高中数学公式及知识点大全（一）集合与简易逻辑、不等式、函数、三角函数、统计、平面向量-2025年高三数学一轮复习高中数学公式和知识点大全（北师大版2019）

第3页（共10页）高中数学公式及知识点速记（一）一、集合与常用的逻辑用语1、集合（1）集合与元素①集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．②元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．③常见数集的记法：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号NN＋或N*ZQRR＋（2）集合间的基本关系①子集：集合A中的任意元素都是集合B中的元素，记作A②真子集：集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x③集合相等：集合A，B中元素相同，记作A=B④注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即∅⊆A任何集合都是自身的子集，即A⊆A；∅是指不含任何元素的集合，∅是指以∅为元素的集合，即∅≠∅（3）集合的基本运算①并集：A∪B=②交集：A∩B=③补集：C（4）集合的有关性质①集合的传递性A⊆②集合的子集个数：若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1③等价关系：A⊆B⇔A∩BA⊆B⇔A=∅2、常用逻辑用语（1）充分条件与必要条件：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A①若A⊆B，则p是②若B⊆A，则p是③若A⫋B，则p是④若B⫋A，则p是⑤若A＝B，则p是（2）全称量词命题，存在量词命题，命题的否定及其真假性①全称量词命题“∀x∈M，x具有性质p(x)”的否定，是存在量词命题“∃x∈M，x不具有性质②存在量词命题“∃x∈M，x具有性质p(x)”的否定，是全称量词命题“∀x∈M，x不具有性质③全称量词命题与存在量词命题真假性相反二、不等式1、不等式的性质（1）如果a＞b，且b（2）如果a＞b（3）①如果a＞b②如果a＞b（4）如果a＞b，（5）①如果a＞b＞②如果a>b>0，c<d<0（6）当a＞b＞0当a＞b＞02、基本不等式x2+y22≥≥使用条件：一正（都是正数）、二定（是定值或者是定值）、三相等（时等号成立）①若积是定值，则当时和有最小值②若和是定值，则当时积有最大值3、用不等式解决恒成立、有解问题①若对∀x∈a,b，m≥x恒成立，则m≥b⑤若∃x②若对∀x∈a,b，m≥x恒成立，则m≥b⑥若③若对∀x∈a,b，m>x恒成立，则m>b⑦若∃x∈a,b，使m>x④若对∀x∈a,b，m>x恒成立，则m≥b⑧若∃x∈三、函数1、函数的定义（1）定义域：指使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数的定义域如下：①分式函数中分母不等于0②偶次根式函数的被开方式大于或等于0③y=x0④对数函数的真数大于0，指、对数函数的底数大于0且不等于1⑤一次函数、二次函数的定义域均为R（2）函数的对应法则：函数的对应法则（也称函数的解析式）是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式（3）函数的值域：指函数值构成的集合，常见基本初等函数的值域如下：①反比例函数（k为常数且k≠0）的值域为-∞②一次函数y＝kx+b(k为常数且k≠0)③二次函数y＝ax2+bx+c（a，b当a>0时，二次函数的值域为，当a<0时，二次函数的值域为④指数函数y=ax⑤对数函数y=lnx的值域为R（4）函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件①对于任意的，都②存在，使得①对于任意的，都②存在，使得结论为最大值为最小值注意：①函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值2、函数的性质（1）函数的单调性①定义法：对∀x1上是增函数上是减函数②求导法：设函数在区间a,b内可导若f’x≥0，则f若f’x≤0，则f③常用结论❶若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数❷若，则与的单调性相同；若，则与单调性相反❸一些重要函数的单调性和图象：对勾函数刀锋函数超越函数（2）函数的奇偶性①对于定义域（定义域需关于原点对称）内任意的，都有，则是偶函数其图象关于y轴对称②对于定义域（定义域需关于原点对称）内任意的，都有，则是奇函数其图象关于原点对称，若奇函数在0处有定义，则f（3）函数的周期性①定义：若对于定义域内任意的x都有fx+T=fx，则②拓展：若对于定义域内任意的x都有fx+a=fx+b，则若对于定义域内任意的x都有fx+a=-fx+b，则（4）函数的对称性①若对于定义域内任意的x都有fx+a=fx-b，则函数②若对于定义域内任意的x都有fx+a=-fx-b，则函数3、指数函数（1）分数指数幂（，且）（，且）（2）根式的性质当为奇数时，当为偶数时，（3）有理指数幂的运算性质4、对数函数指数式与对数式的互化式:对数的换底公式:(,且,,且,)推论：log对数恒等式：(,且,)推论：(,且,)5、常见的函数图象四、三角函数、三角变换1、弧度制与角度制的转化1°=1rad=2、三角函数的定义若角α的终边上存在一点Px,y，则3、象限角与轴线角终边在第一象限的角2kπ,π2+2kπ终边在第三象限角π+2kπ,3π2+2kπ终边在x轴上的角x=kπ终边在y轴上的角x=4、同角三角函数的基本关系式，=5、正弦、余弦的诱导公式（1）sin（2）sin（3）sin（4）sin（5）sin（6）sin口诀：对于sinα±kπ6、和角与差角公式7、二倍角公式sin2α=2sinαcosα变形（半角公式）：cos2α2=8、和差化积、积化和差公式口诀：口口之和仍口口，口口只差负赛赛，赛赛之和是赛口，赛赛只差变口赛和差化积积化和差cosθ+cosφ=2cosθ+φ2cosθ-cosφ=-2sinθ+φ2sinθ+sinφ=2sinθ+φ2sinθ-sinφ=2cosθ+φ29、辅助角公式y=asinx+bcosx=a2+y=asinx+bcosx=a210、图象变换：将函数y=sinx的图象变成函数的图象（1）先移动后伸缩①将函数y=sinx图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象②将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象③将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象（2）先伸缩后移动①函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象②将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象③将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象11.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质函数函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴五、统计1、样本均值与方差均值：一个容量为n的样本，它们的变量值分别为x1，方差：一个容量为n的样本，它们的变量值分别为x1，x则方差s2=2、百分位数计算一组n个数据的第p百分位数的步骤①按从小到大排列原始数据.②计算i=n×p%若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数3、频率分布表、频率分布直方图及其相关的计算由频率分布表或频率分布直方图进行有关计算时，要掌握下列结论①小长方形的面积=组距×频率②各小长方形的面积之和等于1③频数样本量④频率分布直方图中p百分位数的计算方法如图，若h+nb-a<0.5h+n+mb-a>0.5，则4、一元性回归（1）散点图：两组容量为n的样本，它们的变量值分别为x1，x2，……标系中描出得到的图称为散点图（2）线性拟合：在散点图中，如果所有点xi所有点都在拟合曲线上，故用Q=i=1ny①所有点xi,yi距直线越近（竖直距离的平方和越小），误差方程为两组变量的线性回归方程②所有点xi,yi距直线越远（竖直距离的平方和越大），误差（3）样本相关系数对于两组样本变量xi,yi，样本相关系数r越大，两组样本变量的相关性越强r越小，两组样本变量的相关性越弱r=0r=1本只是总体的一部分，保证不了没被抽取到的样本对应的点也在回归方程的图象上）（4）线性回归方程两组容量为n的样本，它们的变量值分别为x1，x2，……b=5.独立性检验（1）独立性检验假设两个分类变量A和B，它们的可能取值分别为A1，A2=A1AB合计BBAaba+bAcdc+d合计a+cb+da+b+c+d用χ2（2）在χ2①用下列结果对变量的独立性检验进行判断当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A,B有关联，即当χ2>2.706时，有90％的把握判断变量当χ2>3.841时，有95％的把握判断变量当χ2>6.635时，有99％的把握判断变量②χ25个常用的小概率值和相应的临界值如下表所示α0.10.050.010.0050.001χ2.7063.8416.6357.87910.828❶根据小概率值α=0.1的独立性检验（在犯错误的概率不超过0.1的前提下）当χ2<2.706时，不能认为变量A,B有关联；当χ2≥❷根据小概率值α=0.05的独立性检验（在犯错误的概率不超过0.05的前提下）当χ2<3.841时，不能认为变量A,B有关联；当χ2≥……（2）复数加法的运算定律、结合律对任何z1,z2六、平面向量1、与的数量积(或内积):2、平面向量的坐标运算(1)设A，B,则(2)设=,=，则=(3)设=，则3、两向量的夹角公式若=,=，且，则(=,=)4、向量的平行