高三数学常用函数性质及图像

一次函数

（一）函数

1.确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

（二）一次函数

1.一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时,

一次函数，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化

成以上形式.

⑵当，时，仍是一次函数.

⑶当，时，它不是一次函数.

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.

2.正比例函数及性质

一般地，形如y=kx（k是常数,k#0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式产kx（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0

时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.

解析式：y=kx（k是常数，kHO）

必过点：（0,0）、（1,k）

走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

增减性：k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小

倾斜度：|k|越大，越接近y轴：|k|越小，越接近x轴

3.一次函数及性质

一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k#0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx+b

即丫=1«,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式y=kx+h(k不为零)①k不为零②x指数为I③h取任意

实数

一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-，0)两点的一条直线，我们称它为直线尸kx+b,

它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时，向上平移：当1X0时，向下

平移)

(1)解析式：y=kx+b(k>b是常数，k0)

(2)必过点：(0,b)和(-,0)

(3)走向：k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限

b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限

仅>0

=直线经过第一、二、三象限=直线经过第一、三、四象限

/?>0[b<Q

2〈()[Z<0

=直线经过第一、二、四象限《=直线经过第二、三、四象限

Z?>0b<0

(4)增减性：k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小.

(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

(6)图像的平移：当b〉0时，将直线尸kx的图象向上平移b个单位;

当b<0时，将直线y二kx的图象向下平移b个单位.

4.一次函数y=kx+b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直

线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它

与两坐标轴的交点：（0,b）,.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0b<0b=0

经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限

二LJk

k>0n

图象从左到右上升,y随x的增大而增大

经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限

\

10LJ

X

k<0X▼

\1

图象从左到右下降,y随x的增大而减小

5.正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到

（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

6.正比例函数和一次函数及性质

正比例函数一次函数

概念一般地，形如y=kx（k是常数，kW一般地，形如广kx+b（k,b是常数，kWO）,那么

0）的函数叫做正比例函数，其中ky叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx,所以

叫做比例系数说正比例函数是一种特殊的一次函数.

自变量X为全体实数

范围

图象一条直线

必过点(0,0)、(1,k)(0,b)和(-,0)

走向k>0时，直线经过一、三象限：k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限

k<0时，直线经过二、四象限k>0,b<0直线经过第一、三、四象限

k<0时，直线经过二、四象限k<0,b>0直线经过第一、二、四象限

k<0,b<0直线经过第二、三、四象限

k<0,bVO直线经过第二、三、四象限

增减性k>0,y随x的增大而增大；（从左向右上升）

k<0,y随x的增大而减小。（从左向右下降）

k<0,y随x的增大而减小。（从左向右下降）

倾斜度|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

图像的b>0时，将直线y二kx的图象向上平移个单

平移位：

b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单

位.

b<0时,将直线y二kx的图象向下平移\b\个单位.

（1）两直线平行。占二22且4"仇

（2）两直线相交工&

（3）两直线重合＜=＞匕=&且4=/

（4）两直线垂直O匕0=-1

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数

为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

8、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=O（a,b为常数，aWO）的形式，所以解一元一次方

程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于己

知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

9、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b;U或ax+b＜0（a,b为常数，aW0）的形式，

所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

10、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数丫=-色工+£的

bb

图象相同.

ax+by=c的解可以看作是两个一次函数尸一?_工+

（2）二元一次方程组4li,%和

ax+by=c

2224a

y=-等x+等的图象交点.

”2，2

二次函数

一、二次函数概念：

1.二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里

需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体

实数.

2.二次函数的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2.

⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项.

二、二次函数的基本形式

①一般式：口

②顶点式：口

零点式：口

a>04<0

f(x)=ax2+Z?x+c(〃工0)

[J

图像

b

AV—-x=

la2a

定义域(-00,+8)

b

对称轴x=----

2a

(b4ac-b2y

顶点坐标

i2。’4。)

^ac-b24ac-h2]

值域-；----，+0°y，-；——

4a4。

bb

一00'一五递减一8'一五递增

单调区间

I\

2,+8)递减

一,+8递增

2aJ2a)

当u时，二次函数的图像和口轴有两个交点口，口,

线段口.

当口时，二次函数的图像和口轴有两个重合的交点口.

特别地，当且仅当口时，二次函数□为偶函数.

1.二次函数基本形式：的性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

时，随的增大而增大；时，睡

a>0向上（0,0）y轴的增大而减小；时，有最小值.

时，随的增大而减小；时，睡

a<0向下(0,0)y轴的增大而增大；时，有最大值.

2.的性质:

上加卜减。

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

时，随的增大而增大；时，睡

a>0向上(0,c)y轴的增大而减小；时，有最小值.

时，随的增大而减小；时，睡

a<0向下(0,c)y轴的增大而增大；时，有最大值.

3.的性质:

左加右减。

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

时，随的增大而增大；时，睡

a>0向上(肌0)X=h的增大而减小；时，有最小值.

时，随的增大而减小；时，睡

a<0向下(60)X二h的增大而增大；时，有最大值.

4,的

开口方向顶点坐标对称轴性质

性质：

a的符号

时，随的增大而增大；时，®

a>0向上(小)X=h的增大而减小；时，有最小值.

时，随的增大而减小；时，®

a<0向下伍，&)X=h的增大而增大；时，有最大值.

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标

⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下:

向上伏＞0)【或向下化＜0"平移四个单位------

y=av2-------------------------＞y=ax-+k

向右(A＞0)【或左(/K0)】

向右(力＞0)【或左仇＜0)】

向右伪＞0)【或左(力＜0)】平移|k|个单位

平移阳个单位平移网个单位

向上出＞0)【或下(H0)】

平移阳个单位

)'=〃(*研向上伏X))［或下伏＜0)】平移网个单位斗尸治“)2+k

2.平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移：值正上移，负下移”.

概括成八个字”左加右减.上加下减”.

方法二：

⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成

y=ax2+bx-\-c+in（或y=ax2+bx+c-m）

⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

四、二次函数="Xif+攵与广加+/加+C的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即

其中.

五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开II方向、对称轴及顶点

坐标，然后在对称轴两侧、左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与釉的

交点、以及关于对称釉对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两

组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数广五+加+（?的性质

1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为.

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值.

2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为.当时，随的增人而增人；

当时，随的增大而减小；当时，有最大值.

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：（，，为常数，）:

2.顶点式：（，，为常数，）；

3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表

示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然.

⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大.

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小

决定开口的大小.

2.一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的右称轴.

（1）在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧.

（2）在的前提下，结论刚好与卜述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，,即抛物线对称轴在轴的左侧.

的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左

同右异”

3.常数项

⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负.

总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置.

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的

解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情

况：

L已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，•般选用两根式：

4.一知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

2.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到IK解析式是：

3.关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是；

关于原点对称后，得到的解析式是；

4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是.

5.关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远

不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形

式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其

对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程：

I.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程处'十以十c=O是二次函数y=ax'+bx+c当函数值y=O时的特殊

情况.

图象与轴的交点个数：

①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根.这两点间的

距离.

②当时，图象与轴只有一个交点；

③当时，图象与轴没有交点.

当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有.

2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大1小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判

断图象的位置，要数形结介；

（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或

已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

A>0抛物线与A-轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根

两个交点可零、可负

A=0抛物线与X轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根

有一个交点

A<0抛物线与X轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.

交点

二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系

从函数观点来看，

一元二次不等式口的解集就是二次函数□的图像上，位于口轴上方的点的横坐标的集

合；

一元二次不等式口的解集就是二次函数□的图像上，位于口轴下方的点的横坐标的集

合；

一元二次不等式口的解集就是二次函数口的图像上，位于口轴上方的点和与口轴的交

点的横坐标的集合；

一元二次不等式口的解集就是二次函数口的图像上，位于口轴下方的点和与口轴的交

点的横坐标的集合.

一元二次方程□的解就是二次函数□的图像上，与口轴的交点的横坐标.

反比例函数

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与

坐标轴相交(KWO)。

2.性质:

1.当k>()时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减

小；当kv。时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0

上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为xWO；值域为yWO。

3.因为在y=k/x(k"O)中，x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不

可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行

线，与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|

5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴

y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A.B两点（m、n同号），那

久AB两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数尸k/x和一次函数户mx+n,要使它们有公共交点,

贝ijnA2+4k-m2（不小于）（）。

8.反比例函数y=k/x的渐近线:x轴与y轴。

9.反比例函数关于壬比例函数y=x,y=-x轴对称，并且关于原点中心对称.

10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w,则矩形mwqo（o

为原点）的面积为|k|

H.k值相等的反比例函数重合,k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点

指数函数

概念：一般地，函数y=a8（a>0,且aKl）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定

义域是R。

注意：1.指数函数对外形要求严格，前系数要为1,否则不能为指数函数。

2.指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质:

规律：I.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具

有奇偶性。

2.当a>l时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；

当OVaVl时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低'

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a>l时，图像在R上是增函数；当OVaVl时，图

像在R上是减函数。

4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

L比较幕式大小的方法：

2.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进吁比较；

3.当底数中含有字母时要注意分类讨论：

4.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较：

对多个数进行比较，可用。或1作为中间量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数

L对数函数的概念

由于指数函数y=ax在定义域G8,+8)上是单调函数，所以它存在反函数，

我们把指数函数y=ax(a>0,aW1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a>0,a^l).

因为指数函数产ax的定义域为(-8,+8),值域为(0,+8),所以对数函数y=]ogax的定

义域为(0,+8),值域为(-8,+8).

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对

数函数的图像，并推知它匕勺性质.

为了研究对数函数y=logax(a>0,a卉1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数

y=log2x,y=logl()x,y=logl0x,y=logx,y=logx的草图

由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a>0,

I)的图像的特征和性质.见下表.

a>la<l

X=1;X=1

ly\

图y：

­y=logax(a>l)

象

o

Of\(lfo)X

y=logax(0<a<l)

(l)x>0

性⑵当x=l时,y=0

质

(3)当x>l时,y>0(3)当x>l时,yVO

0<x<l时,yVO0<x<l时,y>0

0<x<l时，y<00<x<l时，y>0

(4)在(0,+8)上是增函数(4)在(0,+8)上是减函数

补设yl=logaxy2=logbx其中a>1,b>1(或OVaVl0<b<l)

充当x>l时“底大图低”即若a>b则》>y2

性当OVxVl时“底大图高”即若a>b.则yl>y2

质当OVxVl时“底大图高”即若a>b,则yi>yz

比较对数大小的常用方法有:

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.

(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.

(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.

(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

3•指数函数与对数函数对比

名称指数函数对数函数

一般形式y=ax(a>0,aW1)y=logax(a>0.aW1)

定义域(-8,4-00)(0,+8)

值域(0,+8)(,oo,+oo)

当a>1时，当a>l时

函>l(x>0)>0(x>1)

数

a。二l(x=0)◎la不=O(X=1)

值

<l(x<0)<0(x<l)

变

化当()<a<l时，当OVa<1时，

情<l(x>0)<0(x>l)

况

ax*=l(x=O)log“不=0(x=1)

>l(x<0)>0(x<l)

单调性当a>l时,ax是增函数;当a>1时,logax是增函数；

当OVaVl时,ax是减函数.当0<a<l时,logax是减函数.