2024届清华大学数学高三第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届清华大学数学高三第一学期期末学业质量监测模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将木试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1.执行如图所示的程序框图，如果输入，£[-2,e]f则输出S属于（）

A.[-3,2]B.[-4,2]C.[0,2]D.1一3,e2]

2.已知角。的顶点与坐标原点。重合，始边与1轴的非负半轴重合，它的终边过点夕（-3,-4）,则tan（2a+?]的

值为（）

24172417

A.------B.------C.—D.—

731731

3.已知三棱锥P-A8c中，A/18C是等边三角形，AB=4区PA=PC=26PA1BC,则三棱锥P-43c的

外接球的表面积为（）

A.25万B.75〃C.80〃D.100万

4.已知函数Ax）是定义域为R的偶函数，且满足/*）=/（2-工），当工£[0,1]时，/（x）=x,则函数

尸（幻=八冷+三]在区间[-910]上零点的个数为（）

l-2x

A.9B.10C.18D.20

5.已知向量。，方满足14=4,〃在Q上投影为-2,则。-3）的最小值为（）

A.12B.10C.MD.2

6.已知awR,bwR,贝卜直线o¥+2.y-1=0与直线（a+l）x-2a.y+l=0垂直”是“。=3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数/（x）=a（e2x—21n”（a>0）,D=1,1若所有点（s,/（，）），（sj£。）所构成的平面区域面积为

e2-i,则（）

I,e

A.eB.----C.1D.----

e-2e-2

8.设平面々与平面仅相交于直线小，直线。在平面a内，直线方在平面£内，且〃_Lm贝心是“a_L〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分不必要条件

9.已知.T>0,a=xtb=x——，c=ln（l+x）,贝ij（）

2

A.c<h<aB.h<a<cC.c<a<bD.b<c<a

10.若函数/（尤）=以3+3/+/?在（=］处取得极值2,则〃一。二（）

A.-3B.3C.-2D.2

11.阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被

称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，

并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了

一个球，如图，该球顶天立地,四周碰边，表面积为54%的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为

（）

IARBCHIMEDESI

__4

644

A.44B.167rC.36%

x>0

y>0

12-已知满足不等式x+2），《，’且目标函数z=9x+6,最大值的变化范围MO,22],则,的取值范围（)

2x+y<4

A.[2,4]B.[4,6]C.[5,8]D.[6,7]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若向量。=。一1,2）与向量〃=（2,1）垂直，贝ijx=.

-8+乌

X—

14.在直角坐标系中，直线/的参数方程为2（1为参数），曲线C的参数方程为（S为

"4）'=

参数）.

（1）求直线/和曲线C的普通方程；

（2）设尸为曲线C上的动点.求点尸到直线/距离的最小值及此时尸点的坐标.

15.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能

连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________.

16.在AA3C中，角所对的边分别为a,b,c,S为AA8C的面积，若c=2acosB,S二,/一,。？，则.3c

24

的形状为,C的大小为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，。是在△A3C边AC上的一点，△5CD面积是△A5O面积的2倍，ZCBD=2ZABD=2O.

,*r、L>公几，、sin/A,,,、

（I）若〃二二，求一二的值r；

6sinC

（II）若BC=4,AB=2y/2t求边AC的长.

X=1+COS（P

18.（12分）在直角坐标系xQy中，圆。的参数方程.（。为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极

y=sin（p

轴建立极坐标系.

（I）求圆C的极坐标方程;

（2）直线，的极坐标方程是2psin夕+g=36,射线OM:0=f与圆。的交点为0、P,与直线/的交点为

\）3

求线段PQ的长.

19.（12分）己知AA3C的内角4氏C的对边分别为《儿。・设史吱+随£=+

sinCsinBsinBsinC

（1）求tan4的值；

（2）若拒sin8=3sinC，且之改二2后，求。的值.

20.（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考

试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：

5m

675

7B63331

89RR7763J

9R665

若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.

（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；

（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.

频率

组别分组频数频率

组距

1[60,70)

2[70,80)

3[80,90)

4[90,100]

艮率由¥

0.05

O.(M

003

0.02

00)

①估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;

②若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望.

r2V2,且离心率e=!，过右焦点尸且不与坐标

21.（12分）如图，已知椭圆'+'i（a>〃>o）经过点一J5,

/b22

轴垂直的直线/与椭圆。相交于M,N两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

k+k

（2）设椭圆。的右顶点为A,线段MV的中点为H,记直线AN的斜率分别为从，3为，求证：

为定值.

22.（10分）已知椭圆。的短轴的两个端点分别为4（0,1）、焦距为2G.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线>'=机与椭圆。有两个不同的交点M、N,设。为直线AN上一点，且直线B。、8M的斜率的积

为—•证明：点。在工轴上.

4

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

|?+2-3,te\-2A]

由题意，框图的作用是求分段函数S(r)=i「I]」的值域，求解即得解.

In/,

【题目详解】

由题意可知,

/"+2/—3»2,1]

框图的作用是求分段函数S(r)=1的值域,

In.%e2

当叱[-2』),Se[-4,0)；

当/€[1,/],SW[0,2]

综上：SG[M,2].

故选：B

【题目点拨】

本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

2、B

【解题分析】

424

根据三角函数定义得到tana=二，^tan2a=--,再利用和差公式得到答案.

37

【题目详解】

42tana24

・・•角。的终边过点P(-3,Y),，tana=2,tan2<z^

31—tai?。7

/\tan2a+tan—

工17

Atan2a+—=-----------------—7

,24।3?

I4J1-tan2a-tan—1+——xl

47

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.

3、D

【解题分析】

根据底面为等边三角形，取8。中点可证明3C_L平面尸4W,从而8C_LPM,即可证明三棱锥。一A8C为

正三棱锥.取底面等边AA6C的重心为"，可求得P到平面A4C的距离，画出几何关系，设球心为0,即可由球的性

质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.

【题目详解】

设M为BC中点，AA8C是等边三角形，

所以A〃_L3C,

又因为B4_L3C,且PTAM=A,

所以4CJ_平面Q4",则8C_LPM,

由三线合一性质可知PB=PA=PC、

所以三棱锥。一ABC为正三棱锥，AB=4®PA=PB=PC=2®

设底面等边AABC的重心为0,

22I---------------

可得40'=44.=4、6=4，PO,=\IPA2-AO,2=120—16=2,

JJ

所以三棱锥P-A8C的外接球球心在面A3。下方，设为O,如下图所示:

由球的性质可知，尸。_1平面48。，且只。,。在同一直线上，设球的半径为R,

在R/AAO。中，AO2=AO'2OO1->

即/?2=16+(/?-2)2,

解得R=5,

所以三棱锥P-ABC的外接球表面积为S=4〃R2=4^X25=100^-，

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高,

属于中档题.

4、B

【解题分析】

r4

由已知可得函数/(x)的周期与对称轴，函数=f(x)+-——在区间［-9,10］上零点的个数等价于函数J(x)

i-2x

r4-4

与g(x)=-一k图象在［-9,10］上交点的个数，作出函数/(X)与g(X)的图象如图，数形结合即可得到答案.

1-2%

【题目详解】

Y+4r4-4

函数尸(x)=/(x)+—丁在区间|-9,10］上零点的个数等价于函数/(1)与8(X)二一一丁图象在［-9,10|上交

\-2x\-2x

点的个数，

由/(x)=/(2-x),得函数/(x)图象关于x=l对称，

V/(x)为偶函数，取x=x+2,可得/(x+2)=/(-x)=/(x),得函数周期为2.

又•・,当x£［0,1］时，/(x)=xt且f(x)为偶函数，.••当x£［・1,0］时，/(x)=-x,

,、x+4x+419

g(x)=----------=--------=—+---------,

l-2x2x-l24x-2

作出函数/(x)与g(X)的图象如图：

由图可知，两函数图象共10个交点，

r4-4

即函数《(x)=/(x)+二〈在区间［-9,10］上零点的个数为10.

\-2x

故选：B.

【题目点拨】

本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.

5、B

【解题分析】

根据人在。上投影为-2,以及cos<〃/>£卜1,0),可得也Ln=2；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为

模长和夹角运算，代入网.即可求得〃-3〃|..

IIminIlimn

【题目详解】

b在5上投影为一2,即网cosva,Z?>=-2

/.C0S<t7,/?><0

又cos<4,/?=2

222

a-3b=d-6ab+9b=|tz|-6p/||/?cos<dyb>4-9Z?=9b+64

：.\a-3b\=>/9x4+64=10

IImin

本题正确选项：B

【题目点拨】

本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题

关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到问的最小值.

6、B

【解题分析】

由两直线垂直求得则〃=0或〃=3,再根据充要条件的判定方法.即可求解.

【题目详解】

由题意，“直线ax+2），-1=。与直线（a+\）x-2ay+l=0垂直”

则a（a+l）+2x（-2a）=0,解得。=0或。=3,

所以“直线or+2y-l=0与直线（。+1比-2冲+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件，故选B.

【题目点拨】

本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得。的值，同时

熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

7、D

【解题分析】

依题意，可得r*）>（）,/*）在pi上单调递增，于是可得/“）在pi上的值域为继而可得

—（1—=/-解之即可.

【题目详解】

解：ra）=a"2）/Q_2）,因为,〃>o,

\J<X..

所以广(x)>o,在-J上单调递增，

e

则/(幻在pl上的值域为［。(6+2),«24，

因为所有点GJQ))(S/£所构成的平面区域面积为一1,

所以(1-：)=『一1,

解得。

e-2

故选：D.

【题目点拨】

本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得至1"，(/-《-2)(1-4)=/-1是关键，考查运算能力，属于中档题.

e

8、A

【解题分析】

试题分析：a±P，b±mX又直线a在平面a内，所以a_Lb,但直线。・叨不一定相交，所以“a_LfT是“a_Lb”

的充分不必要条件，故选A.

考点：充分条件、必要条件.

9、D

【解题分析】

(2\2

令/(幻=皿1+幻-%-x-,求尸(x),利用导数判断函数为单调递增，从而可得ln(l+x)>x—r土，设

(2J2

^(x)=ln(l+x)-x,利用导数证出g(x)为单调递减函数，从而证出Wx>O,ln(l+x)<x,即可得到答案.

【题目详解】

广

x>0时，x>x----

2

「门1r2

令/(x)=ln(l+x)-X--,求导/(幻=------l+x=--

(2J1+x1+x

Vx>0,fXx)>0,故/(x)单调递增：/(%)>/(0)=0

x

••ln(l+x)>x——>

当x>0,设g(x)=ln(l+x)-x,

=_I=7^-<0，

1+x1+x

又；g(0)=0,

(x)=In(1+x)-x<0,即Vx>O,ln(l+x)vx,

r2

故x>ln(l+x)>x--.

故选：D

【题目点拨】

本题考杳了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.

10、A

【解题分析】

17()=。

对函数/(外求导，可得［八、c,即可求出〃力，进而可求出答案.

7(1)=2

【题目详解】

,⑴=34+6=0,

因为/(幻=依+3/+0,所以广⑺=3a/+6x,则「，八「，「，解得a=-2,b=l，则a-b=-3.

/⑴=Q+3+Z?=2

故选:A.

【题目点拨】

本题考杳了函数的导数与极值，考查了学生的运算求解能力,属于基础题.

11、C

【解题分析】

设球的半径为此根据组合体的关系，圆柱的表面积为s=2笈代+21RX2k=544，解得球的半径/?=3,再

代入球的体积公式求解.

【题目详解】

设球的半径为R,

根据题意圆柱的表面积为S=2万/+2冗Rx2R=54%，

解得R=3,

所以该球的体积为。=-冗小=-XX33=36乃.

33

故选：C

【题目点拨】

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

12、B

【解题分析】

作出可行域，对/进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.

【题目详解】

x>0

画出不等式组y>0所表示的可行域如图△AOB

2x+y=4

当然2时，可行域即为如图中的△Q4M,此时目标函数z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合题意

02时可知目标函数Z=9x+6y在的交点(铝,处取得最大值，此时Z=，+16

I4八"iyTDD

由题意可得，2O&+16022解可得把汪6

故选：B.

【题目点拨】

此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于

熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0

【解题分析】

直接根据向量垂直计算得到答案.

【题目详解】

向量一2-i与向量〃=(2,1)垂直，则。"=(不—1,2)・(2,1)=2X-2-2=。，故x=0.

故答案为：0.

【题目点拨】

本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.

14、(1)x一岛+8=0,/=4x；(2)(3,2⑹.

【解题分析】

(1)利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；

(2)利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.

【题目详解】

(1)直线/的普通方程为不一行)，+8=0.

在曲线C的参数方程中，r=12?=4x,

所以曲线C的普通方程为V=4X.

(2)设点尸(31,26s).

点P到直线I的距离d=PV+N=3(S-1)-+5.

22

当s=l时，所以点P到直线/的距离的最小值为

此时点尸的坐标为(3,2逐).

【题目点拨】

本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.

15>60

【解题分析】

分析：首先将选定第一个钉，总共有6种方法，假设选定1号，之后分析第二步，第三步等，按照分类加法计数原理,

可以求得共有10种方法，利用分步乘法计数原理，求得总共有6x10=60种方法.

详解：根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号灯的

时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有10x6=60种方法，故答案是60.

点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来,

所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果.

16、等腰三角形

4

【解题分析】

Vc=24cos8

・•・根据正弦定理可得sinC=2sinAcosB,即sin(A+B)=2sinAcosB

：.sin(A-B)=0

・•・A=3

・・・AA8C的形状为等腰三角形

22

•:S=-a--c

24

,1一厂1212

..—absmC-—a+—_LC2=L/+"」C：

2444444

CT+/?"-C

lab

由余弦定理可得cosC=

2.ah

:.sinC=cosC,即tanC=1

VC£(0,7r)

：.C=-

4

故答案为等腰三角形，-

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)=(n)AC=2标

sinC3

【解题分析】

(I)利用三角形面积公式以及SA8C/)=2SA皿并结合正弦定理匹；，可得结果.

sinCsinA

(II)根据SM8=2S~®)，可得。，然后使用余弦定理AC2=A52+5C2—2AB-5CsinNABC，可得结果.

【题目详解】

71

(I)/CBD=2/ABD=上,所以

3

-BCBDsin-=2x-ABBDsin-

326

BC2sinA2273

AB5/33

(II)-BCBDsin26?=2x-ABBDsin6>,

所以4x2sinOcosO=2x

所以8=工，ZABC=30=—f

44

所以3=16+8-2*4*2口(一叵|=40,

I2)

所以边4C=2x/i6.

【题目点拨】

本题考杳三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.

18、(1)p=2cos6>；(2)2

【解题分析】

ccX=1+cos(p

(1)首先利用co$~e+s加?0=1对圆C的参数方程｛.’。为参数)进行消参数运算，化为普通方程，再

y-sirup

根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程.(2)设HXV4),联立直线与圆的极坐标方程，解得

8，4；设。(22，％)，联立直线与直线的极坐标方程，解得金，％，可得|PQ|.

【题目详解】

(1)圆C的普通方程为(工一1丫+)，2=1,又x=pcos。，y=psin6>

所以圆C的极坐标方程为P=2cos<9.

p=IcosO

(2)设pg,q),则由｛八〃解得月二i,

V——

3

2psin<9+-=373

<3，71

设Q(22©)，则由｛解得0=3,4=三,得03,日人

3\)

e=-

3

所以|叫=2

【题目点拨】

本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能

力以及转化能力，属于基础题.

19、(1)—(2)2>/3

4

【解题分析】

3sinB3sinC3sin2A+46,转化匕色=9+4五,

(1)由正弦定理将------1-------=----------

sinCsinBsinBsinCcbbe

即3/+3°2=3/+4岳0由余弦定理求得cosA,再由平方关系得sinA再求解.

(2)由拉sin8=3sinC，得〃二卡，结合3.此=g从sinA=2五再求解.

【题目详解】

3b+3c_3a

(1)由正弦定理，得+4近,

bbe

即3从+3c2=3/+4后c，贝U"十°~2=越=cosA，

2bc3

而sin^A+cos2A=1,又AE(0,乃)，解得sinA=g,

1，4sinAV2

fixtanA=-----=—

cosA4

l.3c

(2)因为0sinB=3sinC，则0=正

因为%改=20，故^bcsinA=2,2,

13c21rr

故二x—=2>/2,

2V23

解得c=2及，

故〃=6,

则。=>//72+c2-2bccosA=J36+8-2X6X20x=2百・

【题目点拨】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.

83

20、(1)—；(2)①82,②分布列见解析，F(X)=-

【解题分析】

(1)从20人中任取3人共有种结果，恰有1人成绩“优秀”共有种结果，利用古典概型的概率计算公式计算

即可；

(2)①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和；②要注意X服从的是二项分布，不是超几何分布,

利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.

【题目详解】

(1)设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件A,

贝”缶)=萼=得,Q

所以，恰有1人“优秀”的概率为历.

(2)

频率

组别分组频数频率

组距

1

1[60,70)20.01

W

3

2[70,80)60.03

10

2

3[80,90)80.04

5

4[90,100]40.02

5

皱串陷1距

134)

@65x—+75x—+85x—+95x—=82,

10101010

估计所有员工的平均分为82

41

②X的可能取值为0、1、2、3,随机选取1人是“优秀”的概率为〃

64

AP(X=0)=

125

1

P(X=3)=

125

•••X的分布列为

X0123

6448121

P

125125125125

1、13

・.,x〜43,-，，数学期望£(X)=3X£=1.

【题目点拨】

本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均数的估计值等知识，是一道容

易题.

22

21、(1)—+21=1；(2)详见解析.

43

【解题分析】

（1）由椭圆离心率、系数关系和已知点坐标构建方程组，求得4,dC,代入标准方程中即可;

（2）依题意，直线/的斜率存在，且不为0,设其为3则直线/的方程为设/（、,）[）,八（々,必），

通过联立直线方程与椭圆方程化简整理和中点的坐标表示用含〃的表达式表示为口）明,进而表示幻；由韦达定理表

示根与系数的关系进而表示用含A的表达式表示K+内，最后做比即得证.

【题目详解】

（1）设椭圆的焦距为2c,则£=[,即。=2c,所以。2=/—C2=3C2.

a2

2323

依题意，-+=即7=1,解得。2=1，c=l

er2b