专题45随机事件频率与概率

专题45随机事件、频率与概率

【考点预测】

知识点1、随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.

我们感兴趣的是具有以卜特点的随机试验：

（1）试验可以在相同条件下重复进行；

（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

知识点2、样本空间

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一

般地，用.Q.表示样本空间，用①表示样本点，如果一个随矶试验有〃个可能结果例，①2，…，①“，

则称样本空间为有限样本空间.

知识点3、随机事件、确定事件

（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便,

我们将样本空间Q的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅

当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

（2）C作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以C总会发生,

我们称C为必然事件.

（3）空集0不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为。为不可能事件.

（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件.

知识点4、事件的关系与运算

①包含关系：一般地，对于事件4和事件8,如果事件A发生，则事件A一定发生，这时称事件4包

含事件A（或者称事件A包含于事件3）,记作或者AqB.与两个集合的包含关系类比，可用下图

表不：

不可能事件记作0，任何事件都包含不可能事件.

②相等关系：一般地，若BnA且称事件A与事件8相等.与两个集合的并集类比，可用下

图表示：

③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件8发生，则称此事件为事件A与事件8

的并事件(或和事件)，记作AUB(或A+/n.与两个集合的并集类比，可用下图表示:

④交事件(积事件)：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件8发生，则称此事件为事件4与事件

8的交事件(或积事件)，记作4A8(或AB).与两个集合的交集类比，可用下图表示:

知识点5、互斥事件与对立事件

(1)G斥事件：在一次试验中，事件A和事件3不能同时发生，即8=0,则称事件A与事件3互

斥，可用下图表示:

如果A，儿中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件凡，.4”彼此互斥.

(2)对立事件：若事件4和事件“在任何一次实验中有且只有一个发生，即AJ3=O不发生,

Af3=0则称事件A和事件5互为对立事件，事件4的对立事件记为N.

(3)互斥事件与对立事件的关系

①互斥事件是小可能同时发生的两个事件，血对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者

之一必须有一个发生.

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件,

而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件.

知识点6、概率与频率

(I)频率：在〃次重复试验中，事件A发生的次数k称为事件A发生的频数，频数左与总次数〃的比

值上，叫做事件A发生的频率.

n

(2)概率：在大量重复尽心同•试验时，事件A发生的频率色总是接近于某个常数，并且在它附近摆

n

动，这时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作0(4).

(3)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率4随着试验次数的增加稳定

于概率P(A),因此可以用频率4来估计概率P(A).

n

【题型归纳目录】

题型一：随机事件的关系与运算

题型二：频率与概率

题型三：生活中的概率

题型四：互斥事件与对立事件

题型五：利用互斥事件与对立事件计算概率

【典型例题】

题型一：随机事件的关系与运算

例1.（2022•浙江省桐庐中学高三阶段练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A="向上的点数为3”，

向上的点数为6”，C="向上的点数为3或6"，则有（）

A.AqBB.CjBC.4rB=CD.=C

【答案】D

【解析】对于A：事件A="向上的点数为3”发生，事件B=”向上的点数为6”一定不发生，故选项A不正

确；

对于B：事件C=”向上的点数为3或6”发生，事件3=”向上的点数为6”不一定发生，但事件3=”向上的点

数为6”发生，事件C=”向上的点数为3或6”一定发生，所以BqC,故选项B不正确；

对于C：事件A和事件3不能同时发生，A=0,故选项C不正确；

对于D：事件A=”向上的点数为3”或事件3="向上的点数为6、.发生，则事件。=”向上的点数为3或6”发

生，故选项D正确：

故选:D

例2.（2022・全国•高三专题练习（文））一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品

中任意抽取5件，现给出以下四个事件：

事件A：恰有一件次品；

事件所至少有两件次品；

事件C：至少有一件次品；

事件D：至多有一件次品.

并给出以下结论：

①“B=C；②及是必然事件；③AB=C；®AD=C.

其中正确结论的序号是（）

A.①②B.③®C.①③D.②③

【答案】A

【解析】解析：事件AB：至少有一件次品即事件C,所以①正确；事件A8=0,③不正确；

事件3D：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所杓情况,所以②正确：

事件A。：恰有一件次品，即事件A,所以④不正确.

故选：A

例3.（多选题）（2022.全国•高三专题练习）一批产品共有1（）0件，其中5件是次品，95件是合格品.从这

批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：

事件4恰有一件次品；

事件所至少有两件次品；

事件C：至少有一件次品；

事件。：至多有一件次品.

下列选项正确的是（）

A.AR=CB.是必然事件

C.A0B=CD.AC\D=C

【答案】AB

【解析】对于A选项，事件A8指至少有一件次品，即事件C,故A正确；

对FB选项，事件4。指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含。到5,即代表了所有情况,

故B正确；

对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件AB=0,故C错误；

对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A,而事件A和C不同，故D错误.

故选:AB.

变式L（多选题）（2022♦全国•高三专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A

=”两次都击中飞机"，4="两次都没击中飞机"，C="恰有一枚炮弹击中飞机”，。="至少有一枚炮弹击中

飞机”，下列关系正确的是（）

A.AQDB.BC\D=0

C.AUC=DD.AUB=HUD

【答案】ABC

【解析】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第•枚击中第二枚没中或第•枚没中第二枚击中，“至少有•枚炮弹击

中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中.故AG。，AUC=O.故A、C正确；

因为事件8,。为互斥事件，所以30。=0.故B正确；

对于D：AU8="两个飞机都击中或者都没击中“，8UO为必然事件，这两者不相等.故D错误.

故选：ABC.

变式2.（2022・全国•高三专题练习）利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指

区域的颜色（不考虑指针落在分界线上的情况）.事件人表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件区表示“转

盘②指针所指区域是绿色“，用样本点表示4B,AB.

【解析】由题可得:

转盘①转出的颜色

红黄蓝

蓝（红，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）

黄（红，黄）（黄，黄）（蓝，黄）

转盘②转出的颜色红（红，红）（黄，红）（蓝,红）

绿（红，绿）（黄，绿）（蓝，绿）

紫（红，紫）（黄，紫）（蓝，紫）

由表可知，共有15种等可能的结果，

其中A=（（黄，蓝）,（黄，黄）,（黄，红）,（黄，绿）,（黄，紫）｝,

5=｛（红,绿）,（黄,绿）,（蓝,绿）｝,

所以Afl3=｛（黄，绿）｝,

Au5=｛（黄，蓝）,（黄,黄）,（黄，红）,（黄，绿）,（黄,紫）,（红，绿）,（蓝,绿）｝.

题型二：频率与概率

例4.（多选题）（2022.全国.高三专题练习）支气管炎患者会咳嗽失眠,给患者日常生活带来严重的影响.某

医院老年患者治愈率为20%,中年患者治愈率为30%,青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，

500名中年患者，400名青年患者，则（）

A.若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人

B.该医院青年患者所占的频率为1

C.该医院的平均治愈率为28.7%

D.该医院的平均治愈率为31.3%

【答案】ABC

600

【解析】对于A,由分层抽样可得，老年患者应抽取30x=12人，正确;

600+£00+400

4004

对于B,青年患者所占的频率为正确;

600+500+400L5

600x20%4-500x30%+400x40%

对于C,平均治愈率为«28.7%,正确;

600+500+400

对于D,由C知错误.

故选：ABC.

例5.（2022・全国•高三专题练习）将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示:

组号I345678

频数101314141513129

第3组的频率和累积频率分别为（）

A.?B.—,—C.,D.—,—

14271437

【答案】A

【解析】由表可知，第3组的频率为2=0.14,累积频率为10+1肃14=。37。

1（X）I（X）

故选：A

例6.（2022・全国,高三专题练习）甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30%,乙校成绩

的优秀率为35%,现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%,乙校参加考试

的人数占总数的60%,现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】由题意得：将两所学校的成绩放到一起，从中任取一个学生成绩，

取到优秀成绩的概率为30%X40%+35%X60%=0.33,

故选：D

变式3.（2022全国高三专题练习）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健

身房的评价.甲在网站A杳到共有840人参与评价，其中好评率为95%,乙在网站B查到共有1260人参与

评价，其中好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

【答案】B

840x95%+1260x85%

【解析】由已知可得这家健身房的总好评率为------------------------------------=8o9n%ft/.

840+1260

故过：B.

变式4.（2022・全国•高三专题练习）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分''题：粮仓开仓收粮，有人

送来米1423石'验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（）

A.157石B.164石C.170石D.280石

【答案】C

3232

【脩析】样本中夹谷的比例为工，用样本估计总体，可得这批谷内夹谷约为1423x^=170（石）.

26H2oo

故选：C.

变式5.（2022•全国•高三专题练习）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜

色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和45%,

则布袋中白色球的个数可能是（）个.

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【解析】由题意，摸到红色球、黑色球的概率分别为15%和45%,

即可摸到白色球的概率为1-15%-45%=40%,

所以可得白色球的个数为40x40^）=16.

故选：B

变式6.（2022・全国•高三专题练习）掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定津，的理解正确的是（）

A.大量的试验中，出现正面的频率为

B.不管试验多少次，出现正面的概率始终为

C.试验次数增大，出现正面的经验概率为

D.以上说法均不正确

【答案】B

【解析】对于A,大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于，故A不正确；

对于B,事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为，故

B正确；

对于C,经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经验

概率约为，故C不正确；

对于D,显然不正确.

故选：B

变式7.（2022・全国•高三专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，

发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分中J为（）

A.,B.,C.,0.5D.,

【答案】C

【解析】频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为

—=0.48.

100

概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为0.5.

故选:C.

变式8.（2022.全国•高三课时练习）有以下说法：

①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是1;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1000张彩票

就一定能中奖;③乒乓球赛前，决定谁先发球,抽签方法是从"10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种

抽签方法是公平的;④昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是9（）%”是错误的.

根据我们所学的概率知识，其中说法正确的序号是

【答案】①③

【解析】根据“概率的意义”求解，买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1（）00张彩票一定能中奖，只有当买彩

票的数量非常大时，我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为丁一；

昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大，并不一定会下雨.

说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的.

故答案为①③.

题型三：生活中的概率

例7.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）已知〃是一个三位正整数，若〃的个位数字大于十位数字，十

位数字大于百位数字，则称〃为“三位递增数”（如135,256,345等）.现要从甲、乙两名同学中选出I人参

加某市组织的数学竞赛，选取的规则如卜.：从由L2,3,4,5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，

若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是（）

A.甲参赛的概率大B.乙参赛的概率大

C.这种选取规则公平D.这种选取规则不公平

【答案】BD

【解析】由题意,知由1,2,3,4,5组成的“三位递增数”有123,124,125,134,135,145,234,235,

245,345,共10个.

记“甲参加数学竞赛”为事件A,事件4包含的样本点有124,134,234,共3个，

所以尸（4）=正・

记“乙参加数学竞赛”为事件B,则事件B包含的样本点有123,125,135,145,235,245,345,共7个，

7

所以尸（5）=正.

因为尸（A）＜P（4）,即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平.

故选：BD.

例8.（多选题）（2022・山东•高三专题练习）下列说法正确的是（）

A.一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为

B.某地发行福利彩票，其回报率为47%,有个人花了10（）元钱买彩票，一定会有47元回报

C.5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同

D.大量试验后，可以用频率近似估计概率.

【答案】CD

【解析】A、某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为，故A错误；

8、买这种彩票是•个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故3错误；

C、根据占典概型的概率公式可知C正确；

。、大量试验后，可以用频率近似估计概率，故。正确.

故选：CD.

例9.（多选题）（2022・江苏・金陵中学二模）某人投了100次篮，设投完前〃次的命中率为7.其中

〃….10（）.已知彳=。，400=0.85,贝1」一定存在0<〃?<100使得（）

A.〃=。.5B.%=0.6C.%=0.7D.r„,=0.8

【答案】AD

【解析】根据题意得：r=-,其中〃为不超过85的自然数，且改«5-1；

inin

对A,记前k次投篮中，投中的次数减去不中的次数为q,

贝IJq=—l<0,a100=85-15>0,

又•,也+「％|=1'

二•一定存在/〃，使得金=。，止匕时加=。.5,故A正确；

对B,前100次投篮中，若前15次投篮均不中，后面85次投篮均命中，

则对于〃015,方程Q=竺9=0.6无整数解，故B错误；

m

对3若前14次不中，后面85次投篮均命中，最后一次不中，

则对于14<〃?<99,方程％=与一匕=0.7无整数解，故C错误；

m

对D,如果不存在如使得％=0.8,

则前5次投篮中至少有2次不中，

前10次投篮中至少有3次不中，

前15次投篮中至少有4次不中，

依此类推，前70次投篮中至少有15次不中，

即前75次投篮中恰有15次不中，

从而=—=0.8,矛盾，故D正确.

故选：AD.

变式9.（2022•全国•模拟预测）甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子

的点数之和小于6,则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于加，则乙得一分，最先得到10分者获胜.

为确保游戏的公平性，正整数，"的值应为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】对于甲，掷两次骰子的点数之和为2,3,4,5时，甲能够得一分，

则由对称性可知，掷两次的骰子的点数之和为12,11,10,9分别与掷两次骰子的点数之和为2,3,4,5对应的概率

相等，

•••为确保游戏的公平性，需加=8,此时甲乙得分概率相等.

故选：C.

变式10.（2022・全国•高三专题练习）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出

的20（）名学生进行了调杳.调查中使用了下面两个问题：

问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？

问题二：你是否经常吸烟？

调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和5（）个红球的袋子，每

个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸

到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是''的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做,

如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小行子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（）

A.7%B.8%C.9%D.30%

【答案】C

【解析】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机搜出1个球，

摸到白球和红球的概率都为因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年355天中，阳

历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为空*0.51,所以这100个回答第一个问题的学

365

生中，约有51人回答了“是“，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是"，所以

可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%.

故迄C

【方法技巧与总结】

概率和频率的关系：概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的

大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概需靠近，只要次数足够多，所得频率就近似

地当作随机事件的概率.

题型四：互斥事件与对立事件

例10.（2022.全国•高三专题练习）“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之黑匣子有两个，为驾驶舱语

音记录器和8行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语

音记录器”，事件8为“至少研究一个黑厘子”，事件C为“至多研究一个黑厘子”，事件。为“两个黑厘子都

研究”.则（）

A.A与C是互斥事件B.B与。是对立事件

C.B与C是对立事件D.。与D是互斥事件

【答案】D

【解析】事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；

事件月为“至少研究一个黑厘子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶

舱语音记录器和研究飞行数据记录器''；

事件C为“至多研究一个黑厘子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或两个黑匣子

都不研究；

事件。为“两个黑座子都研究即“研究驾驶舱语音记录微和研究飞行数据记录那“；

所以对于A,事件A与事件。不是互斥事件，故A不正确：

对于B,事件8与事件/）不是对立事件，故B不正确；

对于C,事件B与事件。不是对立事件，故C不正确；

对于D,事件。和事件。不能同时发生，故。与。是互斥事件.

故选:D.

例11.（2022・全国•高三专题练习）设靶子上的环数取1〜10这1（）个正整数，脱靶计为0环.某人射击一次，

设事件“中靶"，事件4="击中环数大于5"，事件C="击中环数大于I且小于6"，事件。=“击中环数

大于。且小于6”，则下列关系正确的是（）

A.3与。互斥B.8与C互为对立

C.A与。互为对立D.A与。互斥

【答案】A

【解析】对于AB,事件8和。不可能同时发生，但•次射击中有可能击中环数为1,所以8与C互斥，不

对立，所以A正确，B错误，

对于CD,事件A与。有可能同时发生，所以A与。既不互斥，也不对立，所以CD错误，

故选：A

例12.（2022.全国•高三专题练习）从1,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件

的是（）

A.“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”

B.“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”

C.“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”

D.“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”

【答案】C

【解析】从1,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，

可能有。个奇数和3个偶数，1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，

“至多有一个是偶数”包括2个奇数和I个偶数，3个奇数和。个偶数，

“至多有两个是偶数''包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，

即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误；

“恰有一个是奇数''即1个奇数和2个偶数，“恰有一个是偶数”即2个奇数和1个偶数，

所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故B错误；

同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故D错误；

“至少有一个是奇数”包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和。个偶数，

“全都是偶数”即。个奇数和3个偶数，

所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确；

故选：C

变式11.（2022・全国•高三专题练习）命题“事件A与事件A对立”是命题“事件A与事件8互斥”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若事件A与事件8是对立事件，则事件A与事件〃一定是互斥事件；

若事件A与事件3是互斥事件，不•定得到事件A与事件3对立，

故命题“事件A与事件B对立”是命题“事件A与事件H互斥”的充分不必要条件；

故选：A

【方法技巧与总结】

1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；

②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生.

2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若

有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

题型五：利用互斥事件与对立事件计算概率

例13.（2022・广东广州•高三阶段练习）采购员要购买某种电器元件一包（10个）.他的采购方法是：从一

包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%,其余

包中各含I个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】抽到含有1个次品，且抽到的3个元件中含有这一个次品的概率为Pi=（l-30%）x-^=0.21,

Co

抽到含有4个次品，且随机抽查的3个元件中含有次品，则拒绝购买，

故概率为〃=30%/l-等1=0.25,

I^10）

所以采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为0.21+0.25=0.46.

故选:A

43

例14.（2022.安徽省定远县第三中学高三阶段练习）甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为三和且

JJ

两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（）

A.liB.3C.2D.g

255525

【答案】A

【解析】依题意两人中恰有一人晋级，则甲晋级、乙未晋级或甲未晋级、乙晋级,

所以概率2=刿1・斗卜-劣；=去

故选：A

例15.（2022•河南河南•模拟预测（理））某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为。且每次命中与

4

否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（）

A.卫B.名C.江D.2

32166432

【答案】A

3

【解析】因为每次命中目标的概率均为且每次命中与否相互独立，

4

所以连续射击3次，至少命中两次的概率P=£）=|，

故选:A.

变式12.（2022.重庆南开中学高三阶段练习）重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山

火，断电和疫情.疫情的肆虐，让我们再次居家隔离.为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品

的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台

上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门.已知沙坪坝某小区在

隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜.由于交通、配送等多方面原因，各电

商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为彳，彳，工，各平台送货相互独立，互不影响,

345

某小哥分别在三家电商各点了•份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（）

【答案】B

【解析】因为各平台送货相互独立，互不影响，所以

231^1413413

有两家准点送到的概率为++

34534534530

有三家准点送到的概2率3为4=32,

3455

1325

则至少有两家准点送到的概率为右+二二2.

3()56

故选：B.

变式13.(2022・全国•高三专题练习)甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为,

下列说法错误的是()

A.两人都做对的概率是B.恰好有一人做对的概率是

C.两人都做错的概率是D.至少有•人做对的概率是

【答案】C

【解析】由于甲做对的概率为，乙做对的概率为，

故两人都做对的概率是0.8x0.9=0.72,所以A正确；

恰好有一人做对的概率是08x(1-09)+(1-08)x0.9=026,故B正确;

两人都做错的概率是(l-0.8)x(l-0.9)=0.02,故C错误：

至少有一人做对的概率是l-00.8)x(l-09)=0.98,故D正确，

故选：C

变式14.(2022•江苏江苏•高三阶段练习)从属于区间［2,8］的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的

概率为()

A.-B.-C.—D.

771414

【答案】A

【解析】区间［2,8］的整数共有7个，则质数有2,3,5,7共4个；非质数有3个；

设事件A：从属于区间［2,8］的整数中任取两个数，至少有一个数是质数，

—c2I—6

由P(4)=m=三=>P(4)=1-P(4)=三，

C；77

故迄A

变式15.(2022・甘肃・永昌县第一高级中学而三阶段练习(理))小吴、小张两名同学均打算暑期选择学校的

舞蹈、画画、篮球三个兴趣班中的一个兴趣班学习，小吴、小张选择舞蹈、画画、篮球三个兴趣班学习的

概率分别如下表，则小吴、小张选择不同兴趣班学习的概率为()

舞蹈篮球

小吴

小张

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由题可得，小吴、小张选择舞蹈、画画、篮球三个兴趣班学习的概率分别如下表;

舞蹈画画篮球

小吴

小张

故小吴、小张选择村同兴趣班学习的概率为0.3x0.5+0.3x0.3+0.4x0.2=().32,

故小吴、小张选择不同兴趣班学习的概率为1-0.32=0.68.

故选：A.

变式16.(2022•河北衡水•高三阶段练习)一个电路如图所示，A,B,C,D,E,F,G为7个开关,

其闭合的概率均为：，且是相互犯立的，则灯亮的概率是()

【答案】A

【解析】电路由上到下有3个分支并联，开关A8所在的分支不通的概率为1-2(x2(=]5,

开关CO所在的分支不通的概率为=

2(I1AII

开关石，尸，G所在的分支不通的概率为1-qxl--x-=—s

所以灯亮的概率是

>>乙ID

故选：A.

【方法技巧与总结】

求复杂的互斥事件的概率的两种方法

(1)直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式

计算.

(2)间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P(,),即运用逆向思维(正难则反).特

别是“至多,，”至少,，型题目，用间接法求解就显得较简便.

【过关测试】

一、单选题

2

1.12022.山东・潍坊七中高三阶段练习)已知人，8是一次随机试脸中的两个事件，若满足P(A)=P(8)=§,

贝IJ()

A.事件4,3互斥B.事件4方相瓦独立

C.事件A,8不互斥D.事件A,B不相互独立

【答案】C

4

【解析】若事件4R互斥,则尸(八1〃"=?(人)+。(硝=§>1,与事件的概率小于等于1矛盾，故事件4,

8不互斥；

若事件A，8相互独立，则P(A8)=P(A)P(8),而题设无法判断P(A8)=P(A)P(8)是否成立，投无法判断事

件A,8是否相互独立.

故选：C.

2.(2022・全国•模拟预测(文))已知P(A)、28)分别表示随机事件A、8发生的概率,那么是

下列哪个事件的概率()

A.事件A、B同时发生B.事件48至少有一个发生

C.事件A、B都不发生D.事件A、B至多有一个发生

【答案】D

【解析】A3表示随机事件A、同时发生，所以1-0(A3)就是事件A、“至多有一个发生.

故选:D

3.(2022・湖南•高三开学考试)从D,2,4,6,8中任取2个不同的数分别记作。，h,则的概率

是()

I323

A.—B.—C.—D.—

51055

【答案】D

5x4

【解析】从。，2,4,6,8中任取2个不同的数/人共有；一=1。个基本事件，

取出的2个数之差的绝对值等于2有(0,2),(2,4),(4,6),(6,8)共4个基本事件,

所以所求概率为夕=1-方4:3

故选：D

4.（2022・全国•高三专题练习）“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为1，7，

345

假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（）

A.—B.-C.；D.—

605260

【答案】B

【解析】•・•甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为：，7,7-

345

・•・他们不去北京旅游的概率分别为：2，3工4.

345

•・•至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游，

2343

・•・至少有1人去北京旅游的概率为：1-=

3455

故选：B

5.（2022•安徽省太和中学高三阶段练习）甲、乙两人进行五局三胜制的乒乓球单打比赛，每局中获胜的概率

3

为,已知在第一局和第二局比赛中甲均获胜，则继续比赛下去，甲最终赢得比赛的概率为（）

【答案】B

【解析】第三局嬴得概率为1,第三局输第四局赢的概率为1>1=真，

第三局和第四局输第五局羸的概率为（2丫>3=卫，

\5）5125

所以甲赢的概率为P=3+2.3+（2『3=U2；

555⑴5125

故选:B.

6.（2022.全国•高三专题练习）下列说法错误的个数为（）

①对立事件一定是互斥事件：

②若A,B为两个事件,则P（AUB）=P（A）+P（8）；

③若事件A,B,C两两互斥，则P（A）+P（8）+P（C）=1.

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【解析】互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；

只有A与4是互斥事件时，才有P（4uB）=P（A）+P（8）,②错误；

若事件A,B,C两两互斥，则?（Au3uC）=P（A）+P（3）+P（C）,但AlB。不一定是必然事件，

例如，设样本点空间是由两两互尺的事件A,B,C,。组成且事件。与ABC为对立事件，当P（O）w0

时,尸（A）+P（8）+P（C）＜1,③错误.

故选:C.

7.（2022・全国•高三专题练习）从一箱产品中随机地抽取一件,设事件4=｛抽到一等品｝,事件8=｛抽到二

等品｝，事件C=｛抽到三等品｝,且己知P（A）=Q7,尸（8）=02,P（C）=0.1.则事件“抽到的不是一等品”

的概率为（）

A.0.7B.0.2C.0.1D,0.3

【答案】D

【脩析】・・•抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件4=｛抽到一等品｝,P（A）=0.7,.••抽到不是

一等品的概率是1-0.7=0.3.

故选:D.

8.（2022・全国•高三专题练习）给出下列说法：①若事件A,6满足尸（A）+P（8）=l,则A,6为对立事件；

②把3张红桃J,Q,K随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A="甲得红桃与事件8="乙得红桃

是对立事件；③一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶其中说

法正确的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】①A，3为对立事件，需满足P