广东佛山一中2025-2026学年下学期高二数学第一次质检（含答案）

佛山一中2025学年下学期第一次教学质量检测高二数学满分150分，考试时间120分钟。考试范围主选择性必修二考试时间:2026年4月2日一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列an中,S1=A.1B.2C.3D.42.函数y=x+A.−∞,−2B.−2,43.在一个有穷数列中，每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作称为该数列的一次“H扩展”.已知数列1,2,第一次“H扩展”后得到1,3,2,第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2，那么第五次“H扩展”后得到的数列的项数为()A.17B.33C.32D.654.下列不等式中,在0,+∞上恒成立的是A.2x>x2B.sinx>5.设a=e2,b=2A.a<b<cB.b6.已知函数y=x3−3x2+mA.0或4B.3或4C.0或2D.2或37.设f′x是函数fx的导函数,将y=fxA.B.C.D.8.已知fx=lnx,gx=ex,若fs=A.1e,12B.1二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系如图所示,记t时刻的瞬时速度为Vt,区间0,t1,0,A.对于V1,存在t0∈0B.整个过程小明行走的速度一直在加快C.VD.V10.已知定义在R上的函数fx>0,函数fx的导函数为f′xA.当a=1时,ef2>f1.B.当C.当a=2时,2+lnf2<lnf1D.当a<011.对于在定义域处处可导的函数y=fx,如果它的导函数y=f′x也是处处可导,那么将y=f′x的导函数记为y=f′′x.如果y=f′x有零点,则称其为y=fx的“驻点”;如果y=f′′x有零点x =x0,且A.fx在“驻点”B.gx一定有“拐点”，不一定有C.若y=fx−tD.总存在实数m,nm<n,使得gx对于任意不相等的两实数三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等比数列an的前n项和为Sn,且S3=313.过0,0作函数f14.若函数fx=mx2−2xex四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记Sn为数列an的前n项和,已知(1)求an(2)设cn=n+1an,求数列cn16.(本小题15分)已知函数f(1)求fx在1,(2)求fx在区间−117.(本小题15分)已知等差数列an的前n项和为Snn∈N∗,数列(1)求数列an和bn(2)若cn=−2an+12,n为奇数,bn2,n为偶数,(3)求Tn18.(本小题17分)已知函数fx(1)当m=−1时,证明(2)当x>1时，求函数f(3)若对于任意x∈e,e2，都有fx<19.(本小题17分)已知函数fx(1)当m=12时,判断(2)当1<m<3时,判断函数y=f佛山一中2025学年下学期第一次教学质量检测高二数学答案及说明题号12345678答案ACBDAADD题号91011答案ACDABDBC12.3913.y=e24x1.A设等差数列的首项为a1,公差为d,因为S所以a1=32a1+d2.C函数的定义域是0,+∞y令y′x<0故函数在0,4递减,故选:3.B设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an则第n+1次“H扩展”后得到的数列的项数为即an∴a又∵a∴an−1是以∴a∴a∴a5=254.D当x=3时,2x<x2令gx则g′x=1−cosx≥0,则故gx>g0=0,则x令fx=ex−当0<x<ln3时,当x>ln3时,f故fln3=3−3ln3<0,则存在x令hx则h′当0<x<1时,当x>1时,h故hx≥h1=0,则ln5.A构造函数fx则f′当x>1e时,则fx在1e又1e即e2<2ln26.Ay′所以当y′=0时,x=0或2.x−∞,0(0,2)2(2,+oo)y+0-0+y↗m↘m↗因此,当函数图象与x轴恰有两个公共点时,必有m=0或所以m=0或m=4.7.D对于选项A,有可能曲线对应的函数为原函数,直线对应的函数为导函数,原函数先减后增,导函数先负后正,符合要求,故A正确;对于选项B,有可能在x轴上方的曲线对应的函数为导函数,另一支曲线对应的函数为原函数,原函数始终单调递增,导函数始终为正,符合要求,故B正确;对于选项C,有可能在x轴上方的曲线对应的函数为导函数,另一支曲线对应的函数为原函数,原函数始终单调递增,导函数始终为正,符合要求,故C正确;对于选项D,无论谁作为导函数,谁作为原函数,都无法相对应,故D错误.故选D.8.D令fs即et所以t=ln所以s−令ha则h′因为y=ea递增,所以存在唯一a=a0使得当0<a<a0当a>a0时,所以ha即s−t取得最小值时,由零点的存在定理验证ea0当a0=12当a0=ln2时，故a0∈12,ln9.ACD对于A,由图根据导数的几何意义可得对于V1,存在t0∈0,t1,使得对于B,由图结合导数的几何意义可知,小明行走的速度开始在OA段逐步加快,在AB段又逐步减慢,故B错误.对于C,由图可知,t=t处的切线斜率大于V1,故对于D,设t1−0=Δt∴V∵2Δt1>Δt1+Δt2>10.ABDA.令gg故gx单调递增,g2>g1,B.令gg故gx单调递增,g2>g1,C.令gg故gx单调递增,故C不符合题意.D.gxffe当a<0时,−agx故fx在R上单调递增,故D11.BC对于A,由fx=13x由f′x=x2−x−2=0,得x=2或x=−1,所以当x<−1或x>2时,f′x>0所以fx在−∞,−1和2,+∞上单调递增,在所以fx在“驻点”处没有取得最值,所以A对于B,由gx=ax3令g′x=3ax2+2bx+由g′′x=6ax+2b=0a≠0,得x=−对于C,由y=fx−t=0,得fx=t,由选项A可知fx在−∞,−1所以fx的极大值为f−1=−1所以fx由图可知当−73<t<136时,y=所以y=fx−t有3个零点,则−7对于D,若gx=x3,则gx所以不存在实数m,nm<n,使得gx对于任意不相等的两实数x1,x2故选:BC12.39由等比数列an满足S可得等比数列的公比q≠−根据等比数列的性质,可得S3,即S6得12−解得S9故答案为:39.13.y=e∵f∴f设切点为x切线方程为y−ex0x0解得x∴所求切线方程为:y=故答案为:y=14.8fx=mx函数fx在区间1,3上存在单调递增区间,只需f′x>即mx2+2mx−2x方法一:等价于m>2x+1x2+令t=x+1令gt=t−1t,则gt在即2x+1x2+2xmin=815故答案为815方法二:可先讨论mx2+2mx−2x令gx当m≤0时,在1,3上当m>0时,只需g1≤0,g3≤0,即可解得m≤43且m≤815,故0<m≤815.(本小题13分)【答案】(1)当n=1时,3S1=4当n≥2时,3Sn①-②得3an=4an−4所以数列an是首项a1=4,公比为故数列an的通项公式为an(2)由题设cn=则Tn=所以4Tn③-④得−3T=8+=8−=−n+所以Tn=16.(本小题15分)【答案】(1)由fx得f′x分当x=1时，f′1=−e故切线方程为y=−ex直线与坐标轴交点分别为0,2S故切线与坐标轴围成的三角形面积2e-6(2)由(1)得fx∈−1,3,当x=0x∈−1,x∈0,2x∈2,3x=0,fx=2,fff3>故fx在−1,3上的最大值为e17.(本小题15分)【答案】(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为∵∴q+解得d=2∴anbn=(2)T=c1=−=−=−2n(两个求和一个2分)(3)由(2)可知T若n为偶数,则Tn=−若n为奇数,若n若n>1则T=−=−n2综上,Tn=18.(本小题17分)【答案】(1)当m=−1时,令gg′x=1x−x∈0x∈1x=1,gg由于极大值唯一,所以0为gx在1,+∞的最大值故g因为x>0,故故fx≤(2)因为ff′x①当m≤0时，因为x>1，所以fx的单调增区间是1,+∞,无单调减区间;(没注明“无单调减区间”扣1分)②当m>0时,令lnx−m当1<x<em时,f所以函数fx的单调减区间是1,em,单调增区间是当m≤0时,函数fx的单调增区间是1,+∞当m>0时,函数fx的单调减区间是1,em(3)因为对于任意x∈e,e2，都有fx<即问题转化为x−4lnx−m+1即m+1>x−4lnx令gx=x−4ln令tx=4lnx所以tx在区间e,e2故txmin=te所以gx在区间e,e2函数gxmax要使m+1>x−4lnxx所以m+1>2−8e2,即实数19.(本小题17分)【答案】(1)当m=1