2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题

高三数学试卷第页（共6页）2023~2024学年度苏锡常镇高三教学情况调研（二）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合N}，，则A.B.C. D.2.已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为A. B. C. D.3.已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知随机变量，且，则的最小值为A．9 B． C．4 D．65.羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为A. B.C. D.6.已知非零向量a，b，若a∥b，则A． B．C． D．7.已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为A.B．C．D.8.正三棱锥和正三棱锥共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，则当最大时，A．B．C．D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有A．若，，,则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则10.已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有A．若2为的周期，则为奇函数B．若为奇函数，则2为的周期C．若4为的周期，则为偶函数D．若为偶函数，则4为的周期11．在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点（含端点），且，设，，则A.，B.为定值C.的最小值50D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆O：，过点的直线交圆于，两点，且，则满足上述条件的一条直线的方程为．13.设钝角△三个内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则．14.如果函数在区间上为增函数，则记为，函数在区间上为减函数，则记为.如果，则实数m的最小值为________；如果函数，且，，则实数________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）（第15题图）如图，直三棱柱的体积为1，，，．（第15题图）（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.16．（15分）某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：借阅次数01234567合计男生人数2535512225女生人数4455321125合计人数69810833350若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．（1）请完成以下列联表；问：能否有90%的把握认为爱好阅读与性别有关？性别阅读合计一般爱好男生女生合计附：，．0.10.050.01k2.7063.8416.635（2）班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数X的概率分布和数学期望．17.（15分）已知函数(R).（1）当时，证明：；（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.18．（17分）已知F为抛物线()的焦点，点A在C上，.点P，M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.（1）求C的方程；（2）存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；（3）对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，存在最小值，试求出这个最小值.19.（17分）如图所示数阵，第（）行共有个数，第行的第1个数为，第2个数为，第（）个数为.规定：.（1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论；（2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；（3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前项和为.是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.

2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学（参考答案）2024.5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CBABCDAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号91011答案BCDABDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．或 13． 14．4，1四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）【法一】（1）证明：在直棱柱中，面，则面面，……2分面面，面ABC，，所以面.……4分因为，所以面.则在面的射影为，在正方形中，有所以由三垂线定理得：……6分（2）解：直三棱柱的体积为，则.……7分由（1）平面，平面，则，在正方形中，，且平面，，所以平面. ……8分设，在△中，过作于，连接.因为OH为BH在面的射影，由三垂线定理得：所以为二面角的平面角.……10分因为Rt△∽Rt△，，得，又在Rt△中，，得，……12分所以二面角的余弦值为……13分【法二】直三棱柱的体积为：，则.……1分（1）证明：直棱柱，平面，又，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，为轴，建立空间直角坐标系.…2分，，，，.，，……4分，所以……6分（2），，，，.，，设平面的法向量，则取，得.……8分，，设面的法向量，则取，得.……10分设二面角的大小为，则：.……12分因为为锐角，所以二面角余弦值为.……13分16.（15分）性别阅读合计一般爱好男生101525女生131225合计232750（1）解：…………2分提出假设：是否喜爱阅读与性别没有关系． ……3分根据列联表的数据，可以求得：， ……5分所以没有90%的把握认为喜爱阅读与性别有关.……7分（2）随机变服从超几何分布，可能取0，1，2.……8分，，.……11分则的分布列为：012所以.……14分答：抽取男生人数的数学期望为1．……15分17.（15分）解：（1）因为函数的定义域为，当时，.要证，只需证：当时，.……1分令，则，则在单调递增，……3分所以，即.……5分（2），……6分令，则.所以在单调递增，，……8分=1\*GB3①当时，，.则在为增函数，在上无极值点，矛盾.……11分=2\*GB3②当时，.由（1）知，，，则，则使.……14分当时，，，则在上单调递减；当时，，，则在上单调递增.因此，在区间上恰有一个极值点，所以的取值范围为.……15分18.（17分）（1）解：F(0，)，设A()，则， ……1分所以得：，解得或（舍），所以抛物线C的方程为①.……4分（2）设直线MN：②，M()，N()，联立①②，得.所以③，④.，，则，……5分.……6分因为，即：，即：，则或，能满足③式.……8分则MN：，或MN：，所以定点Q的坐标为或， ……10分（3）如MN过点，当时，，但此时M，N重合，则无最小值，所以MN只能过点，此时有最小值.……11分由（2），在④中，令得：，=.……13分令，则，. ……15分当时,，在上为减函数，当时,，在上为增函数，……16分所以当时，有最小值，有最小值..……17分19.（17分）（1）解：第1行最后两数，第2行的最后两数.……1分第（）行的第个数为，第个数为，猜测：.……2分【法一】即证：， ……3分因为， ……5分只要证明，该式显然成立，所以，所以每行最后两个数相等. ……6分【法二】因为；……4分又因为.即：.所以每一行的最后两个数相等.……6分（2）第1行所有数之和为，第2行的最后一个数为，此时结论成立.……7分因为，第（）行的个数之和为：.