《空间向量及其运算的坐标表示》教案、导学案、同步练习

《1.3空间向量及其运算的坐标表示》教案

【教材分析】

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》,

本节课主要学习空间向量及其运算的坐标表示。

通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学

月立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习

了空间向显的几何形式和运算，以及在空间向最基本定理的基础上进一步学习空间向吊的坐

标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何

问题奠定了知识和方法基础。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.了解空间直角坐标系理解空间向量的

1.数学抽象：空间向量运算的坐标表示

坐标表示

2.逻辑推理：空间向量垂直与平行的坐标表示

B.掌握空间向量运算的坐标表示

及应用；

C.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应

3.数学运算：运用空间向量的坐标运算解决立

用

D.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离体几何问题；

公式，能运用公式解决问题

【教学重点】：理解空间向量的坐标表示及其运算

【教学难点】：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、情境导学

我国著名数学家吴文俊先生在《数创设问题情境，引导

学教育现代化问题》中指出：“数学学生体会运用坐标

研究数量关系与空间形式简单讲法，实现将空间几何

就是形与数,欧几里得几何体系的问题代数化的基本

特点是排除了数量关系，对于研究思想

空间形式，你要真正的‘腾飞'，不

通过数量关系,我想不出有什么好

的办法…….”

吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也

就是坐标系的引入,使得匚何问题“代数化”，为了使得空间几何

“代数化”，我们引入了坐标及其运算.

二、探究新知

一、空间直角坐标系与坐标表示

1.空间直角坐标系

在空间选定一点。和一个单位正交基底{ijk},以点。为原点,分别以

i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、

尸轴、？轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标

系Oxyz,。叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平

面叫做坐标平面,分别称为平面,0Pz平面,应才平面.

L画空间直角坐标系念”时，一般使Nx0y=135°（或45°）,N

jUzRO。.三个坐标平面把空间分成八个部分.

2.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴

的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐

标系.本书建立的都是右手直角坐标系.

2.点的坐标由回顾知识出发，提

在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k为坐标向量,对空间任意一点4对出问题，让学生感受

应一个向量沅?,且点力的位置由向量65唯一确定，由空间向量基本定到平面向量与空间

理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使引二后正力切k.在单位正交基底向量的联系，类比平

亿),k｝下与向量0彳对应的有序实数组(x,y,z),叫做点/在空间直角面向量及其坐标运

坐标系中的坐标,记作力(西y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点力算，从而学习空间向

的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.量及其坐标运算。

3.向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a,作函=Q由空间向量基本定

理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+力"k.有序实数组

Uy,力叫做a在空间直角坐标系公彩中的坐标,可简记作

a-(x,y,z).

小试牛刀

1.若a=3i+2j-k,且｛i,j,k｝为空间的一个单位正交基底,则a的坐标

为.

(3,2,-1)

答案：向量诃的坐标恰好是终点〃的坐标,这就实现了空间基底到空

间坐标系的转换.

思考:在空间宜角坐标系中，向量而的坐标与终点P的坐标有何关系?

二、空间向量运算的坐标表示

L空间向量的坐标运算法则

W_______________.

y/al+aj+aj;Q〔b[+Q2匕2+Q3b3

比+货+烤

22

J(X2-xj2+(y2-yi)+(Z2-Z1).

小试牛刀

1.已知空间向量m=(l,-3,5),n=(-2,2,⑷，则有

,3m-n=,(2m),(-3n).

(-1,-1,1);(5,-11,19);168

解

析:mm=(1,-3,5)+(~2,2,-4)=(-l,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4

)=(5,-11,19),

(2m)•(-3n)=(2,-6,10)•(6,-6,12)=168.

2.已知空间向量a=(2,X,-l),b=(X,8,入-6),若@〃寸则

入=,若a_Lb，则X=.

.7.

4R

解析:若a〃b,则有[=]=三,解得若aJ_b,则

AoX-o

a•b=2/l对八一八4R,解得4二彳.

3.已知a=(-V2,2,V3),b-(3V2,6,0),则/a,£,a与b夹角

的余弦值等于.

答案：32

解析：足/‘57=J/+22+(V3)M,a与b夹角的余弦值

/、\Q*b-6+12+0\6

cos<a,b>~,,,=----k=—.

a||b|3X3«9

例1在直三棱柱ABO-A.BXh中,ZA0B=^,A0=4,B0=2,AA.=4,1)为A.B.的

中点，建立适当的空间直角坐标系，求而，硒的坐标.

思路分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角

坐标系,再根据空间向量基本定理,将前，不用基底表示，即得坐标.

解：由已知力。1。氏例,aoioB,从而建立以雨，而，问方向上的

单位向量i,j,k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz,如图，则

讣li,赤Nj,两-1k,通过典型例题的分

丽=~55=-（E+帝）+；（耐+限卜-^7__析和解决，让学生感

受空间向量坐标运

2i-j-4k,故前的坐标为（-2,T,-4）.

算在解决空间几何

福=砺-西=OB-COA+丽）^OB-OA-耐=Ti+2j-4k,

中的应用。发展学生

故福的坐标为（X,2,-4）.

数学抽象、逻辑推理

即加=（一2,-1,/），初二（~4,2,-4）.

的核心素养。

用坐标表示空间向量的步骤如下:

跟踪训练1.如图,在长方体ABCD-A.B.C.D.+,E,F分别为DC,BC的中

点,若以｛而，而，矶｝为基底，则向量丽的坐标为,向量而

的坐标为,向量宿的坐标为.

答案:&1,1)(1,pl)(1,1,1)

解析:因为族=而+西+庠=;而+而+丽*,所以向量族的

坐标为G，i,i).

因为方=AB+西+瓦？=而+^AD+诟，

所以向量标的坐标为

因为彳*=AB+AD+才汨,所以向量彳*的坐标为(1,1,1).

例2已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C⑵-2,-5).

(1)求丽+CA,CB-2BA,AB♦AC;

⑵若点M满足•标=；而+：而，求点M的坐标；

24

(3)若p与X,q与瓦求伯⑹•(p-q).

思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的

坐标运算法则进行计算求解.

解:⑴因为水1,-2,4),5",3,0),以2,-2,T),所以

而二(-3,5,-4),64<-1,0.9).

所以而+6?=(W5,5),又丽=(Y,5,5),瓦?二(3,-5,4),

所以建-2函二(T0,15,-3),又前二(-3,5,-4),4),

所以四•北二-34)#36=33.通过典例解析，进一

⑵由⑴知，宿=：而+：亚=步让学生体会空间

向量坐标运算在解

夕用5,⑷*1,0,⑼《总»,

决立体几何中的应

若设M(x、y,z),则宿=—+2,zT),

用，提升推理论证能

力，提高学生的数学

运算及逻辑推理的

核心素养。

(3)由(l)知,p^：X=(T,0,9),q^S=(M,5,5).

(方法D(pAj),(p-q)=/p/~/q/^82-66=16.

(方法2)ph=(~5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以

(p，q)(p-q)5-25冯6=16.

空间向量的坐标运算注意以下几点：

(D一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.

⑵空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算

公式是应用的关键.

222

⑶运用公式川以简化运算：(a±b)F±2a・b也；

22

(a4))•(a-b)4).

跟踪训练2在△/1回中，小2,-5,3),AB=(4,1,2),尻=(3,-2,5).

(1)求顶点氏。的坐标；

⑵求石J•正；

⑶若点P在力。上,且而=匹求点〃的坐标.

解：⑴设B(x,y,z),。(汨，力，zi),所以

AB=(x-2,y^5,z-3),BC=(xi-x,y\-y,z\-z).

x-2=4,(x=6,

因为而=(4,1,2),所以y+5=1,解得y=~4,所以点8的坐标为

z-3=2,\z=5,

(6,-4,5).

K1-6=3,pi=9,

>i+4=-2,解得力=-6,所以点。的坐标

Iz「5=5,(Zi=10,

为(9,-6,10).

(2)因为Z7=(-7,1,-7),F?=(3,-2,5),所以后5・玩=-21-2-35=T8.

⑶设夕(照，必，Z2),则而二52-2,%电^2-3),定=(9-照，~6-必10-Z2),

于是有(汹-2,度为，&-3)1(9-抬~6予，10-z2),

p2-2=i(9-x2),(x2=y,

所以1y2+5=：(-6-、2)，解得(y2=一£，故点夕的坐标为

卜2一3=1(10-？2)，[^2=7»

(11-空当

\3,3,37,

例3已知空间三点力(20,2),夙-1,1,2),。(-3,0,4).设a通b葩

(1)若,c/=3,c//前,求c;

⑵若Aa-b与布-2b互相垂直，求k.

思路分析(1)根据c〃近，设c=4瓦,则向量c的坐标可用4表示，再

利用/c/力求才值；

(2)把雨也与Aa-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.

解：⑴:猊=(-2,-1,2)且c〃近，•：设c=1尻=(-24,-九24)(久

£R).

.：/C/^J(-2A)2+(-A)2+(24)2=3/"⑹解得A=±l.

・：c=(2-1,2)或c=(2,1,-2).

(2):'a市=(1,l,0),b就=(T,0,2),.：

Aafb=(k-l,k,2),Aa-2b=(A+2,k,-4).

：・(依为)J_Ja—2b),・：(Aa，b)•(Aa-2b)4),

2

即(女T,k,2),(A+2,k,-4)也kMT0=0,解得k=2或攵=；.

2

向量平行与垂直问题主要题型

(1)平行与垂直的判断；

(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题

时要注意:①适当引入参数(比如向量ab平行,可设a=4b),建立关

于参数的方程;②最好选招坐标形式，以达到简化运算的目的.

跟踪训练3.已知a=(4+1,1,24),b=(6,2/77-1,2).

⑴若a〃b,分别求4与见的值；

(2)若且与c-(2,-2A,-A)垂直,求a.

解：⑴由a〃b,得(A+1J24)^(6,2/77-1,2),

p+1=6k,_i

.：l=k(2m—l),解得『=.：花，加力,

\2X=2k,(m=3.

(2)：7a//^a_Lc,,：[g+/+：：+甲)2=?化简，得

I(A+1,1,2A)•(2,~2A,-A)=0,

f廿：If；*解得八二-1.因此好(0,1,-2).

IZ-ZA—U,

例4如图，在直三棱柱A8CTBC中,CA=CB=\,ZBCA=90o,楂

III

AA2帆A'分别是AA,CB的中点.

111

⑴求砚m的长.

⑵求△丽的面积.

思路分析建立空间直角坐标系，写出用M*等点的坐标,从而得

BM.BN在此处键入公式’的坐标.然后利用模的公式求得巡外的

长度.对于⑵，可利用夹角公式求得cosZ.W；再求出sinZ.WW

值，然后套用面积公式计算.

解：以C为原点，以。，绥“所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空

1

间直角坐标系(如图).

则8(0,1,O),M1,0,1),乂0,：,1)

(1):前二(1,T,1),丽=(o,-D

2

.:丽/[/+(-1)+12=V3,

,.O/=Jo?+(-02+P=亨.故期的长为亚威，的长为当

⑵S△吟•/W-/W-sinZ«V：

：-cosZW=cos<BM,币b黑==孚，

yBMBN苧5

.：sin乙位4-（尊=¥，

故品栏X^XTXV=T即△用介的面积为当

反思感悟向量夹角与模的计算方法

利用坐标运算解空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰

当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算

公式进行求解.

跟踪训练4.在正方体ABCD-ABCD中，£尸分别为AD,的中点，则

11）1I11

cos/EAF二,EF=.

解析：以力为原点，仍力分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系

1

（图略），设正方体楂长为1,则

[0,0,1）,•:荏=（0,p1）,而=（1,0,3,前=

■:cos港内普条二靠.:cosN口片，上屏/考.

一题多变一一空间向量的平行与垂直

典例在正方体力比肌4依〃中，点£是棱4〃的中点，点K。分别为线

段4〃，/切上的点，且3瓦7=可，若"J_"丽=4而，求A的值.

解:如图所示，以点〃为原点，瓦5,瓦，西的方向分别为：轴,y轴,z轴

的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则/1(1,0,0),

£(0,0*),8(1,1,0),台(1,1,0,1),

由题意，可设点户的坐标为(&a,1),

因为3帝=丽,所以3(aT,a-i,0)=(~at-a,0),

所以3a-3=-a,解得力,所以点〃的坐标为(",1).

444

由题意可设点0的坐标为屹仇0),

因为做1仍所以所•荏R,所以(吗耳T)・(-1,0,1)O,

即—(〃9)K解得月，所以点。的坐标为GJ,o),

42444

因为丽=4而,所以(-1,T,0)=/l0),所以：=T,故a=Y.

444

延伸探究1若本例中的FQ1AE改为BQUR其他条件不变，结果如

1

何？

解：以点〃为原点,方工尻,西的方向分别为X轴,y轴,Z轴的正方向

建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,点。的坐标为(c,c,0),因为

50_L£Q,所以瓦0•的心

所以(cT,c-\y-1)•(c,c,T)R,即

c(c-l)+c(cT)号R,4cYc+IR,

解得所以点。的坐标为C3,0),

所以点0是线段物的中点,所以丽=-2丽,故4=2

延伸探究2本例中若点G是力〃的中点，点〃在平面直加上,且GH//BD、

1]

试判断点〃的位置.

解：以点〃为原点,5X泥，西的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向

建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,因为点G是4〃的中点,所

以点6的坐标为C,3)，

因为点〃在平面xOy±,设点〃的坐标为(见/2,0),

因为而:(勿一,〃，1),西二(T,T,1),且西,所以邛=T=

解得柿,吟

12

所以点，的坐标为(1弓0),所以点〃为线段用的中点.

三、达标检测

1.如图,在工W方体A8CDTBC也中,AB=4,BC=\,力4=3,已知向量a在基通过练习巩固本节

底｛而，而,丽f｝下的坐标为(2,1,-3).若分别以万5,反，西的方向为所学知识，通过学生

*轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为解决问题，发展学生

()的数学运算、逻辑推

舁

理、数学建模的核心

素养。

A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)

答案:D

解析:a=2/U?+而-3丽=2沆一a-3西却7—,8,-9).

2.下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是()

A.b-(l,0,0)B.c=(0,T,0)C.d=(T,T,l)D.e<0,0,-1)

答案:B

解析：比较义上项中各向量，观察哪个向量符合4a=(0,九0)的形式，经

过观察，只彳Ic=~a.

3.已知向量a=(l,0,1),b=(2,0,-2),若(Aa，b)•(a+Ab)2则已的值

等于()

A.1B.-C.-D.-

555

答案：D

解析：由已知得/a/=V2,/b/=2&,a•b=O,所以由(*a也)•(aMb)=2

可得kM"k沁b-2,即2〃用公2,解得吟

4.已知点4(1-，,1-t,0,6(2,小)，则46两点的跑离的最小值为

()

A厚B.匹C.速D一

10555

答案:C

解析：因为点>4(1-t,1-t,t)，3(2,t,t),所以

〃8/=(l+£)+(2L1)+(£-£)巧£-2H2,由二次函数性质易知，当吟

时,取得最小值为:・：b4B|的最小值为学,故选C.

5.已知向量a-(2,-1,-2),b-(l,1,-4).

(1)计算2a-3b和/2a-3b/.(2)求<h,b>.

W：(l)2a-3b-2(2,-1,-2)-3(1,1,F)=(4,-2,-4)-(3,3,-12)=(1,-5,

8).

/2a-3b/^Jl2+(-5)2+82^3V10.

⑵cos<a,b>-g又3,b>G[0,n],故<a,b)三

a\\b3x3y224

6.棱长为1的正方体力?。-484〃中，E,F,。分别是如，BD,BB\

的中点.

-A-A

(1)求证：EFLCR,⑵求/与C6所成角的余弦值；⑶求四的长.

解建立如图所示的空间直角坐标系〃町z

则〃(0,0,0),/(0,0,m1,0),叱,-fo1，3

所以郎=(；,—I),ii

^=1?-?/=〔L0,-CE=

\乙乙乙)2

(),fA

⑴证明因为"'1jx0=0,

所以EFLCF,即册

(2)因为"；・1+)X()+」

1=

乙乙24

*_

\EF\='+(9+

22EF・CG4

\CG\=A/l+0+■r-,/.cosqEF,CG)—

乙嬴丁阴害

邛.⑶I西=J

102°

四、小结

课堂小结：本节课你学到了什么？通过总结，让学生进

平面向量运算的坐标表示一步巩固本节所学

类比内容，提高概括能

力。

空间向最运算的坐标表示

数形结合

简单的立体几何问题

五、课时练

【教学反思】

教学中主要突出了几个方面：一是创设问题情景，通过数学家思想的简介，让学生初步体会

空间向量坐标化的基本思想，并以此来激发学生的探究心理。二是运用类比学习法，通过对

平面向软坐标运算的温习，来学习空间向量坐标运算。教学设计尽展做到注意学生的心理特

点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单

纯的记忆教学。注意在探究问题时留给学生充分的时间，使数学教学成为数学活动的教学。

从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

《1.3空间向量及其运算的坐标表示》导学案

【学习目标】

1.了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示

2.掌握空间向量运算的坐标表示

3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用

4.掌握空间向最的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题

【重点和难点】

重点：理解空间向量的坐标表示及其运算

难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题

【知识梳理】

一、平面向晟坐标表示及其运算

已知a=（i]，x）,b=（x2,y2）,写出下列向量的坐标表示

a+b=（Xj+x2,y1+y2）；a-8=（七一看，）'广）’2）；义a=C,/l*,；a•b=xlx2+y}y2

a//b<=>X]%-工2乂=°：a±b<=>x,x2+^）^=0

设£=*,），），则|£|2=£+），2或|[|=Jf+yZ

如果表示向量〃的有向线段的起点和终点的坐标分别为（%,必）、（与，）’2），

那么|£|=J（X|—石）2+（X-乃尸；co50=+叩2<（}<0<7r）

【学习过程】

一、情境导学

我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中

指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与

数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研

究空间形式，你要真正的‘腾飞'，不通过数量关系，我想

不出有什么好的办法…….”

吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量

化”，也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”，为

了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算.

二、探究新知

一、空间直角坐标系与坐标表示

1.空间直角坐标系

在空问诜定一点0和一个单位正交某底u/k},以点。为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、

以它们的长为单位长度建立三条数轴:X轴、y轴、Z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建V.

了一个空间直角坐标系Oxyz,。叫做原点，i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面

叫做坐标平面,分别称为。灯平面,。彩平面,&x平面.

y

L画空间直角坐标系念彩时，一般使/x勿=135°（或45°）,/y0zWO0.三个坐标平面把空

间分成八个部分.

2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,盘指指向y轴的正方向，如果中指指

向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.

2.点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量耐,且点A

的位置由向量0.3唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使

及.在单位正交基底{i,j,身下与向量工?对应的有序实数组（x,y,z）,叫做点力在空

间直角坐标系中的坐标,记作A（x,匕z）,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫

做点A的竖坐标.

3.向星的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a,作砺=a由空间向最基本定理，存在唯一的有序实

数组(x,y,z),使a=xi+yj-zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,

可简记作a=(x,y,z).

小试牛刀

1.若a』i+2j-k,且(i,j,k)为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为.

(3,2,-1)

答案：向量而的坐标恰好是终点户的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.

思考：在空间直角出标系中，向量而的坐标与终点P的坐标有何关系？

二、空间向量运算的坐标表示

1.空间向量的坐标运算法则

设向量a=(a,a,a),b=(〃，6,6),久WR,那么

123I23

向量运算向量表示坐标表示

加法a+b

减法a-b

数乘入a

数量积a,b—

(a+b、a+b、a+b)\(a-t),a-b,a-b);ab+ab+ab

\12233112233123)12233

2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系：

设4(x,y,z),队x,y,z),则而=(*-xty-y,z-z).

11)2222)2121

即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示

若向量a-(a,a,a),b=(6,6"),则

123I23

(1)当bWO时,a〃b=a=1bo(八£R);

(2)a_Lb==.

a=^bta=^b,a=^b;a•b^O;ab+ab+ab鼻

I12233II2233

点睛：当b的坐标中b,b,b都不等于0时,a与b平行的条件还可以表示为a〃b=

123

_03

bi~b2b3

4.空间向量的模、夹角、孔离公式的坐标表示

若向量a=（"哈y则

(1)|a|=V«•a=;

(2)cos<a,\)>-a'b=;

ab--------------------------------------

⑶若人(汨,九©),?(四将Z2),则R,乌两点间的距离为,哂/=.

a］匕i+@2上2+。3b3；」（必一4）22

Jaf+遨+a专;+优-+（Z2-Z!）.在此处键入公式。

Ja：+4+a"b什状+匕：

X

小试牛刀

1.已知空间向量m=(l,-3,5),n=(-2,2,-4),则有

m^n=,3m-n^,(2m)•(-3n)=.

2.已知空间向量a=(2,X,-l),b=(X,8,X-6),ga/7b,5!|X=，若a_Lb，则

入=.

3.已知a=(-鱼，2,8),b=(3a,6,0),则/a/=,a与b夹角的余弦值等

于.

例1在直三棱柱AB0-A.B.0,中，NA0Bq,A0=4,B0=2,AAF4,D为AB的中点，建立适当佗空间

直角坐标系,求丽,Ai百的坐标.

用坐标表示空间向量的步骤如下:

跟踪训练1.如图,在长方体ABCD-ABCD中,E,F分别为DC,B.C.的中点,若以｛丽，而，可｝

为基底，则向量靠的坐标为,向量而的坐标为,向量温的坐标

为.

例2已知在空间直角坐标系中,A中-2,4),B(-2,3,0),C⑵-2,-5).

⑴求通+CA,CB-2BA,AB-AC;

⑵若点M满足加=|AB+；AC,求点M的坐标；

24

⑶若p夫,。血,求(p4)•(p-q).

空间向量的坐标运算注意以下几点：

(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起由的坐标.

(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键.

(3)运用公式可以简化运算：(a土b)书±2a・b由;3他)•(a力)田力.

跟踪训练2在△/出。中,4(2,-5,3),AB=(4,1,2),近=(3,-2,5).

(D求顶点氏。的坐标；

(2)求三？•瓦?；

⑶若点P在力。上,且AP'=然,求点尸的坐标.

例3已知空间三点4(-2,0,2),8(T,1,2),C(T,0,4).设b^C.

(1)若c,M,c//说,求c;

⑵若Aa+与Aa-2b互相垂直,求k.

向量平行与垂直问题主要题型

(1)平行与垂直的判断；

(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入

参数(比如向量a,b平行，可设a>lb),建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式，以达到简

化运算的目的.

跟踪训练3.已知a=(儿」1,21)，b=(6,2加-1,2).

(1)若2〃1),分别求4与力的值；

⑵若瓜，0底且与c=(2,-24,-A)垂直,求a.

例4如图,在直三棱柱ABC-ABC中,CA=CB=1,NBCAW，棱44=2,MN分别是AA,CB的中

III111

点.

(1)求3M8v的长.

(2)求△/W的面积.

反思感悟向量夹角与模的计算方法

利用坐标运算解空间向量夹角与长度的计算问题，关键是建立恰当的空间直角坐标系，写出

有关点的坐标，然后利用夹角与模的计算公式进行求解.

跟踪训练4.在正方体ABCD-ABCD中，E,尸分别为月〃，的的中点，则cosZ

1111I11

EAF=,EF=

一题多变一一空间向量的平行与垂直

典例在正方体ABCDMCI人中，点E是棱4〃的中点，点月0分别为线段BD,〃〃上的点,且

3瓦下=两，若图_L力£丽二久丽，求久的值.

延伸探究1若本例中的PQIAE改为BQ1EQ,其他条件不变,结果如何？

1

延伸探究2本例中若点G是力〃的中点，点〃在平面x%上,且GH//IU).试判断点〃的位置.

11

【当堂检测】

1.如图，在长方体仍禺。〃中,/1%,笈=1,加国已知向量a在基底｛同，彳反标｝下的坐

标为(2,1,-3).若分别以而，万，西的方向为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系，则

a的空间直角坐标为()

A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)

2.下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是()

A.b=(l,0,0)B.c=(0,-1,0)C.d-(-l,-1,1)D.e=(0,0,-1)

3.已知向量a=(l,0,1),b=(2,0,-2),若(Aa，b)•(a/b)=2,则在的值等于()

A.1B.-C.-D.-

555

4.已知点/(IV,IP,0,6(2/,E),则4s两点的距离的最小值为()

5.已知向量a=(2,T,-2),b=(l,1,-4).

(1)计算2a-3b和/2a-3b/.(2)求S,b).

6.棱长为1的正方体力伙为T归G〃中，E,F,G分别是M,BD,胡的中点.

(1)求证：EFVCFx

(2)求牙'与听成角的余弦值；

(3)求四的长.

【课堂小结】

课堂小结：本节课你学到了什么？

平面向量运算的坐标表示

类比|

空间向后•运笛的坐标非示

]数形结合

筒单的立体几何问题

【参考答案】

小试牛刀

1.(3,2,-1)

答案：向量方的坐标恰好是终点户的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.

小试牛刀

1.(-1,-1,1);(5,-11,19);168

解析:m切=(1,-3,5)4-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n-3(l,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),

(2m)・(-3n)=(2,-6,10)•(6,-6,12)=168.

2.4洁

解析:若a〃b,则有,=[=言,解得】<若alb,则a・b?八用/IT与R,解得八二5

AOAUO

3.答案:39

解析：/a/=Va•a=J(-、①2+22+(V3)2^3,a与b夹角的余弦值cos<a,b>=二。=

Vlai\b

-6+12+0_V6

3X3前一9"

例1思路分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，再根据空间

向量基本定理,将面，碰用基底表示，即得坐标.

解：由已知力。_£伽。。_1_创,00_L能从而建立以耐,而,E方向上的单位向量i,j,k为正

交基底的空间直角坐标系Oxyz,如图，则JlNi,OgNj,西Nk,

D0=:0D=-(0ai4-0^5)=[E+^(0A+丽)卜-西-104-洒=-2i-j-4k,

故前的坐标为(-2,T,-4J.

砧=砺-西=OB-(OA+丽)^OB-OA-丽*=Ti+2j-4k,

故同了的坐标为(F,2,，1).

即加=(-2,-1,⑷，砧=(Y,2,⑷.

跟踪训练1.答案:@，1，1)(1，1，D

解析:因为族=而+西+庠=3而+而+瓯,所以向量族的坐标为91,1).

因为方=AB+西+瓦？=通+^AD+诟，

所以向量标的坐标为

因为彳*=AB+AD+才否,所以向量彳*的坐标为(1,1,1).

例2思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行

计算求

解：(1)因为/(1,-2,4),8(-2,3,0),以2,-2,-5),所以而二(-3,5,-4),5?=(-1,0,9).

所以荏+福二(M,5,5),又而二(F,5,5),而=(3,-5,4),

所以丽-2丽=(-10,15,-3),又荏=(-3,5,Y),冠=(1,0、⑼，

所以而•前=-3幻+36=33.

⑵由(D知，宿=逆+泳=?(-3,5,-4)^(1,0,⑼代,;,-y),

若设Mx,y,z),贝1J4M=(*T,y*2,z~4),

x

X-1=■；＞=^

于是y+2=I，解得片》故Gm

19

z-4=4,z=,

(3)由(1)知,pW5=(T,0,9),q交二(W5,5).

(方法1)(p，q)•(p-q)=/p/-/q/3236=16.

(方法2)p/q=(~5,5,14),p~q=(3,4,4),所以8七)8与)=-15-25巧6=16.

跟踪训练2解：⑴设B(x,y,z),C(小,y,Zi),所以而二(r2,y巧,z~3),BC=(x\~xty\-y,Z\-z).

x-2=4,(x=6,

因为而=(4,1,2),所以y+5=l,解得y=-4,所以点8的坐标为(6,T,5).

z-3=2,\z=5,

=3,俨i=9,

因为说=(3,-2,5),所以为+4=-2,解得M=-6,所以点。的坐标为⑼-6,10).

(勺-5=6,(为=10,

(2)因为石?=(-7,1,-7),F?=(3,-2,5),所以65•近=-21-2-35=~58.

（3）设/\题,分Z2）,则AP二（照-2,度玷，Z2-3）,PC=（9-检~6小，1（）-然），于是有

(尼一2,度巧，22一3)(9-%2,-6-72,10一0),

「2-2=1(9-X2),(X2=y,

所以］g+5=：(-6-及)，解得(y2=-g，故点夕的坐标为(g,-弓，y).

1(10-z2),-y»

例3思路分析(1)根据c〃耳乙设c=ABC,则向量c的坐标可用I表示,再利用/c/=3求A

值；

(2)把布也与Aa-2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解.

解：(1):玩二(-2,T,2)且c〃近，•:设C=ABC=(-24，-九24)(】WR).

.：/C/^(-2A)2+(-A)?+(2823/"3,解得4=壬L

・：c=(—2,T,2)或c=(2,1,-2).

(2)丁2翔二(1,l,0),b^?=(T,0,2),•：而小=(4-1,左2i,Aa-2b=(的2,左-4).

：*(A-a4))±(Aa-2b),,：(Aa也)•(Aa-2b)=0,

2

即a-1,k,2)・(4+2,k,-4)=2k/TOO,解得k=2或k=±

跟踪训练3.解：(1)由a〃b,得(4+1,1,2Q=A(6,2勿T,2),

fl+1=6k,_i

」1=k(2m-l),解得'=K=二/』,勿w

(2A=2k,Im=3.

(2)：7a/=V5,Ka_Lc,.：华+?：)；：+(了)：=：：化简，得巴北；3,解得

((A+1,1,2A),(2,~2A,-X,-0,l2~2A2=0,

4--1.因此,a-(0,1,-2).

例4思路分析建立空间直角坐标系,写出B,M,N等点的坐标,从而得丽，丽的坐标.然后利

用模的公式求得BM,用'的长度.对于⑵，可利用夹角公式求得cosZ.m；再求出sin/施V的

值,然后套用面积公式计算.

解：以C为原点，以。，笫”所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).

1

则“((),i,o),Mi,o,D,A(O,g,i).

(1):丽=(1,T,1),丽=(0,1),.：，而42+(-1)2+12=0,

而/=］。2+(-3+M=奈故飒的长为心外的长为当

(2)8M1•/w•IBN/•sinzm：

：cosZW^cos旃面1〉一吧吧=工^=—,

BM\BN\百x三5

.：sinZJ/BV^l-(^)2二?，

故5k版金xV3x与x=坐.即△阳¥的面积为孚.

22544

跟踪训练4.答案3日

解析：以力为原点，力氏力〃，.%分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系(图略)，设正方体棱长

1

为1,则

40,1),《1,0,1),.-.AE=(0,1),AF=(1,0,5,1

3诫科法W=金=|，•:3/以片,正面7除

22

一题多变一一空间向量的平行与垂直

典例解:如图所示，以点〃为原点，而，比，西的方向分别为A■轴,y轴，z轴的正方向建立空

间直角坐标系,设正方体检长为1,则/1(1,0,0),

£(0,l,0),5(L1,0,1),

由题意,可设点，的坐标为(a,a,1),

因为3罚=西，所以3(aT,&T,0)0),

所以3a-3=-a,解得污,所以点尸的坐标为J.

444

由题意可设点。的坐标为(6