专题03随机变量及其分布高二年级下学期数学单元复习（知识梳理热考题型单元检测）（知识梳理热考题型单元检测）（新高考人教A版专用）原卷版

专题03随机变量及其分布（新高考人教A版专用）

【知识梳理】...................................................................2

【热考题型】...................................................................5

【考点1】条件概率.............................................................5

【考点2】全概率公式...........................................................7

【考点3】离散型随机变量.......................................................9

【考点4】离散型随机变量的分布列..............................................10

【考点5】离散型随机变量的均值................................................12

【考点6】离散型随机变量的方差................................................14

【考点7】二项分布.............................................................16

【考点8】超几何分布..........................................................18

【考点9】正态分布.............................................................19

【单元检测】..................................................................22

【基础卷】....................................................................22

【能力卷】....................................................................26

K知识梳理

一、条件概率

(1)若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A

包含的样本点数的比值，即%阴4)=皿".

〃(N)

p(AD\

(2)一般地，设48为两个随机事件，且尸(4)>0,我们称P(8|4)=/学为在事件4发生的

条件下，事件4发生的条件概率，简称条件概率.

(3)当夕(4)>0时，当且仅当事件力与8相互独立时，有P(B1A)=P(B).

(4)由条件概率的定义，对任意两个事件4与8,若尸(/)>0,则P(AB尸皿逊国,我们称此

式为概率的乘法公式.

二、条件概率的性质

性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设。(/)>0,则

(1)P(0|4)=L

(2)若3和C是两个互斥事件，则

P(B^C\A}=P(B\A}+P(C\AV

(3)设豆和B互为对立事件，则P(B\A}=\-P(B\A].

三、全概率公式

(1)全概率公式:一般地,设4,生，…，4是一组两两互斥的事件,4U/2U…U4'=。，且

P(4)>0,/=1,2,…，〃，贝!对任意的事件8G。，有尸仍)=宫尸(4)P(8I4).

⑵贝叶斯公式(选学)：设小,小，…,4是一组两两互斥的事件，小U/2U…U4=0，且尸(4)>0,

;=1,2,…，〃，则对任意的事件8G0,有

P3⑻1(4)P㈤4)

P(8)

P(71,)P(B|A,)

=，=i，z=l,2,…，n.

四、离散型随机变量

(1)定义：一般地，对于随机试验样本空间。中的每个样本点口，都有雎二的实数X3)与之对应，

我们称X为随机变量.

五、离散型随机变量的分布列

(1)离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为笛，X2,…，我

们称X取每一个X,的概率RX=K)=〃j,i=l,2,3,…，〃为X的概率分布列，简称分布列.

离散型随机变量的分布列可以用表格表示：

•••

XXIX2Xn

•••

P6P2夕〃

(2)离散型随机变量的分布列的性质

①i=1,2,•••,〃；

®p\-\-pi~\-----Fp〃=l.

六、两点分布

对于只有两个可能结果的随机试验，用力表示“成功”，彳表示“失败"，定义X=

1,A发生，_

_如果尸(4)=p,则P(1)=1-p,那么X的分布列如表所示

0,力发生.

X01

P1-PP

我们称X服从两点分布或0—1分布.

七、离散型随机变量的均值

(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为

XX1X2•••Xi•••Xn

••••••

PPiP2PiPn

则称姓+力士+…+为历+…+”以=£/〃,为随机变量X的均值或数学期望,数学期望

简祢为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值

和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.

(2)一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么现¥)=0X(—p)+lXp=2

(3)离散型随机变量的均值性质

①£"+力)=达重归喳；

②£(X+必)=E(XI)+£YX2).

八、离散型随机变量的方差

(1)设离散型随机变量X的分布列为

••••••

XX\X2Xi

PPiP2・♦♦Pi•••Pn

D(X)=。一/6¥))2切+3一+幻血2+…+一土MF”二£(为一仇¥))2“能够刻画X相对于均

值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.并称D(X)为随机变量X的

标准差,记为

(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量

取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越短生；方差或标准差越大，随机变量

的取值越分散.

(3)几个常见的结论

①Q(aX+b)=皿#.

②若X服从两点分布，则。(筋=/川一〃).

九、〃重伯努利试验

(1)只包含西仝可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所组

成的随机试验称为〃重伯努利试验.

(2＞重伯努利试验具有如下共同特征：

①同一个伯努利试验重复做〃次；

②各次试验的结果相互独立.

十、二项分布

⑴二项分布：一般地，在〃宣伯努利试验中，设每次试验中事件力发生的概率为MOvpvl)，

用X表示事件力发生的次数，则X的分布列为P(X=%)=C§/A1—〃)〃-34=0,1,2,.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X〜义〃，0.

十一、超几何分布

(1)一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，

用X表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=。加辿,k=m,〃?+1,m

C%

+2,…，匚其中〃，N,MEN*,MWN,m=max{0,〃-N+M},厂=min{〃，〃}.如果

随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量¥服从超几何分布.

(2)设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地

随机抽取〃件产品中的次品数.令〃=¥，则〃是N件产品的次品率，而“是抽取的〃件产品的

Nn

次品率，则七（%）=力¥=也.

N

十二、正态分布

12

（1）/*）=7=b1一，x£R.其中〃WR，A0为参数.显然，对任意的XWR,/（A-）＞0,它的图象

0\12712/

在;V轴的上方.可以证明X轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称/（X）为正态密度函数,称它的

图象为正态密度曲线，简称正态曲线.

12

（2）若随机变量X的概率密度函数为/（x）=。e一J,x£R,则称随机变量X服从正态分布,

O2兀2产

记为X〜N3,.特别地,当"=0,〃=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

（3）正态曲线的特点：

①正态曲线是单峰的，它关于直线x=〃对称:

②曲线在处达到峰值占；

攵2Z5

③当凶无限增大时，曲线无限接近X轴.

（4）若丫〜M"，〃），则E（x）=也,。（㈤=近

（5）服从于正态分布M〃，〃）的随机变量¥在三个特殊区间内取值的概率：

PQi-GWXJI+㈤七0.6827,

P（/i-2G£XJI+2。）=0.9545,

PQi~+30）=0.9973.

在实际应用中，通常认为X只取区间仅一3c〃+3司中的值，这在统计学中称为3）原则.

热考题型

【考点1】条件概率

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱

好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调杳一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率

为（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

2.（2023•广东江门•一模）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知

取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（）

3.（2223高三・江西抚州•阶段练习）一袋中有大小相同的3个白球和4个红球，现从中任意取出3个球，记

事件/:“3个球中至少有一个白球”，事件8:“3个球中至少有一个红球〃，事件C："3个球中有红球也有白球”,

下列结论不正确的是（）

A.事件A与事件4不为互斥事件B.事件A与事件C不是相互独立事件

C.P（C|J）=|JD.P（AC）＞P（A^）

二、多选题

4.（2223高三上•江苏南通•期末）一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机

取两次，每次取1个球，记事件”：第一次取出的是红球；事件42：第一次取出的是白球；事件4：取出

的两球同色；事件C取出的两球中至少有一个红球，则（）

A.事件4，4为互斥事件B.事件氏C为独立事件

C.P（B）=-D.P（C\A2）=-

5.（2023•广东肇庆•二模）随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福

的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（）

A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为2

6

B.已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为《

C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为g

D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为。

O

三、填空题

6.（2023・浙江•模拟预测）已知随机事件B,P（A）=\,P（B\=-,尸（4|8）=导，则P（@4）=_______.

344

四、解答题

7.（2023•河北衡水•模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过

一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有g的概率使自己的下一次攻击

立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二

是每次发动攻击时有g的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发

时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到笫一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判

定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一

轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1,技能i和技能二的各次触发

均彼此独立：

⑴当“突击者〃发动一轮攻击时，记事件4为“技能--和技能二的触发次数之和为2”,事件8为“技能一和技

能二各触发1次〃，求条件概率尸（同力）

（2）设〃是正整数，"突击者”一轮攻击造成的伤害为2〃的概率记为勺，求勺.

【考点2】全概率公式

一、单选题

1.（2023•福建莆田•二模）某医用口罩生产厂家生产医用普通口置、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，

三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%,50%,40%.若从该厂生产的

口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（）

医用防护口罩

医用外科口罩

医用普通口罩

A.0.23B.0.47C.0.53D.0.77

2.（2023.全国.模拟预测）某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的

概率为0.7,若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为0.5,已知第一次击中目标的概率为0.8,则

在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（）

换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些"AI"视频，"Al〃视频占有率为0.001.某团队决

定用AI对抗AI,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98,即在该视频是伪造

的恃况下，它有98%的可能鉴定为“Al〃：它的误报率是0.04,即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能

鉴定为“AI”.己知某个视频被鉴定为〃AI〃，则该视频是"Al〃合成的可能性为（）

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

二、多选题

4.（2023•广东广州•二模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%,第2台加工的次

品率为3%,第3台加工的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件

数分别占总数的10%，40%,50%,从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（）

A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08

B.该零件是次品的概率为0.03

C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98

D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为:

5.（2024•广东广州•一模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色

外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件4和4表示从甲箱中取出的球是红球和

白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件8表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（）

311

A.P（4）=yB..

92

c.P（^|4）=-D.P（A2\B）=-

三、填空题

6.（2223高三下•浙江•开学考试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行

方式.某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为

而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为结果这一天他迟到了，在此条件下,

333456

他自驾去上班的概率是.

四、解答题

7.（2023♦浙江杭州•二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要碟型，也是机器学习和人工智能的基石，在

强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们

的序列状态是…，X-，XT，X、,…，那么X,时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态％,即

现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.

假如一名赌徒进入赌场参与一个贿博游戏，每一局赌徒赌扁的概率为50%,且每局赌赢可以赢得1元，每

一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会•直玩卜.去，直到遇到如卜.两种情况才会结束

赌博游戏：•种是手中赌金为。元，即赌徒输光；•种是赌金达到预期的4元，赌徒停止赌博.记赌徒的

本金为A（A赌博过程如下图的数轴所示.

0.50.5

,A-\AA+\

AAr1_~~1——L

0\JyJB

0.50.5

当赌徒手中有〃元〃eN）时，最终输光的概率为。（〃），请回答下列问题:

⑴请直接写出P（0）与尸⑻的数值.

（2）征明｛n〃）｝是一个等差数列，并写出公差4

⑶当力=100时，分别计算8=200,8=1000时,P（4）的数值，并结合实际，解释当8TOO时,P（⑷的

统计含义.

【考点3】离散型随机变量

一、单选题

1.（2223高三上•山东济南•期末）已知等差数列｛4｝的公差为“，随机变量¥满足产（4=，）=4（0<4<1）,

i=1,2,3,4,则d的取值范围是（）

a-H1?）b-卜共）c-（43d-卜照）

2.（2223高二下•贵州遵义•期中）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放

回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X,

贝|JP（XW2）-（）

4-2-1「3

A.-B.-C.-D.-

5555

3.（2324高二上•山东德州•阶段练习）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁

隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X,则

二、多选题

4.(2223高二下•山东潍坊•期中)围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之"，至

今已有四千多年的历史.在某次围铁比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方

获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为MOSP<1)，且每局比赛的胜负互不影响，记决

赛中的比赛局数为X,则()

A.乙连胜三场的概率是(1-03

B.P(X=4)=3p3(1-p)+3p(l-p)3

C.P(y=5)=12p2(l-p)2

D.P(X=5)的最大值是!

o

5.(2324高二上•全国•课后作业)一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，

现不放何地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量鼻则下列

说法正确的是()

A.P(J=O)=!B.。e=1)=一

42

C.尸4=1)=；D.P(§=2)=；

三、填空题

6.(2223高二•全国•课后作业)底散型随机变量X的概率分布规律为尸(X=R)=然可，左=1,2,345,6,

其中“是常数，则P(g<X<4)=.

四、解答题

7.(2023•福建泉州•模拟预测)泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸之路''起点.

著名的“泉州十八景〃是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景游客，发现90%的人至少打卡两个景

点为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南古厝徽章、开元

寺祈福香包、小关公陶瓷摆件.若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只打卡一个景

点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡十八景游客打卡景点情况相互

独立.

⑴从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率；

⑵任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率.

【考点4】离散型随机变量的分布列

一、单选题

1.（2122高二下•广东深圳•期中）设随机变量X的概率分布列为:

X1234

\_

Pm

346

则P(|X-2|G)=()

2.（2324高二上•辽宁•期末）设。＜〃＜】，随机变量4的分布列为:

24

-a

55-

3.（2223高二下•山东临沂•期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表:

二、多选题

4.（2223高二下•河南周口•期中）己知离散型随机变量X的分布列为

X1246

P0.2mn0.1

则下列选项正确的是（）

A.ni+n=0.7B.若，”=0.3,MP(X>3)=0.5

C.若=0.9,则〃=—0.2D.P(X=1)=2P(X=6)

5.（2122高二下•广东梅州•阶段练习）已知随机变量J的分布如下：则实数。的值为（）

qi23

\_,3

p1——a2a2

42

三、填空题

6.（2。22・重庆•模拟预测）已知随机变量X的概率分布为,则实数

四、解答题

7.（2223高二上・北京•期中）有两种投资方案，一年后投资的盈亏情况如卜.两表:

投资股市的盈亏情况表

投资结果获利40%不赔不赚亏损20%

3

概率

788

购买基金的盈亏情况表

投资结果获利20%不赔不赚亏损10%

概率

3q

（1）当p="时，求q的值；

⑵己知甲、乙两人都选择了“投资股市”进行投资，求一年后他们中恰有一人亏损的概率；

⑶已知丙、「两人分别选择了“投资股市''和"购买基金”进行投资，设一年后他们中至少有一人获利的概率大

于［，求〃的取值范围.

【考点5】离散型随机变量的均值

一、单选题

1.（2021•浙江杭州•二模）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功,

则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为pe（0，D,发球次数为X,若X的数学

期望E（X）＞1.75,则P的取值范围是（）

2.（2223高二卜.・浙江温州•开学考试）果医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛管，若采用单管检验需

检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全

部进行单管检验.记10合一混管检验次数为乙当E（4）=10时，10名人员均为阴性的概率为（）

A.0.01B.0.02C.0.1D.0.2

3.（2023•江西•二模）李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无

效碰撞，李华有3个小球。和3个小球6,当发生有效碰撞时，。，力上的计数器分别增加2计数和1计数,

〃，6球两两发生有效碰撞的概率均为去，现在李华取三个球让池们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个

球，发现其上计数为2,则李华一开始取出的三个球里，小球。个数的期望是（）个

A.1.2B.1.6C.1.8D.2

二、多选题

4.（2223高二下•湖南长沙•阶段练习）乒乓球，被称为中国的“国球〃.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、

乙两位中有一位嬴得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负

不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为p（UWpWl）,实际比赛局数的期望值记为/（p）,则

下列说法中正确的是（）

A.三局就结束比赛的概率为/+（1-2）3B./（〃）的常数项为3

C.函数/（P）在网）上单调递减D.吗卜费

5.（2122高三上•河北唐山•期末）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：

（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中％份核酸分别取样混合在•起检测，若检测结果为阴性，则这々份

核酸全为阴性，因而这片份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这4份核酸样本究竟

哪几份为阳性，就需要对这左份核酸再逐份检测，此时，这％份核酸的检测次数总共为A+1次.假设在接

受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为

<p<I）,若〃=10,运用概率统计的知识判断下列哪些〃值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.（参

考数据：怆0.794才-0.1）（）

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

三、填空题

6.（2022•浙江•高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取

3张，记所抽取卡片上数字的最小值为3则户4=2）=,£但）=.

四、解答题

7.（2023・全国•高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若

末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为

0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

⑴求第2次投篮的人是乙的概率：

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量X,.服从两点分布，且产区=1)=1"(工=0)=%/=1,2产.,〃，则£住>]=t4.记

前〃次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为丫，求E(Y).

【考点6】离散型随机变量的方差

一、单选题

1.(2023•山东烟台•二模)口袋中装有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2

个球，记取出的球的最大编号为1,则。(*)=()

2428

A.-B.-C.D.—

99273

2.(2023•河南洛阳•一模)已知某离散型随机变量X的分布列如下：

37

若E(X)=：,P(X>1)=—,则D(X)=()

A."B.?C.2D.A

168164

3.(2023•浙江•模拟预测)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙

一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：

时间/分钟10〜2020〜3030〜4040〜50

甲的频率0.10.40.20.3

乙的频率00.30.60.1

某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求

时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的数学期望和方差分别是()

A.E(X)=1.5,O(¥)=0.36B.E(X)=1.4,0(X)=0.36

C.E(X)=1.5,Q(X)=0.34D.E(X)=1.4,Q(X)=0.34

二、多选题

4.（2021高二・全国•单元测试）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的

有（）

3

A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是？

4

B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为]

2

C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第•次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为w

D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为称

5.（2024・浙江•模拟预测）高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或

3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.小明对其中的•道题完全不会，

该题有两个选项正确的概率是g,记X为小明随机选择1个选项的得分，记丫为小明随机选择2个选项的

得分.则

A.P（Ar=0）＞P（r=0）B.P（X=2）＞P（Y=2）

C.E（%）＞E（r）D.D[X}＞D（Y）

三、填空题

6.（2223高三•全国•对口高考）隧机变量X的分布列如表所示，若E（X）=g,则。（3X-2）=.

四、解答题

7.（2023•北京石景山•一模）某高校"植物营养学专业〃学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥

和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一

段时间后，分别从123三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.

株高增量（单位：厘米）(4,7](7,10](10,13](13,16]

第1组鸡冠花株数92092

第2组鸡冠花株数416164

第3组鸡冠花株数1312132

假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.

⑴从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为（7,叫厘米的概率；

⑵分别从第1组,第2组,第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株.记这3株鸡冠花中恰有*株的株高增

量为（7,10］厘米，求X的分布列和数学期望EY；

⑶心4=1〃表示第〃组鸡冠花的株高增量为（4,叫，"当=0”表示第攵组鸡冠花的株高增量为（10,16］厘米，

%=1,2,3,直接写出方差。4，。刍，。幺的大小关系.（结论不要求证明）

【考点7】二项分布

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为

71

f,向右移动的概率为：.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于¥的位置，

则户（X＞0）=（）

-4-3-2-10123456^

5052_217

A.-----B.-TC.~D.—

243243981

2.（2223高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某

班级准备进行“元宵福气到〃抽奖活动福袋中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个相同小球，从袋中一

次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率

是（）

72「108八144〜216

A.---B.——C.——D.------

625625625625

3.12324高三上•湖北荆州•阶段练习）已知随机变量』〜5（7,0.5）,则概率=@最大时,攵的取值为（）

A.3B.4C.3或4D.4或5

二、多选题

4.（2023•全国•高考真题）在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为

收到。的概率为1-。；发送1时，收到。的概率为4（0＜夕＜1）,收到1的概率为1-a考虑两种传输方案：

单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的

信号需耍译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数

多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到I,0,1的概率为

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为/(I-/)?

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为例1-夕>+(1-03

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为。的概率大于采用单次传输方案译码为。的

概率

5.(2023・湖南•一模)下列说法正确的是()

A.已知随机变量4服从二项分布：〕48,£|,设〃=24+1,则〃的方差。(〃)=3

B.数据135,7,9,11,13的第60百分位数为9

C.若样本数据演,々，…，%的平均数为2,则3再+次+2,…,3匕+2的平均数为8

D.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是5

三、填空题

6.(2021・湖北武汉•一模)在一次以“二项分布的性质〃为.主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学

生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X〜,记0=C>A(1-p「*,

%=0,1,2,…,〃.在研究p*的最大值对，小组同学发现：若+为正整数，则A=(〃+1)〃时，P£=Pi，

此时这两项概率均为最大值；若S+1)〃为非整数，当〃取(〃+l)P的整数部分，则0是唯一的最大值.以此

为理论基础，有同学重复投掷•校质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录

到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为

的概率最大.

四、解答题

7.(2018•全国•高考真题)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品

作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结

果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为P(O<P<1)，且各件产品是否为

不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(〃),求“P)的最大值点Po：

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的P。作为〃的值.已知每件产品

的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求£¥;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余卜.的所有产品作检验？

【考点8】超几何分布

一、单选题

1.（2223高二下•山东青岛•期中）从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球.若每取

出I个红球得2分，每取出I个白球得1分.按照规则从容器中任意抽取2个球，所得分数的期望为（）

5107

A.—B.3C.—D.—

232

2.（2122高二下•河南三门峡•阶段练习）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正

确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（）

1234

A.-B.-C•一D.一

5555

3.（2122高二下•广东广州•期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小

球，设取的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是（）

2

A.7"（A=l）=-B.随机变量¥服从二项分布

Q

C.随机变量X服从超几何分布D.=：

二、多选题

4.（2022・湖北武汉•模拟预测）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球,

记随机变量X为其中白球的个数，随机变量丫为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球

得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（）

97

A.尸（氏6口）=而B.E(X)>E(Y)

C.D(X)=D(Y)D.£(Z)=^

5.（2223高二上•江西上饶•期末）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学

开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校

中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示:

十人数

60

50

40-32363236

30

\/2718/蔡

202412426

10

0ABCDEFGHMN学校

若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项FI的宣讲活动，记X为被选中的学校中了解冬奥会项n

的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（）

A.¥的可能取值为0,1,2,3B.P（X=0）=；

…14

C.EX=1.2D.DX=—

25

三、填空题

6.（2122高二下•上海徐汇•期中）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个

球，已知恰全为黑球的概率为需，若记取出3个球中黑球的个数为X,则。［刈=_.

四、解答题

7.（2324高三下•浙江杭州•开学考试）“英才计划〃最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施,

到2023年己经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学

里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.

⑴若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，4表示选取的人中来自A中学

的人数，求J的分布列和数学期望；

（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，

每人分别答两题，若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每

4

道题的概率分别为“，0.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当P+P2=］时，求甲、乙两位

同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.

【考点9】正态分布

一、单选题

1.（2021•全国•高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布下列结论中不正确的是（）

A.。越小，该物理量在一次测量中在（9910］）的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中