【语文版】中职数学基础模块下册：71《数列的概念》教案

7.1数列的概念

一、学习目标：

理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能

根据递推公式写出数列的前几项，理解〃“与S”的关系，培养观察能力和化归能力.

二、自主学习：

1.数列小、&2镜、…，则24是该数列的（B）

A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项

।8

2.已知4=1,。“=1+---（n>2）,则％=—.

%A

3.在数列｛〃“｝中勺二,\,且S4=9,则〃=99.

，〃++1-

【考点梳理】

1.在数列｛列中,前n项和S0与通项a”的关系为:

(〃=1)

（数列｛〃”｝的前n项的和为s”=4+4++〃〃）•

(/?>2,neN)

2.求数列的通项公式的方法（未完，待续）

方法1—观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变亿而变化，哪些因素不变；初步归纳

出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明；

方法2——由an与Sn的关系求通项公式。

方法3一—归纳、猜想、证明法：有的数列求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，

发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明.

方法4一一递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍

的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.

3.数列与函数的关系：

研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数

列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.

1）判定数列｛a｝的单调性考查的是与a的大小关系.

2）待定系数法：

解读：1）比差法或比商法。

2）使用待定系数法的般步骤是：①确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根

据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；3）解方程（组），使问题得到解决。

三、合作探究：

题型1归纳（从特殊到一般）、猜想、证明的思想方法——科学研究的思维方法

例1已知数列中求数列的通项公式。

解法1：由得猜想:

再由数学归纳法进行证明：

①等式成立

②假设时等式成立，即

那么

即时等式也成立

综合①②对任意都有成立。

解法2：

n

变式训练1已知数列｛aj中由=1,%‘一73""(1)写出数列的前5项：(2)猜想数列的通

项公式并用数学归纳法证明你的猜想。答案：(1)略；(2)an二^■，证明略。

n

小结与拓展：有的数列用一般方法不易求出通项公式，常先由递推公式算出前几项，发现规

律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。''归纳一一猜想一一证明”的思想方法是通过观察、

尝试、探索规律，从而对命题的结论予以猜测，然后再用数学归纳法证明。归纳猜想是探索

发现真理的重要手段。

题型2周期数列

例2数列｛—｝中,ai=3,an—anan+i=l(n=l,2,—),An表示数列｛aj的前n项之积,则

求Aaoos.

2121

解：可求出a】=3,a2=-,aa=—a«=3,as=~,26=一［,…，数列｛aj每3项重复一次，

可以理解为周期数列，由2005=668X3+1且aiXazXa,=-l,则

A2005=(a】Xa?Xas),,Yazoo?Xa2(x)3Xa：»(M)X32005

—(aiXa?Xaj涮=3.

变式训练1在数列｛小｝中，a【=l,a2=5,an+2=a0+i—an(nN)»则aiooo=(D)

A.5B.-5C.1D.-1

解：由由=1,a2=5,an+2=a«+i—an(neN,),可得该数列为1,5,4,—1,—5,—4,1,5,4,….

此数列为周期数列，由此可得a⑼。=-1.

小结与拓展：1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2）周期数列必有最小正周

期（这一点与周期函数不同）。

题型3数列与函数、方程的融合——单调性等

例3已知函数/⑸=2-2:数列｛a｝满足/（kga,,）=-2n,求数列⑸｝通项公式.

解：/Oog：«„）=2loKa"-2~'OKan=-2n

an——=-2n得〃“=yln~+\-tt

%

变式训练3已知数列｛*｝的通项公式是an=-^—,其中a、b均为正常数，那么所与

a<i+1的大小关系是（B）

A»dn>an+lB.

C・a：i3n+iD.与n的取值有关

舞_______na.(n+l)an(n+2)n2+2n

•an+i>0，••anVa«i+】・

*an+i(n+l)b•(n+2)b(n+1)'n'+2n+l<'

变式训练4（待定系数法）已知数列｛a"满足%=1,az=can+b,且a?=3,a&=15,求常

数b、c的值。答案：b、c分别为6、-3或1、2.

小结与拓展：把an看成关于n的函数，其图象是离散的点。可用研究函数的方法研究数列，

数列也具有它的定义域、值域、单调性与周期性等,同样Sn也是这样。

四、课堂总结：（以学生为主，师生共同完成）

1.递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前〃项和S之间的关系.

要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略，S和a的转化，可给

出数列，问题总是在一步步的转化过程中得到解决，在运用转化的方法时，一定要围绕转化

目标转化.

2.重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用.

五、检测巩固：

1.求下面各数列的一个通项：

⑴，±__2_上.

2x4,5x7，8xl0'llxl3'

⑵数列的前〃项的和S”=2/+〃+i；

⑶数列｛*｝的前〃项和S,=1+山〃（厂为不等于（）,1的常数）.

2

解:(1)%=(-1)”-----------

"(3H-1)(3H+1)

（2）当〃=1时67,=5,=4,当九N2时小=4］一1,显然《不适合

an=4/2-1

4(〃=1)

4/2—1(n>2)

(3)由Sn=1+可得当〃之2时Sn_i=1+ran_y,/.Sn-Sn_｝=r(an-an_x),

/.an=ran-ran_x,Ad„(r-l)=ran.pV/.=—^―,Vr^O,

I

・,.｛为｝是公比为上一的等比数列.

r-1

iir

又当〃=1时，S]=1+M],/.a,=---,/.a=----(----.

11-r"1-rr-1

2.根据下面各个数列｛%｝的首项和递推关系，求其通项公式：

(1)%=1,凡+1=%+2〃(〃wN.)；

(2)%=1,%+]N");

H+1

(3)%=1,。”+]+1(〃cN").

解：(1)•••〃”+]=%+2〃，，—4.=2〃，

/=q+(a2-a])+(a3-a2)+-^+(all-at,_i)

=l+2xl+2x2++2x(〃-l)

=1+〃X(〃-1)=-〃+1

⑵=...4=%.出马.人=」.2

an/?+14a2%23nn

又解：由题意，(〃+1)%+[=〃%对一切自然数〃成立，

叫=(〃-1)〃"_]=••=1-6Z|=1，**.a=—.

nn

⑶/%=I+1-2=g(4-2)-2｝是首项为4-2=T

公比为;的等比数列，二〃〃-2=-1•(fI，，q=2-(夕，

说明：(1)本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；

(2)若数列｛%｝满足〃”=p〃,i+q,则数列[〃-二二]是公比为p的等比数列.

1-Pj

3.设｛%｝是正数组成的数列，其前〃项和为S”，并且对所有自然数〃，%与2的

等差中项等于S“与2的等比中项，

（I）写出数列｛%｝的前三项；（2）求数列｛%｝的通项公式（写出推证过程）；

⑶令bn=’（也+2）（〃£N）,求々+4+用+…+bn-n.

2%%“

解：（1）由题意：49=而；%>0,令〃=1,竽=向，解得。=2

令〃=2,&；2-，2（q+%），解得4=6

J

令〃=3,出;~=52（4+/+=），解得％=10

・.・该数列的前三项为2,6,10.

（2）♦:审=阿，・・.S“=!0+2）2,由此5向=（（。2+2）2，

Zo