专题十线性规划专题复习教案

专题十线性规划专题复习教案

专题八线性规划专题复习2016年高三数学复习

专题八线性规划专题复习

考狗研模

了解二元一次不等式所表示的平面区域；了解线性规划的意义，并会简单的应用.

某砒知辆机理

1、二元一次不等式表示平面区域

(1)在平面直角坐坐系中，已知直线Ar+gy+C=(),坐标平面内的点夕(加,)，0)

①若8(Ar+的+C)>0,则点尸(项,)，o)在直线的上方；

②若B(Ar+5y+C)<0,则点尸(演,即)在直线的下方；

若8=0等于零，则比较简单.一般情况下，我们可以将一个二元一次不等式化为

(Av+By+C)>0«0)(其中8>0)的形式，则可利用“大于零在上方,小于零在下方”，画出相应的区

域.“直线定界，不等式(点)定域”

2、线性规划的概念

/1

\(求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为铁做桅划冏发.

(2.

X/)满足线性约束条件的解叫可行修，由所有可行解组成的集合叫可行城.

/3\

\(71可行解中使目标函数取得最大值或最小值的解叫做泰然解.

3、线性规划的应用

用解线性规划解应题的一般步骤

(1)依题意设出变量，分析并将巳知数据列出表格；

(2)确定线性约束条件；

⑶确定线性目标函数；

(4)画出可行域；

(5)利用线性目标函数求出最优解；

(6)根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等).

♦.规律与方法

(1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形

的某个顶点，到底是那个顶点为最优解，有两种解定方法：

一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是；

另一种方法是利用围成可行域的直线斜率来判断.

特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边平行时，其最优解可能有无组解.

(2)求整点的最优解方法

①假善依值依，适用于较复杂的问题.

②对卷法，精确作图，适用于可行域较小的问题.

③建克珍征依，可行区域是有限区域且整点个数又较少.

工、做型做做秋学极什

题型题组一线性区域问题

y>x-1

【例】】。)(2。。5年全国卷)在坐标平面上'不等式组)，工一所表示的平面区域面积()

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y>x-1y>x-1

等价于<yK-3x+1或<y>3x+l

x>0[x<0

再画线性可行域

(如图所示)于是有

A(O,1),5(—2),D(O,-1)

22

3、

Sg\BC-S&\DC十S^ADB~~故选(B)

x2+y2-2x-2y+\>0

(2)不等式组0WxW2所表示的平面区域记为D,则平面区域D的面积为

0<y<2

题型题组二线性规划求最值问题

2x+3y<\2

【例2】巳知平面内点?(也功满足］2x+yN4,0(0,0)为坐标原点.请完成下各题

y>0

(1)若Q(i』)求目标函数z=o>oa的最大值和最小值.

(2)求目标函数z=7-v2+y2-6x-Sy+2008的最大值和最小值.

(3)求目标函数z=|3x+y-3|的最大值和最小值.

(4)求目标函数2=生2的最大值和最小值.

3x+9

(5)是否存在实数/〃，使得有无穷多个P点，使得目标函数z=x+/〃)，取得最小值,若存在，试求出出，〃的取

值，若不存在请说明理由.

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【直观感觉】目标函数新颖

教材中的目标函数的几何意义一般是直线的斜率或截距。这里有“以向量为背景”，有“绝对值目标

函数”，有“二次式目标函数”，有“二元一次商式目标函数”等，较复杂。

【思路方法】关键抓住目标函数它所赋予的几何意义，这里要求有较强的转化意识和数形结合能力。

【解析】

—>

易得z=的最大值为6,最小值为2

(2)目标函数是两点间距离公式z=J(x—a)2+(.y_〃)2的型

z=:(x-3)2+()，-4)2+1983问题转化为先解决

z=(x-3)2+(>-4)2的最大值和最小值，它是表示点(x,y)到0(3,4)的距离的平方。

25815

依点到线的距离公式易求得z的最小值为

13

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(3)目标函数是点到线的距离型，也就是目标函数是z=M：+sy+q的形式

z=|Ar+g\，+(可以变其它变为z=(叱+为+01)“2+屋，其几何意义是可行域内的点到直线

\IA2+B2

Ar+By+C=O的

距离的＞/1+炉倍.T

7A(0,4)

⑵°)yV

求得z=|3x+)，一3|的最小值为岩\

z=|3x+)，—3］的最大值为平

(4)目标函数是z="也的形式(出。均不为0)

cx+d

.b.

a(y+~),.

可以将目标函数化为z=——方，它表示可行区域内的点与点的连斜率的3倍.

«+4)°°c

c

题型题组三线性规划中的整点问题

【例3】要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格，每种钢板可同时截得小钢板块数如下表所示:

类型

钢板羲二、A规格B规格C规格

第一种钢板211

第二种钢板123

今需要A,B.C三种规格成品分别为15,18,27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使

所用的钢板张数最少？

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【解析】

建模:设需截笫一种钢板x张，笫二种钢板），张

2x+y>\5

受目标函数z=x+y.作可行域如下图,

可得

.v+3y>27

x,yeN

平行直线2=”+丁可知直线经过A（电，生），此时x+），="但竺,生都不是整数，故A（竺,汇）不是最优解,

5555555

那么怎样求最优解呢？

方法一：平移求解法

首先在可行域内打网格，其次播出A（史，史）附近所有的整点,接着平移直线/:x+），=O,会发现移至

55

8（3,9）,C（4,8）时，直线与原点的距离最近.即z=x+y的最小值为12.

方法二：调整优值法

'由非整解最优解衅苧得z咛，故z212

令z=12,即y=12-x,代入线性约束条件整理得

34刀4?.」.人一一3,大一4这时最优整点为（3,9）和（4,8）

调整优后法思想是先求非整点最优解，再借助不定方程调整最优解，最后筛选出来整点最优解.

【例3-2］设某运输公司7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨B型卡车，有9名驾驶员，在

建某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土方的任务，巳知每辆卡车每天往返次数是:A型卡车

为8次,B型卡车为6次.每辆卡车每天往返的成本费用情况是:A型卡车160元,B型卡车252元,试问,A型

卡车与B型卡车每天各出动多少辆时公司成本费用最低.

【解析】设每天出动的A型卡车为x辆，则0KXK7,每天出动B型卡车）,辆，则0工）小4.

因为每天出动的驾驶员最多9名，则x+），W9.

每天要完成搬运任务，则4力+6（5236（）,

每天公司所花费的成本费用为z=160x+252y

0<x<7

本题就是求满足不等组。<,<4

x-y<9

48x+60y>360

且使z=160x+252y取得最小值时的非负整数x与y的值.

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不等式组表示的平面区域如图所示，其可行域为四边形ABCD区域(含边界)其顶点是

4二,4),3(7,二),C(7,2),55,4),结合图形可知，在四边形区域上，横坐标和纵坐标都是非负整数的点有:

25

(3,4)、(3,4)、(4,4)、(5,2)、(5,3)(5,4)、(6,2)、(6,3)、(7,1)、(7,2)共13个点.

作直线/:160x+252y=0,将其向向上的方向平移,可发现与上述10个点中最先接触到的是点(5,2),处，得

到的最小值.

Zmin=160x5+252x2=1304

即A型卡车和B型卡车在每天分别出动5辆和4辆时公司成本费用最低.

题型题组四线性规划中的综合与交汇

x<my+n

【例4】⑴直线/:x=m.v+〃(心0)过点A(4,46),若可行域、6r-”0的外接圆直径为孚，则实数

”03

〃值是________

【解析】

直线/:x=my+n(n>0)过点A(4,4退)，与轴交于B(n,0),而直线,x/Sx-y=0也过点A(4,45/3).可行域如图

所示，现在的问题是解三角形

依题意得———=2R,AB=2xsin60°=7

sinZAOB3

再由余弦定理48?=0储—204^^为衣3A08得,

即49=64+〃2_2*8乂八,,解4〃=3或〃=5,

2

故实数〃的值是3或5.

⑵设/(©=$3+2bx+c,，若当xw(0,1)时，f(x)取得极大值，当xw(1,2)时，/(.r)取得极小值，则

幺匚的取值范闱是______

a-\

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【解析】依题意知：该问题可转化为/*)=0的两根分别在(0,1)和(1⑵内，因为/a)=f+av+2〃，由方

2b>0

”+2Hl<0下，求生心的取值范围

ci-I

a+。+2>0

3A+4y-12>0

(3)设命题〃：2%-)，一8£0(x,yeR)

x-2_y+6>0

命题,/：/+),2。,)，€凡「£/?+),若命题r是命题r，的充分非必要条件，则「的最大值是

【解析】由简易逻辑知〃=,/但夕推不出〃，由命题关系知图形关系，三角形ABC区域应在四外的区域内,

半径最大的圆应是与直线AB:3x+4y-12=0相切的圆.故厂最大值应是原点到直线的最大距离，即为

12

'maxT

*发，，覆化制秣

一、选择题

1、(2006年湖北)巳知平面区域D,由以A(l,3),B(5,2),C(3,l)为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域

上有无穷多个点(X,)，)可使目标函数Z=X+取得最小值，见=()

A.-2B.-1C.1D.4

2.(北京考题)在直角坐系中孙，，已知三角形AOB三边所在直线方程分别为x=0,)，=0,2x+3y=30,则三

解形AOB内部和边上整点(即横纵坐标均为整数的点)的总数是()

A.95B.91C.88D.75

二、填空题

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3.（2007年湖南十校联考）给出平面区域如图所示，目标函数，=公-），,

若当且仅当x=g,y=1时,

目标函数/=〃-）•取得最

小值,则实数”的取值范

围是__________

4.如直线），=