2025年大学生数学建模挑战赛D组解题攻略与答案解析

高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

D题对学生宿舍设计方案的评价

学生宿舍事关学生在校期间的生活品质，直接或间接地影响到学生的生活、学习和

健康成长。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要

以便管理，同步要考虑成不和收费的平衡，这些还与所在都市的地区、区位、文化习俗

和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。

经济性：建设成本、运行成本和收费原则等。

舒适性：人均面积、使用以便、互不干扰、采光和通风等。

安全性：人员疏散和防盗等。

附件是四种比较经典的学生宿舍的设计方案。请你们用数学建模的措施就它们的经

济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较。

对学生宿舍设计方案的评价

摘要

本文重要从经济性、舒适性、安全性三个方面对四种学生宿舍的设计

方案做出综合量化和比较。在评价过程中，重要运用了模糊决策和层次分

析法，并运用MATLAB软件进行求解。

由于本问题的许多条件比较模糊，具有隐藏性，我们先对附件中的数

据进行预处理，从中提取与评价有关的原因，然后运用层次分析法确定各

准则对目的的权重，从而建立学生宿舍设计方案的评价模型。详细成果为:

(1)经济性方面：得出四种学生宿舍设计方案在此方面的的组合权向

量为：

(0.0440,0.5627,0.2265,0.1668),根据指标越小，优先选择程度越大的准则得出：

方案1是经济性最优的，另一方面为方案4、方案3,最终为方案2。

(2)舒适性方面:得到组合权向量为：(0.1124,0.5301,0.15760.1999),根

据指标越大，优先选择程度越大的准则得出：方案2是舒适度最高的，另

一方面为方案4、方案3,最终为方案1。

(3)安全性方面:得到组合权向量为：(0.0935,0.415&0.2684,0.2223),运

用和(2)同样的准则，得出了方案2是安全性最强的，另一方面为方案3、

方案4,最终为方案1。

(4)综合分析方面:得到组合权向量为：(0.0678,0.539&0.2111,0.1813),

由此得出方案2是综合指标最高的，另一方面为方案3、方案4、最终为方

案lo

最终，对以上建立的模型进行合理化的评价和深入的探讨，分析了模

型的优缺陷，并提出了深入的改善方向。

关键词：评价模型层次分析法权重MATLAB

1.问题重述

现如今的学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也

要以便管理，同步要考虑成本和收费的平衡，这些还与所在都市的地区、区位、文化习

俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问

题。

请用数学建模的措施，从经济性、舒适性、安全性方面对附件中给出的四种学生宿

舍的设计方案作出综合量化和比较。

2.问题分析

本问题要处理的问题是对四种经典的学生宿舍设计方案进行评价与比较。

题目中的数据比较模糊，具有隐藏性，并且是用图表的方式展示给我们的，因而处

理这一问题的要点有两个：（1）怎样把附件中四个平面设计图中所隐藏的数据量化；（2）

在建立评价比较模型时怎样确定各个原因之间的权重与影响。

因而我们采用模糊决策和层次分析法相结合的措施构架评价模型，来评判各个宿舍

设计方案的优劣。

3.模型假设

1）我们以附件中的匹个图片作为研究的对象；

2）Design1>Dcsign2、Design3和Dcsign4分别对应层次构造中的方案层P；

3）假设搜集到的数据与理论根据是精确合理的；

4）不考虑宿舍未住满、设施损毁等情形；

5）单位面积内的建设成本我们假设为定值。

4.符号阐明

符号含义表达

A、4、M不一样层次构造下的目的层

B、4、8，不一样层次构造下的准则层

P、P、P\P不一样层次构造下的决策层

B\准则层下的经济性原因

B2准则层下的舒适性原因

B3准则层下的安全性原因

Cl子准则层下的建设成本原因

C2子准则层下的运行成本原因

C3子准则层下的收费原则原因

C4子准则层下的人均面积原因

得到其相对应的成对比较矩阵如下面所示：

第二层对第一层的成对比较矩阵为：

U1/21/6、

B\=211/4

、641,

求得其最大特性根为2max=3.0092,经一致性检查：

C1='⑷一"=O.L

7?—1

查找对应的平均随机一致性指标（见上表3）RI,计算一致性比率为:

-C/0.00458

CA=——=------------=0.0079<0.1

RI().58

CR阐明矩阵⑻的不一致程度是可以接受的，矩阵81的权向量为:

IV'=(0.1061,0.1929,0.7010)7

第三层对第二层的成对比较矩阵为:

Q1/91/7"5、

9125

Cl=

71/215

、51/51/51>

(\1/91/71/5]

9135

C2=

71/3I3

A1/51/31,

q1/91/51/5]

9134

C3=

51/311

A1/411;

通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量W1、最大特性根2

与一致性指标CR,详细求解成果见下表4：

B\ClC2C3

0.10610.03980.03990.0458

0.19290.50280.56600.5708

Wi

0.70100.34290.26740.1976

0.11450.12670.1858

23.00924.21384.17074.0620

CR0.00790.07920.06320.0229

表4

_L述一致性比率CR均不不小于0.1,可以判断矩阵具有满意的一致性。

于是得出，单在经济性方面上四种设计方案的组合权向量为：

WI=(0.0440,0.5627,0.2265,0.1668)7

作出综合评价结论为：方案1在经济性上的权重占0.0440,方案2占0.5627,方

案3占0.2265,方案4占0.1668。

因而方案1是经济性最优的，另一方面为方案4、方案3,最终是方案2。

5.2舒适性方面

同上面的措施，建立了舒适性方面如图3所示的层次构造图。

在这里我们的评价准则为：指标越大，优先选择程度越大，也就是说，舒适性就越

好。

目的层A?舒适性B2

采

准则层4

光

通

风

C7

决策层尸方案1方案2方案3方案4

图3

从而得到其相对应的成对比较矩阵如下所示:

第二层对第一层的成对比较矩阵为：

ri235、

1/2134

82=

1/31/311

J/51/4।b

第三层对第二层的成对比较矩阵为•*

ri1/71/52/9、

7143

C4=

51/4I2/5

、9/21/35/2I

(\1/71/31/5、

7154

C5=

31/51l；2

A1/42L

426、

1/413/53

C6=

1/25/315

J/61/31/5b

(11/91/73、

9I57

C7=

71/513

J/31/71/3b

通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量W2、最大特性根之

与一致性指标CR,详细成果见下表：

B2C4C5C6C7

0.47390.05150.05490.50810.1213

0.31490.54300.60230.15700.6850

W2

0.11660.15480.12600.27210.1359

0.09460.25070.21680.06280.0578

24.06584.18924.12134.04884.1766

CR0.02440.07010.04560.01810.0654

表5

上述一致性比率CR均不不小于0.1,可以判断矩阵具有满意的一致性。

于是得出，单在舒适性方面上四种设计方案的组合权向量为：

W2=(0.1124,0.5301,0.1576,0.1999)r

作出综合评价结论为：方案1在舒适性上的权重占0.1124,方案2占0.5301,方

案3占0.1576,方案4占0.1999。

因而方案2是舒适度最高的，另一方面为方案4、方案3,最终是方案1。

5.3安全性方面

此方面仅考虑了人员的疏散与防盗，而不考虑其他的特殊状况。

用同5.1中的措施建立了安全性方面的层次构造图，如图4所示。

在这里我们的评价准则为：指标越大，优先选择程度越大，也就是说，安全性就越

高。

目的层T

准则层公

决策层

图4

通过度析我们得到了如下的成对比较矩阵:

第二层对第一层的成对比较矩阵为；

5]

83=

J/5b

第三层对第二层的成对比较矩阵为:

‘11/41/21/3、

413/25/4

C8=

22/313/2

、34/52/3I,

11/91/71

157

1/516

1/71/61

通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量W3、最大特性根％

与一致性指标CR,详细成果见下表6：

B3C8C9

0.83330.10220.0501

0.16670.37030.6431

W3

0.27200.2505

0.25550.0563

224.06884.2627

CR00.01580.0973

表6

于是上述一致性比率或均不不小于0.1,可以判断矩阵具有满意的一致性。

最终得出，单在安全性方面上四种设计方案的组合权向量为：

W3=(0.0935,0.4158,0.2684,0.2223)T

由此可见，作出综合评价结论为：方案1在安全性上的权重占0.0935,方案2占

0.4158,方案3占0.2684,方案4占0.2223。

因而方案2是安全性最强的，另一方面为方案3、方案4,最终是方案1。

5.4综合分析

综合考虑经济性、舒适性、安全性三个方面之间的权重，层次分析构造图见图1,我

们得到了如下的成对比较矩阵为：

」35、

4=1/314

J/51/41,

通过MATLAB计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量为：

Wo=(0.6267,0.2797,0.0936)丁

最大特性根4ax=3.0858与一致性指标CR=0.0739<0.1,则阐明矩阵不一致程度是可

以接受的。

于是得到最终的组合权向量为：

W=