2025-2026学年江苏南京市新联盟校（雨中、金中河西、东高、中华雨花）高二下册4月阶段检测数学 含答案

/江苏南京市新联盟校（雨中、金中河西、东高、中华雨花）2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题一、单选题1．方程的解集是（

）A． B． C． D．2．已知空间向量，若，则（）A．-2 B．-3 C．2 D．33．设A，B为两个事件，且，，则（

）A． B．1 C． D．4．已知A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，为的右焦点，若的一个内角为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．已知点，过点引直线与圆相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率等于（

）A． B． C． D．6．在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．8．已知数列为等差数列，首项（为整数），公差，前项和，则满足题意的的所有取值的和为（

）A．2046 B．2047 C．2048 D．4095二、多选题9．已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．10．在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（

）A．当时，B．当时，直线与平面所成角的最大值为C．当时，线段长度的范围是D．当时，不存在点使得直线与直线所成的角为11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，..是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（

）A．若，则直线的斜率为B．（为坐标原点）C．D．当取最小值时，三、填空题12．曲线在点处的切线方程为__________.13．将甲、乙、丙、丁、戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个同学都要参加且只能去一个城市，每个城市至少去一人，共有__________种不同分配方法.（用数字作答）14．给定一个正四面体，动点在以顶点为球心，棱为半径的球面上运动，若，则的最大值是_____.四、解答题15．已知等差数列的前项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若，求的值.16．如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．17．甲､乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲､乙的概率各为.(1)已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率；(2)求第2次答题的人是乙的概率；(3)求第次答题的人是甲的概率.18．已知双曲线的离心率为2，且过点.(1)求双曲线的方程；(2)设直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆经过双曲线的左顶点（均不与点重合）.求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；(3)在（2）的条件下，若直线分别与两渐近线交于两点，问是否存在实数使得是线段的两个三等分点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.19．已知函数.(1)若（e为自然对数的底数），求函数的极值；(2)若，函数有两个零点，且不等式恒成立，求实数的取值范围.《江苏南京市新联盟校（雨中、金中河西、东高、中华雨花）2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题》参考答案题号12345678910答案DDABCDABABDAC题号11答案ACD1．D【详解】，根据组合数的定义，应满足：，解得：，又因为，则或，即：或，所以或，方程的解集为.2．D【分析】由空间向量垂直的坐标表示，列出方程，求解可得.【详解】由，有，则，解得．故选：D．3．A【详解】因，则.4．B【分析】求出的各边长，结合余弦定理化简即可求解.【详解】由题可得：,，,因为在中，，所以,因为，由余弦定理可得：,由化简可得：，即离心率5．C【详解】如图所示，设过点P的直线方程为：，根据点到直线的距离公式可得：圆心到直线距离为，作，垂足为，则，，，又因为，当且仅当，即：时取最大值，此时，所以，解得：，所以.6．D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离.【详解】如图所示，

以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，则，，设是平面的一个法向量，则，令，则，又，所以点到平面的距离为，故选：D.7．A【分析】通过构造函数，将、、转化为函数值，对函数求导确定其在时单调递减，再根据自变量大小比较函数值大小.【详解】由题意设函数，则，，，又因为（），令，得，所以当时，，单调递减，又因为，且都在递减区间，所以，即.8．B【详解】由等差数列前项和公式，得：，解得：，由于为整数，必须为整数，即是1024的正因数，又为正整数，故的所有可能取值为1024的所有正因数，，其正因数为，这些因数的和为：9．ABD【分析】利用赋值法即可判断．【详解】对于A，令，则，解得，故A正确；对于B，令，则，所以，故B正确；对于C，展开式的通项为，则，即，故C错误；对于D，令，则，所以，故D正确．10．AC【分析】以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断直线垂直，求线段长，线面角、异面直线所成的角，从而判断各选项．【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，由得，即，选项A，时，，，，，A正确；选项B、C，，，由，所以，，由平面的一个法向量是，则，设直线与平面所成角为，则，由，则，则，，B错误、C正确；选项D，，，，，，则，又，∴，即点存在，D错误..11．ACD【分析】设出直线：，根据题意求出，得到斜率判定A；借助向量法计算判定B；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D.【详解】对于A，依题意得，设直线，联立，消去x得，则，则，解得或，则或，则直线l的斜率，故A正确；对于B，因为，所以故B项不正确；对于C，，当且仅当时等号成立，故C项正确；对于D，依题意有，抛物线的准线方程为，所以，则，由抛物线的定义可得，可得，因为，所以，当且仅当时取等号，此时，故D项正确．12．【详解】由求导得，则切线斜率为，故曲线在点处的切线方程为，即.13．150【分析】先将5个同学分组，再分配求解.【详解】第一步，将5个同学分为三组，有两种分法：第一种分法，第一组1人，第二组1人，第三组3人，有种分法；第二种分法，第一组2人，第二组2人，第三组1人，有种分法.第二步，将三组同学分配到三个城市，有种分法，所以共有种不同分配方法.14．【分析】记，过点作平面的平行平面，当平行面与球相切，且与平面位于球心同侧时，取得最大值，计算即可.【详解】如图所示，记，过点作平面的平行平面，当平行面与球相切，且与平面位于球心同侧时，取得最大值，设此时切点为；连接，易得平面，设垂足为，连接，球的半径为，则，外接圆半径，即，所以，.故答案为：.15．(1)(2)或【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式计算即可得解；（2）结合并项求和法分奇偶讨论，再分奇偶计算即可得.【详解】（1）设数列的公差为，则，即，由，则，解得，则，故；（2），则，当为奇数时，，当为偶数时，，由，则当为奇数时，有，解得，当为偶数时，有，解得，综上可得，或.16．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.【详解】（1）连接，因为底面是边长为2的正方形，所以，又因为，，所以，所以，点为线段中点，所以，在中，，，所以，则，又，平面，平面，所以平面.（2）【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，则，则，，设面的法向量为，面的法向量为，则，取，则取，则.设二面角大小为，则，所以二面角的正弦值为.【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设得，，，，，，，，．

设是平面的法向量，则，即，可取．设是平面的法向量，则，即，可取．

所以．因此二面角的正弦值为．

17．(1)(2)(3)【分析】（1）利用全概率公式求解即可；（2）利用全概率公式求出乙答对题目的概率，再根据独立事件与互斥事件的概率公式求解；（3）先根据全概率公式求出递推关系，再构造等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可.【详解】（1）甲答对题目的概率为.（2）乙答对题目的概率为.记“第次答题的人是甲”为事件，“第次答题的人是乙”为事件，所以.（3）设，依题可知，，则，即.设，解得，则.又，所以是首项为，公比为的等比数列，即.18．(1)(2)证明见解析，答案见解析(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据双曲线的离心率及关系式，结合题意即可求解；（2）设，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理得出，由题意得，利用向量数量积的坐标运算结合列式，用表示，再根据直线的点斜式方程即可证明并求解；（3）由（2）知：，设，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理求出，若是线段的两个三等分点，则，列式解方程即可判断.【详解】（1）由题知：，得，∴双曲线的标准方程为：.（2）设，点，由，得：，则∴，由于以为直径的圆过点，∴，即，又，∴，则，整理得：，即，∴或，当时，过定点，与重合，故舍去，当时，恒过定点；（3）由（2）知：，设，由得：，∴，∴，∴，若是线段的两个三等分点，则，即，整理得：，方程无实数解，∴不存在实数，使得是线段的两个三等分点.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.19．(1)极小值为，无极大值；(2)【分析】（1）直接求导得，再对分子求导即可得到的单调性和极值；（2）求导得，题意等价转化为有两个正根，再利用同构思想进行整体换元得有两个正根，最后再利用比值换元法即可.【详解】（1），定义域为，，令，则在上单调递增，由时，单调递减；时，单调递增；，无极大值.