2024-2025学年广东深圳红岭中学高二下学期期中数学试题含答案

高中2024-2025学年广东省深圳市红岭中学高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）函数f（x）＝2x3﹣3x+1的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）已知某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是85%，乙厂产品的合格率是90%．在该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（）A．86% B．87% C．88% D．89%3．（5分）甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（）A．3种 B．6种 C．9种 D．12种4．（5分）设随机变量X的分布列为X1234P4k0.63kk则P（|X﹣2|≤1）＝（）A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.655．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，且a2，a3，a4﹣2成等差数列，则S4＝（）A．7 B．12 C．15 D．316．（5分）若c2025m+1005=A．28 B．56 C．12 D．1207．（5分）函数f（x）＝ex﹣cosx的部分图象大致为（）A． B． C． D．8．（5分）已知a=sin32，b=3A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．少选得部分分，多选或错选得0分，全部选对得6分．（多选）9．（6分）已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，（1+n）an＝nan+1，bn=4anan+1，记Sn，Tn分别为数列{aA．an＝2n B．当n≥44时，Sn≥2025 C．T2025D．当n≥2时，1（多选）10．（6分）若(x+2)(2x−1)A．a0＝﹣2 B．a1+a3+a5＝﹣123 C．a0+a2+a4+a6＝120 D．a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6＝31（多选）11．（6分）设函数f（x）＝|x﹣2|+lnx，则（）A．x＝1是f（x）的极大值点 B．直线y＝x+1﹣ln2是曲线y＝f（x）的切线 C．当x＞12时，D．当0＜x＜1时，f（x）＜f（2﹣x）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=12an13．（5分）(x2+1x+1)14．（10分）已知函数f(x)=(x−a−1)ex−1−12ax2+a2x(a∈R)，若a＝e，则f（四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3a10＝﹣40，S5＝﹣20．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求使Snan16．图1是边长为3的等边三角形ABC，点D，E分别在AB，AC上，且AD＝CE＝1．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，连结A1B，A1C，如图2，若A1（1）证明：平面A1DB⊥平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求PB的长；若不存在，请说明理由．17．设O为坐标原点，当点P在曲线y2＝6x上运动时，点Q满足OQ→=2QP→，记（1）求C的方程；（2）已知A（1，2），B和D是C上相异的两点，分别记直线AB，AD的斜率为k1，k2，若k1+k2＝1，证明：直线BD过定点．18．某社团由2名男生、2名女生组成，现举办社团活动，要从这4人中随机抽取2人参加比赛，比赛共有三项，对于被抽中的人，每人参赛的情况相互独立，概率如表所示：参加一项的概率参加两项的概率参加三项的概率女生0.50.50男生00.50.5规定：每参加1项比赛，社团的积分增加100分．（1）在抽取的2人中至少有1名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率；（2）求该社团最终的积分为600分的概率；（3）若学校提出两种奖励方案，供参加比赛的社团自行选择．方案一：每个社团奖励“参与奖”300元；方案二：对参赛的社团最终获得的积分按“1积分＝1元”的方式兑换奖金．为使最终获得奖励金额的期望最大，该社团应选择哪种方案？并说明理由．19．曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记f″（x）＝[f′（x）]′，定义曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的曲率为K=|f″(（1）比较曲线y＝xlnx在点A（1，0）和B（e﹣1，﹣e﹣1）处弯曲程度的大小；（2）若函数f(x)=x2lnx−ax3−12x2的图象上存在两个不同的点P1（x1，g（x1）），P2（x2，g（x2）），使得曲线y＝（i）求a的取值范围；（ii）证明：x1

2024-2025学年广东省深圳市红岭中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DBCACBDB二．多选题（共3小题）题号91011答案ACDADAD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解答】解：f′（x）＝6x2﹣3，f′（1）＝3，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：3．故选：D．2．【答案】B【解答】解：由题意可知，在该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为0.6×0.85+0.4×0.9＝0.87．故选：B．3．【答案】C【解答】解：甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有C3故选：C．4．【答案】A【解答】解：根据题意，由X的分布列，有4k+0.6+3k+k＝1，解可得k＝0.05，P（|X﹣2|≤1）＝P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）＝1﹣P（X＝4）＝1﹣0.05＝0.95．故选：A．5．【答案】C【解答】解：设公比为q（q≠0），∵a2，a3，a4﹣2成等差数列，∴2a3＝a2+a4﹣2，则2×2q＝2+2q2﹣2，解得：q＝2或0（舍去），a2＝2，∴a1＝1，故S4故选：C．6．【答案】B【解答】解：因为C2025所以m+1005+m+1006＝2025，解得m＝7，所以C2故选：B．7．【答案】D【解答】解：根据题意，f（x）＝ex﹣cosx，当x＞0时，ex＞1而cosx≤1，则有f（x）＝ex﹣cosx＞0，即在y轴右侧，函数图象在x轴上方，排除A、C，又由f（−π2）=e−π2−故选：D．8．【答案】B【解答】解：设f（x）＝sinπx2，在同一坐标系内作出y＝f（x）的图象与直线y＝x它们的交点为（0，0），（1，1）．因为当x∈（0，1）时，y＝f（x）的图象在直线y＝x的上方，所以sinπx2＞取x=3π，可得sin（π2×3结合3π＞3032＞910，可得910＜故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．少选得部分分，多选或错选得0分，全部选对得6分．9．【答案】ACD【解答】解：因为a1＝2，（1+n）an＝nan+1，所以an+1则a2即ana1=n，所以an＝2bnSn=(2+2n)n2=n（n+1），当n≥44时，SnTn＝1−12+则T2025=20252026，当n≥2时，Tn•Tn﹣1=n又n≥2时，n−1n+1=1故n＝2时，上式取得最小值13，即13≤故选：ACD．10．【答案】AD【解答】解：对于A，令x＝0，则a0＝﹣2，故A正确；对于B，C，令x＝1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝3，令x＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝﹣243，两式相减得，2（a1+a3+a5）＝246，则a1+a3+a5＝123，故B错误；两式相加得，2（a0+a2+a4+a6）＝﹣240，则a0+a2+a4+a6＝﹣120，故C错误；对于D，对原式求导，f′（x）＝（2x﹣1）5+（x+2）•10（2x﹣1）4，代入x＝1，则f′（1）＝1+30＝31，即a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6＝31，故D正确．故选：AD．11．【答案】AD【解答】解：选项A：当x≥2时，f（x）＝x﹣2+lnx，导数f′(x)=1+1当0＜x＜2时，f（x）＝2﹣x+lnx，导数f′(x)=−1+1令f′（x）＝0，解得x＝1．当x→1﹣时，f′（x）＞0（递增）；当x→1+时，f′（x）＜0（递减）．所以x＝1是极大值点，选项A正确；选项B：当x＝2时，f（2）＝0+ln2，切线方程为y＝ln2．y＝x+1﹣ln2，当x＝2时，y＝3﹣ln2≠ln2，选项B错误；选项C：当x≥2时，f（x）＝x﹣2+lnx，导数f′(x)=1+1当12＜x＜2时，f（x）＝2﹣x+导数f′(x)=−1+1x，在12在x＝1处取得极大值f（1）＝1，而32当x→2﹣时，f（x）→ln2≈0.693，小于32−ln2，选项选项D：g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）＝2lnx﹣x+1，定义域0＜x＜1．导函数g′(x)=2x−1，在0＜x＜1时，gg（1）＝0，当x→0+时，g（x）→﹣∞，所以g（x）＜0在0＜x＜1时成立，选项D正确．故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】﹣2．【解答】解：若Sn可得n＝1时，a1＝S1＝1+12a1，解得a当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝1+12an﹣1−12化为an＝﹣an﹣1，即有数列{an}是首项为2，公比为﹣1的等比数列，可得a6＝2×（﹣1）5＝﹣2．故答案为：﹣2．13．【答案】80．【解答】解：(x2+所以(x2+1x+1)6的展开式中含x或2个因式取x2，1个因式取1x所以(x2+1x+1)故答案为：80．14．【答案】（2，e）；1．【解答】解：若a＝e，则f（x）＝（x﹣e﹣1）ex﹣1−12ex2+e2f′（x）＝ex﹣1+（x﹣e﹣1）ex﹣1﹣ex+e2＝（x﹣e）ex﹣1﹣e（x﹣e）＝（x﹣e）（ex﹣1﹣e），令f'（x）＜0，即（x﹣e）（ex﹣1﹣e）＜0，因为y＝ex﹣1是单调递增函数，ex﹣1﹣e＝0时，x﹣1＝1，解得x＝2；x﹣e＝0时，x＝e．分情况讨论：当x＜2时，ex﹣1﹣e＜0，要使（x﹣e）（ex﹣1﹣e）＜0，则x﹣e＞0，即x＞e，此时e＜x＜2不成立；当x＞2时，ex﹣1﹣e＞0，要使（x﹣e）（ex﹣1﹣e）＜0，则x﹣e＜0，即x＜e，此时2＜x＜e，所以f（x）的单调递减区间为（2，e）；f′（x）＝ex﹣1+（x﹣a﹣1）ex﹣1﹣ax+a2＝（x﹣a）ex﹣1﹣a（x﹣a）＝（x﹣a）（ex﹣1﹣a），因为f（x）是增函数，所以f'（x）≥0恒成立，令g（x）＝ex﹣1﹣a，y＝x﹣a，因为g（x）＝ex﹣1﹣a与y＝x﹣a都是R上的增函数，所以要使（x﹣a）（ex﹣1﹣a）≥0恒成立，则函数g（x）＝ex﹣1﹣a与y＝x﹣a有相同的零点，也就是方程ex﹣1＝a与x＝a有相同的根，即ea﹣1＝a，令h（x）＝ex﹣1﹣x，求导得h'（x）＝ex﹣1﹣1．令h'（x）＝0，即ex﹣1﹣1＝0，解得x＝1，当x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）在x＝1处取得最小值h（1）＝e1﹣1﹣1＝0，即ex﹣1﹣x＝0的解为x＝1，所以a＝1．故答案为：（2，e）；1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【答案】（Ⅰ）an＝2n﹣10．（Ⅱ）{6，7，8，9}．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3a10＝﹣40，S5＝﹣20，∴(a解得a1＝﹣8，d＝2，∴{an}的通项公式为an＝﹣8+（n﹣2）×2＝2n﹣10．（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn＝﹣8n+n(n−1)2×2=n2∵Snan＜1，∴∵n≥1，∴（n﹣5）（n﹣10）＜0，解得5＜n＜10．∴满足条件的n的取值集合为{6，7，8，9}．16．【答案】（1）证明见解答；（2）存在，PB=5【解答】解：（1）证明：因为AD＝CE＝1，AE＝3﹣1＝2，∠A＝60°，由余弦定理得DE=1因为AD2+DE2＝AE2，所以AB⊥DE，折叠后有A1D⊥DE，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣30°＝150°，所以CD=(因为A1C=22，A所以A1即A1D⊥CD，因为DE∩CD＝D，且DE，CD⊂平面BCED，所以A1D⊥平面BCED，A1D⊂平面A1DB，所以平面A1DB⊥平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，如图，作PH⊥BD于点H，连结A1H，A1P．由（1）有A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，所以A1D⊥PH，又A1D∩BD＝D，所以PH⊥平面A1BD．所以∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，∠PA1H＝60°，设PB＝x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°=x2，PH＝PBsin60°在Rt△PA1H中，∠P1AH＝60°，所以A1在Rt△A1DH中，A1D＝1，DH＝2−1由A1得12解得x=52，满足0≤所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=517．【答案】（1）y2＝4x；（2）证明见解析，定点坐标为（﹣3，2）．【解答】解：（1）设点Q（x，y），P（x0，y0），因为点Q满足OQ→=2QP→，所以（x，y）＝2（x0﹣x，y所以x=2x0−2xy=2y0−2y，即x0=3所以(32y)2=6×即点Q的轨迹C的方程为y2＝4x．（2）证明：显然直线BD的斜率不为0，则设直线BD的方程为x＝my+t，联立x=my+ty2=4x，消去x得y2﹣4my设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，因为k1=k所以k=4(化简得t＝﹣2m﹣3，所以直线BD的方程为x＝my﹣2m﹣3，即x+3＝m（y﹣2），当x＝﹣3时，y＝2，所以直线BD过定点（﹣3，2）．18．【答案】（1）45（2）124（3）方案二更有利．【解答】解：（1）根据题意，设“抽取的2人至少有1名男生”为事件A，设“有女生参加比赛”为事件B．则P(A)=C21利用条件概率公式，可得P（B|A）=P(AB)（2）根据题意，该舞蹈社团最终的积分为600分，说明抽取的2人都是男生，且2人都参加了三项比赛，所求概率P=C（3）对于方案二，设参加比赛的社团最后获得的奖金为X，则X所有可能取值为200，300，400，500，600．则P(X=200)=C22C42×(0.5)2所以E(X)=200×1即获得的奖励金额的期望大于300，故方案二更有利．19．【答案】（1）B的弯曲程度大于A；（2）（i）a∈（0，1）；（ii）证明见解析．【解答】解：（1）∵f'