六大数学核心素养在客观题考查中的体现与欣赏+讲义-2026届高三数学二轮专题复习

六大数学核心素养在客观题考查中的体现与欣赏数学核心素养是指学生在接受相应学段的教育过程中,逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要必备的数学思维品质与关键能力,它必然具有数学的基本特征.高中阶段数学核心素养主要包括六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.在高中数学学习中,通过解题提高自身的数学核心素养,是每位高中生都必须面对的问题.本文结合具体试题来谈一下,在解高中数学客观题中是如何体现六大核心素养的.一、解题中数学抽象的体现数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达正确、结论一般、有序多级的系统.例1.已知集合,将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列,记为数列的前项和,则使得成立的的最小值为__________.【解析】将集合与集合相比,易知元素间隔大,所以不妨先考虑下列特殊情形时与的大小关系:设表示集合中含集合中的元素个数,且使得恰好是集合中按从小到大排列的第个元素.当时,,则；当时,,则；当时,,则；当时,,则；当时,,则；当时,,则；由上得出满足题意的在之间,下面用二分法来确定：由于,则所求在之间；又,则所求在之间；又,且.故满足成立的的最小值为.故填.【核心评述】本题考查集合的概念与并集的性质、等差和等比数列的通项公式与数列求和以及不等式恒成立中的最值问题,是一道综合性很强的试题,对问题的认识需要较强的数学抽象理解能力.解决本题的关键是从简单的情景出发,采用分段处理、步步逼近的操作方法,先考虑下列特殊情形时与的大小关系:设表示集合中含集合中的元素个数,且使得恰好是集合中按从小到大排列的第个元素；待确定,且后,进而锁定满足题意的在之间,最后巧用二分法快速求出其解.因此,教学中增强对学生数学抽象素养能力的培养是摆在高中数学教师面前的当务之急.二、解题中逻辑推理的体现逻辑推理是从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质,是理解数学知识之间的联系和进行数学交流的一种能力.例2.关于函数有下述四个结论:=1\*GB3①是偶函数；=2\*GB3②在区间单调递增；=3\*GB3③在有四个零点；=4\*GB3④的最大值为.其中所有正确结论的编号是()A.=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④B.=2\*GB3②=4\*GB3④C.=1\*GB3①=4\*GB3④D.=1\*GB3①=3\*GB3③【解析】由于,且的定义域为,知是偶函数,故=1\*GB3①正确.当时,在区间单调递减,故=2\*GB3②错误.当时,有两个零点分别为和；当时,仅有一个零点为,即在有三个零点分别为,故=3\*GB3③错误.当()时,,且；当()时,,又是偶函数,知在上的最大值为,故=4\*GB3④正确.综上所述,知=1\*GB3①=4\*GB3④正确,故选C.【核心评述】本题考查了三角函数的综合性质,涉及三角函数的奇偶性、单调性、零点问题和最值问题,利用三角函数的基本性质,通过严密的逻辑推理一一检验题中每个命题的真假,从而得出结论.在数学学习和解题中,每个人都离不开逻辑推理和数学运算,而逻辑推理能力应是六大核心素养里的重中之重,它是要以良好的思维品质来作保证的.因此,在教学中要重点关注对学生思维训练的提高和逻辑推理能力的培养.三、解题中数学建模的体现数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型,求解结论，验证结果并改进模型,最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁,是数学应用的重要形式；数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力.例3.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为元/盒、元/盒、元/盒、元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到元,顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的.=1\*GB3①当时,顾客一次购买草莓和西瓜各盒,需要支付________元；=2\*GB3②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则的最大值为__________.【解析】=1\*GB3①依题意,当时,顾客一次购买草莓和西瓜各盒,需要支付元.故=1\*GB3①中填.=2\*GB3②设顾客一次购买水果的促销前总价为元.当元时,李明得到的金额为,而恒成立,符合题意,此时；当元时,依题意有恒成立,即,则有恒成立；又因,则,故只需,所以的最大值为元.故=2\*GB3②中填.【核心评述】本题主要考查函数建模与函数的最值,利用数学式子的变形、不等式的性质解决恒成立问题.通过以实际生活为背景,创设问题情景来考查学生数学的应用意识与数学运算求解能力,因此在平时的教学中,要鼓励学生观察生活，善于挖掘生活中的数学素材,并有意识地加强对学生数学建模素养的培养.四、解题中直观想象的体现直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程.主要包括:借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.例4.已知椭圆的两焦点为,过的直线与交于两点.若,则的方程为A.B.C.D.【解析】法1:设,依题意得,；设椭圆的方程为,又由椭圆的定义知,则,知为椭圆短轴的端点,如图,过点作轴于,易证与相似,得,由,得,由,得,于是得,将点坐标代入椭圆方程得,解得,则,得的方程为.故选B.法2:前同法1,设,可得,在,而.在中,由余弦定理得；在中,由余弦定理得.又因,则,解得.又,即,则,可得的方程为.故选B.【核心评述】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合、转化与化归思想，同时涉及三角形相似或余弦定理的应用,很好地落实了直观想象、逻辑推理、化简运算等数学核心素养.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；数形结合就是直观想象能力的一种体现,使解题思路简捷,达到事半功倍之效.因此,在教学中应经常突出对学生直观想象能力的培养五、解题中数学运算的体现数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.数学运算是数学活动的基本形式,也是演绎推理的一种形式,是得到数学结果的重要手段,同时是计算机解决问题的基础.例5.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为,头顶至脖子下端的长度为,则其身高可能是A.B.C.D.【解析】依题意,设人体脖子下端(即咽喉)至肚脐的长为,肚脐至腿根的长为.则有,解得；又由,解得.该人腿长为,头顶至脖子下端的长度为,则其身高约为,即身高可能是.故选B.【核心评述】本题考查了合情推理中的归纳与类比推理，运用化归与转化思想解题,渗透了逻辑推理和数学运算素养；通过采取类比法,要深刻理解黄金分割比例的含义,才能应用比例式列出方程求解.在信息发达、计算机和数学计算器普遍推广使用的年代,学生用笔计算的能力是一个薄弱点,平时教师应严格要求或强行规定学生必须具备一定的数学运算能力和综合数学素养.六、解题中数据分析的体现数据分析是指针对研究对象获得相关数据,运用相关原理与统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断,形成知识的过程.主要包括:收集数据,整理数据,提取信息,构建模型对信息进行分析、推断,获得结论.数据分析是大数据时代数学应用的主要方法,已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面.例6.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为().已知太阳的星等是,天狼星的星等为是,则太阳与天狼星的亮度的比值为A.B.C.D.【解析】依题意,两颗星的星等与亮度满足,不妨令,,则太阳与天狼星的亮度的比值为；又,解得.故选A.【核心评述】本题背景新颖,令人耳目一新,以考生较陌生的天文学问题作为背景,体现了公平合理的竞争氛围和环境；考查了考生的数学应用意识、数据分析能力和信息处理能力以及对数的运算能力等数学素养,对文字阅读和题意理解等能力也有一定的要求.因此,在信息和大数据时代下,加强对学生数据分析的素养能力培养显得尤为重要.【总评】数学核心素养反映了数学的本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的.因此,在平时的课堂教学中,教师要有意识地让学生获取主动学习的能力和解决问题的方法与技能；数学素养不是独立于知识、技能、思想、经验之外的“神秘”概念，要综合体现出对数学知识的理解、对数学技能方法的掌握、对数学思想的感悟及对数学活动经验的积累,学生只有对以上几方面都做好了,他们的数学能力和素养自然而然就能得到长足的进步与提高.【素养评估训练题】1.已知单位向量两两的夹角均为(,且),若空间向量满足(),则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点)下的“仿射”坐标,记为.已知,,则()A.B.C.D.2.在中,内角所对的边分别为,若的面积为,且角为钝角,则的取值范围是()A.B.C.D.3.如图，已知是以的直角三角形铁皮，米，分别是边上不与端点重合的动点，且；现将铁皮沿折起至的位置,使得平面平面,连结,如图所示.现要制作一个四棱锥的封闭容器,其中铁皮和直角梯形铁皮分别是这个封闭容器的一个侧面和底面,其它三个侧面用相同材料的铁皮无缝焊接密封而成(假设制作过程中不浪费材料,且铁皮厚度忽略不计).则这个四棱锥封闭容器的最大体积为__________立方米.4.已知关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是()A.B.C.D.5.《莱因德纸草书》(RhinhPapyrus)是公元前1650年左右的埃及数学著作，属于世界上最古老的数学著作之一,书中有一道描述有关等差与等比数列的类似问题:有四个和尚在做法事之前按身高从矮到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列,且前三个和尚的身高之和为,中间两个和尚的身高之和为．则最高和尚的身高是________．6.国家禁毒办决定于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展全国青少年禁毒知识答题活动,活动期间进入答题专区,点击“开始答题”按钮后,系统自动生成20道答题；已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是,则这五位同学答对题数的方差是()A.B.C.D.素养评估训练题答案与解析1.解:依题意,因,则.故选B.2.解:由余弦定理及条件得,又,则,即,且,得；由正弦定理得；又角为钝角,知,所以,则