专题03平面向量的线性运算（考点清单知识导图+5个考点清单+3种题型解读）解析版-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

专题03平面向量的线性运算(考点清单，知识导图+5个考点

清单+3种题型解读)

手者直侪单

\

加法、减法

运算法则I~~I★平行向一^^

运算律

0向量的线性组合

★线性运算

0向量的分解I

【清单01】实数与向量相乘

设k是实数，［是向量，那么k与3相乘所得的积是一个向量，记作kl.

士・八口一n皿』人的长度：1后1=1火II，；

若火。()且。工()，贝！1＜___;

ka的方向：当火＞0时,版与丽向；当左＜0时，攵〃与a反向

若太=0或2=0,则心=0；

【清单02】运算律

(1)实数与向量相乘对于实数加法的分配律：(〃?+〃)£=/〃£+〃£：

(2)实数与向量相乘对于向量加法的分配律：kQ+B)=k7+6；

(3)实数与向量相乘的结合律："Z(〃Z)=(〃"2)Z.

【清单03】平行向量定理

如果向量5与非零向量。平行，那么存在唯一的实数m,使6=

【清单()4】单位向量

长度为1的向量；设与非零向量Z方向相同的单位向量为7,则:

\d\

【清单05】向量的线性运算

向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算.

己知［石是两个不平行的向量，向量）可以用1］表示成工=6十）石（x,y是实数）的形式.

那么：向量U就是向是彳W）的合成（向量「分解为）石两个向量:）：

向量X。与）石是向量C分别在4,［方向.上的分向量，或者人”+J必是向量C关于a,B的分解式.

击型循学

【考点题型一】实数与向量相乘

【例1】（23-24九年级上•上海长宁•期中）下列命题中，埼萋的是（）

A.如果女=0或2=。，即，么n=0

B.如果加、〃为实数，那么加（〃可=（〃⑼3

C.如果＞=口（攵为实数），那么

D.如果：=3）或：=—3%，那么什=3忖

【答案】C

【分析】本题主要考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的件质,根据平面向量的件质一一判

断即可.

【详解】解：A.如果2=0或6=0,那么储=6,正确，故本选项不符合题意.

B.如果“、〃为实数，那么，〃（元）二（〃皿）£,正确，故木选项不符合题意.

c.如果）=防（攵为实数），那么2〃B，错误，女=0时，不成立，故本选项符合题意.

D.如果。=3力或。=-3］，那么口|=3瓦正确，故本选项不符合题意.

故选：C.

【变式1-1］（23-24九年级上•上海崇明•期中）已知二=八］（其中左为实数）.下列说法中错误的是（）

A.若左=0,那么忖=。B.若2/0,那么♦一定是非零向量

C.若kvU,那么£与坂的方向相反D.若B是单位向量，那么£的模是网

【答案】B

【分析】本题考查了平面向量，根据零向量的意义，共线向量以及模的定义进行判断即可.解题的关键是

掌握平面向量的性质，平面向量既有大小，也有方向.

【详解】解：A、若左=0,那么同=（）,故本选项正确；

B、若2工（），则坂可能是零向量，也可能是非零向量，

・・・々可能是零向量，也可能是非零向量，故本选项错误；

C、若左＜0,那么£与行的方向相反，故本选项正确；

D、若五是单位向量，那么£的模是炉7=网，故本选项正确；

故选：B.

【变式1-2]（23-24九年级上•上海闵行•期中）已知3是非零向量，如果与）同方向的单位向量记作人那

么下列式子中正确的是（）

A.p|«=|a|B.同"=1C.问•"=£D.-=a

【答案】C

【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可.

【详解】解：由题意知，忖0=2*忖，A错误，故不符合要求；

同D",B错误，故不符合要求；

\^[e=a,C正确，故符合要求；

彳=同/7,D错误，故不符合要求；

故选:C.

【点睛】本题考查了实数与向量相乘.解题的关键在r熟练掌握实数与向量相乘结果是向量.

【变式1-31（22-23九年级上•上海徐汇・期中）计算：4a-2（a-2b）=

【答案】2a+4b

【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案.

【详解】解：4Z—2仅一涕）

=4n-2a+4b

=2r/+4b»

故答案为：2a-\-Ab-

【点睛】此题考查了平面向量的运算法则.注意掌握去括号时的符号变化是解此题的键.

【变式1-4】（2024•上海普陀•一模）化简：2（0+5）-.

【答案】a+2b/2b+a

【分析】本题考查了实数与向量相乘，根据其运算法则进行计算即可求解.

【详解】解：2^a+b）-a=2a+2b-a=d+2b

故答案为：a+2b.

【变式1-5］（23-24九年级上•上海杨浦•期中）已知向量2与单位向量"方向相反，且同=5,那么

a=.（用向量e的式子表不）

【答案】-50

【分析】根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案.

【详解】•・•向量1与单位向量Z方向相反，且同=5

：.a=-5e.

故答案为：-52

【点睛】此题考查了平面向量的知识.此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义.

【变式1-6］（23-24九年级上•上海黄浦•期末）已知向量4与5是互不平行的非零向量，如果

-11-

n=2a+3btm=--a--bt那么向量方与正是否平行？答：.

【答案】否

【分析】本题主要考查了向量的线性运算，若向量7与正平行，则心痴a为常数，且我工0）,据此可

得答案.

【详解】解：Vn=2a+3^m=--a--b,

23

；・万工4〃2（左为常数,且&W。），

工向量1与m不平行»

故答案为：否.

【变式1-7］（23-24九年级上•上海普陀・期中）如果向量4与单位向量,的方向相反，且长度为4,那么

a=,（用々表示）

【答案】-4@

【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答.

【详解】解：・.・二的长度为4,向量2是单位向量，

・・.|及|:4同,

■:a与单位向量々的方向相反，

/.a=-4e

故答案为：-40.

【点睛】本题考查的是平面向量的知识，向量包括长度及方向，而长度等于I个单位长度的向量叫做单位

向量，解决本题的关键是注意单位向量只规定大小没规定方向.

【变式1-8］（2024.上海杨浦•三模）已知在梯形A8C。中，ADBC,点£、尸分别是边48、8的中

点，BC=2AD,设A£j=%，那么乔=.（用含日的式子表示）

3

【答案】-a

【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解.

【详解】解：•・•点E、尸分别是边A3、CO的中点，

・•・EF=-（AD+BC）

2f

•・•BC=2AD,

3

,EF=-AD,

2

一33

：.EF=-AD=-a；

22

故答案为：.

【变式1-9］（22-23九年级上•上海青浦・期中）如图，在矩形A88中，DEJ.AC于点、E,

ZEDC：Nm4=l：3,且4C=10.

⑴求。E的长；

（2）如果而=。，CD=b＞试用力、/；表示向量历.

【答案】（1）/）£的长为述

2

（2）9=_"”也B

44

【分析】（1）根据NE£>C：NED4=1：3,可.得NEDC=22.5。，NED4=67.5。，再由AC=10,求得DE；

（2）根据向量的表示法进行求解即可.

【洋解】（1）•・•四边形ABCO是矩形，

AZADC=90°,AC=BD=10,OA=OC=-AC=5,OB=OD=-BD=5,

22

：・OC=OD,

：.£ODC=NOCD,

・："DC：/mA=1：3,NEDC+/EDA=90°,

工/EDC=22.5°,ZEDA=67.5°,

•:DE±AC,

：./OEC=90°,

J£DCE=90°-ZEDC=67.5°,

:."DC=NOCD=67.5°,

：,“DC+NOCD+ZDOC=180"

・••/CO。=45。，

：.OE=DE,

OE2+DE2=Oiy,

/.（2DE）2=（9D2=25,

・n匚5&

••DE=-----;

2

（2）•：OE=DE,RDE=—,

2

・"_5&

••OE=-----，

2

VAC=10,

.・.OE=—AC,

4

•:泰=G，CD=b^

**«BC=-a，AB=­b，

***AC=AB4-BC=­d-b»

：.OE=^AC

4

邛（_力）

--------（1-------b.

44

【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质和向量的表示，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.

【考点题型二】向量相关概念

【例2】已知非零向量己、Z；和亍，下列条件中，不能判定石〃后的是（）

A.a//c,b//c

B.a=2c,b=c

C.a=-5b

D.同=3恸

【答案】D

【分析】根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量2、5叫做平行向量”进行逐一判定即可.

【详解】A选项，由于a〃不，所以a、e的方向相同，由于方=^,故5、。的方向相同，所以々〃5，不

符题意；

B选项，因为1=左，所以G和2C的方向相同，由于坂=不，所以G、6、下的方向相同，所以不

符题意；

C选项，因为a=-55,所以刁、B的方向相反，故4〃5的，不符题意；

D选项，因为同=可可，所以。、6的方向不能确定，故不能判定其位置关系，符合题意.

故选：D

【点睛】本题考查的是向量平行向量的定义，理解向量的定义是解决问题的关犍.

【变式2-1］下列说法中不正确的是（）

A.Oa=6

B.对于非零向量2、b>3，a=-^ctb=2c^Wia//b

C.若同明,那么2=石或1-I

D.若3、.均为单位向量，那么同=恸

【答案】C

【分析】根据平面向量的性质一一判断即可.

【详解】A.0«=6»说法正确，不符合题意；

乙五=则〃人说法正确，不符合题意;

B.对于非零向量3、五、?322,2

C.若卜卜|可，那么2=石或£=-鼠说法错误，模相等的两个向量不一定平行，符合题意；

D.若％、石均为单位向量，那么Z|=W，说法正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关犍是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式2-2】己知在四边形A3CD中，记布-6,BC-b,CD=c，DA=d.如果向量3、入3、1都是单

位向量，那么下列描述中，正确的是（）

A.向量Z与/；方向相同，且向量Z与Z方向相同

B.向量2与之方向相同，旦向量/；与Z方向相同

c.向量2与5方向相反，且向量2与Z方向相反

D.向量Z与3方向相反，且向量方与［方向相反

【答案】D

【分析】本题考查了向量的定义，根据题意作出图形，根据向量的定义及数形结合即可求解，熟练掌握向

量的定义，利用数形结合思想解决问题是解题的关键.

【洋解】解：如图：

Dn~cC，

・'•向量£与2方向相反，且向量〃与2方向相反，

故选D.

【变式2-3】已知2是一个单位向量，2、万是非零向量，那么下列等式正确的是（）

A.阵=2B,第=5C,沪3D.讣才

【答案】B

【分析】本题考查了向量的有关概念，解题的关键是熟练掌握向量的有关概念.根据向量相等的基本概

念，对选项逐个判断即可，向量相等是指向量的模相等而且方向相同.

【详解】解：A、工与工的方向不一定相同，无法推出同等式错误，不符合题意；

B、同=1,即同/；=/；,等式正确，符合题意;

c、Z与"的方向不一定相同，无法推出百，=七等式错误，不符合题意；

11

D、工与否的方向不一定相同，无法推出同”同好r等式错误，不符合题意；

故选：B.

【变式2-4】下列说法中正确的是（）

A.如果k=0或［=0，那么H/=0

B.如果3与“均是单位向量，那么2

C.如果2是单位向量，2的长度为5,那么15工

D.如果机、〃为非零实数，0为非零向量，那么（m+〃）Z=5+〃a.

【答案】A

【分析】根据向量的性质一一判断即可得到答案.

【详解】解：A、如果左=0或£=0,那么&=0,原说法正确，符合题意，选项正确；

B、如果3与,均是单位向量，那么）=5,原说法错误，模相等，方向不一定相同，不符合题意，选项错

误;>

C、如果工是单位向量，Z的长度为5,那么）=50,原说法错诙，不符合题意，选项错误；

D、如果小、〃为非零实数，2为非零向量，那么（〃?+〃）〃=〃〃；+〃〃，原说法错误，不符合题意，选项错

误，

故选A.

【点睛】本题考查了向量，熟练掌握向量的性质是解题关键.

【变式2-5】已知Z、B为非零向量，下列判断错误的是（）

A.如果£=都，那么£〃/；B.如果2+B=6，那么

C.如果问明，那么1%或％=/D.如果工为单位向量，且）=2人那么口=2

【答案】C

【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可.

【详解】解：A、如果£=打，那么故本选正确；

B、如果£+B=6,那么Z〃B，故本选正确；

c、如果忖=w，没法判断z与刃之间的关系，故本选项错误

D、如果2为单位向量，且Z=2&那么1=2,故本选正确；

故选：C.

【点睛】本题考杳了平面向量，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键.

【变式2・6】下列判断不无硬的是（）

A.2^+^j=2d+2b；

B.如果向量a与5均为单位向量，那么力=/；或々=工；

C.如果万=人那么同=忖；

D.对于非零向曷万，如果白=人”女工0）,那么不〃/；.

【答案】B

【分析】本题考查了平面向量、平行向量、单位向量，根据平面向量的性质逐一判断即可得出答案，解题

的关键是熟练掌握基本知识.

【详解】解：A、2（〃+町=勿+25,计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意；

B、如果向量乙与方均为单位向量，那么它们的模相等，即同二忖，原说法错误，故本选项符合题意；

C、如果2=5,那么同=|司，原说法正确，故本选项不符合题意；

D、对于非零向量b,如果4=%•”攵工0）,那么a〃万，原说法正确，故本选项不符合题意；

故选:B.

【变式2-7】向量）和单位向量工的方向相反，且同=4,那么々=.（用工表示）.

【答案】-4；

【分析】本题考查了向量的定义，根据向景工和单位向量"的方向相反，且向量的长度为4即可求解.

【详解】解：由题意得：a=-4e,

故答案：-4人

【变式2-8］如图，在oABCO中，点E和点尸分别在A。和CO上，EF〃AC,将gE/沿直线E尸翻

折，点。落在3c边上的点G处，若可.=（5。故力则=（用丽表示）

【答案】V2E4

【分析】根据翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质求解.本题考查了翻折变

换，掌握翻折的性质、相似三角形的性质、相似三角形是判定及比例的性质是解题的关键.

【详解】解：连接想交所于Q，交AC于点八

AED

/\pX/•••将必斯沿直线石尸翻折，

/a点。落在8C边上的点G处，

BGC

..DQ=DG,DG1EF,

•:EF〃AC,

.'△EFEMAACD,

..Q_lc_lc

•、\DEF-4〉oABCD-^iSACD，

.DEPG1

''AD'DP"?2,

.AEx/2-1

AD41

在0A8CD中，AD//BC,

,ADDPx/2

'CG=GP=2^2t

.AEAEADy/2-\叵&

~CG"~AD~CG=V22-V2=T*

ACG=V2E4

故答案为：V2E4.

【考点题型三】向量的线性运算

【例3】（23-24九年级上•上海嘉定•期末）如图，在VABC中,点。是边BC的中点，AB=a»AC=b那

么而等于（）

A

BDC

-----11-------1

A.AD=­a—bB.AD=—a+-b

2222

—11—11

C.AD=­a—brD.AD=-a+--b

2222>

【答案】D

丽=3灰、国一期即可求解.

【分析】木题考查了向量的线性运算，根据八万iB方、」

【详解】解：1而=福+口方，点。是边的中点，

・,・4万=福+3配=丽+;国-砌=：通+3/

—11-

.*.AD=—ci+—b

22

故迄D

【变式3-1］（24-25九年级上•上海•期中）在VA3C中，点D、E分别为A3、4c上的点，且

DE\\BC,2AD=BD,锭=%,用向量£表示向方后为（）

2-2--1-n1-

A.-aB.——aC.-aD.一一a

3333

【答案】C

【分析】本题考查平行线截线段成比例；根据。石〃8C,可得MOESAABC,进而得到翼=当，再根

BCAB

据2Ao=3。，可得34。=A8即可求解.

【详解】VDE//BC

・•・MDESMBC

.DEAD

••正一瓦

'：2AD=BD

/.3AD=AB

.DE1

••=—

BC3

VBC=a

—1_

DE=-a

3

故选：C.

【变式3-2］（23-24九年级上,上海•阶段练习）已知四边形A3。是菱形，给出下列各式：®AB=DC^②

|^|=|BC|；③|福一①|=|而+罔；@|AC|2+|BD|2=4|AB|2.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题考查了菱形的性质，向量，根据大小和方向是向量的两个要索•，分别是向量的代数特征和儿

何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化.

【洋解】解：如图,

①由菱形图象可知A月，反的大小，方向一样，故池=武，①正确；

②这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到②正确；

@;AB-CD=2AB^AD+BC=2AD>

,-.|AB-CD|=|AD+BC|,故③正确；

®AC=AB+AD^BD=AD-AB^

.-.|AC|2=（XS+A£j『=|AS『+2A从A万+|砌〔|而］=（AD-AS）2=\A^-2AB-AD+\AC^,

1叫2=4网2成立，④正确，

综上所述，正确的有：①@③④，

故选：D.

【变式3-3］（20-21九年级上•上海虹口•阶段练习）已知：向量入b>1满足3£+:仅-4=九试用

£、b表示向量.

【答案】5一a-,2-

【分析】根据向量的计算方法即可求解.

【详解】解：3—+:伍一可=/；

去括号得，32+尹-（=5

Q777

移项得，—x=3a+-6-b,整理得，—x=3a——b,

-（-2-5-2-

/.x=3a—bx-=5t/—b,

I5J33

-9-

故答案为：5a--b.

【点睛】本题主要考查向量的计算，掌握其计算方法是解题的关键.

【变式3-4］（2023•上海虹口•一模）如果向量乙、力和工满足"了=2（"/；）,那么工=

【答案】-a+2b/2b-a

【分析】本题考查的是平面向量，正确利用等式的性质是解题的关键.根据等式的性质变形，得到答案.

【详解】解：a-x-2（a-b）t

-x=a-2b

=-a+2b，

故答案为：-1+办.

【变式3-5］（2023•上海奉贤•二模）如图，在平行四边形ABC。中，4。为对角线，E是边QC的中点，连

接BE.如果设而=",而=5,那么屁=（含仄B的式子表示）.

1-1-

【答案】）

【分析】由而=配=£,可得诙二石一£，由E是边QC的中点，可得而=g（B—£）=/—/,从而可

得答案.

【详解】解：•・•而=前=£,

•**CD=b-a»

•・•£是边。C的中点,

1一1-

故答案为：—&+—«.

22

【点睛】本题考查的是向量的加减法运算，理解运算法则是解本题的关键.

【变式3-6］（2024九年级上•上海・专题练习）如图，在平行四边形A8CO中，点M是边CO中点，点N是

CN1

边BC上的点，且.设刘=〃，BC=h，那么而可用不、/；表示为.

【答案】押手

【分析】首先由四边形人BC。是平行四边形，求得比=府=心又由点M是边C。中点，点N是边BC上

的点，且C黑N=：1，求得碇与前，再利用三角形法则求解即可求得答案.此题考查了平面向星的知

BN2

识.注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键.

【详解】解：•.•四边形A3CD是平行四边形，

DC=AB-d，

CN1

丁点M是边CO中点，点N是边BC上的点，且加=§，

—1—1——1—]-

MC=-DC=-d,NC=-BC=-h,

2233

MN=MC-NC=-a--5.

23

11-

故答案为：-d--b.

【变式3-7]（24-25九年级上•上海•期中）等腰梯形A8C。中，AB//CD,E、尸分别是4）、8c的中点,

DC=2,A3=4,设AB=Z，则炉用向量Z表示可得前二

【分析】本题考查了梯形中位线定理和平面向量的知识.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并

且等于两底和的一半.由梯形中位线定理得到EF与A8的大小关系是解题的关键.

根据梯形中位线定理可知痔。。+4?）-3,则Q-在向量八8已知的情况下，可求出向量

EF.

【详解】W：,：AB//CD,E、尸分别是AO、8c的中点，

Z.E产=g（OC+48）=3,

3

；・EF=-AB,

4

••',•一

•AD-a>

：.EF=-a.

4

故答案为：

4

【变式3-81（23・24九年级上•上海•期中）如图，在VABC中，点。、E分别是边AB、AC上的点，

DE//BC,如果£=1,围=力，那么瓦=.（用。表示）

【答案】亨

An1

【分析】本题考查平面向量、相似三角形的性质与判定，证明AAOEsZ\A8C,可得-^=2=：,再

ABBC3

根据丽=a，即反=-£求解即可.

【详解】解：:。石〃8C,

:.^ADE^ABC,

.ADDE

•丽一正

・・A。_1

•~DB~2

.\D1

••=一,

AB3

^DE=-BC,

BC33

•・•丽=/，即万心二—£，

—1_

DE=­a,

3

故答案为：

【变式3-9］（23-24九年级下•上海黄浦♦阶段练习）如图，在平行四边形A4c。中，对角线AC、80相交

且跳：=2AE,设4月=入而=几作0c中垂线交0C于F,则丽

【分析】本题主要考查了平面向量的三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知

识.根据三角形法则以及平行四边形法则进行计算即可.

【详解】解：•.•四边形A8CD是平行四边形，对角线AC、8。相交于点。，点尸是线段OC的中点,

D,C

\//.AF=AO+OF=-AC+-AC=-AC,

244

vAC=AB+BC=a+b»

.•.XF=-^C=-（a+^=-a+-^,

40,44

•・•BE=2AE,

AE=-AB

3

:.EF=EA+AF=--a+-a+-b=—a+-b,

344124

5r3r

故答案为：右/

【变式3-10］（23-24九年级下.上海闵行.阶段练习）如图，点£尸在“WCO对角线AC上，且

AE=CF,如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，与力不+包相等的向量

是_____

【答案】FB,DE

【分析】本题考查向量的线性计算，根据平行四边形的性质，得到A8=C2A8||CO,进而得到

DC=AB,根据AE=b,得到E4=CE,进而得到而=屋，利用三角形法则进行求解即可.

【详解】解：・・・o4BC。，

.・.AB=CDyAB\\CDt

:.DC=AB,

VAE=CF,

・•・AE+EF=CF+EF,

：.FA=CE,

M=CE»

^-DC+FA=FA+AB=FB^DC^FA=DC+CE=DE;

故答案为：FB,DE

【变式3-11］（2023.上海•一模）加图，RE、A£）分别是VAbC的两条中线，设，8/5=5那么向品

反用向量"/；表示为.

3

【分析】根据BE、AO分别是VABC的两条中线得出AC=2M,BE=^BO,再根据平面向量的减法运算

法则即可求解.

【详解】解：如图，连接OE

•：BE、A。分别是VA3c的两条中线，

：・BC=2BD,OE是VA4C的中位线

ADE//AB,DE=-AB

2

・•・△DOE〜AAQ8

.OEDE_\

**2

・•・BO=2OE

3

：.BE=-BO,

2

。丽二21,B6=G,

—3—

/.BC=2b>BE=—BO=3d,

EC=BC-BE=2b-3ci,

故答案为：2b-3a-

【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面

向量的的减法运算法则是解题的关键.

【变式3-12](24-25九年级上•上海•期中)如图，已知向量3、5,求作向量次=0-2方)-§£-5)并求作

向最次在向最£、向量B方向上的分向量.

【答案】见详解

【分析】本题考查了向量的化简计算，三角形法则，分向量，熟练掌握知识点是解题的关键.

先化简向量，再根据实数与向量相乘的定义以及三角形法则即可画出方，则分向量也可找到.

【详解】解：OA=(a-2b)-(^a-b)

=a-2b--a+b

2

1-7

=-a.b,

2

如图，向量次即为所作

向量而即为加在向量Z方向上的分向量,

向量函即为次在向量五方向上的分向量.

【变式3-13](23-24九年级上.上海.期中)如图，E是平行四边形A4C。的边丛延长线上的一点，CE交

于点尸.交4。于点G,AE:AB=\:2,设函=〃，BC=b.

(1)用向量2、B分别表示下列向量：

BE=，AF=，CG=•

(2)在图中求作向量而分别在7、石方向上的分向量.(不写作法，但要写出结论)

3-I-3-2•

[答案]—ci,-a——b

4/1JJ

(2)见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，向量的线性运算和平行四边形法则等

知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.

(1)利用向量的线性运算，求解即可；

(2)过点G分别作AB、的平行线，即可求解.

【详解】(1)解；•••AE:AB=1:2,

AB:BE=2:3,

BE=-BA=-a

22t

由题意得：AE=^BA=^a；

22

由平行四边形的性质可得：AB=CDfAB//CD,AD=BC,

•••AE:AB=\:2f

AE1

——=-,

CD2

•••AB//CD,

.”_-E_1

DF-CD_25

/.AF=^AD,

/.AF--AD--bi

33

一3一

•/BE=-a,BC=b,

————一3--

...EC=EB+13C=-BE+I3C=--a+b,

2

•/AB//CD,

CDCG2

..==一,

BEEG3

2

CG=-CEf

—2—2—2(3-A32-

ACG=-CE=--EC=----a+b=-a——b；

55512)55

故答案为:扎3-下1-,三3”-一2守-；

(2)如图：过点G作交8c于点"，过点G作GN||8c交A8于点N,

则向量丽、丽是向量就分别在3、5方向上的分向量.