河南省新乡市新誉佳高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学检测试卷 附答案

/河南省新乡市新誉佳高级中学2025−2026学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知向量，，则（

）A． B． C． D．2．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．3．圆心为，半径为2的圆的方程是（

）A． B．C． D．4．椭圆的焦距为（

）A．1 B． C．2 D．5．双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．6．圆和圆的位置关系是（

）A．内切 B．相离 C．相交 D．外切7．如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（

）

A． B． C． D．8．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．二、多选题9．已知直线与圆相交于两点，则（

）A．是圆的一条对称轴B．圆的半径为C．圆心到的距离为D．的面积为10．若方程所表示的曲线为C，则（

）A．曲线C可能是圆B．若，则C不一定是椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则11．如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的是（

）A．与所成角的余弦值为B．与平面所成角的正弦值为C．点到直线的距离为D．与平面的距离为三、填空题12．已知空间向量，且，则实数_________.13．直线与直线平行，则直线与的距离为________．14．设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________．四、解答题15．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点．（1）求证：；（2）求证：平面16．分别求满足下列条件的直线方程：（1）过点且与直线垂直的直线方程；（2）过点且与直线平行的直线方程；（3）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程．17．已知圆的圆心在直线上，且经过点，.（1）求圆的标准方程；（2）求过原点且与圆相切的直线方程.18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面.

（1）证明.（2）点在线段上，若平面，求.（3）求二面角的正弦值.19．如图，椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）经过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），证明：直线与直线的斜率之和为2．

答案1．【正确答案】A【详解】向量，，则.故选A2．【正确答案】C【详解】由题意知，直线方程可变形为，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，解得.故选C3．【正确答案】B【详解】由题意圆的标准方程是，故选B.4．【正确答案】C【详解】椭圆的半焦距，所以该椭圆的焦距为.故选C.5．【正确答案】B【详解】由题意得，则其渐近线方程为.故选B.6．【正确答案】C【详解】由两圆的方程可知，圆心坐标依次为：，，半径依次为，则，由，可得两圆相交.故选C.7．【正确答案】C【详解】连接，

因为点为的中点，所以即，.故选C.8．【正确答案】C【详解】

如图，根据双曲线的定义得，，由于，，则，所以．设由题可得，则，在中，由余弦定理，可得整理得，即，因，则可得.故选C．9．【正确答案】BD【详解】对于AB，由圆方程知：圆心，半径，B正确；直线不过圆心，不是圆的对称轴，A错误；对于C，圆心到直线的距离，C错误；对于D，，，D正确.故选BD.10．【正确答案】ABC【详解】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确；对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确；对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误.故选ABC.11．【正确答案】ACD【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则对于A，，，设与所成角为，则，故A正确；对于B，平面的法向量可取为，，设与平面所成角为，则，故B错误；对于C，因，与同方向的单位向量为，，则点到直线的距离为，故C正确；对于D，设平面的法向量为，，则，故可取，由，平面，可得平面，则与平面的距离即点到平面的距离，由，则到平面的距离为，故D正确.故选ACD12．【正确答案】2【详解】已知空间向量，且，则，解得.13．【正确答案】/【详解】直线与直线平行，所以，所以直线与直线间距离为.14．【正确答案】【详解】设，，则，，所以，也即，因为，的中点为，所以，，所以，所以，所以直线的斜率为，经检验满足题意．15．【正确答案】（1）见详解；（2）见详解.【详解】（1）如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则，所以，有；（2）由（1）知，设平面的一个法向量为，则，令，即，又，显然，故平面.16．【正确答案】（1）（2）（3）或【详解】（1）因为的斜率为3，所以所求直线的斜率为，所以由点斜式方程可得，即．（2）因为的斜率为，所以所求直线的斜率为，所以由点斜式方程可得，即．（3）①当截距为0时，设直线方程为，因为直线过点，所以，即，所以直线方程为，即．②当截距不为0时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为，即．综述：所求直线方程为或．17．【正确答案】（1）（2）或【详解】（1）线段的中点，直线的斜率，则线段的中垂线斜率为，方程为，即，由，解得，，因此圆的圆心，半径，所以圆的标准方程为.（2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为，即直线与圆相切；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为，解得，因此切线方程为，所以经过原点且与圆相切的直线方程为或.18．【正确答案】（1）见详解（2）（3）【详解】（1）作，垂足为，连接.在中，.，.所以，四边形是正方形.所以.因为，所以平面.因为平面，所以.（2）因为四边形是正方形，所以.因为平面，所以平面.若平面，因为，所以平面平面.因为平面平面，平面平面，所以，所以.因为，所以.（3）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，.

设平面的法向量为，则取.设平面的法向量为，则取.，，即二面角的正弦值为.19．【正确答案】（1）（2）见详解【详解】（1）由题意知解得，，，所以椭圆方程为．（2）方法一：通法．当斜率不存在时，直线与椭圆的两个交点为，，显然成立．当斜率存在时，设直线的方程为，代入，得．由题意可知．设，，，则，．从而直线，的斜率之和为．方法二：齐次化．将椭圆向上平移一个单位所得方程为，即．设平移后直线的方程为，