2024年厦门大学强基计划数学笔试真题试卷含详解

2024年厦门大学强基计划数学笔试真题试卷含详解一、单选题（每题2分，共20分）1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2}【答案】B【解析】解方程x²-3x+2=0得x=1或x=2，解方程x²+x-6=0得x=-3或x=2，故A∩B={2}。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.-1B.1C.3D.4【答案】C【解析】f(x)表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为3。3.若复数z满足|z|=1，则z²的辐角主值可能是（）（2分）A.0B.π/2C.πD.3π/2【答案】C【解析】设z=a+bi，则a²+b²=1，z²=(a²-b²)+2abi，辐角主值为π。4.函数y=sin²x+cos²x-cos2x的值域是（）（2分）A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1/2,1}D.{-1,1/2}【答案】B【解析】y=1-cos2x，值域为[0,1]。5.已知等差数列{a_n}中，a₁+a₅+a₉=39，则a₅+a₁₀+a₁₅等于（）（2分）A.78B.117C.156D.195【答案】C【解析】a₅+a₁₁+a₁₅=3a₉=117，故a₅+a₁₀+a₁₅=156。6.直线y=kx+1与圆x²+y²-2x+4y-3=0相切，则k的值为（）（2分）A.±√3B.±2√3C.±√5D.±2√5【答案】D【解析】圆心(1,-2)，半径√(1+4+3)=√8，k=±2√5。7.设f(x)为定义在R上的奇函数，且f(1)=1，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f(3)=f(1)+f(2)=1+f(2)，f(5)=f(3)+f(2)=3。8.执行以下程序段后，x的值为（）（2分）i=0;sum=0;whilei<5:sum=sum+i;i=i+1;x=sum2;A.0B.10C.20D.30【答案】B【解析】sum=0+1+2+3+4=10，x=20。9.一个四面体的顶点分别为A、B、C、D，AB=AC=AD=BC=BD=CD=1，则BC的中点到平面ABC的距离是（）（2分）A.1/√3B.1/√2C.√2/2D.√3/2【答案】A【解析】中点E到面ABC距离为√(1²-1/4)=√3/2，投影为√3/6。10.已知实数x满足x²-4x+1≤0，则|√x-2|+|x-1|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】x∈[2-√3,2+√3]，|√x-2|+|x-1|在x=2-√3时取最小值2。二、多选题（每题4分，共20分）1.以下关于函数y=1/x的说法正确的有（）（4分）A.定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)B.是奇函数C.图象关于原点对称D.在(0,+∞)单调递减【答案】A、B、C、D【解析】所有选项均正确。2.关于数列{a_n}，下列命题中正确的有（）（4分）A.若{a_n}为等差数列，则Sₙ=An²+Bn的形式一定成立B.若{a_n}为等比数列，则任意两项之比等于公比C.若{a_n}的前n项和Sₙ=n²，则{a_n}为等差数列D.若{a_n}为等差数列，则{a_n²}也为等差数列【答案】A、B、C【解析】D中{a_n²}为等比数列。3.关于圆锥，以下说法正确的有（）（4分）A.轴截面是过圆锥顶点且与底面垂直的截面B.侧面展开图是扇形C.侧面展开图的圆心角与圆锥底面圆周角相等D.圆锥的全面积等于底面积加上侧面积【答案】A、B、D【解析】C中圆心角是底面圆周角的两倍。4.关于直线l₁：x+y-1=0和l₂：ax-y+1=0，以下说法正确的有（）（4分）A.当a=1时，l₁与l₂平行B.当a=-1时，l₁与l₂垂直C.l₁与l₂的夹角一定小于π/2D.l₁与l₂不可能相交【答案】B、C【解析】B中斜率乘积为-1；D中l₁与l₂相交于(1,0)。5.关于空间几何体，以下说法正确的有（）（4分）A.正方体的对角线长度相等B.长方体的对角线长度相等C.正四棱锥的各侧面都是等腰三角形D.球的任意截面都是圆【答案】A、C、D【解析】B中长方体对角线长度不一定相等。三、填空题（每题4分，共32分）1.若函数f(x)=x³-px+1在x=1处取得极值，则p=______。（4分）【答案】3【解析】f'(x)=3x²-p，f'(1)=3-p=0，p=3。2.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=√3/2，则cosC=______。（4分）【答案】-1/2【解析】cosC=-cos(A+B)=-1/2。3.若复数z=(2+i)/(1-i)，则|z|的值为______。（4分）【答案】√5/2【解析】|z|=|(2+i)/(1-i)|=√5/2。4.函数y=2sin(3x+π/4)的最小正周期是______。（4分）【答案】2π/3【解析】T=2π/3。5.若等差数列{a_n}中，a₁+a₁₀=10，则S₁₉等于______。（4分）【答案】90【解析】S₁₉=(a₁+a₁₉)×19/2=10×19/2=90。6.抛物线y²=8x的焦点坐标是______。（4分）【答案】(2,0)【解析】焦点为(2,0)。7.若函数f(x)=x²+2x+3在区间[-1,2]上的最小值是m，则m=______。（4分）【答案】1【解析】m=min{f(-1),f(2)}=1。8.执行以下程序段后，sum的值为______。（4分）sum=0;foriinrange(1,6):sum=sum+ii;【答案】55【解析】sum=1+4+9+16+25=55。四、判断题（每题2分，共10分）1.若a>b，则a²>b²。（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2时a>b但a²<b²。2.若函数f(x)在区间I上单调递增，则其反函数f⁻¹(x)也在区间I上单调递增。（）（2分）【答案】（×）【解析】反函数在f(x)的值域上单调递增。3.若|z₁|=|z₂|，则z₁²=z₂²。（）（2分）【答案】（×）【解析】如z₁=1，z₂=i时|z₁|=|z₂|但z₁²≠z₂²。4.若直线l₁：ax+by+c=0与l₂：mx+ny+p=0平行，则必有am=bn。（）（2分）【答案】（×）【解析】应满足bm=an且am≠bn。5.若四面体的各棱长都相等，则该四面体是正四面体。（）（2分）【答案】（√）五、简答题（每题4分，共12分）1.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值。（4分）【解析】分段函数f(x)：x∈[-3,-2]时，f(x)=-2x-1，最大值5，最小值4；x∈[-2,1]时，f(x)=3，最大值3，最小值3；x∈[1,3]时，f(x)=2x+1，最大值7，最小值3。故最大值5，最小值3。2.证明：若a>0，b>0，则a+b≥2√(ab)。（4分）【证明】令f(x)=√x，x>0，则f(x)在(0,+∞)上凹，由Jensen不等式：f(a)+f(b)≥2f((a+b)/2)=2√(ab)，即a+b≥2√(ab)。3.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(-1,-2)，求△ABC的重心坐标。（4分）【解析】重心G坐标为：G((1+3-1)/3,(2+0-2)/3)=(1,0)。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x+a在x=1时取得极值，求a的值，并判断该极值是极大值还是极小值。（10分）【解析】f'(x)=3x²-3，f'(1)=0，故x=1为驻点。f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1处取得极小值。又f(1)=-2+a，故a=2时取得极小值2。2.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，求通项公式a_n。（10分）【解析】a_n+1+1=2(a_n+1)，数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列。a_n+1=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ，故a_n=2ⁿ-1。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.已知函数f(x)=x²-2ax+2在x=2时取得最小值-2，求a的值，并求f(x)的图像顶点坐标和对称轴方程。（25分）【解析】f(x)在x=2处取得最小值，故顶点为(2,-2)。由顶点公式得-2a=2，a=-1。对称轴方程为x=-(-1)=1。顶点坐标为(2,-2)，对称轴为