2023年新高考Ⅱ卷高考数学真题完全解读

2023年高考真题完全解读(新高考II卷)

适用省份：

辽宁、重庆、海南、云南、吉林、黑龙江、安徽、山西

监I试卷总评

一、试卷总体情况分析

新高考II卷函数与导数四个小题，一个大题，共计32分；立体几何两个小题，一个大题，共计22分；

解析几何两个小题，一个大题，共计22分；三角函数与解三角形两个小题，一个大题，共计2()分；统计概

率两个小题，一个大题，共计22分；数列一个小题，一个大题，共计17分；集合，复数与平面向量，各占5

分。总体来看，数列比重有所增加。试卷整体上提升了对学生的数学运算和逻辑推理核心素养等的考查。

二、试题坚持思想性与科学性的统一

如新课标0卷第3题，抽样了解学生参加体育运动的情况，第19题，要求合理平衡漏诊率和误诊

率，制定检测标准，试题情境既有现实意义，也能很好地体现数学学科的应用价值。全面贯彻党的教

育方针，落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展；反映新时代基础教育课程理念，落

实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求.

三、试题依据课程标准命题,深化基础考查

如新课标II卷第11题，其本质是根据一元二次方程根的性质判定方程系数之间的关系，题中函数

经过求导以后，其既有极大值又有极小值的性质可以转化为一元二次方程有两个正根。深入考查直观

想象素养，如新课标H卷第9题以多选题的形式考查圆锥的内容，题目全面考查基础，四个选项设问

逐次递进，前面的选项为后面的选项提供了条件，各选项分别考查圆锥的不同性质，互相联系，重点

突出。扎实考查数学运算素养，要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结

果。如新课标II卷第10题设置了直线与抛物线相交的情境，通过直线方程与抛物线方程的联立考查计

算能力。

四.试题突出素养和能力考查，甄别思维品质

如新课标H卷第22题将导数与三角函数巧妙的结合起来，通过对导函数的分析•，考查函数的单调

性、极值等相关问题，通过导数、函数不等式等知识，深入考查了分类讨论的思想，化归与转化的思

想如新课标H卷第15题是一道开放题，有多个答案，考查直线与圆的位置关系、点到直线距离及圆

内接三角形性质等知识内容。

除I考情分析

题号分值题型考查内容命题点

15单项选择复数复数的运算及几何意义

25单项选择集合集合的包含关系

35单项选择计数原理组合问题

45单项选择函数性质函数的奇偶性

55单项选择圆推曲线直线与椭圆的位置关系，椭圆的性质

65单项选择导数利用导数研究函数的单调性

75单项选择二用函数二角恒等变换

85单项选择数列等比数列和的性质，基本量运算

95多项选择立为几何圆锥的表面积、体积

105多项选择圆推曲线直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质

115多项选择导数利用导数研究函数的极值

125多项选择概率二项分布的概率

135填空题向量向量的模

145填空题立为几何四棱台的体积

155填空题解析几何直线与圆的位置关系

165填空题三角函数三角函数的图象和性质

1710解答题解三角形正弦定理、余弦定理

1812解答题数列等差数列通项，数列求和

1912解答题统计与概率频率分布直方图，概率，分段函数求最值

2012解答题立为几何线线垂直，二面角

2112解答题解析几何双曲线方程，直线与双曲线的位置关系，定直线问题

2212解答题导数利用导数证明不等式，利用导数研究极值

备考指津

1、减少死记硬背和，机械刷题，现象“，扩大试题的开放性与灵活度，进一步降低死记硬背和“机械刷题”的得

分收益。

2、学生应认识到低效的学习方式只会带来无效的压力和负担，讲究备考复习时效性，不断巩固阶段性复习

成果。

3、你做过的题，一般不会再考——变化的是形式；高考考的题，你大部分都做过一一不变的是本质；高考

常换汤，偶尔换碗，永远不换的是药。数学复习过程中要重视一题多解和多题一解及变式训练，提升数学

素养和解决问题的能力。

除真题解读

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.在复平面内，（l+3i）（3—i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】（1十3i）（3—i）=3—十3=6+8"复数对应的点位于复平面内第一象限，故选A.

［方法总结］利用复数与点的对应关系解题的步骤

（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a+历（a,b£R）可以用复平面内的点Z3,勿来袤示，是解决

此类问题的根据.

（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.

2.设集合A={0,—勾，B=2,2々-2},若AqB,则Q=（）.

2

A.2B.1C.—D.—1

3

【答案】B

【解析】则。-2=0且2a—2=—〃，此时。二2

或〃一2=-。且2。-2=0,则。=1,显然故选B.

【解后反思】利用集合间的关系求参数的关注点

⑴分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.

(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端

点值，做到准确无误.一般含“=”用实心点表示，不含“=''用空心图表示.

(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集.

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高

中部两层共抽取6。名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有

().

A.Cy・C盛种B.C北C鼠种

C.C工C或种D.C：〉C鼠种

【答案】D

【解析】初中部和高中部总共有400+200=600(人)，

按照分层抽样的原理，应从初中部抽取幽x60=40(人)，

600

OAA

从高中部抽取上X60=20(人)，

600

第一步：从初中部抽取40人，有C禽种方法，

第2步：从高中部抽取20人，有C为种方法，

根据分步计数原理，一共有Ca・C工种方法；故选：D.

【解题规律】有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类

⑴“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法,即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉弃取,分步计

数.

(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接

法，注意找准对立面，确保不重不漏.

Or-1

4.若/(力=(1+〃刖幺」为偶函数，则。二().

2x1

A.-1B.0C.-D.1

2

【答案】B

【解析】方法一：函数“X)的定义域为(—8,—；)U(g,+8),因“X)是偶函数，

不妨令X=1,则有/(-I)=/(I-1+«)In3=(1+6Z)Ini-1+67=-1-67,/.6?=0.

方法二：发现g(x)=in—二是奇函数，而/(x)=(x+a)g(x)为偶函数,

有f(-x)=(f+a)g(r)=一(一%+4)g(x)=(x+a)g(x)=f(x)，

故工一a=x+a,则。=0.选B.

【解后反思】利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：若解析式含参数，则根据,/(—x)=-Ax)或贝一工)

=/以)列式，比较系数利用待定系数法求解：若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端

点和为0求参数.

(2)求函数值：利用4-x)=-/U)或y(—x)=/U)求解，有时需要构造奇图数或偶函数以便于求伍.

5.己知椭圆。：,+)，2=1的左、右焦点分别为石，工，直线y=x+m与。交于A,B两点,若

面积是△gAB面积的2倍，则加二().

2

A.-B.—C.D.

333

【答案】C

2

X2一］

【解析】由=，可得4%2+6”a+3m2—3=0

y=x+m

椭圆与直线y=x+〃z与C交于4,B两点，可得一2v〃?<2

2

设椭圆,+丁=1的左、右焦点分别为"(-3,0),F2(V2,0)

到直线y=x+m的距离分别为4、出，

-\f2+m

由点到直线的距离公式可知4=4=

因为Sg"=2s，所以有g•MM・。=g•I阴-4，

两边平方解得"?二-',故选C.

3

【解后反思】解决直线与椭圆的综合问题，要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用

6.已知函数/a)=ae'-lnx在区间(1,2)单调递增，则〃的最小值为().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

【答案】C

【解析】函数/(x)=ae*-Inx在区间(1,2)单调递增

等价于/'(x)=a'―1｝0在区间(1,2)上恒成立，即a;J,

设g(x)=x",则在x«l,2)上恒有g'(x)=(x+l)/>0,

所以g(x)>g(l)=e，则)、<L即aNe",故选C.

e

【解后反思】利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路

①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即/*巨0(或/(x)W0)恒成立，利用分离参数或函数性质求

解参数范围，然后检验参数取"=''时是否满足题意.

②先令/(幻>0(或/(x)<0),求出参数的取值范围后，再验证参数取"=”时段)是否满足题意.

7.已知a为锐角，cosa=1+',则sin.

42

3-亚-}+\53-\/5-1+逐

A.-----B.-------C.------

【答案】D

【解析】由cosa=l-Zsin?&■得，sin2—=-

22

又因为0<a<工则0<4<工所以sin^〉。，

2,24,2

【解后反思】利用半角公式求值的思路

(1)看角：若已知三角函数式中的的是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问懑，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.

"Qina1—cos(L

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用ta年二=.'其优点是计算时可避免因开方带来

的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用S喏=匕产,cos写计算.

8.记S“为等比数列｛4｝的前〃项和，若Si=「5,§6=2电，则&二().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】方法一（基本量法）：如果q=则§6=64，邑=24与题意不符合，所以901，

由§6=2电得“，一:）=21%，；）,所以1一二二0-0（］+疗+力=21（1一^）,则

,、、aAi-q4}aA\-q\q（1—4,）（1+夕4）

/+/_20=0,解得/=4.由已知S,二』-二2=—5而4二』一二2二」__.八―「85.

1\-q\-q

故选C.

方法二（性质法）：由等比数列性质：〃“为等比数列，则5”,52“-5“,53”-52〃・一依次成等比数列，当

〃=2时，S?凡-S?凡-S、,S「S6成等比数列.设公比为Q,

所以§2+邑一邑+56-54=52（1+。+。2）=21邑,所以1+。+。2=21,。=4,

52+5广$2=（1+。）52=552=-5,所以§2=7,

所以58=52+0-52）+（5674）+氏-56）=520+。+。2+。3）=-85,故选（3.

【解后反思】处理等比数列前〃项和有关问题的常用方法

（1）运用等比数列的前〃项和公式，要注意公比乡=1和q*两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分

或两式相除的方法进行消元.

⑵灵活运用等比数列前〃项和的有关性质.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2。分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，A8为底面直径，ZAPB=\20°fPA=2,点C在底面圆周上，

且二面角P一4。一。为45。，则（）.

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为48兀

C.AC=242D.△R4C的面积为6

【答案】AC

【解析】由题意，可得尸O_L平面AOC,ZAPO=-ZAPB=600,

2

所以夕O=%cosZAPO=l,AO=PAsinZAPO=y/3.

如图，取AC的中点O,连接尸DO£>,则尸D_L八C,OD_LHC,

所以ZPDO即为二面角P—AC-O的平面角，所以ZPDO=45°.

因为ODu平面A。。，POJ_平面AOC,

所以尸OJ.O。，所以为等腰直角三角形，

所以。。二尸。=1,PD=y/2.

对于A,圆锥的体积V=gs//=；7tx(G『xl=Tt,故A正确；

对干B,圆锥的侧面积S=TU7=兀X6X2=2JLI,故B不正确：

对于C,AC=2y]AO2-OD2=2V2,故C正确；

=x

对于D,SAPAC=xACxPD~x5/2=2,故D不正确.

综上所述，故选AC.

【解后反思】1.圆锥的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积

与底面圆的面积之和.

2.求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.

10.设O为坐标原点，直线)，=-V5(X—l)过抛物线C：)，2=2px(〃>°)的焦点，且与C交于历，N两

点，/为。的准线，则().

Q

A.p=2B.|MA^|=-

C.以MN为直径的圆与/相切D.△(?的为等腰三角形

【答案】AC

【解析】对于A,在y=-G(x-l)中令y=0,得x=l,

所以抛物线的焦点为(1,0),所以£二1,所以〃=2,故A正诵：

对于B,由A知，抛物线的方程为V=4x,

1

y=-V3(x-l)x=3

则由•或<

>2=4xy=-243

不妨设M,N

则由抛物线的定义，得|MN|=/+/+〃=7，故B不正够

Q

对「C,由B知，以MV为直径的圆的圆心为半径为2.

3

又抛物线的准线/的方程为工=一"=一1,

2

5X

圆心到准线/的距离为:一=所以以MN为直径的圆与/相切，故C正确；

对于D,因为|0N|==&TW|MN|,

则由抛物线的对称性知AOMN不是等腰三角形，故D不正确.综上所述，故选AC.

【解后反思】解决抛物线综合问题的基本策略

对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑挂理和数学运

算，从代数法的角度推证结论.

11.若函数〃x)=alnx+t+W(a。。)既有极大值也有极小值，则().

A.hc>0B.ab>QC.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】由函数++

1X

得函数的定义域为(O,k),广⑺子《告二叱-/-2c

因为函数/(x)既有极大值也有极小值，所以g(x)=or2-法-2c在(0,+8)上，有两个不同的零点.

A=/?24-Sac>0

因为。。0,所以1%+乂=2>0

a

2c八

xx=--->0

}2a

所以Z?2+Sac>0,且>0,ac<0,be<0,

所以A不正确，B,C,D正确.故选BCD.

【解后反思】根据函数既有极大值乂有极小值求参数的取值范围问题的常用方法为：首先对函数进行求导，

然后根据函数既有极大值乂有极小值可以得到导函数为的方程有两个不等的实数根，从而转化为函数存在

两个零点问题求解.

12.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为a（O＜a＜l）,收到。的概

率为1一。；发送1时，收到。的概率为夕（0＜尸＜1），收到1的概率为1-4.考虑两种传输方案：单次

传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号

需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的

即为译码（例如，若依次收到1,0,1,则译码为1）（）.

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0/，则依次收到10』的概率为（1—a）（l—4）2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,01的概率为£（1-6）2

C.采用三次传输方案，若发送I,则译码为1的概率为〃（1—尸丫+（1—月丫

D.当0＜。＜0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为。的概率大于采用单次传输方案译码为0的概

率

【答案】ABD

【解析】设事件“发送信号。收到（）”为事件4,设事件“发送信号。收到1”为事件4，

设事件“发送信号1收到（）”为事件纥，设事件”发送信号1收到I”为事件稣，

由题知，P（4）=1-a,P（A）=a,P（稣）=6,P（4）=1一6,

且事件4,A，为若互相独立，

考鲤选项人,所求事件为4A圈.

所以=P（4）P（4）P（即=（1-0（1-a）（l-/?）=（1-a）（l—夕）2,所以A正确

考察选项/?,所求事件为4为用，

所以P（8也出）=P（即P（综）P（B,）=（l-夕）"1一夕）="1一夕）2,所以8正确;

考察选项C,所求事件为8圈8。+844+8。8禺+8乃田，

又P电B向)==03,

所以P(B画&+Bl综4+综用e+8圈用)=(1-03+3伙1-£)2,所以C错误；

考察选项D,采用三次传输，事件为44A+4A4+44A+444，

所以P(AAA+4A4+AAA+444)=3a(以a)2+d-a)3，

采用单次传输，P(4)=l-a.

所以尸(A)AA+AAA)+A)AiA+A4A))—P(4)=^ct(y—a)~+(i—cr)5—(y—a)

=(1-a)[3a(l—a)+(1—a)2-11

=(1-a)[3a(l—a)+(I-—1]

二(l-a)(a-2a2)

=a(l-a)(l-2a)

因为0va<0.5,所以a(l—a)(l—2a)>0.

所以采用三次传输的概率大于单次传输的概率，所以选项。正确.

【方法点拨】(1)本题需要准确理解题意，梳理清楚发送和接收信号的异同各自的概率是什么；

(2)总体上设发送0为事件A,接收0为事件4,接收1为事件A；设发送I为事件3,接收a为事件与，

接收1为事件4；，则能清楚地分辨各个事件概率之间的关系；

(3)特别的，发送。收到。的概率小于0.5,以及正确接收信号的概率小于0.5,多次传输会使得信号传输

正确的概率变大，非常符合直觉。此选项也可以由直觉直接判断正误.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量。,〃满足心一司=6，|。+4=|2«一4,则同=.

【答案】&

【解析】由卜一4=石，得了一2。4+£=3,即2々6=了+广一3①.

。+闿=2。-6,得a+2<?­/?+/?=4。-4ab+b,

即勿2-&八〃=0,代入①，得3/-3,+£-3)=0,

整理，得片=3,所以W=J5.

【解后反思】求解向量模的问题就是要灵活应用标=|。|2,即同=宿，勿忘记开方.

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥，所

得棱台的体积为.

【答案】28

【解析】如图所示，O',O分别为棱台上、下底面的中心，由题意，得A8=4,A"=2,P。'=3.易知

PC，O?

WOH〜EOH,所以一=——，即，二一，解得?。=6,所以"=PO—R7=3,所以该正

POOHP04

四棱台的体积是V=gx3x(22+2x4+42)=28.

【解后反思】求几何体体积的常用方法

15.已知直线工一机》+1=0与OC:(x—1)一+)，2=4交于A,E两点,写出满足“△ABC面积为一”的〃?

5

的一个值.

【答案】2答案不唯可以是土±2中任意一个

2

【解析】由条件知圆心C(l,0),到直线/的距离“=/,

VI+

\AB\=2y/R2-d2=214-f,24|同

11VIViwJ

,c8组14帆28

由歹得于而'后

5

整理，得262-5|〃，+2=0,解得〃?=±2,或川=±5，不妨取帆=2.

【方法点拨】直线被圆截得的弦长的相关问题，通常利用几何法解决，即直线被圆截得的半弦长g、弦心

距”和圆的半径「构成直角三角形，且产=(()+/,可以知二求一，或者结合点到直线的距离公式构建

关系式求解参数.

16.已知函数/(x)=sin(的+夕)，如图A,8是直线)，二，与曲线y=/(x)的两个交点，若|A8|二巴,

26

则/(兀)=.

【解析】对比正弦曲线y=sinx的图象易知，点(2且7r,()]“五点法”中的第五点，所以二3+°=2万①.

I3J3

由图象知|=/-乙=工，线段A3的垂直平分线对应于正弦曲线)，=sinx的第I条对称轴x=-,

62

兀

(oxA+(p=-

所以由sin(o,E+0)=g,得＜?,两式相减,

51

coxB+(p=—

47r

得o(工8一工八)=?,即＜jr0=丝，解得0=4,

O66

0/

代人①，得9=-二,所以/(x)=sin4A-

3\

所以f(ji)=sin4兀一用24

=-sin——=

32

【方法点拨】由函数y=Asin（0x+°）的图象确定4公°的题型，常常以“五点法”中的第一零点（一看,0）

作为突破口，要从图像的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，

17.记AABC的内角A3,C的疝边分别为a,b,c,己知△ABC面积为G,若。为BC中点，且4）=1.

（1）若N4OC-四，求tan“：

3

（2）若）2+C'=8,求b,c.

【思维导引】（1）△48。面积为上一〃4118=26—>&4^0中正弦定理一。0桁8=土一>求〃

2

A4DB中余弦定理求c—>AABZ）中余弦定理求cosB—>求tanB

（2）中线定理一AD2+BD1=4一求a一面积公式及余弦定理联立一A=——面积公式列方程求乩

3

【解析】（1）（方法一）由△4BC面积为石，可知二;acsinB=2>/3,/.tzcsinB=2\/3,

An

又在AAB。中，有‘吆AB

sinBsinZADB

由乙4。。二殳，可得1

3.B唁

故csin8=立，代入acsinB=可得a=4

2

27

在AAQ3中，由余弦定理可得AB?=。2=8。2+4。2-28。4。・cos——

3

即d=I2+22-2xlx2xcos—=7>解得c=>/7

3

AB2+AD2-BD1AB2+AD2-BD17+4-15

在中，cosB=>0

2ABAD2ABAD~277x2-2y/l

故8w（0,工），有sin8=-^^,，tanB=

2，2>/75

（方法二）D为BC中点，SMIiC=A/3，则SMCD=与

过A作AH_L〃C,垂足为E,

]F

在AA£史中，DE=-.AE=—

22

1/o

S^ACD=--—CD,:.CD=2

22

BD=2,BE=tanB=—=—

2BE5

(2)在△ABC中，由中线定理可得〃+。2=2(4。2+3。2)

即,4。2+3。2=4,所以

由S二—besinA和〃2+c2-a2=2Z?ccosA

2

S=^(b2+c2-a2)tanA,所以tanA=->/J<0

■ryi/孔、A27r

又Aw(不■,开)，A=--

23

又5='〃。$访24,be=4

2

因从+。2=8,可得〃=。=2

【解后反思】三角形面积计算的依据和解题策略

(1)，衣据：一般用公式S=；"sinC=^/?csinA=|acsinB进行求解;

(2)解题策略：①若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面

积；②若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出其两边及夹角，再利用三角形面积公式进行

求解.

%-6,〃为奇数

18.已知｛4｝为等差数列，2：〃为偶数，记S”"“分别为数列也｝,但｝的前〃项和，邑=32,

7；=16-

(1)求｛q｝的通项公式；

(2)讦明：当〃>5时，T”>SH.

【思维导引】（1）设公差d一求S,Z一列方程求％,"一求｛4｝

（2）求和S”="+4〃-n为奇数求Tn一〃为偶数求Tn一做差Ttl-S„一证明n>5时不等式成立

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d.

a-6,〃奇/、

由“=«,得b]=%-6,打=2/=2(4+d),仄=a?-6=%+2d-6,

2an,〃偶

4x4

4a+—X6/=32q=5

则由Sd=32,7；=16,得I'2解得

d=2

(q-6)+2(q+4)+(4+24-6)=16

所以4=〃]+(〃-l)d=2〃+3.

壮5+(2〃+3)]~、4〃.

（2）由（1）可得S〃二

2

当n为奇数时，工2=q—6+2a,+%—6+2%+%—6+2tz6+•••+q.2-6+2a〃_]+cin—6

(-1+14)+(3+22)+(7+30)++[(2〃-7)+(4〃+2)]+2〃-3

=[-1+3+,.+(2〃―7)+(2〃-3)]+04+22++(4〃+2)]

—(-l+2/?-3)—(14+4«+2)

=--------------------H----------------------

22

_37+5〃-10

~2,

d干c3〃~+5〃—10/2A\〃"—3〃—10(〃—5)(〃+3)

当〃>5时，T“一S“=-----------------(〃-+4〃)=--------------=---------------->0,

222

所以(>S〃.

当〃为偶数时,Tn—-6+2a2+%—6+2a4+%-6+2%+…+—6+2a”

=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+,+[(2〃—5)+(4〃+6)]

=(-1+3++(2〃-5)]+口4+22+,+(4〃+6)]

-(-1+2/1-5)-(14+4/2+6)

2]__________

22

3/+7n

2

w..03772+7/?/，.\n2-nn(n-\］

CnUV

当〃>5时,Tn-Sn=--——(^-+4H)=——=>0,

所以7；>S“.综上可知，当〃>5时，Ttl>Slt.

【解后反思】若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用

分组转化法，分别求和而后相加减.

19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，

得到如卜的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于。的人判定为阳性，小于或等于c的人判

定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为〃(c)；误诊率是将未患病者判定为阳

性的概率，记为虱c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的顿率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值C和误诊率夕⑹；

⑵设函数”c)=〃(c)+9(c)，当c<95,105］时，求/©的解析式，并求/(c)在区间［95,105］的

最小值.

【思维导引】(1)患病者与未患病者频率分布直方图；

(2)漏诊率p(c),误诊率q(c)的含义；

(3)函数/(c)的定义，利用分段函数求函数/(c)的解析式.

【解析】（1）当〃（c）=0.5%时，由已知患病直方图的第一个小矩形面积为

0.002x5=().01,c=95+100=97.5.

2

由未患病直方图可得9(c)=0.010(97.5-95)+0.002x5=0.35.

(2)由已知

①当[95,100]时，p(c)=0.002(c-95),^(c)=0.01(100-c)+0.002x5,

f(c)=0.002(c-95)+0.01(1(X)-c)+0.002x5=-0.008c+0.82.

(易错提醒：误把小矩形的高度——频率/组距当作小矩形的面积)

②当ce[l(X),105]时，/?(C)=0.002X54-0.012(C-100),^(C)=0.002(105-C),

/.f(c)=0.002x5+0.012(c-100)+0.002(105-c)=0.01c-0.98.

-0.008C+0.82(CG[95JOO)),

综上可得:/©=«

0.01c-0.98(ce[l00,105]).

・・・八0）在［95,100）上单调递减，在上单调递增，.•.当c=100时，/（c）取最小值0.02.

20.三棱锥4-BC。中，DA=DB=DC,BDA.CD,ZADB=ZADC=60。，石为4c中点.

（1）证明：BC±DA；

（2）点尸满足所'二04,求二面角—/的正弦值.

【思维导引】（1）E为AC中点->AC_L力£-AAS为等边三角形一。CJ_AE-ACJ■平面人力用一

BC±DA；

（2）求DE-求4E-AE,BC,£）七两两垂直一建坐标系一求点的坐标—平面A5O法向量t平面ABF法

向量一二面角O—A5—尸的正弦值

【证明】・・・。3二。。，后为8。中点，/.8。_1,£）£：.（等腰三角形性质——“三线合一”，是解题的关键）

•・・D4=Q3=OC,ZAQ3=/4OC=6()o,..zkA3。，△ACO均为等边三角形，「.ABMAC,又E为

3C中点，/.BCLAE,

•/XE,DEu平面ADE,AE(}DE=E,BCA.平面ADE，

又ADu平面ADE,.•.3C_LQA.(证明异面直线垂直基本方法是：转化为线面垂直)

图I

(2)设3c=2,由已知可得D4=DB=OC=也.

。七为等腰直角三角形BCD斜边5c上中线，=1.

由已知可得AB=AC=®.AB2+AC2=BC2,

所以AA3C也为等腰直角三角形，

•/AE2+DE2=AD2,/.AE1DE，

由(1)BC工DE,3C_LAE,.•.AE,8C,O七两两垂直,

如图2,以E为原点，瓦所在的直线分别为x釉、)，釉、z轴建立空间直角坐标系,

则4(0,0,1),8(0,1,0),。(0,—1,0),。(1,0,0),£：(0,0,0),.・/8=(0,1,-1).

vEF=DA=(-l,O,l),/.F(-l,O,l),.-.BF=(-l,-l,l).

/、mA8=0,

设平面48。的法向量机y,z)，则＜

〃入0A=0,

[y-Z=0,,(x=Z,a

即，解得(令z=l,得平面A3。的一个法向量771=(1,1,1).

[-x+z=0,[y=z,

n-AB=O,

设平面ABF的法向量〃=(〃，叽卬),则《

，i・BF=O,

[v-w=0,、,fw=0,,

即解得《令卬=1得平面ABF的一个法向量n=(O,l,l).

[-W-v+vv=O,[V=W,

设二面角力一A4-尸的平面角大小为

叫叫品=卜翳*斗争而岑

【易错提醒】二面角平面角的大小与两平面法向量的夹角有可能相等，也有可能互补

【解后反思】1.用法向量求二面角：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的

法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐二面角还是钝二面角.

2.我与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这

两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

21.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（—2右,0）,离心率为右.

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为A，4,过点（-4,0）的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限，

直线MA与N4交于点P.证明：点户在定直线上.

【思维导引】（D左焦点求c一离心率求十〃关系求〃一双曲线方程

（2）方法一：分析直线MN的斜率情况，并设出当斜率存在时直线MN的方程一根据直线MN与双曲线

相交联立得方程组一消元，得x的一元二次方程，写出韦达定理一写出直线，直线&N的方程，联立

求得点P的横坐标一点尸的横坐标表达式为非对称的，因此需要利用韦达定理将其齐次化，化简、整理，

最后约分得结果；

方法二：分析直线MN的斜率情况，并设直线的点参式方程-根据直线MV与双曲线相交联立得方程

组

一消元，得y的一元二次方程，写出韦达定理一写出直线4M,直线4N的方程，联立求得点尸的横坐

标

一点P的横坐标表达式为非对称的，因此需要利用韦达定理将其齐次化，化简、整理，最后约分得结果

29

【解析】（I）设双曲线。的方程为/一5=1（。>0，8>°）,

由已知C=2石，e=-=45,4=2,

a

fy2

・・・/=c2_/=16,・••双曲线c的方程为二-北二1.

4Io

当直线A/N的斜率存在时，设直线MN的方程为：），=左（工+4）,

y=k(x+4),

设M（X，X），N（W，%），（y>°）,，[2八

-8公

…二门、

消去y得：(攵2—4)%2+8/工+16/+16=0,:.

163+16

又A(-2,0),A(2,0),

从而直线4M,直线A?N的方程分别为），=」7（X+2）,y=^-（x-2）,

X]+Z工2—Z

联立，消去y：

一8k3-32k

由y=Mx+4),%=4(々+4),得y+必=左(％+9+8)="^^^+