解答题77分三轮冲刺保分强化训练(14)（原卷版及解析）

第2组(时间：75分钟分值：77分)1．（2026·山西临汾·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角B；(2)当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围.2．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人．偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计男性驾驶员120女性驾驶员合计300(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：，．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8283．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)证明：是等比数列；(2)设，求数列的前项和.4．（2026·湖北襄阳·一模）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．5．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上．(1)求的方程；(2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为．（ⅰ）设，，求的最大值；（ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围．

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(14)第1组(时间：75分钟分值：77分)1．（25-26高三下·福建厦门·月考）已知分别为的内角所对的边，且.(1)求；(2)已知是边的中点，求的最大值.【答案】(1)(2)【解题思路】（1）利用正弦定理与两角和的正弦公式求解即可；（2）利用平面向量，余弦定理，以及基本不等式求解即可.【解析】（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即，因为，所以，所以，所以．（2）因为，，所以，因为是的中点，所以，所以，因为，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立．所以的最大值为．2．（2026·广东佛山·二模）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且．(1)证明：平面；(2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是1．（i）求的长度；（ii）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)（i）；（ii）.【解题思路】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证.（2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法列式求出；（ii）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解.【解析】（1）在正方形中，由，得，，则，，因此，由是圆柱的母线，得平面，而平面，则，又平面，所以平面.（2）（i）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，，得，解得，则，显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，，由点到直线的距离是1，得，则，而，解得，所以.（ii），，设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.3．（2026·安徽滁州·一模）已知椭圆的短轴长为4，离心率为．(1)求Γ的方程；(2)若直线与交于A，B两点，且，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【解题思路】（1）根据短轴长和离心率求出椭圆方程.（2）联立直线与椭圆方程，利用判别式、韦达定理和弦长公式，结合弦长条件求出的取值范围.【解析】（1）由题意可得：短轴长，故，又因为离心率，结合椭圆关系可得：，解得，，所以椭圆的方程为：.（2）由题意可知，联立直线与椭圆方程：，消去整理得：，设直线与椭圆交于点，，则判别式：，解得，即，由韦达定理得：，，由弦长公式，其中，可得：，又因为，所以，化简可得：，两边平方得：，即或，又因为，所以的取值范围为：.4．（25-26高三下·安徽·月考）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对定义域内的任意x，恒成立，求整数m的最小值.【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减(2)1【解题思路】（1）求出函数的导数，按分类求出函数的单调区间即可.（2）等价变形不等式并分离参数，再构造函数并利用导数求出最大值范围即可得解.【解析】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递增；当时，由，得；由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）依题意，恒成立，令函数，求导得，令函数，求导得，函数在上单调递减，而，，则，使得，即，当时，，；当时，，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，所以整数m的最小值为1.5．（2026·山东东营·一模）在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响.(1)在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率；(2)在某一局比赛中，记“经过个回合甲获胜”为事件，分别求及在该局比赛中甲获胜的概率；(3)比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列.(附:当时，).【答案】(1)；(2)；；；；(3)分布列见解析【解题思路】（1）利用独立重复试验的性质结合独立事件概率公式求解即可.（2）结合题意求出对应概率，再求出，最后得到甲获胜的概率即可.（3）结合题意求出对应情况的概率，最后列出分布列即可.【解析】（1）由题意得甲得分的概率为，乙得分的概率为，则，.（2）由题意得，，，，当为奇数时，，当为偶数时，，则甲获胜的概率为，当时，，则甲获胜的概率为.（3）由已知得甲获胜的概率为，且的取值为，而，，.可得分布列如下，345第2组(时间：75分钟分值：77分)1．（2026·山西临汾·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角B；(2)当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解题思路】（1）利用切化弦和两角和的正弦公式化简即可求出；（2）利用余弦定理将目标转化为，再结合正弦定理边角互化即可，再结合三角函数的值域求出；或直接利用正弦定理边角互化，结合三角函数的值域求出.【解析】（1）由题可得，即因为，，所以，即，因为，所以.（2）解法一：，，由余弦定理可得：，即.所以，即.，由正弦定理可得，，，则因为，，所以所以，所以解法二：由正弦定理可得，，，则因为，，所以，所以，所以.2．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人．偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计男性驾驶员120女性驾驶员合计300(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：，．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表为偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计男性驾驶员120100220女性驾驶员305080合计150150300有关联，解释见解析，(2)随机变量的分布列为0123期望为【解题思路】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望值.【解析】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为，因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的，故样本中女性驾驶员的人数为，由题意，列联表补充如下：偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计男性驾驶员120100220女性驾驶员305080合计150150300零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联．根据列联表数据，计算得．根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，前者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大．（2）由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为人，偏好新能源汽车的人数为人．随机变量的可能值为0，1，2，3．，，，．所以，随机变量的分布列为0123的数学期望．3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)证明：是等比数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【解题思路】（1）当时，可得的值，当时，根据，代入求解，整理变形，根据等比数列的定义，即可得证.（2）由（1）可得表达式，根据错位相减求和法，即可得答案.【解析】（1）证明：因为，所以当时，，解得，当时，，所以，即.所以，又，所以是以为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）知，.所以，则，①，②①减去②，得：所以.4．（2026·湖北襄阳·一模）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解题思路】（1）根据线线平行证明线面平行，进而根据面面平行的判定求证，（2）证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解.【解析】（1）因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面，又H、G分别为的中点，所以．平面，平面，所以平面，因为FD、平面，，所以平面平面．（2）因为三角形为正三角形，，F为的中点，所以，，所以为二面角的平面角，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．作平面于O，则O在直线上．又二面角的平面角为，所以O在线段的延长线上．由已知得，则，．以F为原点，所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，因为，，所以，则，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则由，，得，令，得．易得平面的一个法向量，所以平面与平面的夹角的余弦值为．5．（2026·广东广州·一模）已知双曲线：（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在上．(1)求的方程；(2)点，分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为．（ⅰ）设，，求的最大值；（ⅱ）设，（），点不在轴上，若，求的取值范围．【答案】(1)(2)（ⅰ）4；（ⅱ）【解题思路】（1）由焦点到渐近线的距离求得，再将点代入到双曲线方程即可求解；（2）（i）设出渐近线上的点，由中点坐标和得出的轨迹为椭圆，发现为其焦点，结合椭圆的定义即可求得，再使用基本不等式即可求解；（ⅱ）由及正弦定理，用坐标表示，并使用三角函数恒等变换和椭圆方程消去，得到比值关于的表达式，结合的取值范围即可求解.【解析】（1）设右焦点，其中一条渐近线方程为，即，由题意得到的距离，即，因为点在上，将代入，得，解得，即双曲线.（2）（i）由（1）得渐近线