三元一次方程组的解法（教学设计）-2024人教版七年级数学下册

10.4三元一次方程组的解法教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第十章

“二元一次方程组”1Q4三元一次方程组的解法，内容包括：了解三元一次方程组的概

念，会用消元法解简单三元一次方程组，能运用三元一次方程组解决简单实际问题.

2.内容解析

本节是选学内容，教材在己学二元一次方程组的基础上，通过类比二元一次方程组及

二元一次方程组的解的概念，给出三元一次方程组及其解的概念.三元一次方程组的解法是

在学生掌握了二元一次方程组的解法的基础上呈现的，通过三元一次方程组的解法，继续让

学生体会数学中消元和化归的思想，同时，进一步让学生形成数学建模思想，让学生进一步

经历和体验消元、转化的思、想方法，并对一次方程组及其解法有一个完整的认识.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：用代入消元法或加减消元法解三元一次方程

组.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单三元一次方程组，能运用三元一

次方程组解决简单实际问题，进一步发展运算能力和应用意识.

（2）进一步体会“消元”和“转化”思想在解三元一次方程组中的作用，提高分析问

题和解决问题的能力.

（3）通过探索、尝试、比较等活动去发现一些规律，激发求知欲望和学习兴趣.

2.目标解析

（1）清晰认识三元一次方程组的概念.理解其与二元一次方程组在未知数个数和方程

结构上的差异.明确三元一次方程组的解是一组能同时使三个方程成立的有序实数.熟练学

握加减消元法和代入消元法.通过两次消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程蛆，接

着求解二元一次方程组，整个过程注重培养学生严谨的解题逻辑和运算能力.在三元一次方

程组的实际应用中，培养学生将实际问题抽象为数学模型并求解的能力.

（2）消元思想的核心是化归，通过逐步减少未知数的个数，将复杂的三元一次方程组

问题转化为相对简单的二元一次方程组，进而转化为一元一次方程来求解.这种转化过程,

体现了数学解决问题的基本策略，让学生学会将未知转化为已知，将复杂问题简单化.在实

际解题中，引导学生观察方程的系数特征，合理选择消元的顺序和方法，以达到简化计算,

提升思维的灵活性和敏捷性的目的.

（3）通过三元一次方程组的学习，着重培养学生多方面的能力.运算能力上，要求学

生精确运算，优化算法以提升运算效率；模型思想上，引导学生从实际问题抽象建模并验证

求解，培养严谨的科学态度；逻辑推理上，借助演绎与归纳推理，训练学生有条理思考和总

结规律的能力；创新意识上，鼓励解法创新和问题拓展，激发学生的探索精神；应用意识上，

通过生活实际，让学生体会数学的实用价值，提升解决问题的实践能力.

三、教学问题诊断分析

通过前面的学习，学生已经会解一元一次方程和二元一次方程组，知道解二元一次方程

组的基本思路是消元，能利用代入消元法和加减消元法将二元一次方程组转化为一元一次方

程求解，并能列二元一次方程组解决一些实际问题.这些为学生学习三元一次方程组蔗定了

知识基础.

三元一次方程组的解法比二元一次方程组的解法计算量大,所以学生在学习的过程中容

易感到厌烦，可能不会完全积极投入到课堂的学习中.

七年级学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，具有较强的好奇心和求知欲，对于新

的数学知识充满兴趣.但同时，他们的注意力容易分散，需要教师通过生动有趣的教学方法

来吸引他们的注意力；在这个阶段，学生的逻辑思维能力逐渐增强，但还不够成熟；他们能

够进行简单的推理和分析，但对于复杂的问题可能会感到困难.

1.由于本节内容为选学内容，因此对这部分内容不作硬性要求，可以弹性处理.对学习

基础比较好的学生，这一拓展要求是可以在教师的引导下实现的.在教学时，注意控制题目

的难度.

2.由于三元一次方程组相关知识与二元一次方程组类似，所以可结合实例运用类比法

学习三元次方程组的有关概念，然后利用消元思想解三元次方程组.

3.尽管三元一次方程组与二元一次方程组的解法有许多类似之处，但三元一次方程组

复杂得多，所以在教学的过程中，重点处理好与二元一次方程组解法中不同的环节，在比较

的过程中学习新知识，使学生对消元思想有更深层次的认识.

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：根据方程组的特点选择最佳的消元方法.

四、教学过程设计

（一）复习引入

解二元一次方程组解三元一次方程组

【代2

?

解一元一次方程

（二）合作探究

问题在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的

场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得。分，

那么这支球队胜、平、负各多少场？

分析设这个球队胜、平、负的场数分别为x,»z,根据题意，列得方程组

•r+y+z=22,

“3x+y=47,

z=4"2.

这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都

是1,一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.

探究怎样解这个三元一次方程组？

三元•次方程缴下①..兀.次方程组屿一元一次方程_J

分析把③分别代入①②并化简，得到二元一次方程组

3+52=20,

»+12N=4L

解这个二元一次方程组，可以求出y和z,进而可以求出x.

解：把③分别代入①@并化简，得到二元一次方程组

仅+5z=2O.④

3+12H.

⑤-④得：7z=2i

解得：z=3.

将z=3代入③中，得：x=14.

将z=3代入④中，得：)=5.

所以这个三元一次方程组的解为

x=14

y=S

z=3

追问你还能用其他方法解这个三元•次方程组吗？

（三）典例分析

例1解三元一次方程组.

3N+4g=7,①

<2z+3y+z=9,②

5n—91y+7z=8.③

分析方程①只含X，Z,因此，可以由②③消去户得到一个只含X,Z的方程，与方程

①组成一个二元一次方程组.

解：②X3+③，得：lLt+10z=35.④

①与④组成方程组：

3z+4z=7,

llx+10z=35.

解这个方程组，得：

尸=5,

k=-2.

把x=5,z=-2代入②，得

2x5+3y-2=9,

因此，这个方程组的解为

z=5,

1

z=-2.

追问你还有其他解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.

例2在等式），=G?+以+。中，当x=-l时，y=0；当x=2时，y=3：当x=5时，>'=60.

求a,b,c的值.

分析把小b,。看俏三个未知数，分别把已知的人y值代入原等式，就可以得到一

个三元一次方程组.

解：根据题意，列得三元一次方程组

a-6+c=0,①

«4以+2b+c=3,②

25a+56+c=60.③

②一①，得：a+b=1.®

③-①，得：4a+8=1().⑤

④与⑤组成二元一次方程组

a+6=1,

4a+b=10.

解这个方程组，得

a=3,

b——2.

把a=3,匕=-2代入①，得

c=-5.

因此a,b,c的值分别为3,・2,・5.

例3一个三位数，各数位上的数的和为14,百位上的数的2倍减去十位上的数的差是

1

个位上的数的J如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新

数比原数小99.求这个三位数.

分析把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以

列三元一次方程组.

解：设这个三位数百位上的数为x,十位上的数为)，，个位上的数为z.根据题意，列

得三元一次方程组

1z+y+z=14,①

•-1y=1N,②

V

100z+10y+i+99=100工+10y+z.③

解这个方程组，得

z=4,

y=7,

z=3.

因此这个三位数是473.

（四）巩固练习

1.解下列三元一次方程组:

4%-9z=17,

(2)和+3+152=18,

2z+x=47；z+2y+3z=2；

z+y=3,3z-y+z=4.

(3)—4,(4)，+3)-£—12,

kz+x=5；1+y+z=6・

解：（1）由②得：y=z+3.④

把④代入①中，得：x-2z=-3.⑤

③©组成方程组：

俨+2z=47

lx-2z=-3

解这个方程组，得：

俨=22

lz=12.5

把z=12.5代入④，得

y=\5.5.

因此，这个方程组的解为

x=22

y=15.5

z=12.5

解：（2）②X2-③得：5x+27z=34.④

①④组成方程组

[4x-9z=17

l5x+27z=34

解这个方程组，得：

x=5

把x=5,z=*代入③，得

尸2

因此，这个方程组的解为

lz=5

解：(3)①+②-③得：v=l.

把y=1代入①中，得：尸2.

把y=l代入②中，得：z=3.

因此，这个方程组的解为：

5二2

y=1

(z=3

追问同学们还有其他解法吗？

解：(4)①+②得：5x+2y=l6.④

②+③得：3户4产18.⑤

④⑤组成方程组：

[5x+2y=16

|3xF4y=18

解这个方程组，得：

把尸2,尸3代入③，得

z=l.

因此，这个方程组的解为

x=2

y=3

z=1

2.甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大5,乙数的3等于丙数的2.求这

三个数.

解：设甲、乙、丙三个数分别为X,y,Z.根据题意，列得方程组

*+>+/=35

2x-y=5

解得

x10

y=IS

z=io

答：甲、乙、丙三个数分别为1(),15,10.

3.在等式z=or+力+c,扎当x=l,y=2时，z=8；当x=2,y=l时，z=5；当x=-l,

y=-l时，z=4.求a,b,c的值.

解：根据题意，列得方程组

a4-2b+c=8

2afb4cS

—a—b+c=4