2025-2026学年北京市第一五六中学七年级下学期数学期中试卷（含答案）

/北京市第一五六中学2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷一、单选题1．在直角坐标系中，点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在下列各数、、、、、、中，无理数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．下列命题中是假命题的是（

）A．对顶角相等B．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补C．如果，那么D．负数没有平方根4．若，则下列各式中正确的是（）A． B．C． D．5．如图，，下列条件可以证明的是（

）．①；②；③；④．A．②③④ B．①② C．②④ D．②6．在平面直角坐标系中，点，若直线与x轴垂直，则m的值为（

）A． B． C．0 D．17．方程组的解与的值互为相反数，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在平面直角坐标系中，已知点．现把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（

）A． B． C． D．二、填空题9．的相反数是__________，绝对值是_______10．如图，直线AB，CD

相交于点O，若∠EOC：∠EOD=4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE=___________．

11．若是关于，的二元一次方程，则_______，_______．12．已知，则________．13．如图，AB∥CD，，，则________．14．如图，A地在某快递公司转运中心B的正西方向，C地在A地的东北方向．该快递公司要在B地的北偏西60°方向上设置快递驿站D，使得快递驿站D到A，C两地的距离之和最短．根据以上信息，回答下列问题：（1）请描述快递驿站D的位置：______；（2）确定快递驿站D的位置的理由是______．15．如图，在实数范围内规定新运算“”，其规则是：ab=2a﹣b．已知不等式xk≥1的解集在数轴上，则k的值是_____．

16．某校举办数学节活动，其中一项活动环节是进活动室门需要先破译密码．根据下面四个已知条件，推断正确密码是__________．①只有两个汉字正确且位置正确；②只有两个汉字正确但位置都不正确；③只有三个汉字正确但位置都不正确；④四个汉字都不正确．三、解答题17．计算：（1）（2）18．解下列方程（组）：（1）；（2）．19．（1）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来；（2）求的非负整数解．20．如图，点A在的一边上，按要求画图并填空．（1）过点画直线于点，与的另一边相交于点．（2）过点画的垂线段，垂足为点．（3）过点画直线，交直线于点．（4）__________．（5）如果，，，则点A到直线的距离为__________．21．已知与互为相反数，的立方根是2，（1）求a、b、c的值；（2）求的平方根．22．请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．已知：如图，，．求证：．证明：∵（已知），∴______//______(______)．∵（已知），∴//(______)．∴//______(______)．∴(______)．23．如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，．（1）请在网格中建立适当的平面直角坐标系；（2）点C的坐标为__________；（3）将平移后得到对应的，其中点A的对应点是，请在图中画出平移后的；（4）的面积为__________；（5）在x轴上有一点P，使得的面积等于的面积，点P的坐标为__________．24．已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，且（1）求证：；（2）若平分，，求和的度数．25．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？26．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．（1）到底有多大？下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．由面积公式，可得________．因为x值很小，所以更小，略去，得方程________，解得_______（保留到0.001），即______．（2）怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．请参考小敏的做法，现有8个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．27．将三角形和三角形按图1所示的方式摆放，其中，，，，点D，A，F，B在同一条直线上．

（1）将图1中的三角形绕点B及逆时针旋转，且点A在直线的下方．①如图2，当时，求证：；②当时，直接写出的度数；（2）将图1中的三角形绕点E逆时针旋转，如图3，当点D首次落在边上时，过点E作，作射线平分，作射线平分交的反向延长线于点N，依题意补全图形并求的度数．28．对x，y，z定义一种新运算F，规定：，其中a，b为非负数．（1）当时，若，则的值是__________；（2）若，设，则H的取值范围是__________．29．小聪和小明在学习了平面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系中任意两点与的一种新的距离：小聪定义了，的“分解距离”，如下：在平面直角坐标系中，对于任意两点与．若，则为点与点的“分解距离”，即；若，则为点与点的“分解距离”，即．小明定义了，的“和距离”，如下：在平面直角坐标系中，对于任意两点与．点，的“和距离”为与的和，即．根据以上材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，已知点，，（1）______；______；（2）若点在第一象限，且点．求点的坐标；（3）已知点，满足，①在图1中画出所有符合条件的点围成的图形和点围成的图形；②已知点，，若线段上有且只有一个点满足，并且有且只有一个点满足（点和点不重合），直接写出的取值范围．

图1

备用图

答案1．【正确答案】A【分析】本题考查了点所在的象限，熟练掌握在各个象限内的点的坐标特征是解题关键．根据点的横、纵坐标均大于0即可得．【详解】解：∵在直角坐标系中，点的横、纵坐标均大于0，∴点位于第一象限，故选A．2．【正确答案】C【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【详解】解：在、、、、、、中，、、是无理数，共3个；故选C．3．【正确答案】B【分析】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例．本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可．【详解】解：A、如果两个角是对顶角，那么它们相等，是真命题，不符合题意；B、两直线被第三条直线所截，同旁内角互补的前提是两直线平行，若两直线不平行，同旁内角不互补，因此该命题不成立，是假命题，符合题意；C、如果，那么，故C是真命题，不符合题意；D、负数没有平方根，故D是真命题，不符合题意；故选B．4．【正确答案】C【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质成为解题的关键．根据等式的基本性质逐项判断即可．【详解】解：A、∵，∴，故A不符合题意；B、∵，∴，故B不符合题意；C、∵，∴，故C符合题意；D、∵，∴，故D不符合题意．故选C．5．【正确答案】C【分析】根据两直线平行的判定定理，对条件依次进行判断即可．【详解】解：①③不能判定；②，可以根据同位角相等，两直线平行可以判定；④，可以根据同旁内角互补，两直线平行可以判定；选项C符合题意．故选C．6．【正确答案】D【分析】本题考查直角坐标系内点坐标的性质，由题意转化为点A，点B到y轴的距离相等，且在y轴同侧，也就是其横坐标相等，解即可．【详解】解：由题意知，，∴故选D．7．【正确答案】B【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，相反数，掌握加减消元法是解题的关键；利用加减消元法得，，再根据相反数的定义，即可得到答案．【详解】，得，把代入得，，与的值互为相反数，，解得．故选B．8．【正确答案】A【分析】本题考查规律型：点的坐标，先求出四边形的周长为10，得到的余数为5，由此即可解决问题．【详解】解：∵，，，，∴四边形的周长为10，的余数为5，又∵，，∴细线另一端所在位置的点在C处，坐标为．故选A．9．【正确答案】.；.【分析】分别根据相反数、绝对值的概念即可求解．【详解】解：根据相反数的概念有的相反数是即；根据绝对值的定义：是正数，它的绝对值是．故答案是：；.10．【正确答案】140°【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE=80°，∠EOD=100°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC=∠BOD，进而得出答案．【详解】∵∠EOC：∠EOD=4：5，∴设∠EOC=4x，∠EOD=5x，故4x+5x=180°，解得：x=20°，可得：∠COE=80°，∠EOD=100°，∵OA平分∠EOC，∴∠COA=∠AOE=40°，∴∠BOE=180°-∠AOE=140°．故答案为140°.11．【正确答案】；【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程，∴，，解得：，，当时，，此时方程为一元一次方程，舍去，∴，．12．【正确答案】0.4472【分析】首先把化为即，代入的值即可．【详解】解：．13．【正确答案】40【分析】由得到，再利用三角形的外角定理可以求出．【详解】∵，∠C＝70°，∴，又∵∠FEB＝∠A＋，而∠A＝30°，∴＝∠FEB－∠A＝70°－30°＝40°.14．【正确答案】快递驿站D的位置是射线与的交点；两点之间，线段最短【分析】本题考查了坐标确定位置，方向角，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．（1）根据方向角的定义即可得到结论；（2）根据线段的性质：两点之间，线段最短即可得到结论．【详解】（1）连接交于点，则点即为所求，（2）确定快递驿站的位置的理由是两点之间，线段最短.15．【正确答案】﹣3【分析】根据新运算法则得到不等式2x-k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．【详解】根据图示知，已知不等式的解集是x⩾−1.则2x−1⩾−3，∵x△k=2x−k⩾1，∴2x−1⩾k且2x−1⩾−3，∴k=−3.故答案是：k=−3.16．【正确答案】北京学校【分析】本题考查逻辑推理，结合①②④可确定第（二）第四个字分别为“京”“校”，结合③④确定另外两个字及位置，即可求解．【详解】解：由①②可得，没有“市”字，由④可得，没有“一”字，结合①可得，第（二）第四个字分别为“京”“校”，结合③④可得，有“学”“校”“北”三个字，且“北”字不是左边数第三个字，综上可得，从左到右四个字分别为：北，京，学，校．推断正确密码是：北京学校.17．【正确答案】（1）（2）【分析】本题考查的是实数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；（1）先计算算术平方根，立方根，再合并即可；（2）先计算乘方，化简绝对值，求解立方根，算术平方根，再合并即可.【详解】（1）解：；（2）解：18．【正确答案】（1）或（2）【分析】本题考查利用平方根解方程，解二元一次方程组：（1）将原式变形为，两边开平方，即可求解；（2）利用加减消元法解方程组即可．【详解】（1）解：，，或，解得或；（2）解：得：，解得，将代入得：，解得，该方程组的解为．19．【正确答案】（1），见详解；（2）；非负整数解为：0，1．【分析】本题考查解一元一次不等式以及整数解．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键．（1）根据解不等式的步骤，进行求解，再在数轴上表示出解集，即可；（2）根据解不等式的步骤，进行求解，找到它们的非负整数解即可．【详解】解：（1），移项，合并，得：，解得；数轴表示解集，如图：；（2），去分母得：，去分母得：，移项，合并，得：，解得；∴非负整数解为：0，1．20．【正确答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（3）90；（5）．【分析】（1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；（2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C；（3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D；（4）利用两直线平行同位角相等即可确定答案；（5）利用等积法即可求得线段AC的长．【详解】解：（1）如图；（2）如图；（3）如图；（4）∵CD∥OA，∴∠CDB=∠OAB=90°；（5）∵∴21．【正确答案】（1）（2）的平方根是【分析】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．（1）直接利用算术平方根、立方根、互为相反数的定义得出，，的值；（2）结合平方根的定义以及（1）中所求，代入得出答案．【详解】（1）∵与互为相反数，∴，∴，，解得：，，∵的立方根是2，∴，∴（2）由（1）可知，，，，∴∴的平方根是．22．【正确答案】；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补【分析】由平行线的判定条件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行线的性质即可得到AB∥EF，从而可证得∠B+∠F＝180°．【详解】证明：∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行）．∵（已知），∴（同位角相等，两直线平行）．∴（平行于同一条直线的两直线平行）．∴（两直线平行，同旁内角互补）．23．【正确答案】（1）见详解（2）点C的坐标为（3）见详解（4）3（5）或【分析】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识．（1）根据题意建立平面直角坐标系即可；（2）利用直角坐标系可直接写出C点坐标；（3）分别作出A，B，C的对应点，，即可得到；（4）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算的面积；（5）设．利用三角形面积关系构建方程求解即可．【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示，；（2）解：点C的坐标为.（3）解：如图所示：；（4）解：的面积.（5）解：设．∵，，∴，解得：或7，∴点P的坐标为或．24．【正确答案】（1）见详解；（2），．【分析】本题考查了两直线平行的判定及性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相应的判定定理及性质．（1）根据，得出，又，得出，利用同旁内角互补即可推出；（2）根据，，得出，又因为平分，得出，再证明，再根据两直线平行的性质即可得出．【详解】（1）解：证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，由（1）知，∴，∵，∴．∵，∴．25．【正确答案】（1）A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元（2）共有2种购买方案，最大利润是220元【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，由题意得：，解得：，答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，由题意得：，整理得：，、n均为正整数，或，该商店共有2种购买方案：①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；，最大利润是220元．26．【正确答案】（1），0.014，1.414（2）见详解【分析】本题考查无理数的估算，看懂所给材料是解题的关键．（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；（2）画出分割线，拼出新正方形即可．【详解】（1）解：由面积公式，可得．因为x值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．（2）解：27．【正确答案】（1）①见详解；②（2）见详解，【分析】（1）利用平行线的性质，运用，，得出结