奇函数/(X),可得/(0)=。和=解得“与从

检验可得所求值；

(2)由指数函数的单调性可判断的单调性；

答案第10页，共13页

(3)由/")的奇偶性和单调性，可得当xw［l,2］时，x2-4>-r-2tx,x2+2tx+r-4>0

恒成立，可得所求范围.

【详解】(1)因为函数=a-寻［是定义在R上的奇函数，

所以"0)=0,即。一牙二口=。①：

又因为1)=—/⑴,所以〃一言讦二一(〃一岳r｝即"出TUTT②'

211

联立①②可得：下、=产、+号7,解得人=0,代入①可得：a=l，

经检验，当。=1,〃=()肘，

f（-x）=l一——=1--=r+1~22,=-^1=^--1=一”"，满足题意.

八72-x+\2r+l2V+12'+12A+I八，

7

(2)由(1)可得：/(司=1一温，下面证明函数”x)在R上为单调递增函数.

V%,x2eR,当时,

2（2%+1）-2（2出+1）2（2/-20）

J岛)_(］一岛卜岛-岛（2^+l）（2v'+l）-（2<2+1）（2"'+1）

因为$<占，且丁=2'为R上的增函数，所以0<2“<2-3,

贝ij2”-2。(0,2“十1)0.2〃+1>0,

所以〃刀)一〃毛)<0,即/&)<〃■，

所以函数/(“在R上为改调递增函数；

(3)因为当汇41,2］时，不等式/(f—4)+/(/2+2a"0恒成立，

所以当x41,2］时，不等式『一4"—川产+2枕)=/(-Z2-2a)恒成立,

由函数〃工)在R上为单调递增函数得：当工«1,2］时，/一42--一2戊，即/+2戊+/一420

恒成立，

令g(x)=f+2/x+/-4=(X+Z)2-4,X