过关检测1 三角函数与平面向量-2026新高考数学二轮复习

专题过关检测一三角函数与平面向量

（分值.150分）

一、选择题:本大题共8小题、每小题5分,共计40分每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.

1.（2022全国乙，理3）已知向量a.b满足|a|=l,|b|=V5,|a-2bl=3,则ab=（）

A.-2B.-\

C.\D.2

2.（2025新高考〃,5）在中,8。=2,力。=1+百/8=n,则A=（）

445°B60°C.1200D135°

3.（2025重庆一模）在平行四边形ABCD中，荏=^AB,AF=g而,CE与M相交于点G,若同=a,而=b，则而=（）

.2,1.2,3.

4段+钟匕Da+钞

吟+»吟+*

4（2025福建龙岩二模）若函数1os（s+；）®>0）的图象向左平移部单位长度后得到一个奇函数的图象厕。的最

«5，

小值为（）

D.3

心424.1

5.（2025山东烟台、德州二模）已知函数/（x）=sin（①此）®>0）在（上单调递增，且其图象关于点Q.0）对称，则

6363

/&）=（）

4母*C.1D.q

2222

6.（2025北京第八十中学模拟）已知。的面积为6V3J=60°/B=3,8的内角平分线交边/C于点Q,则AD的长为

4号CyD.l

7.(2025山东临沂二模)已知sina=2cos/y,sin/?=3cosa,若向量m=(tan«+tan//,tan(a+/f))与向量n=(l/J互相垂宜，则

4()

瑶

8.（2025浙江稽阳联谊学校二模）已知函数启）=Xsin®x+3）1/>0、O>0,期〈“的部分图象如图所示/=/）的图象与y

轴交十点C,Q（5,0）以2,/）,且阮•前=0,则/（4）=（）

44B2通

c.VToDA42

二、选择题:本大题共3小题、每小题6分，共计18分在每小题给出的四个选项中、有多项符合题目要求.全部选对的得

6分.部分选对的得部分分.有选错的得0分

9.（2025浙江衢州模拟）已知a为锐角，若tan2a=就匕、则下列说法正确的有（）

4a的终边经过点（3,1）

Z?.sin（n+a）=^y

C.V1+cos2a=言

。.若a+4三,则tan/?=g

10.（2025广东广州模拟）已知函数仆）=2sin（2x+9）（阳书）的图象是由函数g（.v）=sin2r+V3cos2x的图象向右平移指个

单位长度得到的，则下列选项正确的是（）

4片

8.在线是曲线产处）的对称轴

G/（x）在区间（一6）内有两个极值点

D.llll线y=t/（x）与直线7=24=。=什；1"£R）所围成封闭图形的面积为2n

11.（2025广东江门模拟）《数书九章》是中国古代著名的数学著作，其中在“三斜求枳术”中提出了已知三角形三边

小C求面枳的公式，其求法是:“以少广求之，以小斜鼎并大斜霖减中斜冢余半之，自乘于上;以小斜辕乘大斜客减上，余

四约之，为实;一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S=J?a2c2-（胃空），现有△.48C满足sinA：

sinB/sinC=2：3；迎,且△/8C的面积S=6百，请运用上述公式判断下列结论正确的是（）

」.△川9。的周长为10+2夕

8A48C三个内角48,。满足2c=.4+8

CZU8C外接圆的半径为苧

D.AJ5C的中线CD的长为的百

三、填空题:本大题共3小题,每小题5分，共计15分.

12.（2024全国甲，文⑶函数危）=sinx-6cosx在［0㈤上的最大值是________.

13.（2025辽宁沈阳模拟）某中学北校区坐落于风竞优美的辉山毋区，兔区内的一泓碧水蜿蜓成了一个“秀”字改称“秀

湖”.湖畔和秀湖阁⑷和临秀亭（4）两个标志性景点，如图.为测量隔湖相望的44两地之间的距离，杲同学任怠选定了与

A,B不共线的。处，构成△/14C,以下是测量数据的不同方案：

①^量/MC8C;②则量48,8。;剂量C/CBC.

其中一定能唯一确定48两地之间的距离的所有方案的序号是.

14.（2023新高考〃,16）已知函数/（x）=sin（3+0）,如图,48是宜线产|与曲线产式工）的两个交点，若19|=今则

./（"）=___________-

2

四、解答题:本大题共5小题、共计”分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）（2025］东青岛、淄博二模）记△48。的内角4氏。的对边分别为a也c,若m=S-a,c）,n=（a+c,b+a）.m〃n.

⑴求8；

⑵若6=26,求4C边上的高的最大值.

16.（15分）（2025北京,16）在△/8C中,cos/l=T，asin04企.

⑴求。；

（2）再从条件①、条件②、条件磔三个条件中选择一个作为己知，使得△44C存在，求AC边上的高.

条件①a=6;

条件②加inC=^y^;

条件③S&/8c=10注.

注:如果选择的条件不符合要求，第⑵问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第•个解答得分.

17.（15分）（2025浙江杭州模拟）某养殖户承包一片靠岸水域，如图所示/。,04为直线岸线。/=2千米。8=3千米,N

力。8W,该承包水域的水面边界是某圆的一段卷，过稿上一点P按线段P4和PA修建养殖网箱，已知///>8专

（1）求岸线上点4与点8之间的直线距离；

（2）如果线段PA上的网箱每「•米可获得2万元的经济收益，线段P8上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记/

48=。,则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？

18.（17分）（2025浙江宁波高三期末X।）证明：sina+sin6=2si呼cos竽；

⑵当0<a4t,利用所给图形证明⑴中等式；

（3）如图,△N8C的外接圆半径为8c的一个外角的角平分线交外接圆于点。，过点。作DM±ABF点机

利用（1）中等式，证明:2AM=BA+BC.

3

题（3）图

19.（17分）（2025江苏扬州模拟）在△48C中.内角48c的对边分别为a6,c,旦史甲=l，a2=b2+bc.

COSOD

⑴求角8和4;

（2）已知6=2,设MN为线段AB上的两个动点（M靠近点J）,E.ZMC/V=^.

。若4"=1,求的周长；

②力CM为何值时,△MNC的面积最小，最小面积是多少？

4

答案:

1.C解析由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a-b=l+l2-4a-b=9,解得ab=l.

(V6)2+(1+V3)Z-2Z_6+2代2俯1+b)

2.A解析在△月8C中,由余弦定理得以）$彳=='又0＜力＜%所以力=45。.

2xCx(l+\③-2xV6x(l+\/3)-2xV6x(l+x/3)

故选A.

3.A解析因为民G尸三点共线，所以可设4G="1B+（17•乂凡

乂肝=J初，所以而=xa+4b.

JJ

因为C,G£三点共线,所以可设南=y族+(1-y)配.

因为而=aj^=b，所以而=AB+ZD=a+b.

又荏=；福

4

所以南=：a+(I-y)(a+b)=<1$'a^-(l-y)b,

所以xa+'；b=(1-》)a+(l-j-)b,

所以南=京+茨

故选A.

4.A解析函数y=cos（的图象向左平移《个单位长度后得H，v）=cos.（oCv+y）+三_=cos（cor+gty+J的图象,

函数为奇函数，

所以勺w+卜版+j£Ze=1+和:£Z,又®＞0,所以①:故选A.

332424

5.C解析由函数户sinQ/gO）在（舐）上单调递增，得髻2［人）L.解得0＜coW2,由八X）的图象关于

点（*0）对称，得名用=质,Z,解得cv=3左+*£Z,又切＞0,于是左=0,①=1/（x）=sin）所以

33b/L40

.（TT.（121rnJ.n1i..4,

/\2刀/=5巾\：*刀一2/=§1咤=亍故选C.

O/Jbb/

6.A解析因为。的面积为6V3J=60°/8=3,

所以gx48x4Csin/Wx3x/Csin60°=6百，得JC=8.

由余弦定理得“C2：/!外+/0-2/1Ax力Ceos4=9+64.2x3x8cos60°=49将BC=1.

又△J4C的面积为68,所以△J8Q的面积为芋.

所以;xAnx/Dsin/iqxBxNDsinGO。岑，得

4/uO

故选A.

7.C解析因为sin«=2cos£,sin/?=3cosa,显然sin/?,sin”,cos”,cos〃均不为0,所以卢巴二的呼，即蜉二三，所以tan

atari6=6,所以tan(a+夕)=；；：：；：：：=glana+tan/J),

因为向量m=(tana+tan//,tan(a+/O)与向量n=(l/)互相垂直，所以mn=tana+tan//+?.tan(a+//)=O.

则tan«+tan必Z(tana+tan0)=0,又tana+tan母0,解得4=5.

故选C

8.C解析设函数的最小正周期是T

出题图可知95-27,则丁一12,所以“号=£

4T6

所以/(x)=/sin(%+),

由/{5)=/sin佟+/=0,得警+0=2代+兀#£2,即伊=^+2〃兀££2,

666

因为10号所以3=?,则/(x)=Jsin(%+P.

LOOD

乂/(0)=法吒=*则C<0,“乂前=\-2,?，而=15,乎,

BCCD=-\0+9=0,解得A=2>/10(负假舍去)，

所以/(.v)=2V10sin(*+，),所以/(4)=\ZT6.故选

9.ACD解析对于A,tan2a=；^写~=-^-=等工又〃为锐角，则lan心0,则2(l+tan«)=3(l-tan2«)JP2=3-3tan«,

i-tan4acosa+sma1+tana

所以tana=1,则a的终边经过点(3、11故A正确：

对于B.因为tan2a=；肾”=/所以sin力■又a为锐角，所以sina>0,则sin。=焉，则sin(兀+a)=-sina=-噜，故B错误；

对于C,V1+cos2a=Jl+2cos2a」=x/2|cosa|,又cosa>0,则cosa=Vl-sin2a=则企|cosa|=^,故C正确；

对于D,tan.=tan':a）=：+；：：=去故D正确.

故选ACD.

10.ABD解析对亍A0x）=sin"+倔:os2x=2sin'2.叫/，把g（x）的图象向右平移巳个单位长度，得到y=2sinL21.x-

p/vsiihiW的图象，又函数尸2,山（2呜）的图象与函数小）33十3）（|切竹）的图象一致，所以容易验

证少三，故A正确；

对于B,由A知./（x）=2sin（2v+p,因为/（J=2sin（三+J=2si吟=2,所以直线是曲线产於）的对葬轴，故B正确;

对于C,当xe（TA）时&+云（援），设/=2代,因为尸sin/在内单调递增，在内单调递减，所以

4/636o5L

尸in/在If,只有1个极值点，故/（x）=2sinJ+p在（TA）内只有1个极值点，故C错误；

aoo4Z

6

对于DJ(x)的最小正周期为r号=小而直线x=r,E+;r与x轴交点间的距离为兀，所以直线y=-21y=2x=，K=，+n围成的矩

形面积为［2-(-2加=4几,又曲缓》可⑴为轴对称及中心对称图形，所以曲线产i/(x)与直线y=2j=/K=r+R)所围成封

闭图形的面积为六4兀=2兀，故D正确.故选ABD.

11.ABD解析在△”。中，由sinJZsinZ?/sinC=2：3；，7及正弦定浬，得"：b：c=2；3：用,

设“=2/力=3仅=6。0),则S=J,%2.4凡(空竽变力=苧2=6K，解得/=2,于是a=4,b=6,c=2V7.

对于A,△月8c的周长为“+b+e=4+6+2夕=10+26，所以A正确；

对于B,由余弦定理得cosC牟『=嘿浮=；，而0＜。＜冗.则。吟/什8等，所以204+8、所以B正确;

dab2x4x6233

对于C,由正弦定理得△.4BC外接圆的直径2/?$一竺一容，即/?=罕，所以c错误；

sinesin-33

对于D,由而=1(C4+CB),^\CD\^CA2+CB2+2CACB=^xJ42+62+2x4x6x1=g,所以D正确.

故选ABD.

12.2解析/(x)=sinx-百cosx=2sin＜x事，当xR［O,兀］时人片」，当xf=*即x个时,/Cv)gx=2.

13.②^解析对于。，由正弦定理可得黑=鸟，则sin8片”，

smoSIIMBC

若/O8C且力为锐角，则sin8=塔％$m4此时8有两解，则C也有诙解，此时AH也有两解；

bC

对于②若已知4%则C确定，由正弦定理名=得，知力“唯一瑜定；

对于③若巳知CMC6C,由余弦定理得AB=＞JAC2+BC2-2ACBCcosCM/IB唯一确定.

14.-y解析对比正弦曲线尸sinx的图象易知，点管,0)对应“五点法”中的第五点，所以我+夕=2兀①

由题目中图象知|/8曰广匕耳线段/8的垂直平分线对应于正弦曲线尸sinx在)，轴右边的第1条对称轴直线x吟所

O/

+—m

以由sin®x+9)=g,得"+2r两式相减，得3(X8-必)哼即颉岑，解得＜0=4,代入④得9=T，所以/(x)=sin(4x-等

所以./Ot)=sin(4TT-g)=-sing=q.

15.解⑴因为m〃n,所以(〃-4)(〃+〃)=<?(〃+<?),即(r+cr-lr=~ac.

由余弦定理得8$8书卢=3因为〃G(0E)，所以A号.

⑵由⑴得-«=标+/-12力力c-12,即acW4.当且仅当a=c=2时，等号成立.

设/C边上的高为力，则SxscfcsinB=ah,

所以力斗c《l,所以月C边上的高的最大值为1.

一,得sin/l=Jl-(-1)2=2/

16.1?(1)ScosJ=T,

:7/sinC=4\泛，.：Szu8(=$gsinC=1：<4\/2/>=1/>csinA,

.：4加=乎c,解得c=6.

(2)若选0a=6,则a=c又cos.4Vo,.：/为钝角，故△.4"。不存在.

若选②,6sin。=塔，如图，作力。垂直8c于点。，则8c边上的高芈&此时sin4上”=平,.：4E

33C943

7

又cos力得.:力金1鸿人.："3£号,",

6c存在，此时6c边上的高月D=*.

若选③SUBLIOJI由（1）知SG18c=94\仞>=10近,解得b=5.

由余弦定理M=Vb2+c2-2bccosA=9,.：AJ8C存在.

又SA械•=^“/£>,

.彳av1£>=10企，解得/。=竿.

17.解（1）在△力。8中，由余弦定理，得AB=JoA2+OB2-2xOAxOBxcos^=J22+32-2x2x3x1=、反即岸线上

点力与点8之间的直线距离为a千米.

C、4A、厅

（2）在n/n中疏=而P4领=嬴PH,

则PA=4sinI9）=唔皿I飙人P3=4«in6=^sin010«9<^.

22

设两段网箱获得的经济总收益为y万元，

则y=2PA+4Pg~4V^sin+^^sin6=^^[sin+2sino\（冼os<9+jsin=4V7sin（夕+?）.

1534JJJZLo

（op,所以火步（,所以v=4V7sin

因为6»££（2夜,4夕）,

所以两段网箱获得的经济总收益最高为4a万元

18.证明⑴由题意得,sina=sin（等+当）=sin等

a・B,a+B•a-

COS—+COS-y-S1n-y。,

sin/?=sin（等一萼）=sin等cos*cos学sing,

两式相加得•,sina+sin/?=2sin^^-cos^y.

（2）由题意得,线段月8的中点M的坐标为

如图，过点M作MM垂直于x抽，交x轴于点跖,则MM=3sina+sin夕）,/必。%=/"+夕）.

在RtAOA/J中,OM=cos?

在RtAOMA，中,A/iA/=OA/-sin/A/QW=cos^・sin^^^=sin^^・cosW，

所以«sina+sinp）=sin^^cos早，即sina+sin//=2sin^^cos^.

（3）设/84。=%//。8=或/>/则/48。=^,//。8=兀/,

所以NDAB=MM）-（号）专.

在AABC中，由正弦定理，得翳=怎=2,所以BA+8C=2（sina+sin队

8

在AJ8Q中，由正弦定理，得盘访=2,所以4O=2sinN/6D=2si号，

所以2AM=2JD-cosZDJ5=4sin^cos^=4sin^cos^,

由(1)式sina+sinA=2si吟^cos黑得2AM=BA+BC.

19.解(1)因为簿=今由正弦定理可得簿=鬻、

又si">0,所以£=七，则tan8嗡=今又8£(0,冗)，所以

COS"SIDOCOS巾JO

因为标=〃+如由余弦定理可得cos4