2023年甘肃天水甘谷高考数学二模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量£=（1,2）出=（24-2）,且通,则久等于（）

A.4B.3C.2D.1

2.若函数/（/）=（/一〃^+2）/（6=2.71828…为自然对数的底数）在区间［1,2］上不是单调函数，则实数〃?的取值

范围是（）

3.己知非零向量原5满足同=胭，若痴夹角的余弦值为噂，且仅一2B）JL（3万+方），则实数2的值为（）

JKJ

4.已知数列｛〃”｝满足q=1,at-an_x=n（n>2），则数列｛/｝的通项公式4=（）

5.已知双曲线力>0）的左，右焦点分别为"、居，过6的直线，交双曲线的右支于点P,以双曲

a~b~

线的实轴为直径的圆与直线/相切，切点为〃，若忻片=3忻”I，则双曲线C的离心率为（）

A.—B.小C.2亚D.V13

2

6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

12一|<—2—H

-*rI%A

俯视图

7.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱

离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其

中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率

见下表：

实施项目种植业养殖业工厂就业服务业

参加用户比40%40%10%10%

脱贫率95%95%90%90%

那么2019年的年脱贫率是实施鳍皆准扶贫”政策前的年均脱贫率的（）

27冷47p,4827-

A.—倍B.—倍C.二倍D.二倍

2835355

/乃、（万、cos2/？

8.已知0,—,pG0,—，tana=.:介，则（）

1-sin2p

A.2a+。=5B.a+°

C.a-D.a+2/3=^

9.已知空间两不同直线〃7、〃，两不同平面A，下列命题正确的是（）

A.若加||a且〃||a,贝!B.若，〃~L/且mJ_〃，则〃||口

C.若m_La且加||万，则a，/D.若不垂直于a,且〃ua,则机不垂直于〃

10.棱K为2的正方体人内有一个内切球。，过正方体中两条异面直线A6,4。的中点P,。作直

线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（）

A.与B.72-1C.y/2D.1

z.

11.复数Z=2+i,若复数Z1,z?在复平面内对应的点关于虚轴对称，则」等于（）

Z2

3+4,3+4/-3+4/

C.-3+4/D.

55

12.双曲线C：与一4=](〃>(),/>0)的离心率是3,焦点到渐近线的距离为夜，则双曲线C的焦距为()

a~h-

A.3B.3y[iC.6D.6夜

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线。£4=叱。"。)的左、右焦点和点小⑷为某个等腰三角形的三个顶点’则双曲线C的离

心率为

14.已知。>0,/?>(),c>4,且。+〃=2,则竺+工一£+正的最小值为

bab2c-2

15.已知圆O:Y+),2=4,直线/与圆。交于P,。两点，/1(2,2),若4产+4。2=40,则弦PQ的长度的最大

值为___________.

/]\6

16.ax1--展开式中.一项系数为160,则。的值为____.

[x)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/⑴」厂其中aeR.

(1)当a=0时，求“X)在(1J。))的切线方程；

(2)求证：/(x)的极大值恒大于0・

18.(12分)设复数z满足z(2+i)=l-2i(i为虚数单位)，则z的模为.

19.(12分)如图，底面ABCD是等腰梯形，AD//BC、AD=2AB=2BC=4,点E为AO的中点，以BE为边作

正方形BEFG,且平面8EFG_L平面A8CO.

(1)证明：平面AC〃J_平面

(2)求二面角4一笈/一。的正弦值.

20.（12分）购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买

该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示

（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表）；

（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取4人，记对购车补贴金额的心理预期值高于3万元

的人数为X,求X的分布列和数学期望；

（3）统计最近5个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：

月份2018.112018.122019.012019.022019.03

销售量（万

0.50.61.()1.41.7

辆）

试预计该品牌汽车在2019年4月份的销售量约为多少万辆?

附：对于一组样本数据（/凶），（%,%），…，（工〃，”），其回归直线+4的斜率和截距的最小二乘估计分别

人£（七-工）（丫-》）2芭乂一两

为2=------------=号--------，a=y-bx.

£（工一工『£年—府2

;=|1=1

\x=acos（p

21-⑴分）在平面直角坐标系中，曲线a的参数方程为尸.小―。”为参数），在以。为极点,

X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线G上的点M1,对应的

参数0=射线0=3与曲线。2交于点。

（D求曲线G，G的直角坐标方程;

(2)若点A,8为曲线G上的两个点且。4,OB，求77、+」下的值.

22.(10分)已知函数/(x)=2|x-2|一〃Mm>0),若/*+2)<0的解集为(一2,2).

(1)求加的值；

1119

(2)若正实数。，b,c满足。+2/7+3。=团，求证：一+w+丁之一.

a2b3c4

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】

因为〃=(1,2),〃=(2,4-2),且

M石=2+2(4-2)=0,

则4=1.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

2.B

【解析】

求得〃工)的导函数/("，由此构造函数g(x)=f+(2-⑼X+2-〃，根据题意可知g(力在(1,2)上有变号零点.

由此令g(x)=0,利用分离常数法结合换元法，求得〃?的取值范围.

【详解】

尸(x)=炉［x?+(2-m)x+2-利］,

设g（x）=J+（2-〃?）x+2

要使/（力在区间［1,2］上不是单调函数，

即g（x）在（1,2）上有变号零点，令g（x）=O,

则f+2X+2=A7?（X+1）,

令/=X+1£（2,3）,则问题即加=/+；在/£（2,3）上有零点，由于f+；在（2,3）上递增，所以〃?的取值范围是

e-1

故选：B

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于

中档题.

3.D

【解析】

根据向量垂直则数量积为零，结合同=4同以及夹角的余弦值，即可求得参数值.

【详解】

依题意，得（〃一2日）-（3万+6）=（）,即3同2-51-5-2忖1=0.

将同=/忖代入可得，18分一194-12=0,

34

解得（2=一一舍去）.

29

故选：D.

【点睛】

本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.

4.A

【解析】

利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可.

【详解】

数列｛%｝满足：4=1,一见T，

可得q=1

生一q二2

a3-a2=3

a4-«3=4

以上各式相加可得：

ci=1+2+3+...+〃=—〃(〃+1),

n2

故选：A.

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力.

5.A

【解析】

在AP耳人中，由余弦定理，得到|P八|,再利用|P£|-|P^I=2〃即可建立的方程.

【详解】

由已知，［HRL—OH?==%在△尸大鸟中，由余弦定理，得

|桃1=在卜:+4%?—2口片•卜1卜2y亦/尸卜1卜2=4c2+9b。-2x2cx3/?x—=

“77F，又P用=3|H用=3＞，|P用-|”|=2-所以3b-府而=2a，

fb_3FVV13

。2\a22

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立凡4C三者间的关系，本题是一道中档题.

6.B

【解析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥A-CRE放入长方体中，利用体积分割求解即可.

【详解】

如图，二棱锥的直观图为A—体积

匕=V^方体AG-匕濯£-明尸―^E-ABC~^E-CC^~^E-AE\F1%-ADC

=2x4x2—x2x2x2—x—x4x2x2—x—x2x2x2=4.

23232

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了锥体的体积的求解，利用的体积分割的方法，考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.

7.B

【解析】

设贫困户总数为。，利用表中数据可得脱贫率P=2X40%X95%+2X10%X90%,进而可求解.

【详解】

设贫困户总数为。，脱贫率P=2x40）。义95。°小2x10。。x90。1M=94%,

94%47

所以--=—

70%35

47

故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的—倍.

35

故选：B

【点睛】

本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.

8.C

【解析】

利用二倍角公式相同角三角函数的商数关系式，化简可得tana二言卷=tan£+〃，即可求得结果.

14

【详解】

cos2/cos2psin2ft1Itanp(几

tana-—丁二-----3-----匕二-----r=------^=tan—+p

1-sin2pcos~6+sirr夕一2sin/?cosP1-tan/?(4J

所以二二：7T+夕，即a—夕=J二U.

44

故选:C.

【点睛】

本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数，难度较易.

9.C

【解析】

因答案A中的直线〃2,〃可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线〃u夕也成立，故不正确；答案C中的直线机

可以平移到平面6中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面。，方互相垂直，是正确的；答案D中直线机也有可

能垂直于直线〃，故不正确.应选答案C.

10.C

【解析】

连结并延长PO,交对棱Gd于此则K为对棱的中点，取MN的中点则推导出O〃〃A0,且

乎，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长.

【详解】

如图，

MN为该直线被球面截在球内的线段

连结并延长尸。，交对棱G"于K,

则R为对棱的中点，取MN的中点〃，则OHA.MNt

：.OH//RQt且OH=；RQ=与,

22

•*-MH=\IOM-OH=卜-停）=乎

:・MN=2MH=

故选：c.

【点睛】

本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

11.A

【解析】

先通过复数4,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到Z2=-2+i,再利用复数的除法求解幺.

Z2

【详解】

因为复数4,Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数4=2+i,

所以Z2=-2+i

…42I/2+z(-2-z)34.

所以-=-----=--------------=-------1

册入z?-2+z(-2+Z)(-2-/)55

故选：A

【点睛】

本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.

12.A

【解析】

根据焦点到渐近线的距离，可得/九然后根据〃=c,2-/,e=£,可得结果.

a

【详解】

由题可知：双曲线的渐近线方程为法士冲二0

取右焦点尸(c,0),一条渐近线//天一g，=0

则点尸到/的距离为,=6,由。2+/=2

所以b=也,则＜?一/=2

又£=3=:=9=。2=£1

aa29

所以C2—£1=2=C=3

92

所以焦距为；2c=3

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程，以及。力,c,e之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为方，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

710+2

JLJ•------

2

【解析】

由等腰三角形及双曲线的对称性可知g=或"巴=PF2，进而利用两点间距离公式求解即可.

【详解】

由题设双曲线的左、右焦点分别为4（-c,0）,g（c,0）,

因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，

222

当月鸟二P8时,2c=yl（2a-c）+b，由从=c?一a?可得2c2+4^-3/=0，等式两边同除6/可得

2/+4e—3=0,解得e=—-<1（舍）；

2

当大鸟=P大时,2c=］（2〃+"+从而。2=°2一。2可得2/一4讹-3"=o，等式两边同除/可得

故答案为:®12

2

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.

14,逗

2

【解析】

由2=四主生，先将.十二一1变形为5.+”,运用基本不等式可得最小值，再求

2bab24ab

正C+正=64（£-2）+」一+1］的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.

2c-22c-2

【详解】

解：因为。>0,/?>0,c>4,且。+8=2,

bab2c-2\bab2Jc-2

c(2cr+2-ab)后

lab7^2

/,、2c)(a।by.

因为2=("+"),所以2/+2-必2。一+--北

2----------=----------------

2ablab

5a=2-+-b-2--2y-[-5-ab---逐=--

4ab~4ab2

当且仅当〃=石〃时，取等号，

所以竺十上_£十五二J色十_L_，]十五

bab2c-2\hab2)c-2

c(2/+2-M)&

lab7^2

>——c+---

2c-2

=64(C-2)+-^+1]

2c-2

令f=c-2(f22),则石口(C-2)+-^+1]=6(L+1+1),

2c-22t

令/(r)=l/+-+1(z>2)，则/⑺二:一』>0,

2t2r

所以函数/⑺在[2,+o。)上单调递增，

所以/⑺2/(2)=：x2+：+l=[

乙乙乙

所以闻~(c_2)+」—+(=6d"+i)z逐乂2=拽

2c-22t22

则所求最小值为祗

2

故答案为：士叵

2

【点睛】

此题考查基本不等式的运用；求最值，注意变形和满足的条件；一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简

和运算能力，属于中档题.

15.2〃

【解析】

取PQ的中点为由AP?+AQ2=40可得AM?-OM?=16,可得M在x+y+2=。上，当。必最小时，弦P。

的长才最大.

【详解】

设M为PQ的中点，2(AP2+AQ2)=(2AM)2+PQ2,即A尸+AQ?=24M?+2MQ?,

即40=2人知2+2(0。2-0”)，20=/AM2+4-OM2»AM2-OM2=\6-

设M(x,y),则(x—2)2+(y-2)2—(W+y2)=]6,得x+y+2=0.

所以0此血=%=夜，PQz=2日

故答案为：20

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.

16.-2

【解析】

表示该二项式的展开式的第-1项，令其指数为3,再代回原表达式构建方程求得答案.

【详解】

该二项式的展开式的第-1项为7；+]=笳(0?厂U=(fTq.」2-3「

631333

令12-3r=3=r=3,所以,=(一1广a~Cl.x2-3x3=_20ax,则-20r/=160=>4/=-2

故答案为：-2

【点睛】

本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)y=-x(2)证明见解析

e

【解析】

(1)求导，代入。=0,求出在x=l处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程;

(2)分类讨论得出极大值即可判断.

【详解】

--2)x+2Q-(x+a)(x-2)

(1)/3=

当4=0时，/(1)=1,

ee

则/(x)在(1,/⑴)的切线方程为y=；x；

e

(2)证明：令/(力=0,解得工=2或X=F,

①当〃=一2时，《。恒成立，此时函数/(X)在R上单调递减，

・・・函数/(X)无极值；

②当〃>一2时，令尸(x)>0,解得—a<x<2,令/'(x)v0,解得x<—。或x>2,

・•・函数/(X)在(一。,2)上单调递增，在(-8,-〃)，(2,也)上单调递减，

；・/(力极大值=7⑵=~T~>0;

V-

③当。<一2时，令/'(x)>0,解得2cx<-々，令/'(x)v0,解得XV2或X>一〃,

二函数/(丫)在(2,上单调递增，在(-8,2),(-4+00)上单调递减，

・・・/(同极大值=/(一

综上，函数“X)的极大值恒大于0.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

18.1

【解析】

整理已知利用复数的除法运算方式计算，再由求模公式得答案.

【详解】

因为z(2+i)=l-2"即)=匕3=2一:+21-

2+i4-/2

所以z的模为1

故答案为：1

【点睛】

本题考查复数的除法运算与求模，属于基础题.

19.(1)见解析；(2)=

35

【解析】

(1)先证明四边形A8CE是菱形，进而可知AC_L8E,然后可得到4。，平面皮犷G,即可证明平面平面

BEFG;

(2)记.4CIE的交点为0,再取尸G的中点尸.以。为坐标原点，以射线尸分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建

立如图所示的空间直角坐标系O-pz,分别求出平面和03产的法向量最兀然后由C0S〈加3〉可求出二

|川|〃|

面角4-的余弦值，进而可求出二面角的正弦值.

【详解】

(1)证明：因为点E为A3的中点,AO=23C,所以AE=8C,

因为A。//BC,所以AE//3C,所以四边形ABCD是平行四边形，

因为8C,所以平行四边形ABCE是菱形，所以AC±BE,

因为平面BEFG_L平面4BCD,且平面BEFGc平面ABCD=BE,所以ACJ_平面BEFG.

因为ACq平面ACT7,所以平面ACF1平面BEFG.

(2)记AC,6£的交点为O,再取FG的中点P.由题意可知AC乃£0尸两两垂直，故以O为坐标原点,以射线OB.OC.OP

分别为x轴、J轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系。-外2.

因为底面ABCD是等腰梯形,A。//BC,AD=2AB=2BC=4，所以四边形ABCE是菱形，且/BAD=60°,

所以A(0,-石,0),5(1,0,0),E(-l,0,0),D(-2,区0),F(-l,0,2),

则丽=(1,0),而=(-2,0,2),BD=(-3,G,0),设平面ABF的法向量为m=(x,,y,zJ,

则需二；鸳°°不妨取…,则MTA

设平面DBF的法向量为/?=(x2,y2,z2),

n-BD=-+6力=0___1L।一r

则J无前一U。，不妨取寸|，则〃=。，国),

故cos加,♦〉=三二万当=返

\m\\n\疗x石35

记二面角A-斯一。的大小为仇故sin。=Ji一二~4770

V3535

【点睛】

本题考查了面面垂直的证明，考查了二面角的求法，利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法，属于中

档题.

20.(1)1.7；(2)EX=2.4,见解析；(2)2.

【解析】

(1)平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和；

(2)易得X~6(4,0.6),由二项分布列的期望公式计算：

(3)利用所给公式计算出回归直线亍=/十&即可解决.

【详解】

(1)由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为

1.5x0.1+2.5x0.3+3.5x0.3+4.5x0.15+5.5x0.1+6.5x0.05=3.5,所以方差的估计

值为/=(1.5-3.5)2x().1+(2.5-3.5)2x0.3+(3.5-3.5)2x0.3+(4.5-3.5)2x().15

尸.

+(5.5-3.5fx0।+3.5-3.5x005=17

(2)由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的

频率为尸=0.3+0.15+0.1+0.05=0.6,则X-6(4,0.6),所以X的分布列为

P(X=Q=060.4J#=0,1,2,3,4,数学期望EX=4x0.6=24；

(3)将2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为1,2,3,4,5,

记由散点图可知,

％=i(i=1,2,3,4,5),y1=0.5,y2=0.6,=1.0,y4=1.4,y5=1.7,

5组样本数据呈线性相关关系，因为捻=3,亍=1.04,().5+1.2+3+5.6+8.5=18.8,

21Aniii18.8-5x3x1.04

牙，4+9+16+25=55,n则=0.32,0=1,04-0.32x3=0.08,

所以回归直线方程为)，=0.32x+0.08，当x=6时，y=0.32x6+0.08=2,预计该品

牌汽车在2019年4月份的销售量约为2万辆.

【点睛】

本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题，

本题是一道中档题.

丫2,3

21.(1)y+y2=l.(x-l)-+y2=l.(2)-

【解析】

(D先求解a,b,消去参数8,即得曲线G的直角坐标方程；再求解R，利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲

线G的直角坐标方程；

(2)由于。AJ_O8,可设4(月,6),8P2,0+'),代入曲线G直角坐标方程，可得8,0，。的关系，转化

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