2025-2026学年湖南长沙市中嘉高级中学高二学业水平合格性考试数学试题 含答案

/2026年长沙市中嘉高中学业水平合格性考试数学试题（试卷满分：100分考试用时90分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1.已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，则这个集合中所含元素的个数确定的最大值.【详解】集合的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，那么这个集合中至多含有3个元素，比如1、2、3.那么这个集合可能是：，，，，，，.故的最大值为7.故选：C2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解.【详解】当时，，所以“”是“”充分条件；当时，，此时满足要求，而，故不一定成立，所以“”不是“”的必要条件；综上，“”是“”充分不必要条件.故选：A.3.已知a、b、c都是实数，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可.【详解】因为，对于A，根据不等式的性质知，故A正确；对于B，当时，；当时，；当时，，故B错误；对于C，当时，，所以；当时，，所以，故C错误；对于D，若，则，故D错误.故选：A.4.不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可.【详解】解不等式，得，所以不等式的解集为.故选：B5.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可求函数的定义域.【详解】由.所以函数的定义域为：.故选：C6.已知函数，则满足不等式的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得为单调递增函数，再由不等式转化为，进而求得实数的取值范围.【详解】由函数，可得其定义域为，设，且，则，由指数函数为单调递增函数，所以，又因为，所以，即，所以函数为单调递增函数，又由，即，所以，即，解得，即实数的取值范围为.故选：C.7.下列各式中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数的运算律可判断AB，由对数式的运算规则及换底公式可判断CD.【详解】对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D错误．故选：C.8.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断.【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件.故选：B9.已知扇形的半径是，圆心角为2，则该扇形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形的面积计算公式可得.【详解】由扇形的面积公式，可得，故选：A.10.若，则角可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，即可确定答案.【详解】由于，故，则角可以为，故选：C11.下列向量中，与向量共线的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由共线向量的坐标关系逐个判断即可.【详解】对A：因为，故与共线；对B：因为，故与不共线；对C：因为，故与不共线；对D：因为，故与不共线.故选：A12.已知为虚数单位，，则实数等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简方程可得，由此可求.【详解】因为，即，可得，所以.故选：C.13.已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆柱的体积公式计算.【详解】根据题意，圆柱的体积为.故选：D.14.如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.直线在平面内【答案】A【解析】【分析】根据空间线面位置关系可得出结论.【详解】如果直线与平面没有公共点，则，故选：A.15.一支羽毛球队有男运动员20人，女运动员15人，按性别进行分层．用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为7的样本．如果样本按比例分配，那么女运动员应抽取的人数为（）A.2 B.3 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】先求出抽样的比例，在计算女运动员的人数即可.【详解】总人数有,抽样比例为,所以女运动员应抽取人.故选：B.16.党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（）A.16 B.30 C.32 D.62【答案】C【解析】【分析】由扇形图计算参加数学类和理化类的人数，即可求得答案.【详解】由扇形统计图可知参加数学类的人数为，参加理化类的人数为，故参加数学类的人数比参加理化类的人数多，故选：C17.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（）A.0.1 B.0.15 C.0.25 D.0.5【答案】C【解析】【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果.【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个，所以数据在之间的频率为：.用频率估计概率，则所求概率为.故选：C18.从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a，b，则使为整数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.【详解】由条件可知，得到不同的对数为，，，，，，共6个对数，其中为整数的有2个，所以概率.故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19.已知为定义域为的奇函数，当时，；当时，___________．【答案】【解析】【分析】设，则，代入时解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案.【详解】设，则，代入时解析式可得，又为奇函数，所以，所以，即.故答案为：.20.已知锐角满足，则_________.【答案】【解析】【分析】先由同角三角函数的基本关系得出；再根据二倍角的正切公式得出；最后根据两角和的正切公式可求解.【详解】由锐角满足可得：，，则，所以.故答案为：21.如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是________三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”）【答案】锐角【解析】【分析】根据勾股定理可知三角形为等边三角形得解.【详解】因为，，两两互相垂直，，所以，所以，即是等边三角形，故答案为：锐角22.某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则__________．【答案】30【解析】【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可.【详解】由题意，.故答案为：30.三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.已知函数．（1）当时，求的值；（2）若函数的定义域为，求的取值范围；（3）当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）当时，代值计算可得的值；（2）由题意可得，即可求得实数的取值范围；（3）由题意可得对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】当时，，．【小问2详解】若函数的定义域为，则对任意的恒成立．所以，，解得.因此，实数的取值范围是.【小问3详解】由题意可知，不等式对任意的恒成立，所以，，可得，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，所以，.因此，实数的取值范围是.24.如图所示，在直三棱柱中，E为的中点，F为与的交点．（1）求证：平面；（2）若，，，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证.（2）根据给定条件，结合线面垂直的判定证得平面，再利用锥体的体积公式计算即可.【小问1详解】在直三棱柱中，连接，由，得F是的中点，而E为的中点，则，又平面，平面，所以平面．【小问2详解】由，得，则，由直三棱柱，得平面，而平面，则，平面，于是平面，所以四棱锥的体积.25.“仓廪实，天下安”，对我们这样一个有着亿人口的大国来说，农业基础地位任问时候都不能被忽视和削弱．种子是农业的“芯片”，确保粮食安全，必须攥紧种子“芯片”，某农科院的专家为了丁解新培育的甲，乙两种种子出芽后麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种种子的两块试验田中各取株麦苗测量株高，得到的数据用茎叶图表示如下（单位：），中间一列的数字表示株高的十位数，两边的数字表示株高的个位数．甲乙908011114301022（1）求甲种麦苗株高的中位数和众数；（2）分别计算两组数据的平均数和方差，并由此判断甲、乙两种麦菌株高的差异