《二分法》教学课件1

2.4.2求函数零点近似解

的一种计算方法

——二分法

复习巩固

回想一下上一节课所学的内容.（1）函数的零点及其等价关系？

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.复习巩固方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点（2）如何求零点个数及所在区间？

解一：利用计算器或计算机作的对应那么函数在区间内至少有一个实数有且只有一个零点.上连续，并且有值表，若在区间在上的单调性，则在根，若能证明复习巩固

解二：试探着找到两个x对应值为一正一负（至少有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个.

解三：构造两个易画函数，画图，看图象交点个数，很实用.

（3）连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.知识讲解

从学校教学楼到学校食堂的电缆有5个接点.现在某处发生故障，需及时修理.为了尽快把故障缩小在两个接点之间，一般至少需要检查多少___次．212345知识讲解10次以内猜出，你们能做到吗？

从1～1000这1000个自然数随机抽出１个数，谁能根据提示“大了”“小了”“对了”先猜出这个数？知识讲解

由于解决实际问题的需要，人们经常需要寻求函数y=f(x)的零点（也就是方程f(x)=0的根）。求一次函数或二次函数的零点，我们可以用熟知的公式解法。

在16世纪，人们找到了三次函数和四次函数的求根公式，但对于高于四次的函数，类似的努力却一直没有成功。到了19世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于四次的函数（即高于四次的代数方程）不存在求根公式，也就是说，不存在用四则运算即根号表示的一般公式解。知识讲解

同时对于三次和四次的代数方程，由于公式解的表示相当复杂，一般来讲并不适宜用作具体计算。因此对于高次多项式函数及其他的一些函数，有必要寻求求零点的近似解的方法。这在计算数学中是一个十分重要的课题。知识讲解知识讲解在分析函数零点的性质时，我们已经看到，如果函数y=f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点。即存在一点x0∈(a,b)，使f(x0)=0。知识讲解

如果函数图象通过零点时穿过了x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点。

依据这个性质，下面我们介绍求函数零点的近似值的一种计算方法：二分法。知识讲解

已知函数y=f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度。

下面我们分步写出用二分法求函数零点的一般步骤。第一步：在D内取一个闭区间[a0，b0]D，使f(a0)和f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)<0，零点位于区间[a0，b0]中；知识讲解第二步：取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为，计算f(x0)和f(a0)，并判断：（1）如果f(x0)=0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；（2）如果f(a0)·f(x0)<0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1=a0，b1=x0；知识讲解（3）如果f(a0)·f(x0)>0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1=x0，b1=b0；第三步：取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为计算f(x1)和f(a1)，并判断：知识讲解（1）如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；（2）如果f(a1)·f(x1)<0，则零点位于区间[a1，x1]中，令a2=a1，b2=x1；（3）如果f(a1)·f(x1)>0，则零点位于区间[x1，b1]中，令a2=x1，b2=b1；……知识讲解

继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an、bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点。计算终止。这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度。例题讲解例1.求函数f(x)=x3+x2－2x－2的一个正实数零点（精确到0.1）。解：由于f(1)=－2<0，f(2)=6>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间。用二分法逐步计算，列表如下：例题讲解端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值确定区间a0=1，b0=2f(1)=－2，f(2)=6[1，2]x0=1.5f(x0)=0.625>0[1，1.5]x1=1.25f(x1)=－0.984<0[1.25，1.5]x2=1.375f(x2)=－0.260<0[1.375，1.5]x3=1.4375f(x3)=0.162>0[1.376，1.4375]例题讲解

由上表的计算可知，区间[1.376，1.4375]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，因此1.4就是所取函数的一个正实数零点的近似值。例题讲解

函数f(x)=x3+x2－2x－2的图象如图所示，实际上还可以用二分法继续计算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值。小结

对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．1.二分法2.概括利用二分法求函数f(x)零点的近似值的步骤1．确定区间[a，b]，验证，给定精确度2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点;(2)若，则令b=0（此零点）;4．判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2-4．(3)若，则令a=0（此时零点）.练习小结定区间，找中点，中值计算两边看;同号去，异号算，零点落在异号间;周而复始怎么办?精确度上来判断.二分法求方程近似解的口诀:拓展探索ab练习1.下列函数中能用二分法求零点的是（）xy0xy0xy0xy0ABCDB练习2.用二分法求函数y=f(x)在内零点近似值的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则函数的零点落在区间（）A.（1，1.25）B